BGDT Toan 1 04 Dham ppt 1 BỘMÔN TOÁN ỨNG DỤNG ĐHBK BGĐT – TOÁN 1 BÀI 7 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC ĐỊNH – SUY RỘNG TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) 2 NỘI DUNG 1 NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2 TÍCH PHÂN HÀM[.]
BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK - BGĐT – TỐN BÀI 7: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH – XÁC ĐỊNH – SUY RỘNG TS NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2006) NỘI DUNG 1- NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 2- TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ 3- TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ 4- TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC 5- T/PHÂN X/ĐỊNH Đ/HÀM T/PHÂN THEO CẬN TRÊN 6- TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI & LOẠI 7- TIÊU CHUẨN SO SÁNH 1, HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI NGUYÊN HÀM - Tích phân bất định: ị f ( x) dx = F ( x) + C Û F ' ( x) = f ( x) Bảng nguyên hàm : Bổ sung hàm lượng giác ngược Hàm số Cơ Tổng quát Lượng giác ngược dx ò x + = arctgx + C dx ò - x = arcsin x + C dx x ò x + a = a arctg a + C dx x ò a - x = arcsin a + C Hyperbolic ò sinh xdx = cosh x + C ò cosh xdx = sinh x + C dx ò cosh x = x + C dx ò sinh x = - coth x + C3 KỸ NĂNG CƠ BẢN - Ø Phương pháp : Biến đổi tổng Ø Kỹ : Đổi biến – Ø Kỹ : Đổi biến – ò f (u ( x)u ' ( x)dx = ò f (u )du Ø Đổi biến 2: Phát x(t) ò f ( x) dx = ò f ( x(t )) x' (t )dt Ø Tích phân phần: v = Phần khó tìm ngun hàm Ø Tích phân hàm hữu tỷ é A1 P( x) B1 B2 Cx + D ù +K+ ú ò Q( x) dx = ò ê x - a + K + ( x - b ) + x + px + q û ( x - b1 ) 1 ë Ø Tích phân hàm vô tỷ (căn thức) + Lượng giác PHÂN THỨC HỮU TỶ BẬC TỬ ³ BẬC MẪU - Phân thức hữu tỷ: P(x)/Q(x), P Q: đa thức Phân thức hữu tỷ thực sự: Bậc P(x) < Bậc Q(x) Bậc P(x) ³ Bậc Q(x): Chia P(x) cho Q(x) ® đa thức thương số h(x), đa thức dư r(x) Þ P(x) = h(x)Q(x) + r(x) Þ P h( x )Q( x ) + r ( x ) dx = òQ = ò Q( x ) r(x) ò h( x )dx + ị Q( x ) dx , bậc r < bậc Q VD: Tính tích phân x3 ị x + dx = é x - x + - ù dx = x x - + x - ln x + + C ò êë ú x + 1û PHÂN THỨC HỮU TỶ NGUYÊN TẮC TỔNG QUÁT - 1/ Phân tích đa thức mẫu số Q thành tích (bậc bậc 2) 2/ Phân tích P/Q ® tổng (thêm bớt, hệ số bất định) dx + x4 - x4 VD: Tính a / ị dx = = ò x +x x (1 + x ) ( x - 1) b/ I = ò dx = ( x + x + 1)( x - 3x + 1) 1- x2 x ò x3 dx + ò + x dx é Ax + B + Cx + D ù dx ò êë x + x + x - 3x + 1úû é 2x + x - ù é u ' v' ù x - 3x + = ò ê- + = ò ê- + ú = ln +C ú ë x + x + x - 3x + 1û ë u v û x + x + Đại số: Mọi đa thức hệ số thực bậc n ln phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc có D < PHÂN TÍCH PHÂN THỨC P(X)/Q(X) ® TỔNG - 1/ Giải Q(x) = Þ Đưa Q(x) tích bậc & bậc (D < 0) Q( x ) = a ( x - a1 ) m1 x + p1 x + q1 ) (x + p2 x + q2 ) K ( x - a ) K (1 442443 1442443 m2 n1 n2 p12 - q1 < p22 - q2 < 2/ Phân tích P(x)/Q(x) thành tổng phân thức bản: Am1 A1 A2 B1 x + C1 B2 x + C2 + +K+ +K+ + +K m1 ( x - a1 ( x - a1 ) x + p1 x + q1 ) g1 ( x ) ( x - a1 ) 14 4244 144444 42444444 m1 thừa số g1 ( x ) 3/ Quy đồng mẫu số; Đồng vế; Giải hệ p/trình tìm Ak … 1/ Tích mẫu số chứa thừa số ® Tổng chứa nhiêu 2/ Mẫu bậc 1® Tử: số Mẫu bậc (lũy thừa k) ® Tử bậc TÍCH PHÂN CÁC PHÂN THỨC CƠ BẢN - Bậc / Bậc 2, mẫu số vô nghiệm: Thêm bớt tạo dạng u’/u mx + n m mb ö 2ax + b ổ = ì + ỗn ÷× 2 ax + bx + c 2a ax + bx + c è 2a ø ax + bx + c Bậc / (Bậc 2)n: Thêm bớt tạo u’/un & Đưa C/(x2 + a2)n mx + n m 2ax + b mb ỉ = ì + ỗn ữì ì r r 2 r a a a ø (ax + bx + c ) (ax + bx + c ) è (x + a ) dx In = ò ( x + a )n x 2n - 1 Từng phần: I n +1 = + × In 2 n 2na ( x + a ) 2n a Lượng giác hóa: x = atgt Þ I n ® ị cos n - t8 dt VÍ DỤ TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ - Đưa tích phân sau phân thức hữu tỷ 2 x + 2) x + 2) ( ( A B C a ò dx Þ = + + 2 x x - ( x - 1)2 x( x - 1) x( x - 1) 2 Þ ( x + ) = A( x - 1) + Bx( x - 1) + Cx x = Þ A = … ; x = Þ C dx 1 A B C Dx + E b ị Þ = = + 2+ + 2 2 x -x x -x x ( x - 1)(x + x + 1) x x x - x + x + c ò (x (x dx + x + 1) + x + 1) = Þ (x + x + 1) [( x + 2) +3 = ??? : Khơng thể phân tích (mẫu: bất khả quy, tử: bậc £ )!!! = ] (t +a ) 3 t= tgu Þ I = K ò cos u TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ- CĂN PHÂN THỨC BẬC - Tích phân chứa bậc n, chứa phân thức bậc ax + b ổ n ax + b n ũ Rỗ x, cx + d ữ dx ị t = cx + d è ø ( ) Đặc biệt: Tích phân ò R x, n ax + b dx Þ t = n ax + b VD: I = ò dx ( x - 1)( x + 1)2 = ò3 x + dx × x -1 x + x t t dt + + Giải: Đổi biến t = Þx= Þ dx = x -1 t -1 t -1 ( ) ax + b s æ n ax + b m ax + b Tng quỏt: ũ Rỗ x, , Lữ dx ị =t cx + d cx + d ø cx + d 10 è LƯỢNG GIÁC – BẬC 1/BẬC – KHAI THÁC u’/u - Trường hợp riêng: A sin x + B cos x + C = u A' sin x + B ' cos x + C ' v u v' Tách thành tổng: u = a + bv + lv' Þ = b + l + a v v v Vài dạng khác: ò sina x cos b xdx ò sin ax cos bx dx Hạ bậc, biến tích ® tổng & phối hợp tính chẵn lẻ: R(- sin x, cos x ) = - R (sin x, cos x) Þ t = cos x R(sin x,- cos x ) = - R (sin x, cos x) Þ t = sin x R(- sin x,- cos x ) = R (sin x, cos x) Þ t = tgx 16 Ý NGHĨA PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN - Bài toán thực tế: Diện tích hình thang cong: y = f(x), x = a … Diện tích hình thang cong » y = f (x) Tổng diện tích hình chữ nhật xấp xỉ f (x )( x1 - x0 ) + f (x1 )D x1 + K 424 x1 - x0 x = a x x1 D x0 x2 x3 Diện tích hình thang cong: lim tổng (Rieman) x=b lim max ( Dxk )®0 Chia nhỏ tốt Þ b n -1 å (1x42-4x3) f (c ) = ò f ( x)dx k =0 k +1 D xk k k a 17 KẾT QUẢ CƠ BẢN - Lặp lại quy trình với nhiều tốn: Thể tích vật thể trịn xoay, độ dài dây cung, cơng lực biến thiên … Þ Khái niệm tích phân xác định, định nghĩa tổng Rieman hàm f(x) đoạn [a, b]: lim max ( Dxk )®0 n -1 å f (x )( x k =0 k k +1 - xk ) = lim max ( Dxk )®0 b n -1 å f (x )Dx = ò f ( x)dx k k =0 k a x x é ù d ê ò f (t ) dt ú = f ( x) Þ ị f (t )dt = F ( x ) + C , F : Nguyên hàm dx ëa a û b Tìm C Þ Cơng thức Newton – Lebnitz: ị a f ( x )dx = [F ( x)]a b 18 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH - Hàm f(x) xác định, bị chặn đoạn [a, b] Phân hoạch: a = x0 < x1 < K < xn = b ; x k Ỵ [xk , xk +1 ] ; d = max xk +1 - xk k Tphân xđịnh: Giới hạn tổng Rieman d ® " cách phân hoạch [a, b], " cách chọn điểm chia xk Î [xk, xk+1]: n -1 b d ®0 k = a lim å ( xk +1 - xk ) f (x k ) = ò f ( x) dx Định lý: Hàm liên tục đoạn khả tớch (Rieman) n -1 VD: lim n đƠ k = n k 19 ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH - Bất đẳng thức tích phân: b b a a f ( x) £ g ( x) " x ẻ [a, b] ị ũ f ( x) dx £ ò g ( x)dx Hay sử dụng: b m £ f ( x) £ M " x Ỵ [a, b] Þ m(b - a ) £ ị f ( x) dx £ M (b - a ) a Định lý giá trị trung bình: Hàm f(x) liên tục [a, b] Þ b b $ x Î [a, b] : ò f ( x)dx = f (x )(b - a ) Û f (x ) = f ( x)dx ò b-aa a 20