14 tích phân suy rộng phần 2

TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 2 Điểm kỳ dị Cho f(x) xác định trên [a, b] \ {x0} Nếu ta nói x0 là điểm kỳ dị của f trên [a, b] Tích phân suy rộng loại[.]

TÍCH PHÂN SUY RỘNG (phần 2) TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI Điểm kỳ dị: Cho f(x) xác định [a, b] \ {x0} Nếu lim f ( x )  x  x0 ta nói x0 điểm kỳ dị f [a, b] Tích phân suy rộng loại b a f ( x )dx với f có điểm kỳ dị [a, b] Định nghĩa Cho f(x) khả tích [a, b – ], với >0 đủ nhỏ, kỳ dị b b  b a f ( x )dx lim   0 a Nếu f kỳ dị a b f ( x )dx b f ( x )dx a f ( x )dx lim   0 a  Nếu giới hạn hữu hạn: Ngược lại: phân kỳ b a f ( x )dx hội tụ Nếu f kỳ dị a b b c b a f ( x )dx a f ( x )dx  c f ( x )dx Nếu f kỳ dị x0  (a, b) b x0 a f ( x )dx a b f ( x )dx   f ( x )dx x0 (vế trái hội tụ  vế phải hội tụ) Công thức Newton-Leibnitz Cho f(x) khả tích [a, b – ], với  > đủ nhỏ, kỳ dị b, F(x) nguyên hàm f(x) b a f ( x )dx F (b)  F (a) Với F (b)  lim F ( x ) x  b Lưu ý: pp đổi biến số phần dùng xác định Ví dụ dx 0 1 x ln x 0 x dx arcsin x kỳ dị x = ln x.d ln x    2 ln x    Vậy phân kỳ Ví dụ ln x 0 x f kỳ dị x = dx 2 x ln x  12 0 0  x  x x dx Ví dụ  1/ dx I   1/ x x  f kỳ dị x = 1/2 t 2 x   2tdt 2dx 1/ dt tdt I    2 0 t 1 t 1 t 1/ 1/  t1     dt ln  t 1  t  t 1  1/ 2   1 ln    1  TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho f(x), g(x) khơng âm khả tích [a, b - ], >0, kỳ dị b Nếu f ( x ) kg ( x ), x , a  x  b b a g ( x )dx b  f ( x )dx a hội tụ b a f ( x )dx phân kỳ b hội tụ a g ( x )dx phân kỳ TÍCH PHÂN HÀM KHÔNG ÂM Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho f(x), g(x) tiêu chuẩn so sánh Đặt f (x) k  lim x  b g ( x ) b (giới hạn điểm kỳ dị) b • k   a f ( x )dx , a g ( x )dx b b •k=0 •k= a g ( x )dx b hội tụ  phân kỳ  g ( x ) dx  a Cùng hội tụ phân kỳ a f ( x )dx b hội tụ phân kỳ f ( x ) dx  a Tích phân b dx dx I  , J   a ( x  a) a (b  x ) b Hội tụ  < kỳ dị b kỳ dị a  ln   ln(b  a) b  dx   ( )      a   (b  x )        (b  a)      Sự hội tụ tuyệt đối (hàm có dấu tùy ý) Cho f(x) khả tích [a, b - ],   0, hội tụ b a f hội tụ Khi ta nói b a f b a f hội tụ tuyệt đối • Sự hội tụ tuyệt đối hội tụ tích phân |f| • Hội tụ tuyệt đối  hội tụ Ví dụ x Khảo sát hội tụ: I  dx sin x f kỳ dị x = x x f ( X )    sin x x x Chọn g ( x )  ( x  0)1/  1/ ( x  0) Chọn g ( x )  ( x  0)1/ f (x) x x x  0     g ( x ) sin x  I chất với nên hội tụ dx g ( x )dx  0 ( x  0)1/2   Ví dụ Khảo sát hội tụ:  /2 I  dx sin x cos x f(x) ≥0, kỳ dị /2 0, tách I thành  /3 I   /2 dx dx  sin x cos x  /3 sin x cos x I1 I2 Xét I1: f kỳ dị x = 1  f (x)   , x  sin x cos x x Chọn g ( x )  x f (x) x x  0     g (x) sin x cos x  I1 chất với  g ( x )dx  nên hội tụ Xét I2: f kỳ dị x = /2 1 f (x)   ,    sin x cos x sin x sin   x  2     x    x Chọn g (x)    x Chọn g ( x )  1   x   2      x x f (x) 1   g (x) sin x cos x  I2 chất với  g ( x )dx  /3  I1 hội tụ, I2 phân kỳ  I hội tụ nên pkỳ Ví dụ  dx I  Khảo sát hội tụ: x Tổng qt I khơng phải tích phân suy rộng loại 1 dx  dx I   I1 hội tụ   1 I2 hội tụ   1 x x  I1  I2  I phân kỳ với  Ví dụ Khảo sát hội tụ I  0 x 3/  1 ex  x dx f kỳ dị x = 0, tách I thành tích phân:  I   x 3/  x e 1 x dx  I1 (do x = định)  1   x 3/  x e 1 x dx I2 (do x = + định)