Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm vị trí tương đối

CHỦ ĐỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI A KIẾN THỨC CƠ BẢN Vị trí tương đối mặt phẳng: Cho mp (α) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = ( β ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 =  (α)//(β) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = ≠ A2 B2 C2 D2  (α ) ≡ ( β ) ⇔ A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2  (α ) cắt ( β ) A1 B1 B1 C1 A1 C1 ≠ ∨ ≠ ∨ ≠ A2 B2 B2 C2 A2 C2 ⇔ Đặc biệt: (α ) ⊥ ( β ) ⇔ A1 B1 + A2 B2 + A3 B3 = Vị trí tương đối hai đường thẳng: x x0 + a1t =   Cho đường thẳng: d : = y y0 + a2t qua M, có VTCP ad z z + a t = x x0′ + a1′t ′ =   d ' : = y y0 + a2′ t ′ qua N, có VTCP ad '  z z + a ′t ′ = • Cách 1:   [ ad , ad ' ]      [ ad , ad ' ] ≠   ad , MN        a d , a d '  MN      ad , MN  =   d ≡ d'  [ ad , ad ' ] =          ad , MN  ≠  a d , a d '  MN =  a d , a d '  MN ≠       d // d ' d cắt d ' d chéo d ' • Cách 2:  x0 + a1t = x0′ + a1′t ′  Xé hệ phương trình:  y0 + a2t = y0 + a2′ t ′ (*)  z + a t =z + a′t ′   Hệ có nghiệm ⇔ d d ' cắt  Hệ vô nghiệm ⇔ d d ' song song chéo  Hệ vô số nghiệm ⇔ d d ' trùng Lưu ý: Chỉ sử dụng cách cần xác định giao điểm d d ' Trang 1/27  Chú ý:  d  d  d  d   ad = kad ′ song song d ′ ⇔  M ∉ d ′   ad = kad ′ trùng d ′ ⇔ M ∈ d ′   ad không phương ad ′ cắt d ′ ⇔     [ a , a′] MN =    chéo d ′ ⇔ [ ad , ad ′ ] MN ≠ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: x x0 + a1t =  y y0 + a2t mp (α ) : Ax + By + Cz + D = Cho đường thẳng: d : = =  z z0 + a3t x x0 + a1t = =  y y0 + a2t Xé hệ phương trình:  z z0 + a3t =  Ax + By + Cz + D = (1) (2) (*) (3) (4) ⇔ d cắt (α)  (*) có nghiệm  (*) có vơ nghiệm ⇔ d // (α )  (*) vô số nghiệm ⇔ d ⊂ (α ) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu ( S ) : ( x – a) + ( y – b) + ( z – c) 2 = R tâm I ( a; b; c ) bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = • Nếu d ( I , ( P ) ) > R mp ( P ) mặt cầu ( S ) khơng có điểm chung • Nếu d ( I , ( P ) ) = R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) tiếp xúc nhau.Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm • Nếu d ( I , ( P ) ) < R mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình : ( x − a )2 + ( y − b )2 + ( z − c )2 = R2   Ax + By + Cz + D = Trong bán kính đường trịn= r R − d ( I , ( P )) tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu ( S ) lên mặt phẳng ( P ) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R đường thẳng ∆ Để xét vị trí tương đối ∆ ( S ) ta tính d ( I , ∆ ) so sánh với bán kính R  d ( I , ∆ ) > R : ∆ không cắt ( S )  d ( I , ∆ ) =R : ∆ tiếp xúc với ( S ) Trang 2/27 Tiếp điểm J hình chiếu vng góc tâm I lên đường thẳng ∆ AB d +  d ( I , ∆ ) < R : ∆ cắt ( S ) hai điểm phân biệt A, B và= R B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + z + = ; (β ) : x + y − z + = 0; (γ ) : x − y + = Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? B (α ) ⊥ ( β ) A (α ) / /(γ ) Câu D (α ) ⊥ (γ ) C (γ ) ⊥ ( β ) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆1 :  x= + t  + 2t có vec tơ pháp tuyến ∆2 :  y = z = 1− t     B n = (5; −6; −7) C n = (−2;6;7) A = n (5; −6;7) Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt x − y +1 z = =; −3  D n =(−5; −6;7) phẳng ( P ) : x + my + z − = (Q) : nx − y − z + = Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) A m = Câu Trong ; n = −10 không B m = 10 − ;n = gian Oxyz , cho C m = −5; n = hai mặt phẳng D m = 5; n = −3 ( P ) : x − my − z − + m = (Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − = Tìm m để ( P) ≡ (Q) A m = − Câu Trong không B m = gian Oxyz , D m = −4 C m = −1 cho hai mặt phẳng ( P ) : x + my + 2mz − = (Q) : x − y − z − 10 = Tìm m để ( P ) ⊥ (Q) A m = Câu C m = −2 B m = −4 D m = Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : y − = Xét mệnh đề sau: (I) ( P ) / / ( Oxz ) (II) ( P ) ⊥ Oy Khẳng định sau đúng: A.Cả (I) (II) sai C.(I) sai, (II) Câu Trong không gian Oxyz , B.(I) đúng, (II) sai D.Cả (I) (II) cho điểm I (2;6; −3) mặt phẳng : (α ) : x − = ; (β ) : y − = ; (γ ) : z − = A (α ) ⊥ ( β ) Câu B ( β ) //(Oyz ) C (γ )//oz Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x + y − z − =0 x − 12 y − z − Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? = = A d ⊂ ( P ) B d // ( P ) C d cắt ( P ) D (α ) qua I đường thẳng d : D d ⊥ ( P) Trang 3/27 Câu Trong không gian ( P ) : 3x − y + z − =0 Oxyz , cho mặt phẳng đường thẳng  x =−1 + 2t  d :  y= + 4t Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?  z = 3t  A d / / ( P) C d cắt ( P ) B d ⊂ ( P ) D d ⊥ ( P) x= 1+ t  Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng d :  y = + 2t  z= − 3t  Số giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( P ) là: A Vô số B C Khơng có D x − 12 y − z − Câu 11 Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M đường thẳng d : = = mặt phẳng ( P ) : x + y – z – = A ( 0; 2;3) B ( 0;0; −2 ) C ( 0;0; ) Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : D ( 0; −2; −3) x + my − z + m − = đường thẳng  x= + 4t  d :  y = − t Với giá trị m d cắt ( P )  z = + 3t  A m ≠ Câu 13 Trong không B m = −1 gian Oxyz , C m = cho đường thẳng D m ≠ −1  x= − t  d :  y =−3 + t  z = 1+ t  mặt phẳng ( P) : m x − 2my + (6 − 3m) z − = Tìm m để d / /( P)  m =1 A   m = −6 Câu 14 Trong không  m = −1 C   m=6  m = −1 B   m=6 gian Oxyz , cho hai đường D m ∈∅ thẳng x −1 y − z − d:= = x − y +1 z + Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? d ': = = −2 A song song B trùng C cắt D chéo  x = + 2t  x = −2t   Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y= − 2t d ' :  y =−5 + 3t Trong  z =t    z= + t mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A song song B trùng C chéo D cắt x − y z +1 x−7 y−2 z d ' : = = = = −6 −8 −6 12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nói vị trí tương đối hai đường thẳng trên? Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d : Trang 4/27 A song song B trùng C chéo  x =−1 + 12t  x=   Câu 17 Hai đường thẳng d :  y= + 6t d ′ :  y=  z= + 3t  z=   A trùng B song song D cắt + 8t + 4t có vị trí tương đối là: + 2t C chéo D cắt  x =−1 + t x −1 y + z −  Câu 18 Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : = = d ' :  y = −t có vị trí −2  z =−2 + 3t  tương đối là: A trùng B song song C chéo D cắt x −1 y + z − Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = −2  x =−1 + t  d ' :  y = −t cắt Tọa độ giao điểm I d d '  z =−2 + 3t  A I (1; −2; 4) B I (1; 2; 4) C I (−1;0; −2) D I (6;9;1) ; mặt phẳng Câu 20 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z + 17 = ( P) : x − y + z + = Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = B ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn C Mặt phẳng ( P ) khơng cắt mặt cầu ( S ) D Khoảng cách từ tâm ( S ) đến ( P ) Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (α ) : x − y − z + =0 Mặt cầu ( S ) có bán kính A R = B R = R bằng: C R = D R = Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = điểm I (1;0; 2) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là: A ( x − 1) + y + ( z − ) = B ( x + 1) + y + ( z + ) = C ( x + 1) + y + ( z + ) = D ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 2 Phương trình mặt Câu 23 Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + z − = phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) điểm M (1;1;1) là: A x − y + z − = B D x − y + 3z − = − x + y − z + =0 C x − y + z + = 0 , mặt phẳng Câu 24 Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − z − = Giá trị m ( P) : 4x + 3y + m = để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) Trang 5/27  m > 11 A   m < −19 B −19 < m < 11 m > D   m < −12 C −12 < m < ( P ) : x + y + z − 11 = Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;1) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) điểm H , H có tọa độ là: A H (−3; −1; −2) B H (−1; −5;0) C H (1;5;0) ( S ) : ( x − a ) + ( y − ) + ( z − 3) = để ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn ( C ) Câu 26 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Giá trị ( P ) : 2x + y + 2z = A − 17 ≤a≤ 2 B − a D H (3;1; 2) 17 m < B m = m = 2 2 15 C < m < D m ∈  2 Câu 41 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = đường  x= + t  + mt Giá trị m để đường thẳng ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) là: thằng ∆:  y =  z = −2t  15 15 m < B m = m = A m > 2 2 15 C < m < D m ∈  2 đường thẳng Câu 42 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) =  x= + t  ∆:  y = + mt Giá trị m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt là:  z = −2t  A m ∈  C m = 15 m < 2 15 D < m < 2 B m > 15 m = 2 Câu 43 Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B (a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh a CC ′ Giá trị tỉ số để hai mặt phẳng ( A′BD) ( MBD ) vng góc với là: b 1 A B C −1 D Câu 44 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − =0 Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P ) ) đạt 2 GTNN là: 5 7 B  ; ;  3 3 A (1;1;3) Câu 45 Trong không D (1; −2;1) cho mặt phẳng x − y − z + = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ là:  11 14 13   11 14 13   29 26   29 26  A M  − ; ;  B M  ; − ; −  C M  − ; ; −  D M  ; ; −  3 3 3  3 3   3 3 gian 1 1 C  ; − ; −  3 3 Oxyz , x −1 y −1 z + Câu 46 Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: Trang 8/27 20 A ( x + 1) + y + z = 16 C ( x − 1) + y + z = 20 B ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z =  x=2  Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z + = z = 1− t  Tọa độ điểm M ( S ) cho d ( M , d ) đạt GTLN là: A (1; 2; −1) B (2; 2; −1) C (0; 2; −1) D ( −3; −2;1) Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : x – y + z + 15 = 100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm mặt phẳng (α ) mặt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = cắt ( S ) A , B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng ∆ là: x +3 y −3 z +3 x +3 y −3 z +3 A = = B = = 16 11 −10  x =−3 + 5t x +3 y −3 z +3  D = = C  y = 1  z =−3 + 8t  mặt Câu 49 rong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : x – y + z + 15 = 100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm mặt phẳng (α ) cắt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = ( S ) A , B Để độ dài AB nhỏ phương trình đường thẳng ∆ là: x +3 y −3 z +3 x +3 y −3 z +3 B = = A = = 16 11 −10  x =−3 + 5t x +3 y −3 z +3  C  y = D = = 16 − 11 10  z =−3 + 8t  Câu 50 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;0; ) , B ( 3;0; ) mặt cầu x + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 Phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn bán kính nhỏ nhất là: A  4 x − y − z + 17 = C  4 x − y + z − 13 = B  3 x − y + z − = D  3 x + y + z –11 = C ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 8.5 A B A C A D A C A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B D D C A A C A A D II –HƯỚNG DẪN GIẢI Trang 9/27 Câu Trong không gian Oxyz , Cho ba mặt phẳng (α ) : x + y + z + = ; (β ) : x + y − z + = 0; (γ ) : x − y + = Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai ? B (α ) ⊥ ( β ) C (γ ) ⊥ ( β ) A (α ) / /(γ ) Lời giải  (α ) : x + y + z + = có VTPT a = (1;1; )  b (1;1; −1) (β ) : x + y − z + = có VTPT=  c (1; −1;0 ) (γ ) : x − y + = có VTPT =     ( 2; 2; −2 ) ≠ ⇒ (α ) ( γ ) không song song Ta có  a; c=   (α ) ⊥ ( β ) Ta có a.b =⇒  (α ) ⊥ ( γ ) Ta có a.c =⇒  ( β ) ⊥ (γ ) Ta có b.c =⇒ D (α ) ⊥ (γ ) Do chọn đáp án A Câu Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng song song với hai đường thẳng ∆1 :  x= + t  + 2t có vec tơ pháp tuyến ∆2 :  y = z = 1− t     A = B n = (5; −6; −7) C n = (−2;6;7) n (5; −6;7) Lời giải ∆1 có VTCP u= ( 2; −3; ) , ∆ có VTCP là= u1  D n =(−5; −6;7) (1; 2; −1)    Do ( P ) song song với ∆1 , ∆ nên ( P ) có VTPT n = u1 , u2  = Do chọn đáp án B Câu Trong khơng gian x − y +1 z = =; −3 Oxyz , cho hai mặt phẳng ( −5;6;7 ) ( P ) : x + my + z − = (Q) : nx − y − z + = Tìm m, n để ( P ) / / ( Q ) 3 C m = −5; n = ; n = −10 B m = − ;n = 10 2 Lời giải  ( P ) : x + my + z − = có VTPT a = ( 5; m;1)  (Q) : nx − y − z + = có VTPT b = ( n; −3; −2 ) A m = D m = 5; n = −3 −2m + =     m=   ( P ) // ( Q ) ⇔  a; b  =0 ⇔ n + 10 =0 ⇔  −15 − mn = n = −10  Chọn đáp án A Câu Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P) : x − my − z − + m = (Q) : (m + 3) x + y + (5m + 1) z − = Tìm m để ( P) ≡ (Q) A m = − Lời giải ( P ) ≡ (Q ) ⇔ B m = C m = −1 D m = −4 −m −4 −6 + m  1 = = =  m ≠ −3, −  ⇔ m = −1 m+3 5m + −7  5 Trang 10/27  a ( 3;5; −1) ( P ) : 3x + y − z − =0 có VTPT=  x − 12 y − z − có VTCP b = ( 4;3;1) d: = =  a.b ≠ ⇒ d không song song với ( P ) d ⊄ ( P )     a; b  ≠ ⇒ d không vng góc ( P )   Chọn đáp án A Câu Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 3x − y + z − =0 đường thẳng  x =−1 + 2t  d :  y= + 4t Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?  z = 3t  A d / / ( P) B d ⊂ ( P ) Lời giải  a ( P ) : 3x − y + z − =0 có VTPT = C d cắt ( P ) D d ⊥ ( P) ( 3; −3; )  x =−1 + 2t   d :  y= + 4t có VTCP b = ( 2; 4;3)  z = 3t   a.b =  Ta có  A ( −1;3;3) ∈ d ⇒ d / / ( P )  A∉( P) Chọn đáp án A x= 1+ t  Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = đường thẳng d :  y = + 2t  z= − 3t  Số giao điểm đường thẳng d mặt phẳng ( P ) là: A Vơ số B C Khơng có D Lời giải  ( P ) : x + y + z − =0 có VTPT a = (1;1;1) x= 1+ t   d :  y = + 2t có VTCP= b (1; 2; −3)  z= − 3t   a.b =  Ta có  A (1;1; ) ∈ d ⇒ d ⊂ ( P ) A∈ P  Chọn đáp án A x − 12 y − z − Câu 11 Trong không gian Oxyz , tọa độ giao điểm M đường thẳng d : = = mặt phẳng ( P ) : x + y – z – = A ( 0; 2;3) B ( 0;0; −2 ) C ( 0;0; ) D ( 0; −2; −3) Trang 12/27 Lời giải =  x − 4t = x  y =  y − 3t =  Giải hệ  Vậy chọn đán án A ⇒ z − t = z = −   3 x + y − z =2 t =−3 Câu 12 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + my − z + m − = đường thẳng  x= + 4t  d :  y = − t Với giá trị m d cắt ( P )  z = + 3t  A m ≠ B m = −1 C m = Lời giải  = a có VTPT ( P ) : x + my − 3z + m − = D m ≠ −1 ( 2; m; −3)  x= + 4t   d :  y = − t có VTCP = b ( 4; −1;3)  z = + 3t   d cắt ( P ) ⇔ a.b ≠ ⇔ 2.4 − m + ( −3) ≠ ⇔ m ≠ −1 Chọn đáp án A Câu 13 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  x= − t  d :  y =−3 + t  z = 1+ t  mặt phẳng ( P) : m x − 2my + (6 − 3m) z − = Tìm m để d / /( P)  m =1 A   m = −6  m = −1 C   m=6  m = −1 B   m=6 D m ∈∅ Lời giải  Ta có d qua M (2; −3;1) có VTCP u (−1;1;1)  Và ( P) có VTPT n(m ; −2m;6 − 3m) Để d song song với ( P)     (−1).m − 2m + − 3m =  − m − 5m + = 0  m =1  u ⊥ n  u.n = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔   m = −6 2m − 2.(−3)m + − 3m ≠  2m − m − ≠  M ∉ ( P)  M ∉ ( P) Câu 14 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x −1 y − z − d:= = x − y +1 z + Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? d ': = = −2 A song song B trùng C cắt D chéo Lời giải  d có VTCP u = (2;1; 4) qua M (1;7;3)  d ' có VTCP u=' (3; −2;1) qua M '(6; −1; −2) Từ   ta có    MM ' = (5; −8; −5) và= [u , u '] (9;10;7) ≠ Trang 13/27    Lại có [u , u '].MM ' = Suy d cắt d '  x = + 2t  x = −2t   Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d:  y= − 2t d ' :  y =−5 + 3t Trong  z =t    z= + t mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A song song B trùng C chéo D cắt Lời giải  d có VTCP = u (2; −2;1) qua M (1; 2;0)  d ' có VTCP u ' = (−2;3;1) qua M '(0; −5; 4) Từ     ta có  MM ' =(−1; −7; 4) [u , u '] = (−2;1;6) ≠    Lại có [u , u '].MM=' 19 ≠ Suy d chéo với d ' x − y z +1 x−7 y−2 z d ' : = = = = −6 −8 12 −6 Trong mệnh đề sau, mệnh đề nói vị trí tương đối hai đường thẳng trên? A song song B trùng C chéo D cắt Câu 16 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d : Lời giải  d có VTCP u = (4; −6; −8) qua M (2;0; −1)  d ' có VTCP u ' = (−6;9;12) qua M '(7; 2;0) Từ   ta có    MM ' = (5; 2;1) [u , u '] =    Lại có [u , MM '] ≠ Suy d song song với d '  x=  x =−1 + 12t   Câu 17 Hai đường thẳng d :  y= + 6t d ′ :  y=  z=  z= + 3t   A trùng B song song + 8t + 4t có vị trí tương đối là: + 2t C chéo D cắt Lời giải  d có VTCP u = (12;6;3) qua M (−1; 2;3)  d ' có VTCP u ' = (8; 4; 2) qua M ′(7;6;5) Từ   ta có MM ' = (8; 4; 2)       Suy [u , MM ']=0 [u , u '] = Suy d trùng với d '  x =−1 + t x −1 y + z −  Câu 18 Trong không gian Oxyz , hai đường thẳng d : = = d ' :  y = −t có vị trí −2  z =−2 + 3t  tương đối là: A trùng B song song C chéo D cắt Trang 14/27 Lời giải  d có VTCP u = (−2;1;3) qua M (1; −2; 4)  d ' có VTCP u=' (1; −1;3) qua M '(−1;0; −2) Từ   ta có MM ' = (−2; 2; −6)       [u , u '] (6;9;1) ≠ [u , u '].MM ' = = Suy d cắt d ' x −1 y + z − Câu 19 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d : = = −2  x =−1 + t  d ' :  y = −t cắt Tọa độ giao điểm I d d '  z =−2 + 3t  A I (1; −2; 4) B I (1; 2; 4) C I (−1;0; −2) D I (6;9;1) Lời giải −1 + t − −t + −2 + 3t − = = −2 −2 + t −t + −6 + 3t ⇔ = = −2 ⇔t= Từ suy giao điểm I d d ' I (1; −2; 4) ; mặt phẳng Câu 20 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z + 17 = ( P) : x − y + z + = Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = B ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn C Mặt phẳng ( P ) khơng cắt mặt cầu ( S ) D Khoảng cách từ tâm ( S ) đến ( P ) Lời giải 2 có tâm I ( 2; −3; −3) bán kính R = ( S ) : ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = d  I ; ( P )  = − ( −3) + ( −3) + 12 + ( −2 ) + 22 =1 < R = ⇒ ( P ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn Chọn đáp án A Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) có tâm I ( 2;1; −1) tiếp xúc với mặt phẳng (α ) : x − y − z + =0 Mặt cầu ( S ) có bán kính A R = B R = Lời giải ( P)  I ; ( P )  tiếp xúc (= S ) ⇒ R d= R bằng: C R = D R = 2.2 − 2.1 − ( −1) + = 2 22 + ( −2 ) + ( −1) Trang 15/27 Chọn đáp án A Câu 22 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = điểm I (1;0; 2) Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) là: A ( x − 1) + y + ( z − ) = B ( x + 1) + y + ( z + ) = C ( x + 1) + y + ( z + ) = D ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 Lời giải ( P) 2 2.1 − 2.0 − − = 2 2 + ( −2 ) + ( −1) tiếp xúc (= S ) ⇒ R d=  I ; ( P )  ⇒ ( S ) : ( x − 1) + y + ( z − ) = 2 Chọn đáp án A Phương trình mặt Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y + z − = phẳng ( P ) tiếp xúc với ( S ) điểm M (1;1;1) là: A x − y + z − = B D x − y + 3z − = − x + y − z + =0 C x − y + z + = Lời giải  ( P ) tiếp xúc với ( S ) điểm M (1;1;1) ⇒ ( P ) qua M (1;1;1) có VTPT IM với I ( −1; 2; −2 ) tâm mặt cầu ( S )  = ( 2; −1;3) Ta có IM ⇒ ( P ) : x − y + 3z − = Chọn đáp án A , mặt phẳng Câu 24 Trong không gian Oxyz , ho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − z − = Giá trị m ( P) : 4x + 3y + m =  m > 11 A   m < −19 để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) B −19 < m < 11 C −12 < m < m > D   m < −12 Lời giải (S ) : x2 + y + z − x − z − = có tâm I (1;0;1) bán kính R = ( P) cắt mặt cầu ( S ) ⇔ d  I ; ( P )  < R ⇔ 4.1 + 3.0 + m 42 + 32 m < B m = m = 2 2 15 C < m < D m ∈  2 Lời giải Từ phương trình đường thẳng ∆ mặt cầu ( S ) ta có (2 + t − 1) + (1 + mt + 3) + (−2 t − 2) =1 ⇔ (1 + t ) + (4 + m t) + (−2 t − 2) =1 ⇔ ( m + ) t + 2(5 + 4m)t + 20 = (1) 15  m = a ≠ Để ∆ tiếp xúc mặt cầu ( S ) (1) có nghiệm kép, hay (1) có  ⇔ ∆′ =0 m=  Câu 42 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − 2) = đường thẳng  x= + t  ∆:  y = + mt Giá trị m để đường thẳng ∆ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt là:  z = −2t  15 A m ∈  B m > m < 2 15 5 15 C m = m = D < m < 2 2 Lời giải Từ phương trình đường thẳng ∆ mặt cầu ( S ) ta có (2 + t − 1) + (1 + mt + 3) + (−2 t − 2) =1 Trang 22/27 ⇔ (1 + t ) + (4 + m t) + (−2 t − 2) =1 ⇔ ( m + ) t + 2(5 + 4m)t + 20 = (1) Để ∆ cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt, hay (1) có 15 ∆' > ⇔ < m < 2 Câu 43 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD A′B′C ′D′ có điểm A trùng với gốc hệ trục tọa độ, B(a;0;0) , D(0; a;0) , A′(0;0; b) (a > 0, b > 0) Gọi M trung điểm cạnh a CC ′ Giá trị tỉ số để hai mặt phẳng ( A′BD) ( MBD ) vng góc với là: b 1 A B C −1 D Lời giải   b  Ta có AB = DC ⇒ C ( a; a;0 ) ⇒ C ' ( a; a; b ) ⇒ M  a; a;  2  Cách    b   Ta có MB =  0; −a; −  ; BD = ( −a; a;0 ) A = ' B ( a;0; −b ) 2        ab ab  Ta có u  MB = = ; BD   ; ; −a   BD; A ' B  = ( −a ; −a ; −a )  2   Chọn v = (1;1;1) VTPT ( A ' BD )  ab ab a ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇔ u.v = ⇔ + − a = ⇔ a = b ⇒ = 2 b Cách =  A ' B A ' D  A ' X ⊥ BD với X trung điểm BD AB = AD = BC = CD = a⇒ ⇒ =  MB MD  MX ⊥ BD  ⇒ ( A ' BD ) ; ( MBD )  = A ' X ; MX   a a  X  ; ;0  trung điểm BD 2    a a  = A ' X  ; ; −b  2    a a b  MX = − ; − ; −   2 2 ( A ' BD ) ⊥ ( MBD ) ⇒ A ' X ⊥ MX   ⇒ A ' X MX = ( ) 2 a a b ⇒ −   −   + =0 2 2 ⇒ a = b Câu 44 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x + y + z + = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − =0 Giá trị điểm M ( S ) cho d ( M , ( P ) ) đạt GTNN là: A (1;1;3) 2 5 7 B  ; ;  3 3 Trang 23/27 1 1 C  ; − ; −  3 3 D (1; −2;1) Lời giải Ta có: d ( M , ( P)) => R =⇒ ( P) ∩ ( S ) = ∅  x= 1+ t  + 2t , t ∈  Đường thẳng d qua I vng góc với (P) có pt:  y =  z = + 2t  5 7 1 1 Tọa độ giao điểm d (S) là: A  ; ;  , B  ; − ; −  3 3 3 3 Ta có: d ( A, ( P)) = ≥ d ( B, ( P )) = ⇒ d ( A, ( P)) ≥ d ( M , ( P)) ≥ d ( B, ( P)) Vậy: ⇒ d ( M , ( P)) =⇔ M ≡ B Câu 45 Trong cho mặt phẳng x − y − z + = mặt cầu ( S ) : ( x − 3) + ( y + 2) + ( z − 1) = 100 Tọa độ điểm M nằm mặt cầu ( S ) cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P) đạt giá trị nhỏ là:  29 26   11 14 13  A M  − ; ;  B M  ; − ; −  3   3 3  29 26   11 14 13  C M  − ; ; −  D M  ; ; −  3 3  3 3 không gian Oxyz , 2 Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (3; −2;1) Khoảng cách từ I đến mặt phẳng ( P) : d ( I ;( P))= < R nên ( P) cắt ( S ) Khoảng cách từ M thuộc ( S ) đến ( P) lớn ⇒ M ∈ (d ) qua I vng góc với ( P)  x= + 2t  Phương trình (d ) :  y =−2 − 2t z = 1− t  Ta có : M ∈ (d ) ⇒ M (3 + 2t ; −2 − 2t ;1 − t )  10  29 26  t = ⇒ M  ; − ; −    Mà : M ∈ ( S ) ⇒   10  11 14 13  − ⇒ M2  − ; ;  t =  3 3   11 14 13  Thử lại ta thấy : d ( M , ( P )) > d ( M , ( P )) nên M  − ; ;  thỏa yêu cầu toán  3 3 x −1 y −1 z + Câu 46 Trong không gian Oxyz , cho điểm I (1;0;0 ) đường thẳng d : = = Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB là: 20 A ( x + 1) + y + z = 16 C ( x − 1) + y + z = 20 B ( x − 1) + y + z = D ( x − 1) + y + z = Lời giải Trang 24/27  M (1;1; − ) có VTCP u = (1; 2;1) Đường thẳng ( ∆ ) qua =    Ta có MI = ( 0; −1; ) u , MI  = ( 5; −2; −1)   u , MI   Gọi H hình chiếu I (d) = Có: IH d=  ( I , AB ) = u Xét tam giác IAB, có IH= R IH 15 ⇒ R= = 3 20 Vậy phương trình mặt cầu là: ( x + 1) + y + z =  x=2  Câu 47 Trong không gian Oxyz , cho d :  y = t mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z + = z = 1− t  Tọa độ điểm M ( S ) cho d ( M , d ) đạt GTLN là: A (1; 2; −1) B (2; 2; −1) C (0; 2; −1) D ( −3; −2;1) Lời giải Ta có: d ( I , d )= 1= R suy (S) tiếp xúc với d tiếp điểm H (2; 2; −1) Gọi H hình chiếu vng góc I d ⇒H(2; 2; -1) x= 1+ t  y , t ∈  Đường thẳng IH có pt: =  z = −1  Tọa độ giao điểm IH (S) là: A(0; 2; −1), B ≡ H (2; 2; −1) Ta có: d ( A, (d )) = AH = ≥ d ( B, ( P)) = BH = ⇒ d ( A, (d )) = ≥ d ( M , (d )) ≥ d ( B, (d )) = Vậy M (0; 2; −1) Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : x – y + z + 15 = 100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm mặt phẳng (α ) mặt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = cắt ( S ) A , B Để độ dài AB lớn phương trình đường thẳng ∆ là: x +3 y −3 z +3 x +3 y −3 z +3 A = = B = = 16 11 −10  x =−3 + 5t x +3 y −3 z +3  C  y = D = = 1  z =−3 + 8t  Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 Do d (I, (α )) < R nên ∆ cắt ( S) A , B Khi AB = R − ( d (I, ∆) ) Do đó, AB lớn d ( I , ( ∆ ) ) nhỏ nên ∆ qua H , với  x= + 2t  H là hình chiếu vuông góc của I lên (α ) Phương trình BH :  y= − 2t  z= + t H ∈ (α ) ⇒ ( + 2t ) − ( – 2t ) + + t + 15 =0 ⇔ t =−2 ⇒ H ( −2; 7; 3)  x +3 y −3 z +3 Do vậy AH = (1; 4;6) là véc tơ chỉ phương của ∆ Phương trình của = = Trang 25/27 Câu 49 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( −3;3; −3) thuộc mặt phẳng (α ) : x – y + z + 15 = 100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm mặt phẳng (α ) mặt cầu ( S ) : (x − 2) + (y − 3) + (z − 5) = cắt ( S ) A , B Để độ dài AB nhỏ phương trình đường thẳng ∆ là: x +3 y −3 z +3 x +3 y −3 z +3 A = = B = = 16 11 −10  x =−3 + 5t x +3 y −3 z +3  D = = C  y = 16 10 −11  z =−3 + 8t  Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2;3;5 ) , bán kính R = 10 Do d (I, (α )) < R nên ∆ cắt ( S) A , B Khi AB = R − ( d (I, ∆) ) Do đó, AB nhỏ d ( I , ( ∆ ) ) lớn nên ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc với AI Do ∆ có véctơ chỉ phương    = u∆  AI= , nα  (16;11; −10) Vậy, phương trình của ∆ : Câu 50 Trong không gian x +3 y −3 z +3 = = 16 11 −10 Oxyz , cho hai điểm A ( 3;0; ) , B ( 3;0; ) mặt cầu x + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 Phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn bán kính nhỏ nhất là: A  4 x − y − z + 17 = C  4 x − y + z − 13 = B  3 x − y + z − = D  3 x + y + z –11 = Lời giải Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; −2;1) , bán kính R = Do= IA (α ) ln cắt ( S ) theo đường trịn ( C ) có bán kính = r 17 < R nên AB cắt ( S) Do ( R − d ( I , (α ) ) ) Đề bán kính r nhỏ ⇔ d ( I , ( P ) ) lớn Mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B và vuông góc với mp ( ABC )   Ta có AB = (1; −1; −1) , AC =(−2; −3; −2) suy ( ABC ) có     AB, AC  = n=   (−1; 4; −5)    (α) có véctơ pháp tuyến nα = n, AB  =(−9 − 6; −3) =−3(3; 2;1) véctơ pháp tuyến ⇔ x + y + z –11 =0 Phương trình (α ) :  ( x – ) + ( y –1) + 1( z – 3) =0   3 Trang 26/27 ... 3;0; ) mặt cầu x + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 Phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn bán kính nhỏ nhất là: A  4 x − y − z + 17 = C  4 x − y +... AB = R − ( d (I, ∆) ) Do đó, AB nhỏ d ( I , ( ∆ ) ) lớn nên ∆ là đường thẳng nằm (α), qua A và vuông góc với AI Do ∆ có véctơ chỉ phương    = u∆  AI= , nα  (16;11; −10)... 3;0; ) mặt cầu x + ( y + 2) + ( z − 1) = 25 Phương trình mặt phẳng (α ) qua hai điểm A , B và cắt mặt cầu ( S ) theo đường trịn bán kính nhỏ nhất là: A  4 x − y − z + 17 = C  4 x − y +