hàm số - trần xuân bang

Toán học được sử dụng trên khắp thế giới như một công cụ thiết yếu trong nhiều lĩnh vực, bao gồm khoa học, kỹ thuật, y học, và tài chính. Toán học ứng dụng, một nhánh toán học liên quan đến việc ứng dụng kiến thức toán học vào những lĩnh vực khác, thúc đẩy và sử dụng những phát minh toán học mới, từ đó đã dẫn đến việc phát triển nên những ngành toán hoàn toàn mới, chẳng hạn như thống kê và lý thuyết trò chơi. Các nhà toán học cũng dành thời gian cho toán học thuần túy, hay toán học vị toán học. Không có biên giới rõ ràng giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng, và những ứng dụng thực tiễn thường được khám phá từ những gì ban đầu được xem là toán học thuần túy

Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1 Chủ đề I. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ. 1. Hàm số dạng y = ( ) ( ) f x g x . (1) TXĐ: D =     g g g x D g(x) 0 D \ x D g(x) = 0     2. Hàm số dạng y = ( ) f x . (2) TXĐ: D =   f x D f(x) 0   3. Hàm số có dạng y = lnf(x). TXĐ: D =   f x D f(x) > 0  Do vậy ta chuyển các bài toán tìm tập xác định của hàm số vào chủ đề phương trình và hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình. II. TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ. 1. Tìm tập giá trị bằng định nghĩa. ĐN. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. y là một giá trị thuộc tập giá trị của f(x) khi và chỉ khi phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D. PP. Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm. Phương pháp này thường dùng cho các hàm số có tập xác định R. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 1 x x   . Giải: TXĐ. R \   1 . Phương trình y = 2 1 1 x x    2 1 1 yx y x x         ( 2) 1 1 y x y x         y  2 Vậy tập giá trị của hàm số là R \   2 . Ví dụ 2. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 2 1 x x x    . Giải: TXĐ. R \ 1 2        . Phương trình y = 2 2 1 2 1 x x x     2 2yx + y = 2x - x - 1 1 x 2         2 2 (2 1) 1 0 1 2 x y x y x              4y 2 + 4y + 1 + 8y + 8  0  4y 2 + 12y + 9  0: Bất phương trình này thoả với mọi y. Vậy tập giá trị của hàm số là R. Ví dụ 3. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 1 x x  . Giải: TXĐ. R \   1 . Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 y = 2 1 x x   2 yx - y = x x 1      2 0 1 x yx y x         y 2 - 4y  0  y  0 hoặc y  4. Vậy tập giá trị của hàm số là ( ;0) (4; )    Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = 0 có nghiệm Giải: Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1) Do sinx + cosx  2 nên sinx + cosx - 2 < 0. Suy ra sinx + cosx - 2  0 (1)  sin sin cos 2 x x x   = m (2) Đặt y = sin sin cos 2 x x x   TXĐ: R Gọi y là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm số. Khi đó phương trình y = sin sin cos 2 x x x   có nghiệm. y = sin sin cos 2 x x x    (y - 1)sinx + ycosx - 2y = 0 Phương trình này có nghiệm khi chỉ khi (y - 1) 2 + y 2  (- 2y) 2  2y 2 + 2y - 1  0 - 1 - 3 - 1 + 3 y 2 2    Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi - 1 - 3 - 1 + 3 m 2 2   BTII.1. 1) Tìm tập giá trị của hàm số a) 2 2 1 1 x y x    b) 2 2 1 x y x   2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm : sinx - 2cosx + 1 = 1 - 2m sinx + 2 HD. Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. Phương trình f(x) = k có nghiệm trên D khi và chỉ khi k thuộc tập giá trị của f(x). 3) Chứng minh - 1 2 2 cos 2 cos 1 2 cos 1 x x x x          , với (0; )    HD. Tìm tập giá trị của hàm số 2 2 cos 2 cos 2 cos 1 x x y x x         Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 3 4)* Tìm a để tập giá trị của hàm số 2 1 x y x a    chứa đoạn [0; 1] 5)* Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x a y x          HD. Tìm tập giá trị của hàm số 3 4 2 12 ( ) 36 x x a y x          . 2. Tìm tập giá trị bằng phương pháp bất đẳng thức. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Nếu m  f(x)  M, x D   thì tập xác định của f(x) là [m; M] Nếu m  f(x), x D   thì tập xác định của f(x) là [m; +  ) Nếu f(x)  M thì tập xác định của f(x) là ( -  ; M] Chú ý nếu không có dấu bằng trong các bất đẵng thức trên thì phải thêm điều kiện về giới hạn. Ví dụ: f(x) > m, x D   thì không thể kết luận ngay tập giá trị của f(x) là (m; +  ) mà phải có thêm điều kiện 0 lim x x  f(x) = m. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  . Giải: Ta có 2 2 1 1 1 x x     , x R   , y = 2 2 1 x x  liên tục trên R. Vậy tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  là [-1; 1]. Ví dụ 2. y = 2 2 1 1 x x x x      Giải: Ta có: y = 2 2 2 1 1 x x x x x      = 2 2 2 1 3 1 3 ( ) ( ) 2 4 2 4 x x x        2 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 2 x x x   = 2 1 1 2 2 x x x     2 1 1 2 2 x x x    = 2 2 x x = 1 Dấu bằng không xảy ra vì hệ sau vô nghiệm: 0 1 1 0 ( )( ) 0 2) 2 0 x x x x x               Mặt khác ta có 2 2 lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2 lim 1 1 x x x x x x       = - 1 2 2 lim ( 2 1 2 1) x x x x x       = 2 2 2 lim 1 1 x x x x x x       = 1 Hàm số đã cho liên tục trên R Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 4 BTII.2. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 2 2 3 2 3 x x x x      2) y = 2 4 x  3) y = ( 2)(3 2 ) x x   4) y = 3 6 x x    3. Tìm tập giá trị bằng phương pháp khảo sát sự biến thiên của hàm số. PP. Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên D. Khảo sát và lập bảng biến thiên, ta sẽ thấy ngay tập giá trị của hàm số. Ví dụ 1. Tìm tập giá trị của hàm số y = 2 2 1 x x  . Giải: TXĐ: R Ta có y' = 2 2 2 2 2(1 ) 4 (1 ) x x x    = 2 2 2 2(1 ) (1 ) x x   Bảng biến thiên: Thấy ngay tập giá trị [ -1; 1] Ví dụ 2. y = 2 2 1 1 x x x x      Giải: TXĐ: R Ta có: y' = 2 2 1 2 1 x x x    - 2 2 1 2 1 x x x    * Nếu 1 2   x 1 2  thì y'  0 * Nếu x 1 2  thì y'  0  (x 2 - x + 1)(2x + 1) 2  (x 2 + x + 1)(2x - 1) 2  -2x 2 + 2x + x 2 - x + 1  2x 2 + 2x - x 2 - x - 1  x 2 1   - 1 1 x   hay 1 2 1 x   thì y'  0 * Nếu x < - 1 2 thì y'  0  (x 2 - x + 1)(2x + 1) 2  (x 2 + x + 1)(2x - 1) 2  -2x 2 + 2x + x 2 - x + 1  2x 2 + 2x - x 2 - x - 1  x 2 1   x 1   hoặc x  1. hay với x < - 1 2 thì y'  0 Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị của hàm số là (- 1; 1) BTII.3. Tìm tập giá trị các hàm số sau 1) y = 2 2 2 3 2 3 x x x x      x -  - 1 1 +  y' - 0 + 0 - y 0 1 -1 0 x -  +  y' + y 1 - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 5 2) y = x + 2 4 x  3) y = x + 2 4 x  4) y = 4 4 x x    III. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ. 1. Điểm cố định. ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) được gọi là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, nếu M(x 0 ; y 0 ) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x 0 ; y 0 ) thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y 0 = f(m, x 0 ), m  . hay phương trình y 0 = f(m, x 0 ), thoả m  . Vậy M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = f(m, x) khi chỉ khi phương trình y 0 = f(m, x 0 ), thoả m  . Từ đây suy ra x 0 , y 0 . Ví dụ 1. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - 1 Giải: M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - 1 khi chỉ khi phương trình y 0 = m( x 0 - 1) + m - 1, thoả m  .   mx 0 - 1 - y 0 = 0 thoả m   x 0 = 0, y 0 = 1. Ví dụ 2. Cho hàm số y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh rằng đồ thị luôn luôn đi qua một điểm cố định. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1. Giải: 1) M(x 0 ; y 0 ) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi chỉ khi phương trình : y 0 = x 3 0 - 3(m + 1)x 2 0 + 2(m 2 + 4m + 1)x 0 - 4m(m +1 ) thoả m  .  (2x 0 - 4)m 2 - (3 x 2 0 - 8 x 0 + 4)m + x 3 0 - 3 x 2 0 + 2 x 0 - y 0 = 0 thoả m  .  0 2 0 0 3 2 0 0 0 0 2 4 0 3 8 4 0 3 2 0 x x x x x x y                x 0 = 2, y 0 = 0. 2) Từ 1) cho ta thấy khi y = 0 phương trình: x 3 - 3(m + 1)x 2 + 2(m 2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = 0 có 1 nghiệm x = 2 Vì thế phương trình tương đương với ( x - 2)[x 2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = 0 Thấy ngay 3 nghiệm x = 2, x = 2m, x = m + 1. Ta phải có: 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 m m m m m m                   m > 1 2  m 1  Bài tập III.1.1 Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + (m 2 - 3m)x - m 2 + 2m - 1 (1) 1) Tìm các điểm mà đồ thị (1) luôn luôn đi qua với mọi m. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 6 2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài tập III.1.2. Tìm điểm cố định của đồ thị các hàm số sau đây 1) y = x 4 + mx 2 - m - 5 2) y = 2 2 x x n x n     3) y = 2 2 (1 ) 1 x m x m x m      4) y = x 3 - (m + 1)x 2 - (2m 2 - 3m + 2)x + 2m( 2m - 1) 2. Điểm không có đồ thị nào đi qua. ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) được gọi là điểm không có đồ thị nào của đồ thị hàm số y = f(m, x), trong đó m là tham số, đi qua nếu M(x 0 ; y 0 ) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x). PP. M(x 0 ; y 0 ) không thuộc mọi đồ thị của hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi y 0 = f(m, x 0 ), không thoả m  hay phương trình y 0 = f(m, x 0 ), vô nghiệm m. Từ đây suy ra x 0 , y 0 . Ví dụ 1. Tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m 2 - 1 đi qua Giải: Gọi M(x 0 ; y 0 ) là điểm như thế  y 0 = m(x 0 - 2) + m 2 - 1, vô nghiệm m  m 2 + (x 0 - 2)m - 1 - y 0 = 0, vô nghiệm m  (x 0 - 2) 2 - 4(1 + y 0 ) < 0  y 0 > 1 4 ( 2 0 0 4 x x  ) Đó là phần trong của parabol y = 1 4 ( 2 4 x x  ) (phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1) Ví dụ 2. Tìm tất cả các điểm trên đường thẳng y = 1 sao cho không có đồ thị nào của họ y = 2 2 m x + 1 x đi qua. Giải: Gọi M(x 0 ; 1) là điểm như thế  1 = 2 2 0 0 m x + 1 x , vô nghiệm m Phương trình  2 2 0 0 0 x m = x - 1 x 0       (1) Thấy ngay hệ (1) vô nghiệm m chỉ khi x 0 = 0 hoặc x 0 < 1. Đó là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < 1. Bài tập III.2.1. 1) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2 x + mx - 8 y = x - m . 2) Tìm tất cả các điểm trên mặt phẳng sao cho không có đồ thị nào của họ đồ thị sau đây đi qua: 2 (m - 2)x - (m - 2m + 4) y = x - m . 3. Điểm chỉ có một số đồ thị đi qua. f(x)=(x^2-4 x)/4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 7 ĐN. Điểm M(x 0 ; y 0 ) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) đi qua nếu M(x 0 ; y 0 ) thuộc vào đúng k đồ thị của họ. PP. Điểm M(x 0 ; y 0 ) có k đồ thị của họ đồ thị hàm số y = f(m, x) khi và chỉ khi phương trình y 0 = f(m, x 0 ) có đúng k nghiệm m. Ví dụ. Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng bên phải trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2 (m + 1)x - m y = x - m đi qua. Giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) , trong đó x 0 > 0. Xét phương trình 2 2 0 0 0 (m + 1)x - m y = x - m (1) (1)  2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 4 2 3 yx - ym = mx + x - m m - (x + y)m - x + x y = 0 (1) x - m 0 x - m 0 Δ = (x + y) + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = = y + 2(x - 2x)y + x + 4x δ' = (x - 2x) x - 4x = - 4x           < 0, x > 0. Δ > 0, x > 0, y.     Suy ra (1) có hai nghiệm phân biệt. Bài tập III.3.1. 1) Chứng minh rằng những điểm trong mặt phẳng và không thuộc trục tung có đúng hai đồ thị của họ đồ thị hàm số 2 2 x - mx - m y = x + m đi qua. 2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có bao nhiêu đồ thị của họ đồ thị hàm số sau đi qua: y = x 4 - 2mx 2 + m 2 + 1 đi qua. 3) Cho hàm số 2 2 - x + mx - m y = x - m , (C m ) a) Khảo sát hàm số khi m = 1. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của hàm số. c) Tìm trên mặt phẳng các điểm có đúng hai đồ thị của họ (C m ) đi qua. IV. VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG. 1. Trục đối xứng. Ta chỉ xét trục đối xứng là đường thẳng vuông góc trục hoành. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng là đường thẳng x = x 0 khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 x = x + X y = Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x 0 + X) là một hàm số chẵn. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x 4 - 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Giải: Giả sử đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y       hàm số đã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 - 4(x 0 + X) 3 - 2(x 0 + X) 2 + 12(x 0 + X) - 1 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 8 = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X     - - 3 2 2 3 0 0 0 4 12 12 4 x x X x X X    - - 2 2 0 0 2 4 2 x x X X   + 0 12 12 1 x X     Y là hàm số chẵn của X 0 3 2 0 0 0 4 4 0 4 12 4 12 0 x x x x             Suy ra: x 0 = 1. Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng x = 1. *Hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Theo trên, khi x 0 = 1 thì Y = X 4 - 8X 2 + 6 Hoành độ giao điểm của đồ thi với trục hoành là nghiệm phương trình: y = 0  Y = 0  X 4 - 8X 2 + 6 = 0  X 2 = 4 10   X = 4 10   , X = 4 10   Suy ra phương trình có 4 nghiệm: x = 1 4 10   , x = 1 4 10   Hoành độ 4 giao điểm với trục hoành là : x = 1 4 10   , x = 1 4 10   ***Từ ví dụ 1 trên đây ta suy ra một phương pháp giải phương trình bậc bốn nếu vế trái của phương trình là một hàm mà đồ thị cuả nó có trục đối xứng. Ví dụ 2: Giải phương trình x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3 = 0 Đặt y = x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3. Giả sử đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm số. Khi đó qua phép biến đổi: 0 x x X y Y       hàm số đã cho trở thành: Y = (x 0 + X) 4 + 8(x 0 + X) 3 + 12(x 0 + X) 2 - 16(x 0 + X) + 3 = = 4 3 2 2 3 4 0 0 4 6 4 o o x x X x X x X X     - 3 2 2 3 0 0 0 8 24 24 8x x X x X X      2 2 0 0 12 24 12x x X X     0 16 16 3 x X     Y là hàm số chẵn, suy ra: x 0 = - 2 Y = X 4 - 12X 2 + 35 Y = 0  X 2 = 5, X 2 = 7  X = 5  , X = 7  Suy ra bốn nghiệm X = - 2 5  , X = - 2 7  Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 2x 4 - 16x 3 + 43x 2 - 44x + 14 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 9 ĐSố: x = 2 1 2  , x = 2 2  . BT2. Giải phương trình 6x 4 + 24x 3 + 23x 2 - 2x - 1 = 0 ĐSố: x = - 1 2 3  , x = - 1 3 2  . BT3. Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = x 4 + 8x 3 + 12x 2 - 16x + 3 có trục đối xứng. Từ đó suy ra hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành. BT4. Tìm tất cả các giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax 4 + 4x 3 - 2ax 2 + 1 2. Tâm đối xứng. ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng là M 0 (x 0 , y 0 ) khi và chỉ khi qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành Y = f(x 0 + X) - y 0 là một hàm số lẻ. Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng đồ thị hàm số y = 4x 3 - 2x 2 + 12x - 1 có một tâm đối xứng. Giải: Với M 0 (x 0 , y 0 ) : Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 3 2 0 0 0 Y = 4(x + X) - 2(x + X) + 12(x + X) + 1 - y 0 = = 4 3 2 2 3 0 0 12 12 4 o x x X x X X    - 2 2 0 0 2 4 2 x x X X    + + 1 - y 0 Y là một hàm số lẻ  0 3 2 0 0 0 12x - 2 = 0 4x - 2x + 1 - y = 0       0 0 1 x = 6 97 y = 98        Vậy, đồ thị hàm số có đúng một tâm đối xứng là 0 1 97 M ; 6 98       **Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta đều đi tìm tâm đối xứng. Đối với hàm số bậc ba, bạn có thể chỉ ra tâm đối xứng là điểm uốn của đồ thị, nhưng như thế không chứng minh được " có đúng một tâm đối xứng". Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2 x - 2x y = x - 1 . Giải: Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 10 Giả sử M 0 (x 0 , y 0 ) là tâm đối xứng. Qua phép biến đổi 0 0 x = x + X y = y + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) 2( ) 2( 1) 2 ( ) 1 1 (2 2) 2 1 x X x X X x X x x y Y x X x X X x y X x x x y y Y x X                          Y phải là một hàm số lẻ, trong khi mẫu thức chỉ có thể là một hàm số lẻ, do đó tử thức phải là một hàm số chẵn. Suy ra: 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 0 x x x y y               Vậy tâm đối xứng duy nhất của đồ thị là M 0 (1, 0). **Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng để thấy M 0 (1, 0), rồi cho dù bạn dùng định lý trên để chứng minh M 0 (1, 0) là tâm đối xứng của đồ thị, vì qua phép biến đổi x = 1 + X y = 0 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 (1 ) 2(1 ) 1 X X X Y X X       là một hàm số lẻ thì lời giải vẫn chưa trọn vẹn bởi bạn chưa trả lời được câu hỏi: còn nữa không ? Ví dụ : Chứng minh rằng M(- 1; - 2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2 x y = x + 1 . Giải: Qua phép biến đổi x = -1 + X y = 2 + Y    hàm số đã cho trở thành 2 2 2 ( 1 ) 2 1 1 2 ( 1 ) 1 X X X X Y Y X X X               Y là một hàm số lẻ. Suy ra đpcm. Bài tập tương tự: BT1. Chứng tỏ rằng đồ thị các hàm số sau đều có một tâm đối xứng: 1) y = 2 - 3x 2x - 3 2) y = 2 2x + x - 1 x - 1 3) y = 2x 3 - 3x 2 + 1 BT2. Tìm tâm đối xứng của đồ thị các hàm số: 1) y = 2 + 3x 2x - 3 2) y = 2 2x - x - 1 x + 2 3) y = x 3 - x 2 + x - 1 **Chú ý: Cần và đủ để điểm M'(x'; y') là điểm đối xứng của M(x: y) qua i) M 0 (x 0 ; y 0 ) là 0 0 x + x' = 2x y + y' = 2y    Đặc biệt qua O(0; 0) là x + x' = 0 y + y' = 0    ii) Đường thẳng y = m là x = x' y + y' = 2m    Đặc biệt qua trục hoành là x = x' y = - y'    [...]... f(x) f(x )=x ^ 3-3 x^2+2 8 6 4 2 x -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -6 -8 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 18 4 6 8 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình f(x) 3i) a = 3  2 2 : x  1  1 1 ; a = 2 2  3 : x  1 2 2 f(x)=x^3/3 8 6 4 1 3 x , (C) 3 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương... toán mx 2 + (2 - m 2 )x - 2m - 1 VD7 Cho hàm số y = , (1) x-m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số - x2 - x + 1 y= -x+1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 28 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm m để (1) có cực trị Chứng minh rằng với m vừa tìm được, trên đồ thị hàm số (1) luôn luôn... + m2 - 1 = ax + b có nghiệm kép với mọi m VD4 Cho hàm số y =  Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2 - 1 - b = 0 có nghiệm kép với mọi m Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 19 x Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình   = (2m - a + 1)2 - 4(m2 - 1 - b) = 0 , mọi m  4(1 - a)m + (1 - a)2 + 4(1 + b) = 0 , mọi m  a = 1, b = - 1 BT5 Cho hàm số y... 1)2 - 4 = - 5x2 - 4x - 4 Quỷ tích là y = - 5x2 - 4x - 4 2 x 2  (m  2) x VD2 Cho hàm số y  x 1 1) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại, cực tiểu 2) Tìm quỷ tích các điểm cực đại và các điểm cực tiểu Giải: Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 20 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 x 2  4 x  2  m  0 2x2  4x  2  m Hàm số. .. đồ thị hàm số đã cho (2x -2 )(x + m - 1 )- (x 2 - 2x + m + 2) 0 = y' (x + m - 1)2  (2x - 2 )(x + m - 1 )- (x 2 - 2x + m + 2) = 0 x 2 - 2x + m + 2   2x - 2  y = 2x - 2 x+m-1 Suy ra, đường thẳng y = 2x -2 là đường thẳng đi qua các điểm cực trị VD2 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1 2) Tìm k để phương trình - x3 + 3x2... sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 17 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + 1 - m = 0 Giải: 1) Bạn hãy tự giải 2) pt  x3 - 3x2 + 2 - 1 - m = 0 3  x - 3x2 + 2 = 1 + m 1+m y =1+m Đặt y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị (C) y = 1 + m là họ... f(x) f(x)=x ^4 -4 x^2+5 8 6 A 4 2 B -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -6 -8 VD4 Cho hàm số y = 2x3 + ax2 -1 2x - 13 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 26 C x 4 6 8 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1) Tìm tất cả các giá trị a để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều trục tung Viết phương trình đường thẳng đi... = - 3 Bài tập tương tự: BT1 Cho hàm số y = x4 + mx2 - (m + 1) có đồ thị (Cm) 1) Tìm điểm cố định của đồ thị Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 14 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Gọi A là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm) Tìm m để tiếp tuyến tại A của (Cm) song song với đường thẳng y = 2x 1 BT2 Cho hàm số y = x3 - mx2 + (2m -. .. thị hàm số (1) (ĐH&CĐ - A2002) Giải: 3) Cách 1 y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = -3 (x - m)2 + 3 y' = 0  x = m - 1, x = m + 1 Hai điểm cực trị là M(m - 1; - m2 + 3m - 2), N(m + 1; - m2 + 3m +2) Đường thẳng MN có phương trình y = 2x - m2 + m Cách 2 Giả sử M(x; y) là điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho suy ra 0 = y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) Ta có y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 = (x/3 - m/3) (- 3x2... x 1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 23 Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị ax 2 + bx + c 2.1 Cho hàm số y = (am  0, tử không chia hết mẫu) có cực trị mx + n Khi đó đường thẳng y = 1 (2ax + b) đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của m hàm số đã cho Thật vậy: Giả sử rằng hàm số đạt . f(x)=x^ 3-3 x^2+2 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) y = 1+ m 1+m f(x)=(x^2)/(x-1) -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) 3 2 2  2 2 3  Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang. thị đi qua. f(x)=(x^ 2-4 x)/4 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x f(x) Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Hàm số và đồ th - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang -