Lý thuyết và bài tập môn đại số tuyến tính khoa sư phạm đại học An Giang
Trang 1MỤC LỤC Trang: i
Mục lục
1 Định nghĩa định thức 3
1.1 Định thức cấp 2, 3 3
1.2 Định thức cấp n 4
2 Các tính chất của định thức 4
2.1 Tính chất 1 4
2.2 Tính chất 2 5
2.3 Tính chất 3 5
2.4 Tính chất 4 5
2.5 Tính chất 5 6
2.6 Tính chất 6 6
3 Định lý Laplace 7
3.1 Định thức con và phần bù đại số 7
3.2 Định lý Laplace 7
3.3 Tính chất 1 8
3.4 Tính chất 2 8
4 Các ví dụ và áp dụng 8
5 Bài Tập 9
2 Các phương pháp tính định thức cấp n 11 1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác 11
2 Phương pháp qui nạp 12
3 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức 14
4 Phương pháp biểu diển định thức thành tích các định thức 15
Trang 2Trang: ii MỤC LỤC
5 Bài Tập 17
3 Ma trận khả nghịch 19 1 Các khái niệm cơ bản 19
2 Các tính chất 19
3 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 19
3.1 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo nhờ định thức 19
3.2 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách dựa vào các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 21
3.3 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo bằng cách giải hệ phương trình 23
4 Bài Tập 25
4 Hệ phương trình tuyến tính 27 1 Các khái niệm cơ bản 27
1.1 Định nghĩa 27
1.2 Một vài hệ phương trình đặc biệt 28
2 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 28
2.1 Phương pháp Cramer 28
2.2 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) để giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát 30
3 Bài Tập 33
5 Hạng của ma trận 35 1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản 35
1.1 Định nghĩa hạng của ma trận 35
1.2 Các tính chất cơ bản về hạng của ma trận 36
2 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 36
2.1 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp định thức 36
2.2 Ví dụ 37
3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép biến đổi sơ cấp (phương pháp Gauss) 38
3.1 Ma trận bậc thang 38
3.2 Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận 39
Trang 3MỤC LỤC Trang: iii
3.3 Tìm hạng của ma trận bằng phương pháp sử dụng các phép
biến đổi sơ cấp 40
3.4 Ví dụ 41
4 Bài Tập 43
6 Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa 45 1 Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận 45
1.1 Các khái niệm cơ bản 45
1.2 Một số tính chất 46
1.3 Ví dụ 46
2 Chéo hóa ma trận 48
2.1 Ma trận đồng dạng 48
2.2 Chéo hóa ma trận 48
2.3 Cách chéo hóa một ma trận 48
2.4 Ví dụ 49
3 Vectơ riêng, giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính 50
3.1 Các khái niệm cơ bản 50
3.2 Cách tìm giá trị riêng, vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính 50
3.3 Vấn đề tìm cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở là ma trận chéo 51
3.4 Ví dụ 51
4 Bài Tập 54
7 Ma trận lũy linh 57 1 Định nghĩa: 57
2 Một số tính chất: 57
3 Bài Tập 58
8 Đa thức 61 1 Định nghĩa 61
2 Đa thức đối xứng 61
3 Ước và bội 62
3.1 Ước chung lớn nhất: 63
Trang 4Trang: iv MỤC LỤC
3.2 Thuật toán Euclide để tìm UCLN 63
4 Nghiệm của đa thức 63
4.1 Sơ đồ Hoócne: 64
4.2 Định lý liên tục: 64
4.3 Định lý Lagrange: 64
4.4 Định lý Rolle: 64
5 Số lượng nghiệm 64
6 Định lý Viete 65
6.1 Định lý thuận 65
6.2 Định lý đảo 65
7 Công thức nội suy Lagrange 66
8 Khả quy và bất khả quy 66
9 Các chú ý 67
10 Bài Tập 67
II Đáp án và hướng dẫn 71 Chương 1 73
Chương 2 74
Chương 3 81
Chương 4 86
Chương 5 93
Chương 6 98
Chương 8 104
Trang 5Trang: 1
Phần I
Lý thuyết và bài tập
Trang 7a11 a12
a21 a22
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32− a13a22a31− a11a23a32−
a12a21a33(∗)
Công thức khai triển (*) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus như sau :
Trang 8Trang: 4 2 Các tính chất của định thức
Ví dụ 1
+
a00i1 a00i2 a00in
Trang 10
Trang: 6 2 Các tính chất của định thức
Trong đó các dòng còn lại của 3 định thức ở 2 vế là hoàn toàn như nhau và chính
là các dòng còn lại của ma trận A Tất nhiên ta cũng có kết quả tương tự đối vớicột
Ví dụ 5
... data-page="9">
2 Các tính chất định thức Trang: 5
Ví dụ
1
4
7
=
1
2
3
Chú ý : Từ tính chất này, mệnh... class="text_page_counter">Trang 8
Trang: Các tính chất định thức
Ví dụ
1 −2
a11 a12