HÀM số TRẦN XUÂN BANG

Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Chủ đề I HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ I TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ f ( x) Hàm số dạng y = g ( x) (1) TXĐ: D = x  Dg g(x)  0  D g \ x  Dg g(x) = 0 Hàm số dạng y = f ( x) (2) TXĐ: D = x  Df f(x)  0 Hàm số có dạng y = lnf(x) TXĐ: D = x  Df f(x) > 0 Do ta chuyển toán tìm tập xác định hàm số vào chủ đề phương trình hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình II TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm tập giá trị định nghĩa ĐN Cho hàm số y = f(x) xác định D y giá trị thuộc tập giá trị f(x) phương trình f(x) = y có nghiệm thuộc D PP Tìm điều kện y để phương trình f(x) = y có nghiệm Phương pháp thường dùng cho hàm số có tập xác định R x 1 Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = x 1 Giải: TXĐ R \ 1 ( y  2) x  y   yx  y  x  x 1 Phương trình y =     x  y 2 x 1 x  Vậy tập giá trị hàm số R \ 2 Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = x2  x  2x 1  1 Giải: TXĐ R \    2 2 x  (2 y  1) x  y    2yx + y = 2x x  x2  x   Phương trình y =     x   1 2x 1  x     4y2 + 4y + + 8y +   4y2 + 12y +  0: Bất phương trình thoả với y Vậy tập giá trị hàm số R x2 Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = x 1 Giải: TXĐ R \ 1 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình  x  yx  y   yx - y = x x2 y=     x   y2 - 4y   y  y  x 1 x  Vậy tập giá trị hàm số (;0)  (4; ) Ví dụ Tìm tất giá trị m để phương trình (m-1)sinx + m(cosx - 2) = có nghiệm Giải: Phương trình tương đương m(sinx+ cosx - 2) = sinx (1) Do sinx + cosx  nên sinx + cosx - < Suy sinx + cosx -  sin x (1)  =m (2) sin x  cos x  sin x Đặt y = sin x  cos x  TXĐ: R Gọi y giá trị thuộc tập giá trị hàm số sin x Khi phương trình y = có nghiệm sin x  cos x  sin x y=  (y - 1)sinx + ycosx - 2y = sin x  cos x  Phương trình có nghiệm khi (y - 1)2 + y2  (- 2y)2  2y2 + 2y -  -1- -1+   y  2 -1- -1+ Vậy phương trình cho có nghiệm  m  2 BTII.1 1) Tìm tập giá trị hàm số  x2 a) y   x2 2x b) y   x2 2) Tìm tất giá trị m để phương trình sau có nghiệm : sinx - 2cosx + = - 2m sinx + HD Cho hàm số y = f(x) xác định D Phương trình f(x) = k có nghiệm D k thuộc tập giá trị f(x) x cos   x  cos  3) Chứng minh -   , với   (0;  ) x  x cos   x cos   x  cos  HD Tìm tập giá trị hàm số y  x  x cos   Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 4)* Tìm a để tập giá trị hàm số y  x 1 chứa đoạn [0; 1] x2  a 12 x ( x  a )  5)* Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y    x  36  12 x ( x  a )  HD Tìm tập giá trị hàm số y    x  36  Tìm tập giá trị phương pháp bất đẳng thức PP Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục D Nếu m  f(x)  M, x  D tập xác định f(x) [m; M] Nếu m  f(x), x  D tập xác định f(x) [m; +  ) Nếu f(x)  M tập xác định f(x) ( -  ; M] Chú ý dấu bất đẵng thức phải thêm điều kiện giới hạn Ví dụ: f(x) > m, x  D kết luận tập giá trị f(x) (m; +  ) mà phải có thêm điều kiện lim f(x) = m x  x0 2x  x2 2x 2x Giải: Ta có 1   , x  R , y = liên tục R Vậy tập giá trị hàm số y = 1 x  x2 2x [-1; 1]  x2 Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y = Ví dụ y = x2  x   x  x  Giải: Ta có: y =  2x x2  x   x2  x  = 2x 3 ( x  )2   ( x  )2  4 2x 2x 2x 2x =  = =1 1 1 2x 2 x  x x  x (x  )  ( x  ) 2 2 2  x   1  Dấu không xảy hệ sau vô nghiệm:  x   ( x  )( x  )  2)   x  2x Mặt khác ta có lim ( x  x   x  x  1) = lim =-1 x  x  x  x   x2  x  2x lim ( x  x   x  x  1) = lim = x  x  x2  x   x2  x  Hàm số cho liên tục R Vậy tập giá trị hàm số (- 1; 1) Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình BTII.2 Tìm tập giá trị hàm số sau 1) y = x2  x   x2  x  2) y = 3) y =  x2 4) y = x3  6 x ( x  2)(3  x) Tìm tập giá trị phương pháp khảo sát biến thiên hàm số PP Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục D Khảo sát lập bảng biến thiên, ta thấy tập giá trị hàm số 2x Ví dụ Tìm tập giá trị hàm số y =  x2 x -  -1 + Giải: TXĐ: R y' - + 2(1  x )  x 2(1  x ) Ta có y' = = (1  x ) (1  x )2 y Bảng biến thiên: -1 Thấy tập giá trị [ -1; 1] Ví dụ y = x  x   x  x  Giải: TXĐ: R 2x 1 2x 1 Ta có: y' = 2 x  x  x2  x  1 * Nếu   x  y'  2 * Nếu x  y'   (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x +  2x2 + 2x - x2 - x -  x2   -  x  x - y' + hay  x  y'  * Nếu x < - y'  y -1  (x2 - x + 1)(2x + 1)2  (x2 + x + 1)(2x - 1)2  -2x2 + 2x + x2 - x +  2x2 + 2x - x2 - x -  x2   x  1 x  1 hay với x < y'  Bảng biến thiên: Vậy tập giá trị hàm số (- 1; 1) BTII.3 Tìm tập giá trị hàm số sau 1) y = x2  x   x  x  Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình + Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) y = x +  x2 3) y = x +  x2 4) y = x4  4 x III ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ Điểm cố định ĐN Điểm M(x0 ; y0) gọi điểm cố định đồ thị hàm số y = f(m, x), m tham số, M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) PP M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) y0 = f(m, x0), m hay phương trình y0 = f(m, x0), thoả m Vậy M(x0 ; y0) điểm cố định đồ thị hàm số y = f(m, x) khi phương trình y0 = f(m, x0), thoả m Từ suy x0, y0 Ví dụ Tìm điểm cố định họ đường thẳng: y = m(x - 1) + m - Giải: M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số y = m(x - 1) + m - khi phương trình y0 = m( x0 - 1) + m - 1, thoả m   mx0 - - y0 = thoả m  x0 = 0, y0 = Ví dụ Cho hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) (1) 1) Chứng minh đồ thị luôn qua điểm cố định 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hoành độ lớn Giải: 1) M(x0; y0) điểm cố định đồ thị hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) khi phương trình : y0 = x 30 - 3(m + 1)x 20 + 2(m2 + 4m + 1)x0 - 4m(m +1 ) thoả m  (2x0 - 4)m2 - (3 x 20 - x0 + 4)m + x 30 - x 20 + x0 - y0 = thoả m 2 x0    x  x0      x0  x0  x0  y0   x0 = 2, y0 = 2) Từ 1) cho ta thấy y = phương trình: x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 4m + 1)x - 4m(m +1 ) = có nghiệm x = Vì phương trình tương đương với ( x - 2)[x2 - (3m + 1)x + 2m(m +1)] = Thấy nghiệm x = 2, x = 2m, x = m +  2m  m    Ta phải có: 2m  m   m >  m   2m   m   Bài tập III.1.1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + (m2 - 3m)x - m2 + 2m - (1) 1) Tìm điểm mà đồ thị (1) luôn qua với m Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Bài tập III.1.2 Tìm điểm cố định đồ thị hàm số sau 1) y = x4 + mx2 - m -  x2  x  n 2) y = 2x  n x  (1  m) x   m 3) y = xm 4) y = x3 - (m + 1)x2 - (2m2 - 3m + 2)x + 2m( 2m - 1) Điểm đồ thị qua ĐN Điểm M(x0 ; y0) gọi điểm đồ thị đồ thị hàm số y = f(m, x), m tham số, qua M(x0 ; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) PP M(x0; y0) không thuộc đồ thị hàm số y = f(m, x) y0 = f(m, x0), không thoả m hay phương trình y0 = f(m, x0), vô nghiệm m Từ suy x0, y0 Ví dụ Tìm tất điểm mặt phẳng mà đồ thị họ đường thẳng: y = m(x - 2) + m2 - qua Giải: Gọi M(x0; y0) điểm  y0 = m(x0 - 2) + m2 - 1, vô nghiệm m  m2 + (x0 - 2)m - - y0 = 0, vô nghiệm m  (x0 - 2)2 - 4(1 + y0) <  y0 > ( x02  x0 ) Đó phần parabol y = ( x  x ) (phần mặt phẳng chứa điểm (0; 1) Ví dụ Tìm tất điểm đường thẳng y = cho đồ thị họ y = m2 x + qua x m x 02 + Giải: Gọi M(x0; 1) điểm  = , vô nghiệm m x0 f(x) f(x)=(x^2-4x)/4 x -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 x 20 m = x - Phương trình   (1) x  Thấy hệ (1) vô nghiệm m x0 = x0 < Đó tập hợp điểm thuộc đường thẳng y = 1, có hoành độ x < Bài tập III.2.1 1) Tìm tất điểm mặt phẳng cho đồ thị họ đồ thị sau qua: x + mx - y= x-m 2) Tìm tất điểm mặt phẳng cho đồ thị họ đồ thị sau qua: (m - 2)x - (m - 2m + 4) y= x-m Điểm có số đồ thị qua Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình ĐN Điểm M(x0 ; y0) có k đồ thị họ đồ thị hàm số y = f(m, x) qua M(x0; y0) thuộc vào k đồ thị họ PP Điểm M(x0 ; y0) có k đồ thị họ đồ thị hàm số y = f(m, x) phương trình y0 = f(m, x0) có k nghiệm m Ví dụ Chứng minh điểm mặt phẳng bên phải trục tung có hai đồ thị (m + 1)x - m họ đồ thị hàm số y = qua x-m (m + 1)x - m Giải: Gọi A(x0 ; y0) , x0 > Xét phương trình y = (1) x0 - m  yx - ym = mx + x - m  m - (x + y)m - x + xy =  (1)  x - m  x - m  Δ = (x + y)2 + 4x - 4xy = x + 2x y + y + 4x - 4xy = (1)  = y + 2(x - 2x)y + x + 4x δ' = (x - 2x)2  x - 4x = - 4x < 0, x >  Δ > 0, x > 0, y Suy (1) có hai nghiệm phân biệt Bài tập III.3.1 1) Chứng minh điểm mặt phẳng không thuộc trục tung có hai đồ thị x - mx - m họ đồ thị hàm số y = qua x+m 2) Những điểm thuộc đường thẳng y = 1, có đồ thị họ đồ thị hàm số sau qua: y = x4 - 2mx2 + m2 + qua - x + mx - m 3) Cho hàm số y = , (Cm) x-m a) Khảo sát hàm số m = b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu hàm số c) Tìm mặt phẳng điểm có hai đồ thị họ (Cm) qua IV VẤN ĐỀ ĐỐI XỨNG Trục đối xứng Ta xét trục đối xứng đường thẳng vuông góc trục hoành ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có trục đối xứng đường thẳng x = x0 qua phép biến x = x + X đổi  hàm số cho trở thành Y = f(x0 + X) hàm số chẵn y = Y Ví dụ 1: Chứng tỏ đồ thị hàm số y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x - có trục đối xứng Từ suy hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành Giải: Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị hàm số  x  x0  X Khi qua phép biến đổi:  hàm số cho trở thành: y  Y Y = (x0 + X)4 - 4(x0 + X)3 - 2(x0 + X)2 + 12(x0 + X) - Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình = x04  xo3 X  xo2 X  x0 X  X - - x03  12 x02 X  12 x0 X  X - x02  x0 X  12 x0  12 X  2X + 1  x0   Y hàm số chẵn X    x0  12 x0  x0  12  Suy ra: x0 = Vậy đồ thị hàm số có trục đối xứng đường thẳng x = *Hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành Theo trên, x0 = Y = X4 - 8X2 + Hoành độ giao điểm đồ thi với trục hoành nghiệm phương trình: y =  Y =  X4 - 8X2 + =  X2 =  10  X =   10 , X =   10 Suy phương trình có nghiệm: x =   10 , x =   10 Hoành độ giao điểm với trục hoành : x =   10 , x =   10 ***Từ ví dụ ta suy phương pháp giải phương trình bậc bốn vế trái phương trình hàm mà đồ thị cuả có trục đối xứng Ví dụ 2: Giải phương trình x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + = Đặt y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + Giả sử đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị hàm số  x  x0  X Khi qua phép biến đổi:  hàm số cho trở thành: y  Y Y = (x0 + X)4 + 8(x0 + X)3 + 12(x0 + X)2 - 16(x0 + X) + = = x04  xo3 X  xo2 X  x0 X  X 8 x03  24 x02 X  24 x0 X  X  12 x02  24 x0 X  12 X  16 x0  16 X  3 Y hàm số chẵn, suy ra: x0 = - Y = X4 - 12X2 + 35 Y =  X2 = 5, X2 =  X =  , X =  Suy bốn nghiệm X = -  , X = -  Bài tập tương tự: BT1 Chứng tỏ đồ thị hàm số y = 2x4 - 16x3 + 43x2 - 44x + 14 có trục đối xứng Từ suy hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình ,x=2  2 BT2 Giải phương trình 6x4 + 24x3 + 23x2 - 2x - = ĐSố: x = -  ,x=-1  BT3 Chứng tỏ đồ thị hàm số y = x4 + 8x3 + 12x2 - 16x + có trục đối xứng Từ suy hoành độ giao điểm đồ thị với trục hoành BT4 Tìm tất giá trị a để đồ thị hàm số sau có trục đối xứng: y = ax4 + 4x3 - 2ax2 + Tâm đối xứng ĐLý: Đồ thị hàm số y = f(x) có tâm đối xứng M0(x0, y0) qua phép biến đổi x = x + X hàm số cho trở thành Y = f(x0 + X) - y0 hàm số lẻ  y = y0 + Y Ví dụ 1: Chứng tỏ đồ thị hàm số y = 4x3 - 2x2 + 12x - có tâm đối xứng ĐSố: x =  Giải: x = x + X Với M0(x0, y0) : Qua phép biến đổi  hàm số cho trở thành y = y0 + Y Y = 4(x + X)3 - 2(x + X) + 12(x + X) + - y0 = = x03  12 xo2 X  12 x0 X  X 2 x02  x0 X  X + + - y0  x = 12x - = Y hàm số lẻ    4x - 2x + - y =  y = 97  98  97  Vậy, đồ thị hàm số có tâm đối xứng M  ;   98  **Chú ý: Bài toán yêu cầu tìm tâm đối xứng hay chứng minh đồ thị có tâm đối xứng ta tìm tâm đối xứng Đối với hàm số bậc ba, bạn tâm đối xứng điểm uốn đồ thị, không chứng minh " có tâm đối xứng" x - 2x Ví dụ 2: Tìm tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x-1 Giải: Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình x = x + X Giả sử M0(x0, y0) tâm đối xứng Qua phép biến đổi  hàm số cho trở thành y = y0 + Y ( x  X )2  2( x0  X ) X  2( x0  1) X  x02  x0 y0  Y   ( x0  X )  x0  X  X  (2 x0  y0  2) X  x02  x0  x0 y0  y0 x0  X  Y phải hàm số lẻ, mẫu thức hàm số lẻ, tử thức phải x 1   x0  hàm số chẵn Suy ra:   2 x0  y0    y0  Vậy tâm đối xứng đồ thị M0(1, 0) **Chú ý: Nếu bạn dùng tính chất giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng để thấy M0(1, 0), cho dù bạn dùng định lý để chứng minh M0(1, 0) tâm đối xứng đồ thị, qua phép x = + X (1  X )2  2(1  X ) X  biến đổi  hàm số cho trở thành Y   hàm số lẻ X X y = + Y lời giải chưa trọn vẹn bạn chưa trả lời câu hỏi: không ? x2 Ví dụ : Chứng minh M(- 1; - 2) tâm đối xứng đồ thị hàm số y = x+1 Giải: x = -1 + X Qua phép biến đổi  hàm số cho trở thành y = + Y Y  ( 1  X ) X  X 1 X 1 2  Y   Y  (1  X )  X X Y hàm số lẻ Suy đpcm Bài tập tương tự: BT1 Chứng tỏ đồ thị hàm số sau có tâm đối xứng: 2x + x - - 3x 1) y = 2) y = 2x - x-1 3) y = 2x - 3x + BT2 Tìm tâm đối xứng đồ thị hàm số: 2x - x - + 3x 1) y = 2) y = 2x - x+2 3) y = x - x + x - **Chú ý: Cần đủ để điểm M'(x'; y') điểm đối xứng M(x: y) qua x + x' = 2x i) M0(x0; y0)  Đặc biệt qua O(0; 0)  y + y' = 2y x = x' ii) Đường thẳng y = m   y + y' = 2m Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 10 x + x' =   y + y' = x = x' Đặc biệt qua trục hoành   y = - y' Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Gọi A điểm cố định có hoành độ dương (Cm) Tìm m để tiếp tuyến A (Cm) song song với đường thẳng y = 2x BT2 Cho hàm số y = x3 - mx2 + (2m - 1)x - m + có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số m = 2) Qua A(4/9; 4/3) kẻ tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình tiếp tuyến 3) Với giá trị m hàm số (1) nghịch biến (- 2; 0) mx  BT3 Cho hàm số y = mx2 - mx - y  x 1 1) Chứng minh hai đồ thị hai hàm số có điểm cố định 2) Tìm m để điểm cố định trở thành tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến chung tiếp điểm BT4 Cho hàm số y = 2x3 - 3(m + 1)x2 + 18mx - (1) 1) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành 2) Chứng minh parabol y = x2 có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số (1) dù m lấy giá trị HD 1) Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc trục hoành khi hệ phương trình sau có nghiệm: (1) 2 x  3(m  3) x  18mx    (2)  x  (m  3) x  3m  Để ý (2) có nghiệm x = 3, x = m 2) Gọi điểm M0(x0; y0)  hệ phương trình sau vô nghiệm m: (1)  y0  x0  3(m  3) x0  18mx0   (2)  y0  x0 Suy phương trình x0  x0  3(m  3) x0  18mx0  vô nghiệm m  x03  (3m  10) x02  18mx0   vô nghiệm m  (18 x0  x02 )m  x03  10 x02   vô nghiệm m BT5 Cho hàm số y = - x4 + 2mx2 - 2m + có đồ thị (Cm) 1) Chứng minh đồ thị hàm số luôn qua hai điểm cố định A, B 2) Tìm m để tiếp tuyến (Cm) A B vuông góc với BT6 Tìm m để hai đường cong y = x3 - y = - mx2 tiếp xúc với Từ suy m > để phương trình x3 + mx2 - = có nghiệm BT7 Viết phương trình tiếp tuyến chung cặp đường cong sau: 1) y = x2 - 2x + y = x2 - 4x + 2) y = x2 - 5x + y = - x2 - x - 14 ***Chú ý: Đường thẳng y = px + q tiếp tuyến parabol y = ax2 + bx + c phương trình ax2 + bx + c = px + q hay ax2 + (b - p)x + c - q = có nghiệm kép, tức  = (b - p)2 - 4a(c - q) = VD Viết phương trình đường thẳng qua A(1; 2) tiếp xúc parabol y = 2x2 + x + Giải: Đường thẳng d qua A: y = k(x - 1) + d tiếp tuyến parabol khi phương trình 2x2 + x + = k(x - 1) + có nghiệm kép  2x2 + (1 - k)x + k - = có nghiệm kép  (1 - k)2 - 2(k - 1) =  k = 1, k = Hai tiếp tuyến : y = x + 1, y = 3x - Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 15 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Họ đường thẳng tiếp xúc đường cong cố định Bài toán Chứng minh họ đường thẳng (dm) luôn tiếp xúc đường cong cố định Phương pháp Tìm điểm mặt phẳng mà họ đường thẳng (dm) không qua với m Biên tập hợp cần tìm đường cong cố định cần tìm (m  1) x  m VD1 Chứng minh tiệm cận xiên họ: y = luôn tiếp xúc parabol xm cố định Giải: Họ tiệm cận xiên (dm) : y = (m + 1)x + m2 + m M(x: y) điểm thuộc mặt phẳng cho đường thẳng (dm) qua phương trình y = (m + 1)x + m2 + m vô nghiệm m  m2 + (x + 1)m + x - y = vô nghiệm m   = (x + 1)2 - 4(x - y) <  y < - (x - 1)2 Ta chứng minh (dm) tiếp xúc với parabol y = - (x - 1)2 Thật vậy, xét phương trình: (m + 1)x + m2 + m = - (x - 1)2  4(m + 1)x + 4m2 + m = - (x - 1)2  x2 + 2(2m + 1)x 4m2 + m + = Phương trình có nghiệm kép với m Suy điều phải chứng minh VD2 Chứng minh họ đường thẳng phụ thuộc thâm số  : ( x  1) cos   ( y  1) sin    (d) luôn tiếp xúc đường tròn cố định Giải: M(x; y) điểm thuộc mặt phẳng cho đường thẳng họ qua  phương trình ( x  1) cos   ( y  1) sin    vô nghiệm   (x - 1)2 + (y - 1)2 < 16 Xét đường tròn:  (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 có tâm I(1; 1), R = 4 Ta có d(I, d) =  = R Suy họ đường thẳng d tiếp xúc đường tròn cố định: cos   sin  (x - 1)2 + (y - 1)2 = 16 Bài tập tương tự: BT1 Chứng minh họ đường thẳng 4x - 2my + m2 = luôn tiếp xúc parabol cố định mx  x  m BT2 Chứng minh tiệm cận xiên họ: y = luôn tiếp xúc parabol cố xm định BT3 Chứng minh họ đường thẳng x cos   y sin   cos   sin    luôn tiếp xúc đường tròn cố định VI VẤN ĐỀ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ  ĐLý Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), hàm số y = g(x) có đồ thị (D)  y  f ( x) Xét hệ phương trình  (hệ cho biết toạ độ điểm chung (nếu có) (C) (D) (nếu có))  y  g ( x) Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 16 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Từ hệ phương trình suy phương trình: f(x) = g(x) ( phương trình cho biết hoành độ điểm chung (nếu có) (C) (D))  y  f ( x) (C) (D) có điểm chung hệ  hay phương trình f(x) = g(x)  y  g ( x) có nhiêu nghiệm Từ có hai toán: i) Biện luận số điểm chung hai đồ thị (C) (D) dựa vào hệ phương trình  y  f ( x) hay phương trình f(x) = g(x)   y  g ( x)  y  f ( x) ii) Biện luận số nghiệm phương trình f(x) = g(x) hay hệ phương trình  dựa  y  g ( x) vào số điểm chung hai đồ thị (C) (D) VD1 Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx +1, (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = 2) Chứng minh với m đồ thị (Cm) luôn cắt đồ thị hàm số y = x3 + 2x2 + hai điểm phân biệt A, B Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn AB 3) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm C(0; 1), D, E cho tiếp tuyến (Cm) D, E vuông góc với Giải 2) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +  x2 + mx - = (*) Thấy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt Suy đpcm Gọi A(x1 ; y1), B(x2; y2) điểm chung Khi x1, x2 nghiệm (*) x1 + x2 = - m, x1x2 = - và: y1  x13  x12  , y2  x23  x22  m Gọi I(x; y) trung điểm AB : x = ( x1  x2 )    m = - 2x, x1 + x2 = 2x 2 y y 1 y    x13  x23    x12  x22  + =  x1  x2   x1 x2 ( x1  x2 )    x1  x2   x1 x2   2  = 8 x  3(6)(2 x )    x   2(6)  = 4x3 + 4x2 + 18x + 19 Suy quỷ tích y = 4x3 + 4x2 + 18x + 19 3) Xét phương trình x3 + 3x2 + mx +1 =  x3 + 3x2 + mx = (1) x   (2)  x  3x  m  Với (1), ta có C(0; 1) (2) có hai nghiệm phân biệt khi - 4m >  m < 4/9 Gọi A(x1 ; y1), B(x2; y2) điểm chung khác C Khi x1, x2 nghiệm (2) x1 + x2 = - x1x2 = - m và: y '1  x12  x1  m , y '2  x22  x2  m Theo giả thiết : 1  y1' y2'   3x12  x1  m  3x22  x2  m  Khai triển dạng tổng tích x1, x2 Áp dụng Viet Ta có giá trị cần tìm m VD2 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 17 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + - m = Giải: 1) Bạn tự giải 2) pt  x3 - 3x2 + - - m =  x - 3x2 + = + m 1+m y =1+m Đặt y = x3 - 3x2 + có đồ thị (C) y = + m họ đường thẳng vuông góc trục tung cắt trục tung 1+m Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) + m < - + m >  m < - m > 1: nghiệm ii) + m = - + m =  m = - m = 1: nghiệm 3i) - < + m <  - < m < 1: nghiệm x2 VD3 Cho hàm số y  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số x2 2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình:  x  a x 1 Giải: 1) Bạn tự giải f(x) f(x)=(x^2)/(x-1) x2 2) Đặt y  có đồ thị (C) x 1 y = - x + a họ đường thẳng có hệ số góc - không đổi, cắt trục trung a 2 3 Chú ý hai vị trí tiếp tuyến: 32 Đường thẳng y = - x + a tiếp tuyến khi hệ pt sau có nghiệm: x  x2 -8 -6 -4 -2  x 1   x  a  -2 3 2 3 2   x  x  1 -4  ( x  1) -6 Suy ra: 2x2 - 4x + = -8  x  1 x2 x  x (2 x  x  1)  3x  Suy a  x  x 1 x 1 x 1 x  1  a = 2 3 x  1  a = 3 2 Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) a <  2 a >  2 : Hai nghiệm phân biệt ii)  2 < a <  2 : Vô nghiệm f(x) f(x )=x ^3-3 x^2+2 x -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 18 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình f(x) 3i) a =  2 : x   1 ; a = 2  : x  1 2 f(x)=x^3/3 x , (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) -8 -6 -4 -2 2) Tuỳ theo m, biện luận số nghiệm phương trình -2 x - 3mx - 3m = m=9/4 Giải: 1) Bạn tự giải -4 2) Phương trình  x = mx + m -6 -8 Đặt y = x có đồ thị (C) y = mx + m họ đường thẳng quay xung quanh I( - 1; 0) cố định có hệ số góc m Để ý đường thẳng y = mx + m tiếp tuyến hệ số góc m = 9/4 Dựa vào đồ thị ta có kết quả: i) m < 9/4 : nghiệm ii) m = 9/4 : x = - 3/2 3i) m > 9/4: nghiệm phân biệt Bài tập tương tự: x2  4x  BT1 Cho hàm số y  x2 1) Khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá tri k để đường thẳng y = kx + cắt (C) hai điểm phân biệt A,B 3) Tìm quỷ tích trung điểm I đoạn AB 3x  BT2 Cho hàm số y  x 1 1) Khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá tri a để đường thẳng y = ax + điểm chung với (C) 3) Từ điểm A thuộc trục tung kẻ tiếp tuyến đến (C)  x2  x  a BT3 Cho hàm số y  (a  0) (1) xa 1) Xác định a để tiệm cận xiên qua (2; 0) Khi khảo sát biến thiên vàvẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm tất giá tri a để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x - hai điểm phân biệt Gọi y1, y2 tung độ giao điểm , tìm hệ thức liên hệ y1, y2 không phụ thuộc a BT4 Cho hàm số y = x2 + (2m + 1)x + m2 - 1) Chứng minh với m đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng y = x hai điểm phân biệt khoảng cách hai điểm không đổi 2) Chứng minh với m đồ thị luôn tiếp xúc đường thẳng cố định Xác định phương trình đường thẳng HD 2) Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến cố định khi : Phương trình x2 + (2m + 1)x + m2 - = ax + b có nghiệm kép với m VD4 Cho hàm số y =  Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2 - - b = có nghiệm kép với m Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 19 x Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình   = (2m - a + 1)2 - 4(m2 - - b) = , m  4(1 - a)m + (1 - a)2 + 4(1 + b) = , m  a = 1, b = - BT5 Cho hàm số y = x4 + 2x2 - 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: cos4t + 2cos2t + a - = 4t 2t 3) Dựa vào (C) biện luận theo a số nghiệm t > phương trình: e + 2e + 2a - = BT6 Cho hàm số y = x x  1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) 2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình: x x  = mx x2  x  x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) BT7 Cho hàm số y  2) Từ đồ thị (C) suy đồ thi (D) hàm số y  x2  x  x 1 x2  x  3) Dựa vào (C), biện luận theo a số nghiệm phương trình = ax - a + x 1 VII VẤN ĐỀ QUỶ TÍCH ĐẠI SỐ  x   ( m)  Bài toán: Tìm quỷ tich điểm M(x; y) :  , m tham số  y   ( m)  Phương pháp giải: Khử m hệ để liên hệ y = f(x)  Chú ý:  x  x0 1) Quỷ tich điểm M(x; y) :  , m tham số, đường thẳng x = x0 y   ( m )   x   (m) 2) Quỷ tich điểm M(x; y) :  , m tham số, đường thẳng y = y0  y  y0 3) Nếu tham số m có điều kiện phải suy điều kiện x y để hạn chế quỷ tích VD1 Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = x2 - (m - 1)x - m2 -   x  (m  1) Giải: Đỉnh parabol I(x; y):   y  x  (m  1) x  m   Suy ra: y = x - (2x+1 - 1)x - (2x + 1)2 - = - 5x2 - 4x - Quỷ tích y = - 5x2 - 4x - x  (m  2) x VD2 Cho hàm số y  x 1 1) Với giá trị m hàm số đạt cực đại, cực tiểu 2) Tìm quỷ tích điểm cực đại điểm cực tiểu Giải: Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 20 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 x  x   m  2x2  4x   m Hàm số có cực trị có hai nghiệm phân   ( x  1) x 1  biệt   = 2m >  m > 2) Với m > Các điểm cực trị x1, x2 nghiệm phương trình: 2x2 - 4x + - m = (1) i) Quỷ tích cực đại Gọi M(x; y) điểm cực đại đồ thị Ta có:  2m x  1   2  y   2m  m   2m  ( 2m )   2(2  x )  (2  x )  x  2 Ta có y = 2x2 x < ii) Quỷ tích cực tiểu Gọi N(x; y) điểm cực đại đồ thị Ta có:  2m x  1   2  y   2m  m   2m  ( 2m )   2(2 x  2)  (2 x  2)  x  2 Ta có y = 2x x > Bài tập tương tự: BT1 Tìm quỷ tích đỉnh parabol y = 2x2 - 2(m + 1)x + (m - 1)2 x  2mx  BT2 Cho hàm số y  2x 1 Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số x2  x  m BT3 Cho hàm số y  Chứng minh rằng, với m làm cho hàm số có cực trị x2 điểm cực trị đồ thị hàm số luôn thuộc đường thẳng cố định 2m BT4 Cho hàm số y  x   x 1 Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số x  mx  2m  BT5 Cho hàm số y  , (1) x2 1) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Tìm quỹ tích điểm cực trị đồ thị hàm số 2) Tìm điểm mà đồ thị hàm số (1) qua với m 1) y'= VIII VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Từ đồ thị (C) hàm số y = f(x) suy đồ thị hàm số: 1) y = - f(x) cách lấy đối xứng qua trục hoành đồ thị (C) 2) y = f(- x) cách lấy đối xứng qua trục tung đồ thị (C) Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 21 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 3) y = f ( x) cách:  Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trục hoành (cả điểm thuộc trục hoành)  Lấy đối xứng qua trục hoành phần (C) nằm phía trục hoành 4) y = f( x ) cách:  Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía bên phải trục tung (cả điểm thuộc trục tung)  Lấy đối xứng qua trục tung phần (C) vừa giữ nguyên 5) y = f(x)  Giữ nguyên đồ thị (C) phần nằm phía trục hoành (cả điểm thuộc trục hoành)  Lấy đối xứng qua trục hoành phần (C) vừa giữ nguyên x2 VD Từ đồ thị (C) hàm số y  , suy đồ thị hàm số đây: x 1 x2 x2 x2 x2 x2 1) y  , 2) y   , 3) y  , 4) y  , 5) y  1 x x 1 x 1 x 1 x 1 Giải: Đặt f ( x)  1) y  x2 Khi đó: x 1 x2 = - f(x) 1 x 2) y   x2 = f(- x) x 1 3) y  x2 = f ( x) x 1 4) y  x2 = f( x ) x 1 5) y = f(x) Ta có đồ thị IX CÁC CÂU HỎI KHÁC Về cặp điểm thuộc hai nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ 2x 1 VD1 Tìm hai nhánh đồ thị hàm số y  cặp điểm có khoảng cách nhỏ x 1 Giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1; y1), N(x2; y2) Gọi I(1; 2) giao điểm hai tiệm cận   x   X 1 2X Qua phép chuyển hệ trục theo OI :  hàm số cho trở thành Y   X y  Y 1 2X 1 2 Y Y X X X 1 Trong hệ trục IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2), Y1  , Y2  Ta xem X1 X2 X1 < X2 > Khi đó:     MN  ( X  X )  (Y1  Y2 )  ( X  X )      ( X  X ) 1  2  X1 X   ( X1 X )     1   4 X X 1     X1 X  4 2 X1 X   ( X1 X )   2 2 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 22 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình  X1   X  X1   X   X   X Dấu đẳng thức xảy     X X    X   X1 X  X X  Suy X2 =1, X1 = - 1, Y2 = 1, Y1 = - Do x2 = 2, x1 = 0, y2 = 3, y1 = Như M( 0; 1), N(2; 3) VD2 Tìm hai nhánh đồ thị hàm số y  x  cặp điểm có khoảng cách nhỏ x 1 Giải: Gọi cặp điểm cần tìm M(x1 ; y1), N(x2; y2) Gọi I(1; 1) giao điểm hai tiệm cận   x   X Qua phép chuyển hệ trục theo OI :  hàm số cho trở thành Y   X   X  y  1 Y YX X 1 Trong hệ trục IXY: M(X1; Y1), N(X2; Y2), Y1  X  , Y2  X  Ta X1 X2 xem X1 < X2 > Khi đó: 2    1    MN  ( X  X )  (Y1  Y2 )  ( X  X )   X   X2    ( X  X ) 1  1    X X X X         2 2 2         2    ( X  X )2      X X       X1 X  X X   X1 X  X X             2X X    22 X1X      X1   X X  X2 X  X2    Dấu đẳng thức xảy   1 2 X X  X X  X X    X    X1   X 1 4    X  , X   , Y2   2, Y2    2 2 X2   1 1  x2   , x1   , y2    2, y1    2 2 1 1      M   ;1    , N 1  ;1    2 2     Bài tập tương tự:  2x BT1 Tìm hai nhánh đồ thị y  cặp điểm có khoảng cách nhỏ 2x  x2  x BT2 Tìm hai nhánh đồ thị y  cặp điểm có khoảng cách nhỏ x 1 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 23 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình Về phương trình đường qua điểm cực trị ax + bx + c 2.1 Cho hàm số y = (am  0, tử không chia hết mẫu) có cực trị mx + n Khi đường thẳng y = (2ax + b) qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số m hàm số cho Thật vậy: Giả sử hàm số đạt cực trị x0 Hiển nhiên y'(x0) = (2ax + b)(mx + n) - m(ax + bx + c) y' = (mx + n) (2ax + b)(mx + n) - m(ax 02 + bx + c)   y '( x0 )  (mx + n)  (2ax + b)(mx + n) - m(ax 02 + bx + c) = ax 20 + bx + c   (2ax + b) mx + n m (2ax + b) m Đẳng thức cuối cho ta suy đpcm  y(x )  2.2 Cho hàm đa thức y = ax3 + bx2 + cx + d ( a  0) có cực trị Nếu phép chia đa thức: ax3 + bx2 + cx + d cho đạo hàm 3ax2 + 2bx + c dư mx + n đường thẳng y = mx + n đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho Thật vậy, giả sử hàm số đạt cực trị x0 Hiển nhiên y'(x0) = Khi từ : ax3 + bx2 + cx + d = (3ax2 + 2bx + c)Q(x) + mx + n suy ra: y(x ) = ax 30 + bx 02 + cx + d = y'(x )Q(x ) + mx + n = mx + n 2.3 Tổng quát: Cho hàm đa thức y = P(x) có cực trị Nếu phép chia đa thức P(x) = P'(x).Q(x) + r(x) đồ thị hàm số y = r(x) qua điểm cực trị đồ thị hàm số y = P(x) cho x - 2x + m + x+m-1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = - 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ A(6; 4) 3) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số cho (2x-2)(x+m-1)- (x -2x+m+2) x  2(m  1) x  3m Giải: 3) y '   (x + m-1)2 (x + m-1)2 VD1 Cho hàm số y = Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 24 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình  x  2(m  1) x  3m  (1) y'   (2) x + m -  Hàm số cho có cực trị phương trình (1) có nghiệm phân biệt thoả (2)  '  (m  1)  3m    m  m   : Thoả m (1- m) +2(m-1)(1-m) - 3m  Giả sử M(x; y) điểm cực trị đồ thị hàm số cho (2x -2 )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) 0 = y' (x + m - 1)2  (2x - )(x + m - 1)- (x - 2x + m + 2) = x - 2x + m +   2x -  y = 2x - x+m-1 Suy ra, đường thẳng y = 2x -2 đường thẳng qua điểm cực trị VD2 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = 2) Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 = có nghiệm phân biệt 3) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) (ĐH&CĐ - A2002) Giải: 3) Cách y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = -3(x - m)2 + y' =  x = m - 1, x = m + Hai điểm cực trị M(m - 1; - m2 + 3m - 2), N(m + 1; - m2 + 3m +2) Đường thẳng MN có phương trình y = 2x - m2 + m Cách Giả sử M(x; y) điểm cực trị đồ thị hàm số cho suy = y' = - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) Ta có y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 = (x/3 - m/3)(- 3x2 + 6mx + - 3m2) + 2x - m2 + m = 2x - m2 + m Suy ra, đường thẳng y = 2x - m + m đường thẳng qua điểm cực trị Bài tập tương tự: BT1 Cho hàm số y = x3 + mx2 + 3mx + Tìm tất giá trị m để hàm số có cực trị Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho x2 - x + m + BT2 Cho hàm số y = (1) x-m 1) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị 2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 3) Tìm qỷ tích điểm cực trị đồ thị hàm số (1) BT3 Trong tập mục VII từ BT2 đến BT5 viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số Về điểm cực trị phải thoả mãn số điều kiện x - mx + m VD1 Cho hàm số y = , (m  0) (1) x-m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = - Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 25 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời cực trị trái dấu x - 2mx + m - m HD 2) y' = (x - m)2 Hàm số có cực trị khi phương trình y' = có nghiệm phân biệt  m > Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - 2mx + m2 + m = Các cực trị tương ứng y1 = 2x1 - m, y2 = 2x2 - m Ta phải có y1 y2 = (2x1 - m)(2x2 - m) < x - m x + 2m  5m + VD2 Cho hàm số y = , (1) x 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(1; 0) 2) Tìm tất giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời điểm cực trị thuộc khoảng (0; 2m) VD3 Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + 2m + m4 1) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu 2) Viết phương trình parabol điểm cực trị đồ thị hàm số cho 3) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số đỉnh tam giác HD 1) y' = 4x3 - 4mx = 4x(x2 - m) Thấy hàm số có cực đại cực tiểu khi m > x 2) x4 - 2mx2 + 2m + m4 = (4x3 - 4mx) - mx2 + 2m + m4 Suy parabol qua điểm cực trị y = - mx2 + 2m + m4 3) Ba điểm cực trị hàm số - m , 0, m Khi ba điểm cực trị đồ thị: B(- m ; m4 - m2 + 2m), A(0; m4 + 2m) , C( m ; m4 - m2 + 2m) Do tính chất đối xứng đồ thị nên thấy tam giác ABC cân đỉnh A Cần đủ để tam giác ABC  ABC = 600  hệ số góc (AB) m2 y  yA     m 33  B xB  xA m f(x) f(x)=x ^4 -4 x^2+5 A B -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 -8 VD4 Cho hàm số y = 2x3 + ax2 -12x - 13 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 26 C x Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1) Tìm tất giá trị a để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số cách trục tung Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số a =3 Giải: 1) y' = 6x2 + 2ax - 12 (1) Thấy phương trình y' = có nghiệm phân biệt với a Suy hàm số luôn có hai cực trị Gọi x1, x2 điểm cực trị hàm số Khi x1, x2 nghiệm (1) Các điểm cực trị đồ thị hàm số cách trục tung  x1 + x2 =  a = Bạn tự viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x + mx - m + VD5 Cho hàm số y = x- 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số m = - 2) Viết phương trình parabol qua điểm cực đại, cực tiểu (C) tiếp xúc đường thẳng 2x - y - 10 = 3) Trong trường hợp tổng quát, xác định m để cực đại cực tiểu đồ thị hàm số hai phía đường thẳng 9x - 7y - = Giải: 2) Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5) Giả sử parabol y = ax2 + bx + c (a  0), (P) (1) 16a  4b  c  4a  4b  c  5 M(4; 7) N(-2; - 5) thuộc (P)    (2) 4a  2b  c  5  2a  b  ax  bx  c  x  10 (3) Đường thẳng 2x - y - 10 = tiếp xúc parabol  hệ sau có nghiệm  (4) 2ax  b  Từ (2) (4) suy x = thay vào (3) ta có a + b + c = - Từ suy a = 1, b = 0, c = - Cách Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5) Giả sử parabol y = ax2 + bx + c (a  0), (P) (1) 16a  4b  c  4a  4b  c  5 M(4; 7) N(-2; - 5) thuộc (P)    (2) 4a  2b  c  5  2a  b  Đường thẳng 2x - y - 10 = tiếp xúc parabol  pt sau có nghiệm kép: ax  bx  c  x  10 (3)  (b - 2)2 - 4a(c + 10) = Cách Hai điểm cực trị (C) M(4; 7) N(-2; - 5) Parabol qua M, N có pt dạng : y = a(x - 4)(x + 2) + bx + c (a  0), (P) x + mx - m + (2x + m)(x - 1) - (x + mx - m + 8) x  x  3) y =   y' = x- (x - 1)2 (x - 1)2 y' =  x2 - 2x - = Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - 2x - = Các cực trị tương ứng y1 = 2x1 + m, y2 = 2x2 + m Ta phải có (9x1 - 7y1 - 1)(9x2 - 7y2 - 1) <  (- 5x1 - 7m - 1)(- 5x2 - 7m - 1) <  25x1 x2 + 5(7m + 1)(x1 + x2 ) + (7m + 1)2 <  25(- 8) + 10(7m + 1) + (7m + 1)2 <  49m2 + 84m - 189 <  7m2 + 12m - 27 <  - < m < 9/7 mx + 2mx + m + VD6 Cho hàm số y = , (C) x-1 1) Tìm m để (C) có tiệm cận đứng lẫn tiệm cận xiên Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 27 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm m để (C) có cực đại cực tiểu nằm góc phần tư thứ góc phần tư thứ ba mặt phẳng Oxy 3) Tìm m để (C) cắt Ox hai điểm phân biệt Tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm 4m  Giải: 1) Ta có y = mx + 3m + x 1 Để có tiệm cận đứng 4m +  Để có tiệm cận xiên 4m +  m  Suy m  - 1/4 m  mx  2mx  3m  2) y' = ( x  1)2 mx  2mx  3m   (1) y'   (2) x -  Hàm số cho có cực trị phương trình (1) có nghiệm phân biệt thoả (2) m      '  m  3m   m    m  4m    Gọi x1, x2 điểm cực trị Khi x1, x2 nghiệm phương trình: mx2 - 2mx - 3m - = Các cực trị tương ứng y1 = 2mx1 + 2m, y2 = 2mx2 + 2m Để ý hai điểm cực trị đồ thị nằm hai phía đường thẳng x = Điểm cực tiểu M đồ thị nằm phía điểm cực đại N đồ thị i) Với m < - 1/4 : N nằm bên phải đường thẳng x = nên thuộc góc phần tư thứ ba Nhưng M thuộc vào góc phần tư thứ ba N thuộc góc phần tư thứ Vậy m < - 1/4 không thoả ii) m > 0: M nằm bên phải đường thẳng x = thể thuộc góc phần tư thứ ba Suy M thuộc góc phần thư thứ nhất, N thuộc góc phần tư thứ ba (Để ý với x1 < < x2 M(x2 ; y2), N(x1 ; y1)) (3)  y2  4m  m  (4) với x1     x1  m y  (5)  (3) hiển nhiên khio m > (4) hiển nhiên (1) có hai nghiệm trái dấu m >  4m  m  (5)  y1  2m 1    2m  4m  4m  m < hiển nhiên m >   m   Tóm lại: m > thoả điều kiện toán mx + (2 - m )x - 2m - VD7 Cho hàm số y = , (1) x-m 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 Từ suy đồ thị hàm số - x2 - x + y= -x+1 Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 28 Hàm số đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm m để (1) có cực trị Chứng minh với m vừa tìm được, đồ thị hàm số (1) luôn tìm hai điểm mà tiếp tuyến đồ thị hai điểm vuông góc 1 HD 2) Hàm số y = mx + , y' = m + xm ( x  m) m < hàm số có cực trị Trên đồ thị hàm số (1) luôn tìm hai điểm mà tiếp tuyến đồ thị hai điểm vuông góc hai phương trình sau đồng thời có nghiệm: m k (1) ( x  m) 1 m  (2) ( x  m) k = k - m Phương trình có nghiệm khi k > m (1)  (x - m)2 1 =- m Phương trình có nghiệm khi: (2)  (x - m) k 1 + km - -m>0  m  Để ý với m < 0, hệ  luôn có nghiệm k k <  k > - m Vậy, hai phương trình (1) (2) đồng thời có nghiệm Hàm số đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 29 [...]... các điểm cực trị của đồ thị hàm số 3 Về các điểm cực trị phải thoả mãn một số điều kiện nào đó x 2 - mx + m VD1 Cho hàm số y = , (m  0) (1) x-m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = - 1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 25 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số (1) có cực trị đồng thời... x 1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 23 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2 Về phương trình đường đi qua các điểm cực trị ax 2 + bx + c 2.1 Cho hàm số y = (am  0, tử không chia hết mẫu) có cực trị mx + n Khi đó đường thẳng y = 1 (2ax + b) đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số của m hàm số đã cho Thật vậy: Giả sử rằng hàm số đạt... (2 - m 2 )x - 2m - 1 VD7 Cho hàm số y = , (1) x-m 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1 Từ đó suy ra đồ thị hàm số - x2 - x + 1 y= -x+1 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 28 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Tìm m để (1) có cực trị Chứng minh rằng với m vừa tìm được, trên đồ thị hàm số (1) luôn luôn tìm được hai... thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho (2x-2)(x+m-1)- (x 2 -2x+m+2) x 2  2(m  1) x  3m Giải: 3) y '   (x + m-1)2 (x + m-1)2 VD1 Cho hàm số y = Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 24 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình  x 2  2(m  1) x  3m  0 (1) y' 0   (2) x + m - 1  0 Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương... quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số x 2  mx  2m  4 BT5 Cho hàm số y  , (1) x2 1) Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số 2) Tìm những điểm mà đồ thị hàm số (1) đi qua với mọi m 1) y'= VIII VẤN ĐỀ SUY ĐỒ THỊ Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x) suy ra đồ thị hàm số: 1) y = - f(x) bằng cách lấy đối... x 2  2mx  1 BT2 Cho hàm số y  2x 1 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm quỹ tích các điểm cực trị của đồ thị hàm số x2  4 x  m BT3 Cho hàm số y  Chứng minh rằng, với mọi m làm cho hàm số có cực trị thì x2 các điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định 2m BT4 Cho hàm số y  2 x  1  x 1 Tìm tất cả các giá trị m để hàm số đã cho có cực trị Tìm... ABC đều là  ABC = 600  hệ số góc của (AB) bằng 3 m2 y  yA  3   3  m 33  B xB  xA m f(x) f(x)=x ^4 -4 x^2+5 8 6 A 4 2 B -8 -6 -4 -2 2 -2 -4 -6 -8 VD4 Cho hàm số y = 2x3 + ax2 -12x - 13 Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 26 C x 4 6 8 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1) Tìm tất cả các giá trị a để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng... tổng và tích của x1, x2 Áp dụng Viet Ta có các giá trị cần tìm của m VD2 Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 17 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 2) Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3 - 3x2 + 1 - m = 0 Giải: 1) Bạn hãy tự giải 2) pt  x3... 1 Tiếp tuyến của đồ thị 1.1 Tiếp tuyến tại M0(x0; y0) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến tại M0(x0; y0)  (C) là: y = f '(x0)( x - x0) + f(x0) Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 11 Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 1.2 Tiếp tuyến đi qua M0(x0; y0) Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Gọi d đường thẳng đi qua M0(x0;... nghiệm kép với mọi m VD4 Cho hàm số y =  Phương trình x2 + (2m - a + 1)x + m2 - 1 - b = 0 có nghiệm kép với mọi m Hàm số và đồ thị - Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình 19 x Hàm số và đồ thị- Trần Xuân Bang - GV Toán THPT Chuyên Quảng Bình   = (2m - a + 1)2 - 4(m2 - 1 - b) = 0 , mọi m  4(1 - a)m + (1 - a)2 + 4(1 + b) = 0 , mọi m  a = 1, b = - 1 BT5 Cho hàm số y = x4 + 2x2 - 3 1) Khảo