ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 1 / 1 Tính gần đúng đạo hàm Xét bảng số x x0 x1 y y0 y1 với y0 = f (x0) và y1 = f (x1[.]
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 1/1 Tính gần đạo hàm x x0 x1 y y0 y1 với y0 = f (x0 ) y1 = f (x1 ) = f (x0 + h) Đa thức nội suy Lagrange có dạng Xét bảng số L(x) = x − x0 x − x1 y1 − y0 , h h với h = x1 − x0 Do đó, với ∀x ∈ [x0 , x1 ] ta có f (x) ≈ y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 2/1 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ f (x0 + h) − f (x0 ) y1 − y0 = h h gọi công thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x1 ) ≈ y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) ≈ f (x0 ) − f (x0 − h) h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 3/1 Tính gần đạo hàm x y y0 = f (x0 ), y1 Đa thức nội suy Xét bảng số L(x) = x0 x1 x2 với y0 y1 y2 = f (x1 ) = f (x0 + h), Lagrange có dạng y2 = f (x2 ) = f (x0 + 2h) (x − x0 )(x − x2 ) (x − x1 )(x − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) y2 − y1 + y0 , 2 2h h 2h2 L0 (x) = x − x0 x − x1 x − x2 (y2 − 2y1 ) + (y2 + y0 ) + (y0 − 2y1 ) 2 2h h 2h2 L00 (x) = y2 − 2y1 + y0 h2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 4/1 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ L0 (x0 ) = −3y0 + 4y1 − y2 2h gọi công thức sai phân tiến Cịn x1 ta có f (x1 ) ≈ L0 (x1 ) = y2 − y0 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x0 + h) − f (x0 − h) f (x0 ) ≈ 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 5/1 Tính gần đạo hàm Cịn x2 ta có f (x2 ) ≈ L0 (x2 ) = y0 − 4y1 + 3y2 2h gọi công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) ≈ f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0 ) 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 6/1 Tính gần đạo hàm Ví dụ Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60 dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7/1 Tính gần đạo hàm Ví dụ Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến x 50 55 60 dựa vào bảng giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 Giải Ở h = Theo cơng thức sai phân tiến ta có y (50) ≈ (−3y0 + 4y1 − y2 ) 2h = (−3x1.6990 + 4x1.1704 − 1.7782) = −0.21936 2x5 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 7/1 Tính gần tích phân xác định Tính gần tích phân xác định Theo cơng thức Newton-Leibnitz Z b f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a) a với F (x) = f (x), F nguyên hàm f Nhưng thường ta phải tính tích phân hàm số y = f (x) xác định bảng số Khi khái niệm ngun hàm khơng cịn ý nghĩa ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 8/1 Tính gần tích phân xác định Để tích gần tích phân xác định [a, b], ta thay hàm số f (x) đa thức nội suy Pn (x) xem Z b Z f (x)dx ≈ a b Pn (x)dx a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 9/1 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang Cơng thức hình thang Để tích gần tích phân Rb f (x)dx ta thay hàm dấu tích phân f (x) a đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P1 (x) = f (a) + f [a, b](x − a) = f (a) + ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN f (b) − f (a) (x − a) b−a Ngày 16 tháng 10 năm 2016 10 / Tính gần tích phân xác định Z b Z b (f (a) + f [a, b](x − a))dx P1 (x)dx = a Cơng thức hình thang a b x2 − ax = f (a)x + f [a, b] a f (b) − f (a) b a2 = f (a)(b − a) + − ab − + a2 b−a 2 b−a = (f (a) + f (b)) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 11 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng b−a n Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh, , xn = x0 + nh yk = f (xk ), k = 0, 1, , n Sử dụng công thức hình thang cho đoạn [xk , xk+1 ] ta Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước chia h = Z b Z x1 f (x)dx = a Z x2 f (x)dx + x0 ≈ h Z xn f (x)dx + + x1 f (x)dx xn−1 y1 + y2 yn−1 + yn y0 + y1 + h + + h 2 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 12 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ R1 dx cơng thức hình thang mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Ví dụ R1 dx cơng thức hình thang mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = Giải b−a 1−0 h= = = , x0 = 0, n 10 10 10 yk = f (xk ) = = k 10 + k + 10 Vậy 9 X hX I ≈ (yk + yk+1 ) = k=0 20 k=0 xk = k , 10 10 10 + 10 + k 10 + (k + 1) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN ≈ 0.6938 Ngày 16 tháng 10 năm 2016 13 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng h (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + 2y8 + 2y9 + y10 ) Bấm máy Với h = 0.1, ta có I ≈ h A = A + B.(1 ÷ (1 + X )) : X = X + h CALC A=0, X=0, B=1= A=, X=, B=2= ., , A=, X=1, B=1= Kêt quả: I ≈ 0.6938 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 14 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Cơng thức Simpson Để tích gần tích phân Rb f (x)dx ta chia [a, b] thành đoạn a điểm a, x1 = a + h, b với h = b−a Thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x1 , f (x1 )) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P2 (x) = f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 ) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 15 / Tính gần tích phân xác định Z b b Z f (a) + f [a, x1 ](x − a) + f [a, x1 , b](x − a)(x − x1 )dx P2 (x)dx = a Công thức Simpson a Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2] Z b Z P2 (x)dx = a (f (a) + f [a, x1 ]ht + f [a, x1 , b]h2 t(t − 1))hdt f [a, x1 ]h = y1 − f (a), f (b) − 2f (x1 ) + f (a) f [a, x1 , b]h2 = Vậy Z b P2 (x)dx = a h (f (a) + 4f (x1 ) + f (b)) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 16 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson mở rộng Công thức Simpson mở rộng Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước chia h = b−a 2n Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , xk = x0 + kh yk = f (xk ), k = 0, 1, , 2n Sử dụng công thức Simpson cho đoạn [xk , xk+2 ] ta Z b Z x2 f (x)dx = a ≈ Z x4 f (x)dx + x0 Z x2n f (x)dx + + x2 f (x)dx x2n−2 h h h (y0 + 4y1 + y2 ) + (y2 + 4y3 + y4 ) + + (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ) 3 ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 17 / Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson mở rộng Ví dụ R1 dx công thức Simpson mở rộng 1+x chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ Tính gần tích phân I = ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 16 tháng 10 năm 2016 18 /