(SKKN HAY NHẤT) rèn kỹ năng giải bài toán cực trị môđun số phức bằng ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Phương pháp nghiên cứu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài 1.5 Điểm đề tài NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu 2.1.2 Các phép tốn tập hợp số phức 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Kỹ sử dụng bất đẳng thức giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất bất đẳng thức số phức 2.3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky 2.3.2 Rèn kỹ phương pháp hàm số tìm cực trị mơđun số phức 2.3.3 Rèn kỹ phương pháp hình học Oxy giải tốn cực trị mơđun số phức 2.3.3.1 Áp dụng toán liên quan đến khoảng cách đến đường thăng 2.3.3.2 Các toán liên quan đến phương trình đường trịn 2.3.3.3 Các tốn phương trình elip 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh 2.4.1 Về phía giáo viên KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị + Danh mục SKKN ngành Giáo dục Đào tạo xếp loại + Tài liệu tham khảo + Phụ lục LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Trong năm gần với đổi giáo dục đổi thi cử, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Vì địi hỏi người dạy học phải linh hoạt nắm bắt thông tin kiến thức nhanh, nhạy bén, xác để giải vấn đề đưa đáp án cách xác, nhanh, gọn Việc giảng dạy mơn Tốn giáo viên trang bị cho học sinh kiến thức, rèn luyện cho học sinh kỹ phương pháp tư toán học cụ thể mà cần tạo cho học sinh hứng thú, phương pháp tư tích cực, mạch lạc tối ưu học Qua học sinh áp dụng chúng môn học khác thực tiễn sống Vì người dạy cần có tìm tịi đổi phương pháp thường xun cho phù hợp với nội dung kiến thức nhu cầu người học Nghiên cứu đổi phương pháp giảng dạy nhiệm vụ quan trọng giáo viên luôn quan tâm thực Trong năm qua trường trung học phổ thông coi trọng việc bồi dưỡng nâng cao lực nghiên cứu khoa học cho đội ngũ giáo viên nhà trường thơng qua nhiều hình thức như: Đổi sinh hoạt tổ chuyên môn theo hướng nghiên cứu học, ứng dụng CNTT các dạy; phát động phong trào viết chuyên đề; sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy; nghiên cứu đề tài khoa học sư phạm ứng dụng; tổ chức ngoại khoá, phát động phong trào “mỗi thầy cô gương sáng tự học, tự sáng tạo” Việc nâng cao phương pháp dạy học nghiên cứu khoa học cần thiết thường xuyên giáo viên tất mơn Với mơn tốn có nhiều đơn vị kiến thức giáo viên phải thực tích cực trau dồi, bồi dưỡng kiến thức phương pháp đạt hiệu truyền tải kiến thức cho học sinh Hơn nữa, năm gần đề thi Tốt nghiệp THPT năm thường có câu hỏi vận dụng vận dụng cao số phức Đặc biệt câu hỏi liên quan đến giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) số phức thường câu hỏi khó Vì giáo viên phải tìm tịi, sáng tạo, tìm phương pháp để học sinh giải tốn khó kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm Do đó, nhằm giúp em ơn tập dạng tốn này, Tơi sưu tầm tổng hợp tập GTLN – GTNN liên quan đến số phức phận thành dạng tốn để ơn luyện cho em, giúp em có vốn kiến thức chắn, vững vàng, tự tin làm tốt kì thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Từ tích lũy chun mơn, ơn luyện lớp chất lượng cao, luyện thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia nhiều năm tiếp cận đổi kì thi TN THPT năm 2020- 2021, đúc rút thành đề tài “Rèn kỹ giải tốn cực trị mơđun số phức ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số phương pháp tọa độ mặt phẳng” LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn luyện tư sáng tạo, lực tự học tự nghiên cứu dạy, học mơn tốn phần số phức Rèn luyện kỹ dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ mặt phẳng, phương pháp hàm số giải nhanh toán trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức mức độ vân dụng vận dụng cao 1.3 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu đề thi Tốt nghiệp năm, đề thi thử tự nghiên cứu 1.4 Phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu phương pháp bất đẳng thức, phương pháp toạ độ mặt phẳng phương pháp hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ toán liên quan đến số phức 1.5 Điểm kết nghiên cứu Nghiên cứu phương giải nhanh tốn trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ liên quan số phức Xây dựng hệ thống tập trắc nghiệm mức độ vận dụng vận dụng cao tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Các định nghĩa kí hiệu Số thực, (đơn vị ảo): Số phức: Biểu thức gọi phần ảo Với số phức Với số phức số phức Kí hiệu ) gọi số phức; , biểu thức Số phức Như Với số phức Điểm ( gọi phần gọi môđun gọi số phức liên hợp Xác định điểm gọi biểu diễn hình học số phức mặt phẳng tọa độ Kí hiệu để điểm biểu diễn cho số phức 2.1.2 Các phép toán tập hợp số phức Cho hai số phức Phép cộng: Phép trừ: Phép nhân: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phép chia: với 2.1.3 Một số kí hiệu chuyển từ số phức sang tọa độ Oxy quen thuộc Với Với Với trước tập hợp điểm trực đoạn Với hai số phức khác cho thỏa mãn đường trung , tập hợp điểm đường trịn tâm I bán kính Với số phức z thoả mãn thỏa mãn hệ thức (hoặc ) Tập hợp điểm đường elip 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong trình dạy học cho thấy, đa học sinh nắm vững kiến thức mặt lý thuyết gặp dạng toán vận dụng cao cực trị số phức em lúng túng vận dụng Thực tế cách đổi thi cử việc đưa tốn GTLNGTNN toán vận dụng cao Đặc biệt toán cực trị liên quan đến số phức lại tốn khó nên địi hỏi học sinh ngồi việc thành thạo cơng thức mà cịn phải hiểu phải biết vận dụng kết hợp phương pháp biết để giải toán cách đầy đủ xác Trước thực trạng nói băn khoăn tự đặt câu hỏi làm để giúp học sinh đứng trước tốn giải cách dễ dàng, nhanh gọn xác Dựa tình hình thực tế tơi nghiên cứu, tìm tịi, tích lũy phân loại thành phương pháp giải tốn cực trị liên quan đến mơđun số phức, để học sinh dễ tiếp thu phân dạng, chủ động, tích cực học tập 2.3 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Kỹ sử dụng bất đẳng thức tốn cực trị mơđun số phức 2.3.1.1 Sử dụng tính chất bất đẳng thức số phức Với hai số phức ta ln có dấu xảy ; dấu xảy ; dấu xảy ; dấu xảy ; LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ; Ví dụ 1.1: Cho số phức thỏa mãn: Tổng GTLN, GTNN biểu thức: Phương pháp: Áp dụng BĐT tri tuyệt đối Giải Ta có Mà suy Vậy GTLN , GTNN Ví dụ 1.2 Cho số phức A 1010 Phương pháp + + Nên tổng GTLN với nhỏ thỏa mãn: B 2020 Ghép đẳng thức Áp dụng BĐT tri tuyệt đối Tìm GTNN biểu thức: C 2022 D 2011 (n ngun dương) Giải Ta có Tương tự: Suy Ví dụ 1.3 Cho hai số phức thỏa mãn: biểu thức A Phương pháp + Biến đổi dạng + Lấy môđun hai vế + Áp dụng BĐT Giải Ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đánh giá Đặt Ta Suy Khi đó: Dấu xảy Vậy Ví dụ 1.4 Cho hai số phức thỏa mãn: biểu thức Giá trị nhỏ bằng: A B C.2 Phương pháp + Biến đổi giả thiết tìm + Tìm P theo (x; y) + Áp dụng BĐT: Giải D Ta có suy TH1: TH1: Đặt suy Khi Vậy GTNN Ví dụ 1.5 Cho hai số phức thỏa mãn: Gọi GTLN, NN biểu thức M, m Khi P=M.m bằng: A.4 B C D Phương pháp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Áp dụng BĐT Bất PT Giải Ta có: Do 2.3.1.2 Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxky Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số thực , dấu xảy Với Với số phức ta có , đó: ; Ví dụ 1.6 Xét số phức A B Phương pháp: thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn C D (Câu 46: Đề minh họa 2018) - Tìm mối liên hệ - Sử dụng Áp dụng BĐT Bunhiacopxki tìm GTLN suy Giải Ta có Đặt Khi Áp dụng BĐT Bunhiacopxki LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nên Vậy Ví dụ 1.7: Cho số phức : trị lớn Tính mơđun số số phức biểu thức A Giải đạt giá B Gọi Từ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: Suy Ví dụ 1.8: Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A Phương pháp giải: - Gọi số phức , suy mối liên hệ - Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki theo cách để tìm giá trị lớn Giải: Đặt Mặt khác Đáp án A Ví dụ 1.9: Cho số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn biểu thức A Phương pháp: - Gọi Tìm mối liên hệ - Áp dụng BĐT Bunhiacopxki tìm GTLN P Giải Gọi + Bước nhỏ nhất, lớn MA nhỏ nhất, lớn ( A điểm biểu diễn số phức ) Tức ; Ví dụ 3.5: Cho số phức thỏa mãn Tính giá trị tổ A (Đề thi KSCL lần THPT Triệu Sơn 2) Phương pháp Áp dụng trực tiếp tốn tổng qt Giải Từ điều kiện ta có đường trịn tâm , điểm Suy Vậy Ví dụ 3.6 Xét số phức , A thỏa mãn Tính đạt giá trị lớn C D (Câu 46 - Đề minh họa THPT Quốc gia năm 2018) B Phương pháp - Gọi biểu diễn Suy M thuộc tròn - Gọi , , trung điểm lớn - Giải Đặt Từ hệ thức Đặt lớn , ta , , trung điểm Theo lí thuyết trên, ta thấy lớn Đường thẳng qua có phương trình vng góc với Xét hệ phương trình Chọn điểm Ta (như nói trên) Vậy lớn , Tức , 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ 3.7: Giả sử ảo Biết A hai số số phức B thỏa mãn số , giá trị lớn C D (Đề thi KS lần THPT Quảng Xường 1, 2020-2021) Phương pháp - Gọi A, B biễu diễn cho z1, z2 Tìm M thỏa mãn - Suy P= 3OM suy GTLN P - Giải Gọi , đó: số ảo phần thực: Gọi Xét điểm thuộc đường tròn tâm thỏa mãn trung điểm bán kính Khi đó: suy Gọi Suy thuộc đường trịn tâm Vậy Ví dụ : Xét số phức , A Phương pháp + Gọi , điểm biểu diễn + thuộc đường trịn có tâm Suy ra: , bán kính 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thuộc trục Tìm GTNN T Giải Từ + + suy ra: Ta có: Ta có: Đặt Suy ra: Vì nên Gọi , điểm biểu diễn Suy ra: thuộc đường tròn bán kính + thuộc trục + Từ có tâm , suy ra: (xem hình) Dấu “ ” xảy và Vậy có giá trị nhỏ Ví dụ 3.9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện Giá trị lớn A Phương pháp: Biểu diễn số phức giải tốn tìm GTLN mặt phẳng tọa độ Giải Gọi Xét số phức , có điểm biểu diễn : di chuyển đường elip có tiêu điểm I J, độ dài trục lớn Tìm giá trị lớn của đoạn AM M di chuyển elip Ta có: tức tìm độ dài lớn , 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com điểm A nằm trục lớn elip =>AM đạt độ dài lớn M trùng với B, đỉnh elip nằm trục lớn khác phía A so với điểm I Gọi S trung điểm IJ Độ dài đoạn Mà Vậy 2.3.3.3 Các toán sử dụng phương trình elip Bài tốn Cho số phức z thoả mãn (hoặc ) Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn môđun số phức z Phương pháp + Điều kiện tốn thì: ; + Điều kiện tốn thì: Ví dụ 3.10: Cho số phức nhất, nhỏ thỏa mãn Tính Giải Gọi Gọi giá trị lớn Ta có: Bình phương hai vế hai ta phương trình Nên tập hợp điểm biểu diễn thuộc đường Elíp có tiêu cự khoảng cách OM , Vậy Ví dụ 3.11: Cho số phức biết thỏa mãn Tính có mơđun lớn Giải Gọi 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Từ tập điểm biểu diễn thuộc đường Elíp có tiêu cự khoảng cách OM Ví dụ 3.12: Cho số phức mơđun lớn thỏa mãn Tìm cho có Giải Gọi Từ tập điểm đường Elíp có tiêu cự biểu diễn thuộc , khoảng cách IM với với Ví dụ 3.13: Cho số phức đỉnh Elíp thỏa mãn Tìm mơđun lớn Giải Gọi Từ ta có biểu diễn hai số phức , điểm biểu diễn số phức trung điểm , đó: nên tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường Elíp có tiêu cự , Ví dụ 3.14: Cho số phức trị nhỏ A thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất, giá B 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com B C D (Đề khảo sát lần năm học 2020-2021-THPT Triệu Sơn 2) Giải Gọi Từ ta có hai số phức , , gọi trung điểm điểm biểu diễn đó: diễn biểu diễn nên tập điểm thuộc đường Elíp có tiêu cự Mặt khác , biểu suy A nằm trục lớn phía ngồi Elíp Khi 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Về phía học sinh Những giải pháp kiểm nghiệm qua thực tế dạy học năm học 2018 -2019 lớp 12C2, năm học 2020 -2021 lớp 12B1 lớp mũi nhọn nhà trường Tôi thực ôn tập rèn luyện kĩ giải toán vận dụng cao số phức cho học sinh kết thu khả quan Năng lực học sinh có chuyển biến tích cực qua lần thi KSCL theo định hướng thi THPT Quốc gia 2019 thi tốt nghiệp THPT năm 2021 nhà trường Cụ thể: Thi KSCL Thi KSCL lần Thi KSCL lần Thi KSCL lần Thi KSCL lần Điểm thi THPT quốc gia Qua điều tra tất em học sinh biết cách giải toán vận dụng cao cực trị số phức Các em tự tin thực hành làm đề lớp nhà Tất điều góp phần chuẩn bị tốt kiến thức, kĩ năng, tâm lí cho học sinh bước vào kì thi Tốt nghiệp THPT với kết cao 2.4.2 Về phía giáo viên 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Với tốn cự trị số mơđun số phức Tôi áp dụng giảng dạy, ôn thi Tốt nghiệp THPT cho học sinh giỏi trường THPT Triệu Sơn 2, kết đạt hiệu giáo viên Toán nhà trường đánh giá cao tính khoa học, thiết thực, hiệu đề tài KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Khi giảng dạy chương IV- Giải tích 12 "Số phức " với việc dạy cho học sinh kiến thức số phức, phép toán quen thuộc tập hợp số phức Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kĩ giải toán vận dụng cao cực trị môđun số phức Kĩ giúp cho em làm nhanh, làm tốt thi Tốt nghiệp THPT xét tuyển Đại học Với hình thức thi trắc nghiệm khách quan thời gian thi rút ngắn lại 90 phút mơn Tốn việc phát phương pháp cách giải toán vận dụng cao cách nhanh chóng cần thiết Đề tài giải phần điều kinh nghiệm để thầy giáo dạy Tốn tham khảo nhằm nâng cao chất lượng, hiệu dạy Toán nói chung dạy học phần số phức nói riêng đặc biệt tốn có tính chất vận dụng cao Trong viết, giới thiệu số phương pháp giải toán vận dụng cao cực trị môđun số phức Mong bạn đồng nghiệp góp ý để viết hoàn thiện 3.2 Kiến nghị Đề nghị Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức hội thảo khoa học, hội thảo báo cáo Sáng kiến kinh nghiệm tiểu biểu theo cụm để giáo viên có điều kiện trao đổi học hỏi kinh nghiệm áp dụng dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thi Văn Chung 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI TT Tên đề tài SKKN Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu Chứng minh bất đẳng thức phương pháp hàm số Hướng dẫn học sinh giải số phương trình, hệ phương trình PP hàm số Giải tốn hình học không gian PP tọa độ” Giúp học sinh lớp 10 khắc phục số sai lầm giải tốn bất phương trình” 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Biện pháp xây dựng môi Ngành GD tỉnh trường sư phạm đảm bảo an ninh trật tự, an toàn trường học trường THPT Triệu Sơn Cụ thể số định năm: C 2020 + L o i B n ă m 0 S ố : / Q Đ S G D & Đ T n gày 19/12/2007 với đề tài “Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình chứa ẩn dấu căn” + Loại C năm 2011 - Số: 539/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/10/2011 với đề tài “Chứng minh bất đẳng thức phương pháp hàm số” + Loại C năm 2014 Số: 753/QĐ-SGD&ĐT ngày 03/11/2014 với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải số phương trình, hệ phương trình phương pháp hàm số” + Loại C năm 2017 - Số: 1112/QĐ-SGD&ĐT ngày 18/11/2017 với đề tài “Giải tốn hình học không gian PP tọa độ” + Loại C năm 2019 Quyết định số: 2007/QĐSGDĐT ngày 08 tháng 11 năm 2019 Giám đốc Sở GD&ĐT với đề tài “Giúp học sinh lớp 10 khắc phục số sai lầm giải tốn bất phương trình” + Loại C năm 2020 Quyết định số: 2088/QĐSGDĐT ngày 22 tháng 12 năm 2020 Giám đốc Sở GD&ĐT với đề tài “Biện pháp xây dựng môi trường sư phạm đảm bảo an ninh trật tự, an toàn t r n g [3] Đ ề TÀI LIỆU THAM KHẢ [1] h ọ c t h m ô n t r n g T H P T T r i ệ u S n “ t t h i t o n [2] Đề tham khảo đề thi THPT Quốc gia mơn tốn năm 2018; 2019, 2020, 2021 GDĐT n ă m ; , 2 , 2021 trường THPT nước [4] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [5] Khai thác Internet 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... môn toán phần số phức Rèn luyện kỹ dùng bất đẳng thức, phương pháp tọa độ mặt phẳng, phương pháp hàm số giải nhanh tốn trắc nghiệm tìm giá trị lớn giá trị nhỏ môđun số phức mức độ vân dụng vận dụng. .. ? ?Rèn kỹ giải tốn cực trị mơđun số phức ứng dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số phương pháp tọa độ mặt phẳng? ?? LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1.2 Mục đích nghiên cứu Rèn. .. luanvanchat@agmail.com Xét hàm số: Ta có Ta có: , TH2: Xét hàm số: Ta có Ta có: , 2.3.3 Rèn kỹ phương pháp tọa độ giải toán cực trị môđun số phức 2.3.3.1 Áp dụng toán liên quan khoảng cách đến đường thẳng a) Bài tốn