7 ứng dụng của tích phân

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 1/1 Tính diện tích miền phẳng Cơng thức tính diện tích miền phẳng Định lý Cho f (x) khả tích [a, b] Khi diện tích miền phẳng giới hạn y = f (x), x = a, x = b, trục Ox Z b |f (x)|dx S= a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 2/1 Tính diện tích miền phẳng Cơng thức tính diện tích miền phẳng Định lý Nếu miền phẳng D giới hạn y = f (x), y = g (x), x = a, x = b Z b S= |f (x) − g (x)|dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 3/1 Tính diện tích miền phẳng TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) Cơng thức tính diện tích miền phẳng ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 4/1 Tính diện tích miền phẳng Cơng thức tính diện tích miền phẳng Tính yếu tố diện tích dS Lấy tổng suy rộng dS Chia [a, b] thành n đoạn phân hoạch a = x0 < x1 < < xi−1 < xi < < xn = b Yếu tố diện tích Si = [f (ξi ) − g (ξi )].∆xi Diện tích hình phẳng S = lim n→∞ n X n X Si = lim [f (ξi ) − g (ξi )].∆xi n→∞ i=1 Z b = i=1 b [f (x) − g (x)]dx dS = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Z a ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 5/1 Tính diện tích miền phẳng Ví dụ Ví dụ Tính diện tích hình phẳng, giới hạn y = 4x − x trục Ox Phương trình hồnh độ giao điểm y = 4x − x trục Ox  x =0 4x − x = ⇔ x =4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 6/1 Tính diện tích miền phẳng Z S= Ví dụ  4 32 (4x − x 2)dx = 2x − x = 3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 7/1 Tính diện tích miền phẳng Ví dụ Tìm diện tích hình phẳng giới hạn y = (x − 1)2 y2 x2 − =1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 8/1 Tính diện tích miền phẳng Ví dụ Phương trình hồnh độ giao điểm parabol hyperbol (x − 1)4 x − = ⇔ x − 4x + 4x − 4x + =  x =1 ⇔ (x − 1)(x − 3)(x + 1) = ⇔ x =3 R3 p S = [ 2(x − 1) − (x − 1)2]dx = √ √ 3  3 2 √ = x x − + ln |x + x − 1 − (x − 1)3 = √ √ 10 = + ln(3 + 8) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 9/1 Tính diện tích miền phẳng Bài tập Bài Tính diện tích miền√phẳng giới hạn y = x − x 2, y = x − x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 10 / Thể tích vật thể trịn xoay Ví dụ Ví dụ Tính thể tích vật thể trịn xoay, quay hình phẳng giới hạn y = x 2, x = 1, x = 2, y = quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 17 / Thể tích vật thể trịn xoay Ví dụ Cách Z V = 2π 2 Z x.x 2dx = x.f (x)dx = 2π 1  = 2π  x = 15π Cách 2 Z V = π.2 − π.1 − π √ ( y )2dy =  = 15π − π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM)  y = ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 15π TP HCM — 2013 18 / Thể tích vật thể trịn xoay Bài tập Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x 2, y = 0, x + y = quanh trục Ox Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = ln x, y = 0, x = 1, x = quanh trục Ox ĐS Vx = 2π ln2 − 4π ln + 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 19 / Thể tích vật thể trịn xoay Bài tập Bài Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên quay miền phẳng giới hạn y = x + arctan x, y = x − arctan x, x = 0, x = quanh trục Ox ĐS Vx = π − 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 20 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Định lý c có phương trình y = f (x), Cho cung AB c a x b Khi độ dài cung AB Z bp + f 02(x)dx L= a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 21 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Chia đoạn [a, b] điểm A = M0, M1, , Mi−1, Mi , , Mn = B Độ dài cung Mi−1Mi p Li = (xi − xi−1)2 + (yi − yi−1)2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 22 / Tính độ dài cung Cơng thức tính độ dài cung Theo định lý Lagrange, ta có yi − yi−1 = f 0(ξi )(xi − xi−1) = f 0(ξi ).∆xi , c ξ ∈ (xi−1, xi ) Khi độ dài cung AB L = lim n→∞ n X Li = lim n→∞ i=1 n p X + (f 0(ξi ))2∆xi = i=1 b Z p + f 02(x)dx = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 23 / Tính độ dài cung Ví dụ Ví dụ x ln x − , x Tính độ dài cung y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 24 / Tính độ dài cung Ta có f 0(x) = y = x − Ví dụ 4x s  2 Z 3r 1 dx = + dx L= 1+ x − x2 + 4x 16x 1  3 Z 4x + x 1 = dx = − ln |x| = + ln 4x 4 1 Z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 25 / Tính độ dài cung Bài tập Bài x3 25 Tính độ dài cung y = + , x ĐS 12 x Bài 1 Tính độ dài cung y = ln(1 − x 2), − x 2 ĐS ln − TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 26 / Tính diện tích mặt trịn xoay Cơng thức tính diện tích mặt trịn xoay Định lý Diện tích mặt trịn xoay tạo quay cung trịn y = f (x), a x b quanh trục Ox Z b p S = 2π |f (x)| + f 02(x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 27 / Tính diện tích mặt trịn xoay Cơng thức tính diện tích mặt trịn xoay Yếu tố diện tích p dS = 2π|f (x)|d ` = 2π|f (x)| + f 02(x)dx Diện tích mặt tròn xoay Z b Z b p S= dS = 2π |f (x)| + f 02(x)dx a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 28 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ Ví dụ Tính diện tích bề mặt trịn xoay tạo quay π cung y = sin 2x, x quanh trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 29 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ y = cos 2x Khi Z π/2 √ S = 2π sin 2x + cos2 2xdx Đặt t = cos 2x ⇒ dt = −4 sin 2xdx ⇒ x π2 sin 2xdx = − dt, t −2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TP HCM — 2013 30 / Tính diện tích mặt trịn xoay Ví dụ Vậy Z −2 √ S = 2π  + t2 π = Z √  − dt = + t 2dt = −2 √ π t√ = + t + ln(t + + t 2) 2 √ π √ = [2 + ln(2 + 5)]  TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 = −2 TP HCM — 2013 31 /