công thức truy hồi và ứng dụng

Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 1 MỤC LỤC Lời giới thiệu 2 Chương 1. ðẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 4 1. Sơ lược lịch sử 4 2. Bài toán tổ hợp 8 1. Bài toán tồn tại 9 2. Bài toán ñếm 10 3. Bài toán liệt kê 10 4. Bài toán tối ưu tổ hợp 10 Chương 2. CÔNG THỨC TRUY HỒI 11 2.1. Khái niệm công thức truy hồi 11 2.2. Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp 11 2.3. Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 12 2.3.1. ðịnh nghĩa 12 2.3.2. Nghiệm 12 2.3.2.1. Nghiệm tổng quát h(n) 13 2.3.2.2. Nghiệm riêng p(n) 14 Chương 3. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 16 3.1. Ứng dụng vào bài toán tổ hợp 16 3.2. Ứng dụng của công thức truy hồi tuyến tính bậc 1 16 3.3. Ứng dụng của công thức truy hồi tuyến tính bậc 2 16 Kết luận 17 Tài liệu tham khảo 18 Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 2 Lời giới thiệu Lý thuyết tổ hợp hình thành từ rất sớm và trở thành một ngành toán học mới vào thế kỷ XVII bằng những công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất xắc như: Fermat, Pascal, Leibnitz… Các vấn ñề liên quan ñến lý thuyết tổ hợp là một bộ phận quan trọng của toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. ðặc biệt, từ khi ngành tin học ra ñời thì tổ hợp ñược ứng dụng rộng rãi và trở thành lĩnh vực ñược các nhà lập trình nghiên cứu. Trong toán sơ cấp thì tổ hợp càng ñược ứng dụng rộng rãi với các bài toán từ ñơn giản ñến khó và rất khó. Công thức truy hồi là một trong những chủ ñề hay và khó. Và ñây chính là một công cụ ñếm cao cấp nhằm giải quyết các bài toán ñếm và ứng dụng trong một số các bài toán khác. Nhóm 1 xin trình bày ñề tài: “CÔNG THỨC TRUY HỒI VÀ ỨNG DỤNG” với 3 nội dung chính là: Chương 1: ðại cương về tổ hợp Chương 2: Công thức truy hồi Chương 3: Ứng dụng Trong thời gian nghiên cứu ñề tài vì kiến thức, thông tin và thời gian có hạn nên ñề tài không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong thầy và các bạn góp ý ñể ñề tài ñược hoàn chỉnh hơn. Danh sách nhóm 1 và công việc cụ thể: STT Họ tên Công việc (theo mục lục) Chữ ký Nh ận xét của giáo viên 1 Nguy ễn Thị Thanh Thủy Chương 1: ðại cương về tổ hợp 2 Võ Thị Kim Oanh Chương 2: Công thức truy hồi 3 Mai Thị Trang Chương 2: Công thức truy hồi 4 Nguyễn Kim Quyết Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 3 CHƯƠNG 1. ðẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1. SƠ LƯỢC LỊCH SỬ Có thể nói tư duy tổ hợp ra ñời từ rất sớm. Vào thời nhà Chu Trung Quốc người ta ñã biết ñến những hình vuông thần bí. Thời cổ Hi-lạp, thế kỷ 4 trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokarat ñã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước. Nhà toán học Pitagor và học trò ñã tìm ra ñược nhiều số có tính chất ñặc biệt. Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn và 4 số lẻ ñầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên ñầu tiên. 36 = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 1 3 + 2 3 + 3 3 Từ ñịnh lý Pitagor người ta cũng ñã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác. Các bài toán như vậy ñòi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp nhất ñịnh. Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp ñược hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17 bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz,…. Các bài toán tổ hợp có ñặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ. Việc giải chúng ñòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ (có trường hợp mất hàng chục năm). Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân, phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học. Tình thế thay ñổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán học hữu hạn. Nhiều vấn ñề tổ hợp ñã ñược giải quyết trên máy tính. Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp ñã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học… Chúng ta sẽ tìm hiểu một số bài toán tổ hợp nổi tiếng trong lịch sử. • Bài toán tháp Hà nội. Bài toán này do Edouard Lucas ñưa ra ở cuối thế kỷ 19 (Ông cũng là người ñưa ra dãy Fibonacci). Bài toán phát biểu như sau. Có 3 cọc, cọc thứ nhất có n ñĩa kích thước khác nhau xếp chồng nhau, ñĩa nhỏ nằm trên ñĩa lớn. Hãy chuyển các ñĩa từ cọc thứ nhất sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, sao cho luôn ñảm bảo ñĩa nhỏ trên ñĩa lớn. Hãy ñếm số lần di chuyển ñĩa. Tìm phương án di chuyển tối ưu. Số lần di chuyển là 2 n – 1. Khi n = 64, ta có số lần di chuyển là: Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 4 18 446 744 073 709 551 615 • Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán này cũng do Lucas ñưa ra năm 1891. Bài toán phát biểu như sau. Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn tròn sao cho không có cặp nào ngồi gần nhau. Có bao nhiêu cách xếp như vậy? Bài toán này dẫn ñến việc nghiên cứu một khái niệm quan trọng là số phân bố và mãi ñến năm 1934 mới có lời giải. Số cách xếp là 2.n!.U n trong ñó U n là số phân bố. Bảng sau cho thấy sự bùng nổ tổ hợp ghê gớm của số phân bố. n = 4 5 6 7 8 9 10 11 U n = 2 13 80 579 4 738 43 387 439 792 4 890 741 • Bài toán ñường ñi quân ngựa trên bàn cờ Cho bàn cờ vua với kích thước 8 x 8 = 64 ô. Tìm ñường ñi của quân ngựa qua tất cả các ô, mỗi ô chỉ 1 lần và quay về ô xuất phát. Người ta chứng minh tổng quát ñược rằng: Trên bàn cờ vuông có số cạnh chẵn lớn hơn hoặc bằng 6 bao giờ cũng tồn tại ñường ñi. ðường ñi của Euler (1759) có tính chất: hiệu các ô ñối xứng qua tâm bàn cờ bằng 32. 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 1 26 15 20 7 32 13 22 16 19 8 25 14 21 6 31 27 2 17 10 29 4 23 12 18 9 28 3 24 11 30 5 Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 5 ðường ñi của Beverle (1848) có tính chất: tổng các ô trên cột và hàng bằng 260 1 30 47 52 5 28 43 54 48 51 2 29 44 53 6 27 31 46 49 4 25 8 55 42 50 3 32 45 56 41 26 7 33 62 15 20 9 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11 • Hình vuông la tinh Hình vuông la tinh cấp n là hình vuông gồm các số 1,2 …, n – 1, n thỏa mãn tổng mỗi hàng và tổng mỗi cột ñều bằng nhau và bằng Hình vuông la tinh chuẩn cấp n là hình vuông la tinh cấp n có dòng ñầu và cột ñầu là 1, 2, …,n Bảng sau ñây là hình vuông la tinh chuẩn cấp 7 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 1 3 4 5 6 7 1 2 4 5 6 7 1 2 3 5 6 7 1 2 3 4 6 7 1 2 3 4 5 7 1 2 3 4 5 6 Công thức số hình vuông la tinh ñến nay vẫn còn bỏ ngỏ. Tuy nhiên ta có thể lập chương trình liệt kê tất cả hình vuông la tinh chuẩn. Dưới ñây là một số giá trị. n = 1 2 3 4 5 6 7 l n = 1 1 1 4 56 9 408 16 942 080 Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 6 • Hình lục giác thần bí Năm 1910 Clifford Adams ñưa ra là bài toán hình lục giác thần bí sau: Trên 19 ô lục giác hãy ñiền các số từ 1 ñến 19 sao cho tổng theo sáu hướng của lục giác bằng nhau (= 38). Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối cùng ông ta ñã tìm ra lời giải. Nhưng do sơ ý ñánh mất bản thảo ông ñã tốn thêm 5 năm nữa ñể khôi phục lời giải. Năm 1962 Adams công bố lời giải. ðây cũng là lời giải duy nhất. 1.2. BÀI TOÁN TỔ HỢP Qua các bài toán trên ta thấy bài toán tổ hợp rất ña dạng, liên quan tới nhiều lĩnh vực khoa học và ñời sống khác nhau. Có thể nói một cách tổng quát rằng lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, sắp xếp các phần tử của một hoặc nhiều tập hợp, thoả mãn một số ñiều kiện nào ñó. Mỗi cách phân bố, sắp xếp như thế gọi là một cấu hình tổ hợp. • Cấu hình tổ hợp Cho các tập hợp A 1 , …, A n . Giả sử S là sơ ñồ sắp xếp các phần tử của A 1 , …, A n , ñược mô tả bằng các quy tắc sắp xếp và R 1 , …, R m là các ñiều kiện ràng buộc lên mỗi sắp xếp theo sơ ñồ S. Khi ñó mỗi sắp xếp các phần tử của A 1 , …, A n thoả mãn các ñiều kiện R 1 , …, R m gọi là một cấu hình tổ hợp trên các tập A 1 , …, A n . • Ví dụ. Xét sự bố trí các quân cờ trên bàn cờ vua. Mỗi thế cờ có thể coi là một cấu hình tổ hợp. Ở ñây ta có thể ñịnh nghĩa A là tập hợp các quân cờ trắng B là tập hợp các quân cờ ñen S là sơ ñồ sắp xếp cá quân cờ trên bàn cờ R là hệ thống các ñiều kiện ñược xác ñịnh bằng luật cờ vua. Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 7 • Ví dụ. Bài toán tháp Hà Nội A là tập hợp n ñĩa S là sơ ñồ sắp xếp các ñĩa trên 3 cọc R 1 là ñiều kiện mỗi lần chuyển 1 ñĩa từ một cọc sang cọc khác R 2 là ñìều kiện ñĩa nằm dưới lên hơn ñĩa nằm trên Cấu hình tổ hợp là một cách sắp xếp các ñĩa trên 3 cọc thoả các ñiều kiện R 1 và R 2 . • Ví dụ. Bài toán ñường ñi quân ngựa trên bàn cờ A là tập hợp các ô trên bàn cờ, có thể biểu diễn như sau A = {[i,j] | i,j = 1, …, 8} S là sơ ñồ sắp xếp tất cả các ô của A thành 1 vòng tròn khép kín R là ñiều kiện từ mỗi ô trên vòng có thể ñi ñến các ô kề theo quy tắc ñi của quân ngựa. • Các dạng bài toán tổ hợp Với các cấu hình tổ hợp ta thường gặp các dạng bài toán sau: bài toán tồn tại, bài toán ñếm, bài toán liệt kê và bài toán tối ưu. 1. Bài toán tồn tại Mục tiêu của bài toán tồn tại là chứng minh sự tồn tại hoặc không tồn tại của cấu hình tổ hợp nào ñó. Có những bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng ñã thúc ñẩy sự phát triển nhiều hướng nghiên cứu toán học. • Ví dụ. Cho n nguyên dương A là tập n n ñiểm A = {[i,j] | i,j = 1, …, n} S là tâp hợp 2n ñiểm trong A Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 8 R là ñiều kiện không có 3 ñiểm trong S thẳng hàng Với 2 n 15 cấu hình tổ hợp tồn tại. Nhưng bài toán chưa có lời giải với n > 15. 2. Bài toán ñếm Nội dung bài toán ñếm trả lời câu hỏi “Có bao nhiêu cấu hình tổ hợp thuộc dạng ñang xét?”. Phương pháp ñếm cấu hình tổ hợp thường dựa vào một số quy tắc, nguyên lý ñếm và phân rã ñưa về các cấu hình tổ hợp ñơn giản. Khi việc xác ñịnh chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận trên và cận dưới của nó. Bài toán ñếm ñược áp dụng vào những công việc như tính xác suất hay tính ñộ phức tạp thuật toán. • Ví dụ. ðếm số tập con của một tập hợp. • Ví dụ. ðếm số nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 10 3. Bài toán liệt kê Các bài toán loại này nghiên cứu những thuật toán hiệu quả ñể xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp ñã cho. Những vấn ñề trong các lĩnh vực khác nhau thường ñược ñưa về bài toán liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thoả mãn tính chất cho trước hay không. • Ví dụ. Liệt kê tất cả các hoán vị của n phần tử. 4. Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn ñề, mỗi cấu hình tổ hợp ñược gắn một giá trị bằng số (chẳng hạn như hiệu quả sử dụng, hay chi phí thực hiện). Khi ñó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu những thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất). Ví dụ. (Bài toán ba lô). Một nhà thám hiểm dùng một cái ba lô trọng lượng không quá b ñể mang ñồ vật. Có n ñồ vật 1, 2, …, n. ðồ vật thứ j có trọng lượng a j và giá trị sử dụng là c j , j = 1, 2, …, n. Hỏi nhà thám hiểum cần mang theo những ñồ vật nào ñể tổng giá trị sử dụng là lớn nhất? Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 9 CHƯƠNG 2. CÔNG THỨC TRUY HỒI 2.1. KHÁI NIỆM CÔNG THỨC TRUY HỒI Ví dụ. Xét bài toán ñếm số tập con P(X) của tập X. Gọi s(n) là số tập con của tập có n phần tử. Giả sử X có n phần tử. Cho x là phần tử của X. Tách P(X) ra làm hai nhóm A và B, nhóm A gồm các tập con chứa x và nhóm B gồm các tập con không chứa x. Khi ñó B chính là P(X\{x}) và A tương ñương B. Như vậy ta có Từ ñó ta có công thức s(n) = 2.s(n-1), ðây là một công thức truy hồi. ðịnh nghĩa 2.1 Công thức truy hồi của dãy số s(0), s(1), s(2),…. là phương trình xác ñịnh s(n) bằng các phần tử s(0), s(1), s(2),…, s(n – 1) trước nó. s(n) = F(s(0), s(1), s(2),…, s(n – 1)). ðiều kiện ban ñầu là các giá trị gán cho một số hữu hạn các phần tử ñầu. Trong ví dụ 2.1 trên, ta có ñiều kiện ban ñầu là s(0) = 1. 2.2. GIẢI CÔNG THỨC TRUY HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP Nội dung của phương pháp này là thay thế liên tiếp công thức truy hồi vào chính nó, mỗi lần thay bậc n giảm ít nhất một ñơn vị, cho ñến khi ñạt giá trị ban ñầu. Ví dụ. ðếm số tập con của tập có n phần tử. Giải. Ký hiệu s(n) là số tập con của tập có n phần tử, thì s(n) = 2.s(n – 1) & s(0) = 1. Ta có: s(n) = 2.s(n – 1) = 2.2.s(n – 2) =…= 2.2…2.s(0) = 2 n . 2.3. CÔNG THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 2.3.1. ðịnh nghĩa ðịnh nghĩa 2.3.1.1 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k có dạng s(n) = c 1 .s(n – 1) + c 2 .s(n – 2) +…+ c k. s(n – k) + f(n), (2.1) trong ñó c 1 , c 2 ,…, c k là các hằng số, c k ≠ 0 và f(n) là hàm theo n. ðiều kiện ban ñầu của (2.1) là giả thiết một số phần tử ñầu của dãy có giá trị cho trước. s(0) = C 0 , s(1) = C 1 ,…, s(k-1) = C k-1 . Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH : Nhóm 6 – Lớp PP Toán sơ cấp K24 Trang 10 ðịnh nghĩa 2.3.1.2 Nếu f(n) ≠ 0, thì (2.1) ñược gọi là công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k. Nếu f(n) = 0, thì (2.1) ñược gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k. 2.3.2. Nghiệm ðịnh nghĩa 2.3.2.1 Hàm số s(n) thỏa mãn (2.1) ñược gọi là nghiệm của công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k. ðịnh lý 2.3.2.1 Cho công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k s(n) = c 1 .s(n – 1) + c 2 .s(n – 2) +…+ c k. s(n – k) + f(n). (2.2) Khi ñó nghiệm tổng quát của (2.2) có dạng s(n) = h(n) + p(n), với p(n) là nghiệm riêng nào ñó của (2.2) và h(n) là nghiệm tổng quát của công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất ứng với (2.2) s(n) = c 1 .s(n – 1) + c 2 .s(n – 2) +…+ c k. s(n – k). (2.3) ðịnh nghĩa 2.3.2.2 Phương trình: (2.4) ñược gọi là phương trình ñặc trưng của công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng k (2.2) và công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng k (2.3). 2.3.2.1 Nghiệm tổng quát h(n) của 2.3 ðịnh lý2.3.2.1.1 * Nếu (2.4) có k nghiệm thực khác nhau là thì nghiệm tổng quát h(n) của (2.3) có dạng h(n)= trong ñó C i , i = 1,…, k là các hằng số tùy ý . * Nếu phương trình ñặc trưng (2.4) có nghiệm thực bội s , thì ngoài nghiệm , ta lấy thêm các vectơ bổ sung cũng là các nghiệm ñộc lập tuyến tính của (2.3) và do ñó trong ñó và là các hằng số tùy ý . * Nếu phương trình ñặc trưng (2.4) có nghiệm phức , trong ñó , có nghĩa là = , thì (2.4) cũng có nghiệm liên hợp phức . Khi ñó ta có ; là các nghiệm của (2.3) . Ta lấy làm các nghiệm ñộc lập tuyến tính của (2.3) , khi ñó [...]... K24 Trang 11 Công th c truy h i và ng d ng Nghi m riêng ng v i hàm fn s là = p(n1) + p(n2) + … + p(ns) (do tính tuy n tính c a phương trình sai phân) CHƯƠNG 3 3.1 NG D NG CÔNG TH C TRUY H I NG D NG VÀO BÀI TOÁN T H P Công th c truy h i là m t trong nh ng phương pháp r t hi u qu ñ gi i các bài toán t h p N i dung cơ b n nhưng khó khăn nh t c a phương pháp này là thi t l p m t công th c truy h i cho... a1=2, = 3 HVTH : Nhóm 6 – L p PP Toán sơ c p K24 Trang 16 Công th c truy h i và ng d ng K T LU N Trong ti u lu n này, chúng tôi ñã c g ng t ng k t, h th ng nh ng khái ni m cơ b n c a t h p và ng d ng c a công th c truy h i trong gi i các bài toán ñ m và m t s bài toán khác M c dù nhóm chúng tôi ñã dành nhi u th i gian nghiên c u, th o lu n, và ñư c s hư ng d n nhi t tình, chu ñáo c a Th y PGS.TSKH... la 3.3 NG D NG C A CÔNG TH C TRUY H I TUY N TÍNH B C 2 Bài toán 3.1.4 (Bài toán tính s các xâu nh phân).Tính s các xâu nh phân ñ dài n và không có hai bit 0 liên ti p Gi i G i an là s các xâu nh phân ñ dài n và không có hai bit 0 liên ti p Trư c h t ta tìm m t vài giá tr ñ u c a an Ta có: • • a1=2, vì có hai xâu tho mãn là 0 và 1 = 3, vì có ba xâu tho mãn là 01, 10, 11 Bây gi ta tìm công th c t ng quát... nh phân ñ dài n và không có hai bit 0 liên ti p b ng s các xâu như th k t thúc b ng bit 1 c ng v i s các xâu như th k t thúc b ng bit 0 Các xâu nh phân ñ dài n, không có hai bit 0 liên ti p và k t thúc b ng bit 1 chính là các xâu nh phân như th có ñ dài n-1 và thêm bit 1 vào cu i c a chúng V y chúng có t t c là a xâu HVTH : Nhóm 6 – L p PP Toán sơ c p K24 Trang 15 Công th c truy h i và ng d ng Các... theo yêu c u bài toán, ta thi t l p m t công th c liên h gi a s(n), s(n-1),… ñ t ñó tính ñư c s(n) Như v y, ñ gi i bài toán t h p b ng công th c truy h i, ta th c hi n các bư c sau: Bư c 1: Tìm các giá tr ban ñ u s(0) = C0, s(1) = C1,…, s(k-1) = Ck-1 Bư c 2: Thi t l p công th c truy h i s(n) = c1.s(n-1) + c2 s(n-2) +…+ ck s(n-k) + f(n) Bư c 3: Gi i công th c truy h i trên v i các ñi u ki n ban ñ u... n, không có hai bit 0 liên ti p và k t thúc b ng bit 0, c n ph i có bit th n-1 b ng 1, n u không thì chúng s có 2 bit 0 hai bit cu i cùng T ñó suy ra các xâu nh phân ñ dài n, không có hai bit 0 liên ti p và k t thúc b ng bit 0 chính là các xâu nh phân không có hai bit liên ti p có ñ dài n-2 và thêm 10 vào cu i c a chúng Do v y,các s xâu ñó là a Vì v y, ta có công th c truy h i : an = an-1 + an-2 v i... Trang 14 Công th c truy h i và ng d ng Bài toán 3.1.3 (Bài toán lãi kép) Gi s m t ngư i g i 10 000 ñô la vào thì tài kho n c a mình v i lãi kép 11% m i năm H i sau 30 năm anh ta có bao nhiêu ti n trong tài kho n c a mình? Gi i G i s(n) là t ng s ti n có trong tài kho n sau n năm Vì s ti n có trong tài kho n sau n năm b ng s ti n có sau n-1 năm c ng v i lãi su t c a năm th n, nên ta có công th c truy h... tôi xin chân thành c m ơn s gi ng d y và hư ng d n nhi t tình c a Th y dành cho chúng tôi HVTH : Nhóm 6 – L p PP Toán sơ c p K24 Trang 17 Công th c truy h i và ng d ng TÀI LI U THAM KH O [1] PGS.TSKH Tr n Qu c Chi n - Giáo trình lý thuy t t h p - 2010 (Lưu hành n i b ) [2] Nguy n Văn M u – Các bài toán r i r c và t h p - NXB ðH qu c gia Hà N i [3] T p chí toán h c và tu i tr [4] Tr n Phương – Lê H ng... (3.1) có d ng HVTH : Nhóm 6 – L p PP Toán sơ c p K24 Trang 13 Công th c truy h i và ng d ng u(n) = C 2n Mà u(1) = 2 nên C = 1 Do ñó u(n) = 2n và s(n) = 2n – 1 V ys l n di chuy n ñĩa tho mãn yêu c u bài toán là s(n) = 2n – 1 Bài toán 3.1.2 (Bài toán chia m t ph ng) Trên m p ph ng k n ñư ng th ng sao cho không có ba ñư ng th ng nào ñ ng quy và không có hai ñư ng nào song song H i m p ph ng ñư c chia làm... m dư i l n hơn ñĩa n m trên Hãy tính s l n di chuy n ñĩa ít nh t Gi i: G i s(n) s l n di chuy n ñĩa Ta th tìm m t vài giá tr c a s(n) n =1, rõ ràng ta ch c n chuy n m t l n chuy n Do v y s(1)=1 n = 2, ta chuy n như sau: HVTH : Nhóm 6 – L p PP Toán sơ c p K24 Trang 12 Công th c truy h i và ng d ng - Chuy n ñĩa bé sang c c 2, - Chuy n ñĩa l n sang c c 3, - Chuy n ñĩa bé v c c 3 Như v y, ta ph i c n ba . 14 Chương 3. ỨNG DỤNG CÔNG THỨC TRUY HỒI 16 3.1. Ứng dụng vào bài toán tổ hợp 16 3.2. Ứng dụng của công thức truy hồi tuyến tính bậc 1 16 3.3. Ứng dụng của công thức truy hồi tuyến tính. Chương 2: Công thức truy hồi 3 Mai Thị Trang Chương 2: Công thức truy hồi 4 Nguyễn Kim Quyết Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi Công thức truy hồi và ứng dụng HVTH. tối ưu tổ hợp 10 Chương 2. CÔNG THỨC TRUY HỒI 11 2.1. Khái niệm công thức truy hồi 11 2.2. Giải công thức truy hồi bằng phương pháp lặp 11 2.3. Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 12