(SKKN mới NHẤT) SKKN sử dụng công thức thay thế công thức đạo hàm, tích phân để giải các bài toán đại số tổ hợp

111Equation Chapter Section 1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, toán Đại số tổ hợp thường xuất đề thi tuyển sinh vào Đại học Cao đẳng nhiều Đặc biệt Tỉnh ta số tỉnh nước tổ chứa thi học sinh giỏi văn hóa cho học sinh khối 11 toán Tổ hợp lại trọng Trong nội dung có số tốn ứng dụng dạo hàm tích phân để giải Nhưng vấn đề dặt nội dung đạo hàm học cuối chương trình 11 tích phân học chương trình 12 Vì học sinh lớp 11 chưa có kiến thức kỹ để giải tốn Tổ hợp dạng Vậy đưa dạng đề vào đề thi học sinh giỏi văn hóa mà thầy học sinh giải triệt để ? Để giúp thầy giáo có thêm chun đề Tổ hợp ôn luyện học sinh giỏi giúp em học sinh có cơng cụ làm tập, tơi chọn đề tài " Sử dụng công thức thay đạo hàm, tích phân để giải tốn Đại số tổ hợp" làm đề tài nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài - Xây dựng chuyên đề ôn thi học sinh giỏi mơn Tốn THPT thiết thực có hiệu - Góp phần nâng cao kỹ giải toán tổ hợp cho giáo viên học sinh - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, giúp em thấy đa dạng lời giải toán 1.3 Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : Nhiệm vụ : - Hệ thống lại công thức khai triển nhị thức niu tơn Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng: Học sinh lớp 11 - Tài liệu : Sách giáo khoa Đại số Giải tích lớp nâng cao – bản, Sách tâp, Sách giáo viên đề thi đại học, học sinh giỏi mơn Tốn 1.4 Phương pháp nghiên cứu : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo 1.4.2 Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thơng qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài download by : skknchat@gmail.com Nội dung sáng kiến 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Vị trí mơn Tốn nhà trường : Mơn Tốn mơn học khác cung cấp tri thức khoa học, nhận thức giới xung quanh nhằm phát triển lực nhận thức, hoạt động tư bồi dưỡng tình cảm đạo đức tốt đẹp người Mơn Tốn có tầm quan trọng to lớn Nó mơn khoa học nghiên cứu có hệ thống, phù hợp với hoạt động nhận thức tự nhiên người 2.1.2 Đặc điểm tâm sinh lý học sinh THPT - Học sinh THPT nghe giảng dễ hiểu quên em khơng tập trung cao độ Vì người giáo viên phải tạo hứng thú học tập phải thường xuyên luyện tập - Hiếu động, ham hiểu biết mới, thích tự tìm tòi, sáng tạo nên dạy học giáo viên phải chắt lọc đơn vị kiến thức để củng cố khắc sâu cho học sinh 2.1.3 Nhu cầu đổi phương pháp dạy học : Học sinh THPT có trí thơng minh, nhạy bén, sắc sảo, có óc tưởng tượng phong phú Đó tiền đề tốt cho việc phát triển tư toán học dễ bị phân tán, rối trí bị áp đặt, căng thẳng, q tải Chính nội dung chương trình, phương pháp giảng dạy, hình thức chuyển tải, nghệ thuật truyền đạt người giáo viên phải phù hợp với tâm sinh lý lứa tuổi điều xem nhẹ Muốn học có hiệu địi hỏi người giáo viên phải đổi phương pháp dạy học tức kiểu dạy học “Lấy học sinh làm trung tâm” hướng tập trung vào học sinh, sở hoạt động em Muốn em học trước hết giáo viên phải nắm nội dung lựa chọn, vận dụng phương pháp cho phù hợp Hiển nhiên, người giáo viên muốn dạy giỏi phải trải qua trình tự rèn luyện, phấn đấu khơng ngừng có Tuy nhiên, việc đúc kết kinh nghiệm thân người qua tiết dạy, ngày tháng miệt mài khơng quan trọng, vừa giúp cho có kinh nghiệm vững vàng hơn, vừa giúp cho hệ giáo viên sau có sở để học tập, nâng cao tay nghề, góp phần vào nghiệp giáo dục nước nhà 2.2 Thực trạng vấn đề : Hiện phần Đại số tổ hợp có sử dụng Đạo hàm Tích phân chưa viết theo chuyên đề cách hệ thống bản, khó cho giáo viên lẫn học sinh giảng dạy học tập nội dung Mặt khác nội dung Đại số tổ hợp lại học trước nội dung Đạo hàm Tích phân nên học sinh chưa có kỹ vận dụng kiến thức cách khéo léo Vì xây dựng hệ thống cơng thức thay Đạo hàm Tích phân vấn đề cần thiết có nhiều ứng dụng download by : skknchat@gmail.com 2.3 Nội dung lý thuyết : CÔNG THỨC NHỊ THỨC NIUTON Với cặp số a, b số n nguyên dương, ta có : với : + Số số hạng bên phải khai triển n+1 số hạng + Tổng số mũ a b khai triển n + Các hệ số khai triển là: với ý : + CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG Dạng 1: Sử dụng công thức : Chứng minh cơng thức (I) (I) tính tổng Bài tốn áp dụng : Bài tốn 1: Tính tổng: Hướng dẫn: Áp dụng công thức (I) ta được: + Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta : + Xét khai triển : (1) + Thay x = vào khai triển (1) : + Thay vào tổng Vậy : download by : skknchat@gmail.com Trong trang này: Mục LT có tham khảo TLTK[1];cơng thức(I), tác giả Bài tốn 2: Tính tổng : Hướng dẫn: Áp dụng công thức (I) ta được: + Xét khai triển : + Thay x = vào khai triển (1) ta được: (1) + Thay vào tổng B được: Vậy Bài tốn tổng qt : Tính tổng: Đáp án : Bài tốn 3: Tính tổng : Hướng dẫn: Ta có : + Tính : = + Xét khai triển : + Thay x = vào khai triển (2) : ( toán 1) (2) ta : Vậy: Bài tốn tổng qt : Tính tổng: Đáp số Bài tốn 4: Tính tổng : Hướng dẫn: download by : skknchat@gmail.com Trong trang này: Bài tốn 2; 3; có tham khảo TLTK[2] + Tính tổng : + Áp dụng cơng thức (I), ta được: nên : + Xét khai triển : + Thay x = - vào khai triển (1) : (1) tìm được: + Tính tổng : + Xét khai triển : + Thay x = -2 vào khai triển (2) được: (2) tìm được: + Tính được: Sau tính tổng giáo viên yêu cầu học sinh tổng qt tốn Bài tốn 5: Tính tổng: Hướng dẫn: Ta có : + Tính tổng: Dựa vào cơng thức (I), tính : + Tính tổng: download by : skknchat@gmail.com Tìm : Trong trang này: Bài tốn có tham khảo TLTK[3] Bài tốn tổng qt: Tính tổng: Hướng dẫn: Bài tốn 6: Tính tổng: Hướng dẫn: + Ta có: + Tính tổng: + Tính tổng : + Tìm được: Vậy: Sau tính tổng giáo viên yêu cầu học sinh tổng quát tốn Bài tốn 7: Tính tổng: Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (I) ta được: download by : skknchat@gmail.com + Tính được: + Tính tổng: Trong trang này: Bài toán tổng quát tác giả;bài toán 6;7 có tham khảo TLTK[3] + Tính tổng: Áp dụng cơng thức: , ta được: + Tính được: Bài tốn 8: Tính tổng Hướng dẫn: + Áp dụng cơng thức (I) ta được: + Tính tổng Tính được: Bài tốn 9: Tính tổng: Hướng dẫn: download by : skknchat@gmail.com + Áp dụng công thức : + Áp dụng công thức (I) ta được: Tính Trong trang này: Bài tốn 8; có tham khảo TLTK[2] Bài tốn 10: Tìm số tự nhiên n cho: (1) Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (I) + Thay vào (1') : Bài tập vận dụng: Tính tổng sau: được: , tìm n = 1008 1/ 2/ 3/ Dạng 2: Sử dụng công thức : Chứng minh cơng thức (II) Ta có : (II) tính tổng download by : skknchat@gmail.com Bài toán áp dụng : Bài tốn 1: Tính tổng: Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (II), ta được: Trong trang này: Bài tốn 10; 1; tập vận dụng có tham khảo TLTK[2], công thức (II) tác giả + Tìm : Vậy Bài tốn 2: Tính tổng: Hướng dẫn: download by : skknchat@gmail.com + Tính : + Áp dụng cơng thức (I) + Tìm : Vậy : Bài tốn 3: Tính tổng: Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (II) : Trong trang này: Bài tốn 2; có tham khảo TLTK[4] tính được: + Áp dụng công thức (II), được: 10 download by : skknchat@gmail.com + Tính tổng: + Áp dụng cơng thức (I): + Tính tổng: 11 download by : skknchat@gmail.com Vậy Bài tốn 4: Tìm n thỏa mãn: Hướng dẫn: +Áp dụng cơng thức (II) được: + + Có : + Đẳng thức cho trở thành: Vậy n = Bài tốn 5: Tìm a n ngun dương thỏa mãn: Hướng dẫn: + + Áp dụng công thức (II), được: Trong trang này: Bài tốn 4; có tham khảo TLTK[2] 12 download by : skknchat@gmail.com + Đẳng thức cho trở thành: + Thay n = vào đẳng thức được: Vậy n= a = Bài tốn 6: Tìm hệ số x20 khai triển: , biết : Hướng dẫn: + Áp dụng công thức (II) được: + Thay n = 12 vào khai triển: có số hạng tổng quát là: + Theo giả thiết : Vậy hệ số là: Bài tốn 7: Hướng dẫn: + Áp dụng cơng thức: 13 download by : skknchat@gmail.com Trong trang này: Bài toán 6; có tham khảo TLTK[3] + Tổng trở thành: + Áp dụng công thức (II) + Áp dụng công thức (I) + Xét khai triển : (1) (2) + Lấy vế nhân vế (1) 92) hệ số số hạng chứa + Trong khai triển: có hệ số số hạng chứa nên ta được: là: là: = Vậy Bài tốn 8: Tính tổng: Hướng dẫn: 14 download by : skknchat@gmail.com + Áp dụng công thức (II) Trong trang này: Bài toán tác giả + Xét khai triển (1) + Thay x = vào khai triển (1): + Thay x = -2 vào khai triển (1) được: + Cộng vế với vế được: (2) + Thay x = vào khai triển (1) được: + Thay x = -1 vào khai triển (1) được: Cộng vế với vế được: 15 download by : skknchat@gmail.com (3) + Từ (2) (3) Bài tốn 9: Tính tổng: 10 Trong trang này: Bài tốn tác giả Hướng dẫn: + Áp dụng công thức(II) + Áp dụng cơng thức(II), được: Vậy Bài tốn 10: Tính tổng: Hướng dẫn + Áp dụng cơng thức + Áp dụng công thức (II) 16 download by : skknchat@gmail.com + Xét khai triển: + Thay x = vào khai triển : Vậy : 11 Trong trang này: Bài tốn 10 có tham khảo TLTK[4] 2.4 Kết đạt Sau dạy xong cho học sinh lớp 11A3 làm kiểm tra để kiểm tra tính khả thi đề tài đối chiếu với kết kiểm tra trước học này, thu kết sau : Đề kiểm tra Bài 1: Tính tổng a/ b/ Bài 2: a/ Tìm số tự nhiên n biết: b/ Tìm hệ số x20 khai triển biết: Trước học Tổng số Điểm Giỏi học (8-10) sinh 45 8(17,8%) Điểm Khá (6,5-dưới 8) 15(33,3%) Điểm TB (5- 6) 15(33,3%) Điểm Yếu (3,5- 5) 5(11,1%) Điểm Kém (