Đang tải... (xem toàn văn)
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 1 / 1 Tính gần đúng đạo hàm Xét bảng số x x0 x1 y y0 y1 với y0 = f (x0) và y1 = f (x1[.]
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 1/1 Tính gần đạo hàm x x0 x1 y y0 y1 với y0 = f (x0 ) y1 = f (x1 ) = f (x0 + h) Đa thức nội suy Lagrange có dạng Xét bảng số L(x) = x − x0 x − x1 y1 − y0 , h h với h = x1 − x0 Do đó, với ∀x ∈ [x0 , x1 ] ta có f (x) ≈ y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 2/1 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ f (x0 + h) − f (x0 ) y1 − y0 = h h gọi công thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x1 ) ≈ y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) ≈ f (x0 ) − f (x0 − h) h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 3/1 Tính gần đạo hàm x y y0 = f (x0 ), y1 Đa thức nội suy Xét bảng số L(x) = x0 x1 x2 với y0 y1 y2 = f (x1 ) = f (x0 + h), Lagrange có dạng y2 = f (x2 ) = f (x0 + 2h) (x − x0 )(x − x2 ) (x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) y2 − y1 + y0 , 2 2h h 2h2 L0 (x) = x − x0 x − x1 x − x2 (y2 − 2y1 ) + (y2 + y0 ) + (y0 − 2y1 ) 2 2h h 2h2 L00 (x) = y2 − 2y1 + y0 h2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 4/1 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ L0 (x0 ) = −3y0 + 4y1 − y2 2h gọi công thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x1 ) ≈ L0 (x1 ) = y2 − y0 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x0 + h) − f (x0 − h) f (x0 ) ≈ 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 5/1 Tính gần đạo hàm Cịn x2 ta có f (x2 ) ≈ L0 (x2 ) = y0 − 4y1 + 3y2 2h gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) ≈ f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0 ) 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 6/1 Tính gần đạo hàm Ví dụ Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60 dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7/1 Tính gần đạo hàm Ví dụ Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60 dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 Giải Ở h = Theo cơng thức sai phân tiến ta có y (50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2 ) 2h = (−3x1.6990 + 4x1.1704 − 1.7782) = −0.21936 2x5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7/1 Tính gần tích phân xác định Tính gần tích phân xác định Theo cơng thức Newton-Leibnitz Z b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) a với F (x) = f (x), F nguyên hàm f Nhưng thường ta phải tính tích phân hàm số y = f (x) xác định bảng số Khi khái niệm ngun hàm khơng cịn ý nghĩa ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 8/1 Tính gần tích phân xác định Để tích gần tích phân xác định [a, b], ta thay hàm số f (x) đa thức nội suy Pn (x) xem Z b Z f (x)dx ≈ a b Pn (x)dx a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 9/1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Cơng thức hình thang Để tích gần tích phân Rb f (x)dx ta thay hàm dấu tích phân f (x) a đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P1 (x) = f (a) + f [a, b](x − a) = f (a) + ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN f (b) − f (a) (x − a) b−a Ngày 16 tháng 10 năm 2016 10 / Tính gần tích phân xác định Z b Z b (f (a) + f [a, b](x − a))dx P1 (x)dx = a Cơng thức hình thang a b x2 − ax = f (a)x + f [a, b] a f (b) − f (a) b a2 = f (a)(b − a) + − ab − + a2 b−a 2 b−a = (f (a) + f (b)) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 11 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng b−a n Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh, , xn = x0 + nh yk = f (xk ), k = 0, 1, , n Sử dụng công thức hình thang cho đoạn [xk , xk+1 ] ta Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước chia h = Z b Z x1 f (x)dx = a Z x2 f (x)dx + x0 ≈ h Z xn f (x)dx + + x1 f (x)dx xn−1 y1 + y2 yn−1 + yn y0 + y1 + h + + h 2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 12 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ R1 dx cơng thức hình thang mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ R1 dx cơng thức hình thang mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = Giải b−a 1−0 h= = = , x0 = 0, n 10 10 10 yk = f (xk ) = = k 10 + k + 10 Vậy 9 X hX I ≈ (yk + yk+1 ) = k=0 20 k=0 xk = k , 10 10 10 + 10 + k 10 + (k + 1) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ≈ 0.6938 Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng h (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + 2y8 + 2y9 + y10 ) Bấm máy Với h = 0.1, ta có I ≈ h A = A + B.(1 ÷ (1 + X )) : X = X + h CALC A=0, X=0, B=1= A=, X=, B=2= ., , A=, X=1, B=1= Kêt quả: I ≈ 0.6938 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 14 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Cơng thức Simpson Để tích gần tích phân Rb f (x)dx ta chia [a, b] thành đoạn a điểm a, x1 = a + h, b với h = b−a Thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x1 , f (x1 )) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P2 (x) = f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 ) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 15 / Tính gần tích phân xác định Z b b Z f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 )dx P2 (x)dx = a Công thức Simpson a Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2] Z b Z P2 (x)dx = a (f (a) + f [a, x1 ]ht + f [a, x1 , b]h2 t(t − 1))hdt f [a, x1 ]h = y1 − f (a), f (b) − 2f (x1 ) + f (a) f [a, x1 , b]h2 = Vậy Z b P2 (x)dx = a h (f (a) + 4f (x1 ) + f (b)) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 16 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson mở rộng Công thức Simpson mở rộng Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước chia h = b−a 2n Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh yk = f (xk ), k = 0, 1, , 2n Sử dụng công thức Simpson cho đoạn [xk , xk+2 ] ta Z b Z x2 f (x)dx = a ≈ Z x4 f (x)dx + x0 Z x2n f (x)dx + + x2 f (x)dx x2n−2 h h h (y0 + 4y1 + y2 ) + (y2 + 4y3 + y4 ) + + (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ) 3 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 17 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson mở rộng Ví dụ R1 dx công thức Simpson mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 18 /