Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Chúng tôi ghi tên dưới đây: Số TT Họ và tên Ngày, tháng, năm sinh Nơi công tác Chức danh Trình độ chuyên môn Tỷ lệ (%) đóng góp 1 Giáo viên Thạc sỹ Toán Học 50% 2 Giáo viên Đại học 50% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “ Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức ” Với những thông tin về sáng kiến cụ thể như sau: 1.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: 2.Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học. 3.Ngày sáng kiến được áp dụng: Áp dụng thử lần đầu ngày 10 tháng 06 năm 2020; áp dụng chính thức lần đầu tiên ngày 01 tháng 16 năm 2021. 4.1.Đối tượng đề nghị công nhận là sáng kiến (loại hình sáng kiến):Giải pháp tác nghiệp 4.2.Mô tả tính mới của sáng kiến: Những năm trước năm 2017 khi đang còn thi tự luận Toán trong các kì thi thì bài toán Số phức là các bài toán tương đối dễ. Nhưng sau này khi bắt đầu thi trắc nghiệm thì các bài toán về Số phức đa dạng và có một phần lạ với cả người dạy và người học nên gây khó khăn trong việc định hướng phương pháp giải. Giáo viên cần tìm ra các phương pháp giải phù hợp, dễ hiểu để giảng dạy cho học sinh để các em có thể tiếp nhận nhanh nhất và vận dụng được vào làm bài toán. Nhất là khi thi trắc nghiệm các em cần định hướng cách làm nhanh chóng để có thể hoàn thành bài làm đúng và nhanh nhất. Ở đây chúng tôi đưa ra phương pháp hiệu quả để dạy một dạng trong các bài toán về Số phức: bài toán về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của mô đun Số phức. Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của modun số phức là một dạng toán vận dụng, vận dụng cao về số phức. Lời giải các bài toán dạng này thường đa dạng nên không có một phương pháp chung giải cho tất cả các bài toán. Tuy nhiên chúng ta có thể phân ra hai loại phương pháp chính là phương pháp hình học và phương pháp đại số. Mỗi phương pháp có một ưu điểm riêng của nó, tuy nhiên với phương pháp đại số học sinh cần nhớ rất nhiều các công thức về bất đẳng thức và các biểu thức đại số. Mặt khác các em còn cần phải biết vận dụng linh hoạt các công thức đó vào các bài toán nên rất khó khăn khi làm bài. Đối với phương pháp hình học mà chúng tôi đưa ra thì khi học sinh nhận ra dạng bài để áp dụng bằng phương pháp trực quan các em có thể nhanh chóng định hướng cách làm và đưa ra kết quả. Do đó chúng tôi lựa chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun số phức ”với mong muốn góp một phần nhỏ hiệu quả trong giảng dạy phần Số phức trong nhà trường cũng như trong việc ôn thi tôt nghiệp THPT nhất là đối với phần vận dụng và vận dụng cao trong đề thi.

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Chúng tơi ghi tên đây: Số TT Họ tên Ngày, tháng, năm sinh Nơi cơng tác Chức danh Trình độ chun mơn Tỷ lệ (%) đóng góp Giáo viên Thạc sỹ Tốn Học 50% Giáo viên Đại học 50% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “ Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức ” Với thông tin sáng kiến cụ thể sau: Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học Ngày sáng kiến áp dụng: Áp dụng thử lần đầu ngày 10 tháng 06 năm 2020; áp dụng thức lần ngày 01 tháng 16 năm 2021 4.1 Đối tượng đề nghị cơng nhận sáng kiến (loại hình sáng kiến):Giải pháp tác nghiệp 4.2 Mơ tả tính sáng kiến: Những năm trước năm 2017 cịn thi tự luận Tốn kì thi toán Số phức toán tương đối dễ Nhưng sau bắt đầu thi trắc nghiệm tốn Số phức đa dạng có phần lạ với người dạy người học nên gây khó khăn việc định hướng phương pháp giải Giáo viên cần tìm phương pháp giải phù hợp, dễ hiểu để giảng dạy cho học sinh để em tiếp nhận nhanh vận dụng vào làm toán Nhất thi trắc nghiệm em cần định hướng cách làm nhanh chóng để hồn thành làm nhanh Ở đưa phương pháp hiệu để dạy dạng tốn Số phức: tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun Số phức Dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ modun số phức dạng toán vận dụng, vận dụng cao số phức Lời giải tốn dạng thường đa dạng nên khơng có phương pháp chung giải cho tất tốn Tuy nhiên phân hai loại phương pháp phương pháp hình học phương pháp đại số Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng nó, nhiên với phương pháp đại số học sinh cần nhớ nhiều công thức bất đẳng thức biểu thức đại số Mặt khác em cần phải biết vận dụng linh hoạt cơng thức vào tốn nên khó khăn làm Đối với phương pháp hình học mà chúng tơi đưa học sinh nhận dạng để áp dụng phương pháp trực quan em nhanh chóng định hướng cách làm đưa kết Do chúng tơi lựa chọn đề tài “ Sử dụng phương pháp hình học tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ môđun số phức ”với mong muốn góp phần nhỏ hiệu giảng dạy phần Số phức nhà trường việc ôn thi tôt nghiệp THPT phần vận dụng vận dụng cao đề thi 4.3 Mô tả bước thực sáng kiến Lý thuyết chung Mô đun số phức z  a  bi kí hiệu z số thực z  a2  b2 Các tính chất bất đẳng thức mô đun số phức: z a2  b2  z.z  z  z  0; z   z  ; z.z '  z z ' z  z '  z  z ' z  z '  z  z ' z  z '  zz' z  z ' zz'  ; z  z z' z'  z '  0 ; zz'zz'z kz '  k  0  k  0 ; z  z '  z  z '  z  kz ' ; zz'  ; zz'  z  z '  z  kz ' zz'  z  kz '  k  0  k  0 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức mặt phẳng phức với z  x  yi z   a  bi  z   c  di đường trung trực đoạn AB với Aa;b; Bc; d  z   a  bi  r đường tròn tâm I zczc 2a r  0 a  c  a;b 0 bán kính r đường Elip có hai tiêu điểm F1 c;0;  z zz   i z  F2 c;0 parabol có phương trình y  x2 CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA P  z  bi VỚI Z LÀ SỐ PHỨC CĨ QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG PARABOL DẠNG TỔNG QUÁT :  zz   i z  z  Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z Tập hợp điểm biểu diễn M parabol có phương trình y  x2 Gọi A(0;b) P=AM *Xét b  AM  AO *Xét b  ta có giá trị nhỏ P=AO P2  x   x  b   x  x  2bx  b2  x   2b 1 x  b2 ) b   P=b 2 Đạt M  O  P  4b 1 2  Đạt M  2b 1 2b 1  ;    ) b> Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn 2(z  z)  i(z  z)2 Giá trị nhỏ z 3i nhiêu? Bài giải: Để thực giải toán này, thực hai bước sau: Bước 1: Chuyển đổi ngơn ngữ tốn số phức sang ngơn ngữ hình học Giả sử z  x  yi,(x, y  ) bao Suy z  x  yi Khi đó: 2(z z)  i(z  z)2  2(2 yi)  4x2i  y  x2 Gọi M (x; y), A(0; 3) điểm biểu diễn số phức z 3i th z  3i  MA ì Bước 2: Sử dụng số kết biết để giải tốn hình học  y  x2 có đỉnh Parabol O(0; 0) có trục đối xứng đường thẳng x  Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng Parabol, nên ta có MA  OA  suy MA nhỏ M  O Vậy Giá trị nhỏ z  3i Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2(z  z)  i(z  z) Giá trị nhỏ nhiêu? Bài giải: Chuyển đổi ngôn ngữ tốn số phức sang ngơn ngữ hình học i bao Giả sử z  x  yi,(x, y  ) Suy z  x  yi Khi đó: 2(z z)  i(z  z)2  2(2 yi)  4x2i 1 i  y  x2 Gọi M (x; y), A(0; ) điểm biểu diễn số phức z th z  i  MA 3 ì Tập hợp điểm M nằm parabol y  x2 có đỉnh O(0; 0) có trục đối xứng đường thẳng x  Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng Parabol, nên ta có MA  OA  suy MA nhỏ M  O 1 3 Vậy Giá trị nhỏ z  i Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn z 4i nhiêu? 2(z  z)  i(z  z) Giá trị nhỏ Bài giải: Để thực giải toán này, thực hai bước sau: Giả sử z  x  yi,(x, y ) bao Suy z  x  yi Khi đó: 2(z z)  i(z  z)2  2(2 yi)  4x2i  y  x2 Gọi M (x; y), A(0; 4) điểm biểu diễn số phức z 4i Tập hợp điểm M nằm parabol y  x2 có đỉnh O(0; 0) có trục đối xứng đường thẳng x  Vậy Giá trị nhỏ z  4i z  4i  MA  4.4 1  215 M    ;27  DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC Z CĨ QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG THẲNG DẠNG TỔNG QUÁT: z a  bi  z c  di Gọi M (x;y) điểm biểu diễn số phức z tập hợp điểm M đường trung trực đoạn AB với Aa;b; Bc; d  Gọi đường trung trực  Các trường hợp tương tự đưa dạng z   a  bi   z   c  di   z  a  bi  a  bi z  c  di  Hoặc iz  a  bi  iz  c  di  z  z  z  b   c  di i z  d  ci Trường hợp 1: TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN z  z NHỎ NHẤT Nếu z0  ta có giá trị nhỏ z đạt M  I với I hình chiếu vng góc O lên AB, z  d O;  Nếu z  x  0 y0i 0 gọi N  x0; y0  Vậy giá trị nhỏ z  z0  MN z  z0 đạt M hình chiếu N  z  z0  d N;    Ví dụ 4: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i Giá trị lớn z bao nhiêu? Bài giải: Chú ý trước giải toán: Nế z  z1  z  z2 u Điểm M biểu diễn số phức, điểm A biểu diễn số phức z1 , điểm B biểu diễn số phức z2 điểm M thuộc đường trung trực AB Theo đề ta có z   4i  z  2i  z (2  4i)  z (0  2i)  A(2; 4), B(0; 2) AB(2; 2)  2(1;1) d:xy40 I (1;3) trung điểm AB Lời giải chi tiết: Đặt z  x  yi, (x,y ) Khi z   4i  z  2i  x  y   (d) Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng d : x  y   Do z  OM nhỏ M hình chiếu d: x  y   Suy M (2; hay z   2i 2) Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị lớn bao nhiêu? Bài giải: ) M (x; y) điểm biểu diễn số phức z Gọi z  x  yi,(x, y  Ta có z  i  z2i  x  ( y 1)i x   ( y 1)i   x2  ( y 1)2  (x  2)2  ( y 1)2  x  y 1  (d) Ta lại có  2i P  (i 1)z   2i  i 1 z i 1 2 z   i  2 z  (3  i) 2 (x  3)2  ( y 1)2 2.MA Pmin  MAmin  2.d(A, d)  M hình chiếu A d 5 M ( ; )  z   i 2 2 P  (i 1)z   2i Trường hợp 2: TÌM SỐ PHỨC Z THỎA MÃN P  z  z  z  z ĐẠT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Gọi H, K điểm biểu diễn số phức z1; z2 P  MH  MK M  HK  Nếu H,K nằm khác phía AB P  HK Nếu H, K nằm phía với AB , gọi K’ điểm đối xứng K qua  P  HK ' M  HK ' Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i  z  3 2i Tìm số phức z thỏa mãn biểu thức P  z 1 i  z 1 đạt giá trị nhỏ 3i Bài giải: Gọi z  x  yi,(x, y )  M (x; y) điểm biểu diễn số phức z A(1;2), B(-3;-2), từ giả thiết ta có MA  MB nên điểm M thuộc đường thẳng trung trực đoạn AB có phương trình: x  y 1  () Gọi H (1;1) K(1;3) điểm biểu diễn số phức 1 i 1 3i Ta có P  MH  MK điểm H , K nằm phía với đường thẳng  Gọi H ' điểm đối xứng với H qua  : x  y 1  Ta có x  y 1  () suy H '(0; 2) Lại có P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu xảy M  H ' K , phương trình đường thẳng 3 H ' K : 5x  y   suy M ( ;  ) z    i 4 Vậy 2 4 Trường hợp 3: TÌM SỐ PHỨC Z THỎA MÃN P  z   zz ĐẠT GIÁ TRỊ z NHỎ NHẤT Gọi H, K điểm biểu diễn số P  MH  MK z ;z phức Gọi I trung điểm HK ta có MH  MK HK HK 2 MI    P  2MI  P đạt giá trị nhỏ MI nhỏ hay M hình chiếu I  Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn P  z   4i  z  2i z 1 3i  z 1 i Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu? Bài giải: Gọi z  x  yi,(x, y )  M (x; y) điểm biểu diễn số phức z A(1;-3), B(0;-2) điểm biểu diễn số phức 1 3i , 1 i Khi z 1 3i  z 1 i  MA  từ giả thiết ta có MA  nên điểm M thuộc đường thẳng MB MB trung trực đoạn AB có phương trình: x  y   () HK 2 Gọi H(2;-4) K( 0;-2)  P  MH  MK  I (1; trung điểm HK) 3) (với Do P  MImin hay M hình chiếu vng góc I  , P m HK  2[d(I, )]2  2 8 Vậy giá trị nhỏ P DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC Z CĨ QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG TRÒN DẠNG TỔNG QUÁT z a  bi  r Gọi M điểm biểu diễn số phức z tập hợp điểm biểu diễn M đường trịn C  có tâm I a;b bán kính r Trường hợp 1: TÌM SỐ PHỨC Z SAO CHO P  Z  Z ĐẠT GIÁ TRỊ NHỎ; GIÁ TRỊ LỚN NHẤT Nếu z  0 Ta có P  OM Gọi A;B hai giao (C) đường thẳng OI Nhìn hình minh họa dễ dàng ta có Giá trị nhỏ P  OA  OI  đạt M  A r Giá trị lớn P  OB  OI r đạt M  B 1 Nếu z  , gọi E điểm biểu diễn z , ta có 0 P  EM Gọi A; B hai giao điểm (C) EI Vậy Giá trị nhỏ P  EA  EI  đạt r MA đạt Giá trị lớn P  EB  EI r MB Ví dụ 8: Cho số phức z thỏa mãn z  3 4i 1 Giá trị lớn z bao nhiêu? Bài giải: Gọi M (x; y), A(3; điểm biểu diễn số phức z  4i Từ giả thiết z  3 4i 1  MI 1 Tập hợp điểm biểu diễ số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn tâm I (3; , bán kính 4) r=1 Mặt khác M giao điểm đường thẳng OM với đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính r=1 18 24 hay M ( ; ) 5 Do max z  OI  r  51 18 24 z  5 i Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa mãn z   i  cho biểu thức P  z   3i T  z1  z2 Bài giải: Gọi z1 z2 hai số phức làm đạt giá trị nhỏ lớn Khi giá trị biểu thức bao nhiêu? Gọi M (x; y), A(2;3) điểm biểu diễn số phức z  3i Từ giả thiết z   i 5  MI 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết đường tròn (x  2)2 ( y  3)2 có I , bán kính r 5 (2;3) tâm  Gọi E(2;3)  P  ME Phương trình đường thẳng IE : x  y   Dựa vào hình vẽ ta thấy P đạt giá trị lớn M  B đạt giá trị nhỏ M  A Với A B giao điểm đường thẳng IE với đường trịn tâm I , bán kính r  (2;3) Giải hệ phương trình  x  2y   B(4;0)  Pmax    (x   ( y  3)2  A(0; 2)  Pmin 5 2)  Do T  z1  z2  3.2  2.4 14 Vậy T =14 Trường hợp 2: TÌM SỐ PHỨC Z SAO CHO P  Z  Z1  Z  Z NHẤT, NHỎ NHẤT Gọi A, B điểm biểu diễn số phức 2 ĐẠT GIÁ TRỊ LỚN z ;z P  MA2  MB2 Gọi C trung điểm AB ta có MA2  MB2  AB2  MC AB  P  2MC2  Gọi E;D hai giao điểm ( C) CI Vậy Giá trị nhỏ P đạt M  E Giá trị lớn P đạt M  D Ví dụ 10: Cho số phức z thỏa mãn z(i 1) 1 i  P  z 3 i  z 15i 2 Giá trị lớn biểu thức bao nhiêu? Bài giải: Ta có z(i 1) 1 i 2  i 1 z 1   z 1 1 Gọi z  x  yi,(x, y  ) M (x; y) điểm biểu diễn số phức z , điểm M nằm đường tròn tâm I (1; 0) bán R 1 kính Đặt A(3; 1), B(1;5)  P  MA2  MB2 Gọi H có(1; 2) trung điểm AB , ta P  2MH  AB2 lớn  MHmax Do MH  MI  IH suy MHmax  M  M2 Ta có IH : 2x  y 1    y 1 2x M1(1; 1) Giải hệ phương trình  (x 1)2  y2 1 suy  MH1    M ( 1 ;3)  5 85 , MH2 5 Vậy giá trị lơn P DẠNG 4: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔ ĐUN SỐ PHỨC Z CĨ QUỸ TÍCH ĐIỂM BIỂU DIỄN LÀ ĐƯỜNG ELIP DẠNG TỔNG QUÁT : zczc 2a a  c  0 Gọi M(x;y) điểm biểu diễn số phức z Tập hợp điểm biểu diễn điểm M đường Elip có hai tiêu điểm F1 c;0; F2 c;0 Độ dài trục lớn 2a; độ dài trục bé 2b Ta có : z  OM Vậy giá trị lớn z  OA1  OA2  a M trùng A1 A2 Vậy giá trị nhỏ z  OB1  OB2  b M trùng B1 B2 Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z   z 3 10 Giá trị nhỏ nhiêu? Bài giải: Phân tích tốn: z   z 3  z (3 0i)  z (3 0i) Điểm M biểu diễn số phức z ,  MA  MB  10 z bao A(3; 0), B(3; 0) biểu diễn số số -3 Gọi O trung điểm AB, MO trung tuyến tam giác ABC z  MOmin Lời giải chi tiết: Cách 1: Gọi F1(3;0), F2 (3;0), F1F2  có trung điểm O(0; 0) Điểm M biểu diễn số phức z MF  MF F F   Theo công thức trung tuyến z  12  2 OM (MF1  MF2 22 10 )   50 Mà  MF2  MF1 2 Đẳng thức xảy MF1   10 MF2  MF  MF  50  36 M (0; 4)  M (0; 4)  z  Cách 2: 4 z 4i z  4i Gọi F (3;0), F (3;0), M (x; y),(x, y ) điểm biểu diễn số phức -3;3 z  Ta có: F1F2   c  Từ giả thiết ta MF1  MF2 tập hợp điểm đường elip có trục có 10, lớn 2a  10  a  , trục bé 2b a2  c2 2 Mặt khác OM  z 8b4 nhỏ z  4i Vậy giá trị nhỏ z 4.3 Khả áp dụng sáng kiến Giải pháp nêu áp dụng Trường THPT Thống Nhất với tham gia 53 lượt học sinh lớp 12 năm học 2020- 2021 Những thơng tin cần bảo mật (nếu có): Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: a) Về phía nhà trường Nhà trường tổ chuyên môn cần tổ chức nhiều chuyên đề để giáo viên mơn có điều kiện học tập đồng nghiệp đưa quan điểm cá nhân, sáng kiến vấn đề có chương trình giảng dạy Xây dựng ngân hàng đề thi đa dạng phong phú câu hỏi để học sinh tiếp cận nhiều dạng toán, kích thích tìm tịi nghiên cứu b) Về phía giáo viên Giáo viên người định hướng, dẫn dắt học sinh tiếp cận với kiến thức mới, phương pháp làm cho phù hợp; vậy, thầy ln người chủ động tìm hiểu xây dựng phương pháp mới, phương pháp phù hợp nhằm thay đổi tư tiếp cận môn học cách thức làm học sinh c) Về phía học sinh Học sinh phải người chủ động tiếp cận với kiến thức mới, phương pháp học làm mang lại hiệu trình học làm thi Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: