5 tích phân bất định

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Bài giảng điện tử TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email ytkadai@hcmut edu vn TP HCM[.]

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Bài giảng điện tử TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2013 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Bài toán thực tế Bài toán điều tra dân số Theo mơ hình điều tra dân số tăng trưởng dân số giới, tốc độ tăng trưởng dân số giới từ năm 1950 p(t) = −0, 012.t + 48.t − 47925, với t năm theo lịch, p(t) (triệu người/năm) Theo kết điều tra dân số năm 2000 tổng dân số 6000 triệu người Hãy tìm hàm tổng dân số P(t) theo năm Từ hàm tổng dân số P(t) dự đoán dân số giới năm 2050 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Bài tốn thực tế P(t) hàm ngược lại đạo hàm (nguyên hàm) - antiderivative t3 t2 P(t) = −0, 012 + 48 − 47925.t + C Để tìm C ta thay t = 2000 P(2000) = 6000 Khi ta thu C = 31856000 P(t) = −0, 004.t + 24.t − 47925.t + 31856000 Thay t = 2050 ta dự đoán tổng dân số năm 2050 P(2050) = 9250 triệu người TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Nguyên hàm Định nghĩa Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X , F (x) liên tục khả vi X với ∀x ∈ X ln có đẳng thức F 0(x) = f (x), dF (x) = f (x)dx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Nguyên hàm Định lý Nếu hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R hàm số Φ(x) = F (x) + C , với C số, nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R Ngược lại, hàm số F (x) Φ(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R tồn số C ∈ R cho Φ(x) = F (x) + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định Định nghĩa Cho hàm số F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R, biểu thức Φ(x) = F (x) + C , với C số bất kỳ, gọi tích phân bất định hàm số f (x) khoảng X R Tích phân bất định kí hiệu f (x)dx RNhư tích phân bất định f (x) f (x)dx = F (x) + C , với F (x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X , C số TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định Bảng R cơng thức tích phân bất định R 0dx = C 1.dx = x + C R µ+1 x µdx = xµ+1 + C , µ 6= −1 R R dxx = ln |x| + C x R ax dx = lna a + C , a > 0, a 6= R e x dx = e x + C √dx = arcsin x + C , x 6= ±1 R dx1−x 1+x = arctan x + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định R Rsin xdx = − cos x + C 10 R cos xdx = sin x + C 11 R cosdx2 x = tan x + C 12 R sindx2 x = − cot x + C 13 R sinh xdx = cosh x + C 13 R cosh xdx = sinh x + C dx 14 cosh = x + C R dx2 x 15 sinh2 x = − coth x + C R x−a 16 x 2dx = ln | + C 2a x+a |√ R −a 17 √ dx2 = ln |x + x ± a2| + C x ±a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định Những tính chất tính phân bất định Từ định nghĩa tích phân bất định ta trực tiếp suy đẳng thức sau: R Rd f (x)dx = f (x)dx dF (x) = F (x) + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 / 66 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định Quy tắc tính tích phân bất định QuyR tắc I Nếu sốRa 6= ln có đẳng thức sau af (x)dx = a f (x)dx Quy tắc II Ln có Rđẳng thức sau R R (f (x) ± g (x))dx = f (x)dx ± g (x)dx Quy tắc III Nếu ta có đẳng thức R f (t)dt = F (t) + C ta ln có đẳng thức R f (ax + b)dx = F (ax + b) + C , (a 6= 0) a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2013 10 / 66