6 tích phân suy rộng

TÍCH PHÂN SUY RỘNG Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại R Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x > a khả tích đoạn [a, b] RKhi [a, +∞) xác b định hàm số Φ(b) = a f (x)dx Giới hạn Z b I = lim Φ(b) = lim f (x)dx b→+∞ b→+∞ a gọi tích phân suy rộng loại hàm số +∞ R f (x) [a, +∞) ký hiệu f (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại R Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim Rb b→+∞ a f (x)dx tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I khơng tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vô hạn gới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Chú ý Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A 6= x→+∞ f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) +∞ R tích phân suy rộng f (x)dx phân kỳ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Rb Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x b khả tích đoạn [a, b] RKhi (−∞, b] xác b định hàm số Ψ(a) = a f (x)dx Giới hạn Z b I = lim Ψ(a) = lim f (x)dx a→−∞ a→−∞ a gọi tích phân suy rộng loại hàm số Rb f (x) (−∞, b] ký hiệu f (x)dx −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Rb Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim Rb a→−∞ a f (x)dx tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ (−∞, b], giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = b, trục Ox đồ thị hàm f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại R +∞ Định nghĩa tích phân −∞ Định nghĩa Nếu hàm số f (x) xác định R khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại hàm f (x) (−∞, +∞) xác định Z +∞ Z c Z +∞ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx −∞ −∞ c Tích phân suy rộng gọi hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ không phụ thuộc lẫn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 Tích phân suy rộng loại Cơng thức Newton-Leibnitz Cơng thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) [a, +∞) khả tích đoạn [a, b] Tích +∞ R phân suy rộng loại f (x)dx hội tụ a tồn giới hạn hữu hạn lim F (b) = F (+∞) Khi b→+∞ Z a +∞ f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|+∞ a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 10 / 64 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = a, x = b trục Ox đồ thị hàm f (x), x = b tiệm cận đứng hàm số f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 47 / 64 R Định nghĩa dạng ab f (x)dx (a, b] Tích phân suy rộng loại Cho hàm số f (x) xác định nửa khoảng (a, b] không bị chặn x → a Giả sử f (x) khả tích đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] Khi (a, b] Z b Ψ(ξ) = f (x)dx ξ Định nghĩa Giới hạn hàm số Ψ(ξ) ξ → a+ gọi tích phân suy rộng loại (a, b] Z b Z b f (x)dx = lim Ψ(ξ) = lim f (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ξ→a+ TÍCH PHÂN SUY RỘNG ξ→a+ ξ TP HCM — 2013 48 / 64 Tích phân suy rộng loại R Định nghĩa dạng ab f (x)dx (a, b] Định nghĩa Nếu giới hạn lim Ψ(ξ) = lim ξ→a+ ξ→a+ Rb ξ f (x)dx tồn hữu hạn tích phân suy rộng loại hội tụ, giới hạn ∞ khơng tồn tích phân suy rộng loại phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 49 / 64 Tích phân suy rộng loại Ý nghĩa hình học Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) > 0, ∀x ∈ (a, b], giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = a, x = b trục Ox đồ thị hàm f (x), x = a tiệm cận đứng hàm số f (x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 50 / 64 Tích phân suy rộng loại R Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn Nếu hàm số f (x) không bị chặn x → c, với c ∈ (a, b) tích phân suy rộng Z b Z c Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a TÍCH PHÂN SUY RỘNG c TP HCM — 2013 51 / 64 Tích phân suy rộng loại R Định nghĩa tích phân ab f (x)dx, c ∈ [a, b] điểm gián đoạn Định nghĩa Tích phân suy rộng tích phân Rb a c R f (x)dx gọi hội tụ f (x)dx a Rb f (x)dx hội c tụ không phụ thuộc lẫn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 52 / 64 Tích phân suy rộng loại Cơng thức Newton-Leibnitz Cơng thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) không bị chặn x → b − có nguyên hàm F (x) đoạn Rb [a, η] ⊂ [a, b) Tích phân suy rộng loại f (x)dx a hội tụ tồn giới hạn hữu hạn lim F (η) = F (b − 0) Khi η→b − Z a b − f (x)dx = F (b − 0) − F (a) = F (x)|ba TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 53 / 64 Tích phân suy rộng loại Công thức Newton-Leibnitz Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) không bị chặn x → a+ có nguyên hàm F (x) đoạn Rb [ξ, b] ⊂ (a, b] Tích phân suy rộng loại f (x)dx a hội tụ tồn giới hạn hữu hạn lim F (ξ) = F (a + 0) Khi ξ→a+ b Z a f (x)dx = F (b) − F (a + 0) = F (x)|ba+ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 54 / 64 Tích phân suy rộng loại Công thức Newton-Leibnitz Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) không bị chặn x → c có nguyên hàm F (x) đoạn [a, c] nguyên hàm G (x) đoạn (c, b] f (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, c) [ξ, b] ⊂ (c, b] Ngoài ra, tồn giới hạn hữu hạn lim F (η) = F (c − 0) η→c − lim G (ξ) = G (c + 0) Khi ξ→c + Z b f (x)dx = F (c − 0) − F (a) + G (b) − G (c + 0) a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 55 / 64 Tích phân suy rộng loại Ví dụ Ví dụ R1 dx Tính tích phân I = x Ta thấy lim = +∞ nên x = điểm kỳ dị x→0+ x I = ln |x||10 = ln − lim ln |a| = +∞ a→0+ Như vậy, tích phân I phân kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 56 / 64 Tích phân suy rộng loại Ví dụ Ví dụ R1 arccos x dx Tính tích phân I = √ 1−x −1 arccos x Ta thấy lim √ = +∞ nên x = −1 điểm kỳ x→−1+ − x2 arccos x = dị Còn x = lim √ x→1− − x2 Z 1 I =− arccos xd(arccos x) = − (arccos2 x) −1 −1 π2 = − (arccos2 − lim arccos2 x) = a→−1+ 2 Như vậy, tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 57 / 64 Tích phân suy rộng loại Ví dụ Ví dụ Tính tích phân I = Rb a Z I = lim ε→0 a = b−ε dx , (a < b) (b − x)α dx −α+1