Chuyên đề 34 nón trụ cầu vd vdc hướng dẫn giải

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT CHUYÊN ĐỀ 34: THỂ TÍCH – DIỆN TÍCH XUNG QUANH – DIỆN TÍCH TỒN PHẦN CỦA KHỐI NÓN – TRỤ – CẦU – VD – VDC KIẾN THỨC CẦN NHỚ: MẶT NÓN Các yếu tố mặt nón:  Đường cao: h SO ( SO gọi trục hình nón)  Bán kính đáy: S l h l A r l O B M Hình thành: Quay  vng SOM quanh trục SO , ta mặt nón hình bên với:  h SO   r OM MẶT TRỤ r OA OB OM  Đường sinh: l SA SB SM   Góc đỉnh: ASB  Thiết diện qua trục: SAB cân S  Góc đường sinh mặt đáy: quanh đường trung bình OO , ta có mặt trụ hình bên  Chu vi đáy: p 2 r  Diện tích đáy: Sđ  r 1 V  h.Sđ  h. r 3  Thể tích:  Diện tích xung quanh: S xq  rl  Diện tích tồn phần: Stp S xq  Sđ  rl   r    SAO SBO SMO Các yếu tố mặt trụ: Một số công thức: p 2 r  Đường cao: h OO  Chu vi đáy:  Đường sinh: l  AD BC S  r  Diện tích đáy: đ  Thể tích khối trụ: Ta có: l h  Bán kính đáy: Hình thành: Quay hình chữ nhật ABCD Một số công thức: V h.Sđ h. r r OA OB OC OD  Diện tích xung quanh:  Trục đường thẳng qua S xq 2 r.h hai điểm O, O  Diện tích tồn phần:  Thiết diện qua trục: Là hình chữ nhật ABCD Stp = Sxq + 2Sđ = 2pr.h + 2pr Page 35 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MẶT CẦU Một số cơng thức:  Tâm I , bán kính R IA IB IM  Đường kính AB 2 R  Thiết diện qua tâm mặt cầu: Là đường tròn tâm I , bán kính R Hình thành: Quay đường tròn R AB quanh tâm I , bán kính trục AB , ta có mặt cầu hình vẽ  Diện tích mặt cầu: S 4 R 4 R V  Thể tích khối cầu: 800 Câu 48_TK2023 Cho khối nón có đỉnh S , chiều cao thể tích Gọi A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho AB 12 , khoảng cách SAB  từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng  24 A B C D 24 Lời giải Chọn C Gọi O , R tâm bán kính đáy khối nón, K , H hình chiếu O lên AB , SK Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đáy đến SAB  mặt phẳng  OH 800 3V 100  R 10 V   R h  R    h  Ta có:  AB  2 OK  OB  BK  R     10  8   Trong tam giác vuông OBK có: 1 1  2     OH 4 2 SO OK 8 Trong tam giác vng SOK có: OH Page 36 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Câu 1: Cho hình nón trục  N  N cắt có đường sinh tạo với đáy góc 60 Mặt phẳng qua  N thiết diện tam giác có bán kính đường trịn nội  N  tiếp Thể tích V khối nón giới hạn A V 72 3 B V 24 D V 24 3 C V 72 Lời giải  N Gọi a độ dài đường sinh hình nón  N cắt hình nón theo thiết diện D ABC Do đường sinh tạo với đáy góc 60 nên D ABC tam giác Vì D ABC có bán kính đường trịn nội tiếp nên ta có Mặt phẳng qua trục hình nón a2 3a = Û a = 4 Suy đường cao bán kính hình nón SDABC = pr Û h= a 3 a = =6 r = =2 2 ; Suy thể tích khối nón giới hạn hình nón  N 1 V = p.r 2.h = p.12.6 = 24p 3 Câu 2: Cắt khối nón  N mặt phẳng qua đỉnh tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 60 ta thiết diện tam giác vuông cân cạnh huyền 2a Thể tích khối nón  N  3 a 24 A 3 a 72 B 3 a C Lời giải D 3 a 72 Page 37 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Giả sử khối nón cân SAB  N có đỉnh S , tâm đáy O thiết diện giác vuông SI  AB a, SB SA a  Gọi I trung điểm AB , SIO 60 , a 3a a 2 SO SI sin 60  , OB  SB  SO  2a   Ta có Vậy 1  a  a 3 a V   OB SO      3   24 Câu 3: Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , chiều cao h 3 Mặt phẳng ( P) qua đỉnh S cắt hình nón ( N ) theo thiết diện tam giác Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng ( P) ( N ) A 27 B 81 Thể tích khối nón giới hạn hình nón C 12 Lời giải D 36 Giả sử tam giác SAB hình vẽ Gọi I trung điểm AB Trong OH  SI  1  OH  SI H tam giác vuông kẻ OI  AB  AB   SOI   OH  AB    AB  SO  Mà Page 38 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Từ ta có OH   SAB   d  O,  SAB   OH 1    OI 3 2 h OI Tam giác SOI vuông O nên ta có OH Tam giác SOB vng O nên ta có SO  OB SB  SO  OB 4 IB  SO  OB 4  OB  OI   OB 27 1 V   OB h   27.3 27 3 Gọi V thể tích khối chóp Câu 4: Cho hình nón đỉnh S có đáy hình trịn tâm O Một mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác vng SAB có  SAB  30 Diện diện tích 4a Góc trục SO mặt phẳng tích xung quanh hình nón cho bao nhiêu? A 10 a B 10 a C 10 a Lời giải D 10 a Gọi M trung điểm AB , tam giác OAB cân đỉnh O nên OM  AB AB   SOM  SO  AB suy OK   SAB  Dựng OK  SM theo OK  AB nên   SAB  góc OSM 30 Vậy góc tạo trục SO mặt phẳng SA 4a  SA 2 2a Tam giác vng cân SAB có diện tích 4a suy  AB 4a  SM 2a SO  cos OSM   SO  3a SM Xét tam giác vuông SOM có 2 Ta có OB  SB  SO a Vậy diện tích xung quanh hình nón S xq  rl 2a 10 Câu 5: Cho khối nón có góc đỉnh 120° thể tích pa Diện tích xung quanh khối nón cho A 3pa B 3pa C pa Lời giải D 3pa Page 39 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT · · · Theo giả thiết ASB = 120°Þ ASO = BSO = 60° Gọi bán kính đáy hình nón r , chiều cao h, đường sinh l r Þ h = SO = OB.tan 30°= · Vì D SOB vng O có OSB = 60° 1 r V = pr h = pr 3 Thể tích khối nón: Û pa = pr 3 Þ r = a 2 Þ h = a l = h + r = 2a Diện tích xung quanh khối nón: S = prl = 2p 3a Câu 6: Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , chiều cao h 3 Mặt phẳng ( P) qua đỉnh S cắt hình nón ( N ) theo thiết diện tam giác Khoảng cách từ tâm đáy hình nón đến mặt phẳng ( P ) ( N ) A 27 B 81 Thể tích khối nón giới hạn hình nón C 12 Lời giải D 36 Page 40 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Giả sử tam giác SAB hình vẽ Gọi I trung điểm AB Trong OH  SI  1  OH  SI H tam giác vuông kẻ OI  AB  AB   SOI   OH  AB    AB  SO  Mà Từ ta có OH   SAB   d  O,  SAB   OH 1    OI 3 2 h OI Tam giác SOI vng O nên ta có OH Tam giác SOB vuông O nên ta có   SO  OB SB  SO  OB 4 IB  SO  OB 4 OB  OI  OB 27 1 V   OB h   27.3 27 3 Gọi V thể tích khối chóp Câu 7: Cho hình nón đỉnh S , A B hai điểm thuộc đường tròn đáy cho a   khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAO 30 , SAB 60 Độ dài đường sinh hình nón theo a  SAB  A a B a C 2a Lời giải D a Gọi H trung điểm AB , K hình chiếu O lên SH Vì tam giác OAB cân O  OH  AB AB   SOI   OK  AB Mà AB  SO OK   SAB  Mặt khác, theo cách vẽ OK  SH nên Vậy d  O;  SAB   OK  a 3  SAO 300  SO SA.sin 300  SA Theo giả thiết Page 41 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT  SH  SA SAB 600  SAB Mà 1 OH SH  SO  SA2  SA2  SA2 4 Xét tam giác vuông SOH vuông O :  OH  Mà SA OK SH SO.OH  a 3 SA  SA SA  SA a 2 SO 3  cm  , Câu 8: Cho hình nón trịn xoay đỉnh S có chiều cao bán kính đáy r 5  cm  Một thiết diện qua đỉnh hình nón có khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng chứa thiết diện A S 15  cm  B 2,  cm  Tính diện tích thiết diện 35 S   cm  S 20  cm  C D S 30  cm  Lời giải S K A O I B Thiết diện qua đỉnh tam giác cân SAB Kẻ OI  AB, OK  SI  1 Ta có AB  OI , AB  SO  AB   SOI   AB  OK   Từ suy OK   SAB   d  O,  SAB   OK Theo ta có AO r 5; SO h 3; OK 2, 1  2  OI 4  cm  OI OS Lại có OK Vì tam giác SAB cân nên I trung điểm AB suy AB 2 AI 2 52  42 6  cm  ; SI  SO  OI 5  cm   S SAB  6.5 15  cm  Câu 9: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn a   đáy cho khoảng cách từ O đến SAO 30 , SAB 60 Độ dài đường sinh hình nón theo a  SAB  A a B a C 2a D a Lời giải Page 42 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT S H O B K A Gọi K trung điểm AB ta có OK  AB tam giác OAB cân O AB   SOK    SOK    SAB    SOK    SAB  SK Mà SO  AB nên mà nên từ O dựng OH  SK OH   SAB   OH d  O,  SAB   SO SA  sin SAO   SO  SA Xét tam giác SAO ta có: Xét tam giác SAB ta có:  sin SAB  SK SA  SK  SA 1 1     2 2 OK OS SK  SO SO Xét tam giác SOK ta có: OH 1     2 2 2 SA 3SA SA OH SA SA    SA 2a  SA a  SA a 4 Câu 10: Một gia đình dự định làm bể lọc nước có dạng hình nón có bán kính đáy r đường sinh m Phần lắp đậy bể làm tôn với giá thành 0,5 triệu đồng m phần thành bể làm thép không rỉ với giá triệu đồng m Để phù hợp với thiết kế nhà cần dung tích bể nước lớn nhất, chi phí để thi cơng bể triệu đồng? A 3p + 3p B 3p + p C p + 3p Lời giải D 3p + 6p 1 V = pr h = pr - r 3 Thể tích bể nước: ỉ ç2r - r f ( r ) = pr - r Þ f Â( r ) = p.ỗ ỗ ỗ ố Xét hàm số ér =- ê êr = Û r ê ÷ ÷ =0 ê ÷ ÷ ê 9- r2 ø ër = Page 43 Sưu tầm biên soạn TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT Vậy dung tích bể lớn Vậy chi phí làm bể Phần lắp đậy bể: Phần thành bể: T1 = 0,5.pr = 3p T2 = 2.prl = 6p 3p + 6p Vậy tổng chi phí thi cơng Câu 11: r= Cho hình nón đỉnh S , góc đỉnh 120 , bán kính đáy R 3a  P qua đỉnh S cắt nón theo thiết diện tam giác Khi diện tích thiết diện lớn Smax , tính góc  thiết diện mặt đáy? Mặt phẳng o A 30 o B 45 C 60 Lời giải o D tan  2 *) Gọi thiết diện qua đỉnh hình chóp SAB với M trung điểm AB o o   Vì góc đỉnh 120 nên OSB 60  SBO 30 Xét SOB : SO OB.tan 30o 3a 3 3a Đặt OM  x Với  x  3a 2 2 Xét SOM : SM  SO  OM  9a  x 2 2 Xét BOM : BM  OB  OM  27 a  x 2 Vậy AB 2 BM 2 27a  x 1 S SAB  AB.SM  27 a  x 9a  x  2 *)  S SAB  2  27a  x   9a  x  27 a  x  9a  x 18a 2  S max 18a Dấu xảy khi: 27a  x 9a  x  x 9a  x 3a OM  AB   SAB  *) Ta có  SM  AB nên góc  mặt đáy SMO  Page 44 Sưu tầm biên soạn