1 TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Môn học Lý thuyết xác suất và thống kê toán bao gồm 2 phần Lý thuyết xác suất và Thống kê toán • Lý thuyết xác suất + Chương 1 Biến cố và xác suất của bi[.]
TÀI LIỆU LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Mơn học Lý thuyết xác suất thống kê tốn bao gồm phần: Lý thuyết xác suất Thống kê tốn • Lý thuyết xác suất: + Chương 1: Biến cố xác suất biến cố +Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên • Thống kê Tốn +Chương 3: Lý thuyết mẫu toán ước lượng tham số lý thuyết Đại lượng ngẫu nhiên +Chương 4: Kiểm định giả thuyết thống kê Đề thi kết thúc học phần 90 phút giảm tải 60 phút Dưới lý thuyết lời giải số tập phần Biến cố xác suất biến cố thường câu đề Tài liệu dùng để hỗ trợ học tập, không dùng để quay cóp Lý thuyết Biến cố xác suất biến cố Số tổ hợp chập k n phần tử khác (k, n số tự nhiên k ≤ n) Giả sử tập hợp A có n phần tử Mỗi tập hợp gồm n phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho 𝐶𝑛𝑘 = 𝑛! 𝑘! (𝑛 − 𝑘)! Ví dụ: Một lớp có 30 bạn, chọn ngẫu nhiên 10 bạn tập văn nghệ 10 Có 𝐶30 cách chọn Phép thử biến cố - Phép thử: Thực công việc quan sát, thí nghiệm - Biến cố: Là kết phép thử hay kết cục Ví dụ: Tung xúc sắc => thực phép thử Giả sử xuất mặt chấm => biến cố phép thử Giả sử xuất mặt chấm => biến cố phép thử • Các loại biến cố + Biến cố chắn(U): biến cố chắn xảy sau thực phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc => Thực phép thử Gọi U biến cố “ xuất mặt có số chấm nguyên dương nhỏ 7” => biến cố chắn + Biến cố khơng thể có(V): biến cố khơng xảy sau thực phép thử Ví dụ: Tung xúc xắc => Thực phép thử Gọi V biến cố “ xuất mặt có số chấm lớn 7” => biến cố khơng thể có + Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy khơng xảy sau thực phép thử Kí hiệu: A,B,C… A1; A2 ; A3,… Ví dụ: Một bạn sinh viên thi mơn Tốn cao cấp Gọi A biến cố “ bạn sinh viên thi qua môn” Gọi B biến cố “bạn sinh viên thi trượt mơn” A B biến cố ngẫu nhiên, xảy khơng thể xảy sau phép thử Mối quan hệ biến cố a, Tổng biến cố: A1 + A + + A n : biến cố tổng xảy có n biến cố xảy sau phép thử b, Tích biến cố: A1 A2 An : biến cố tích xảy tất biến cố xảy sau phép thử c, Quan hệ xung khắc: biến cố A B gọi xung khắc với chúng không đồng thời xảy sau phép thử AB=V d, Quan hệ đối lập: Biến cố đối biến cố A ký hiệu 𝐴 ̅ A 𝐴 ̅ gọi có biến cố xảy sau phép thử ̅ {𝐴 + 𝐴 = 𝑈 𝐴𝐴 ̅ = 𝑉 Ví dụ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Gọi A biến cố “sinh viên chọn nam ” Gọi B biến cố “sinh viên chọn nữ” A B hai biến cố đối lập e, Hệ đầy đủ biến cố: Các biến cố A1, A2,…,An gọi hệ đầy đủ biến có biến cố xảy sau phép thử Chú ý: biến cố đối lập với lập thành hệ đầy đủ biến cố f, Một số mối quan hệ khác A.A= A A+A=A A + U =U A.U =A A + V =A A.V =V A ( B + C) = AB + AC Quy tắc đối ngẫu Đờ mooc găng: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ A1 + A2 + +An = A̅1 A̅2 … A̅n ̅ ̅ ̅ A̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ A2 An = A1 + A2 + ⋯ + An Xác suất • 𝑚 Xác suất biến cố A P(A)= 𝑛 Trong m trường hợp thuận lợi cho biến cố A n tất trường hợp xảy Ví dụ: Một lớp có 30 bạn có 10 bạn nam 20 bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn Xác suất bạn chọn bạn nữ là: (𝑐ℎọ𝑛 𝑏ạ𝑛 𝑛ữ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 20𝑏 𝑛ữ) 𝐶20 ( 𝑐ℎọ𝑛 𝑏 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡ổ𝑛𝑔 30𝑏) 𝐶30 = • P ( A ) 1 P(U) =1 P(V)= P(𝐴̅) = − 𝑃(𝐴) • Xác suất có điều kiện biến cố A với điều kiện biến cố B xảy P(A/B)= 𝑃(𝐴.𝐵) với P(B)>0 𝑃(𝐵) • Quan hệ độc lập Biến cố A biến cố B gọi độc lập với nếu: P(A/B)=p(A) Biến cố A biến cố B gọi phụ thuộc nếu: P(A/B)≠p(A) P(B/A)≠P(B) • Cơng thức tính xác suất tích 𝑋á𝑐 𝑠𝑢ấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡í𝑐ℎ 𝑐á𝑐 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố TH1: Các biến cố độc lập P(A.B)=P(A).P(B) P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C) TH2: Các biến cố phụ thuộc P(A.B)=P(B).P(A/B)=P(A).P(B/A) P(A.B.C)=P(A).P(B/A).P(C/A.B) • Cơng thức tính xác suất tổng 𝑋á𝑐 𝑠𝑢ấ𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑐á𝑐 𝑏𝑖ế𝑛 𝑐ố TH1: Các biến cố xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) TH2: Các biến cố không xung khắc P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A.B) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Giả sử A1, A2,…,An hệ đầy đủ biến cố B biến cố xảy phép thử Công thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+… + P(An)P(B/An) Công thức Bayes 𝑃(𝐴𝑖 )P(B/𝐴𝑖 ) P(𝐴𝑖 /B)= 𝑃(𝐵) Một số giải mẫu Bài 1: Người ta vận chuyển lô hàng gồm sản phẩm máy 1, sản phẩm máy sản phẩm máy Trong trình vận chuyển khả sản phẩm máy 1, máy 2, máy bị xây xước 1,7% ;1,9% 1,5% Nơi nhận lô hàng lấy sản phẩm để kiểm tra a, Tính xác suất để sản phẩm lấy bị xây xước b, Nếu sản phẩm lấy bị xây xước , hỏi khả sản phẩm máy lớn Bài làm ̅̅̅̅ a,Gọi Ai biến cố “ sản phẩm lấy máy i” i=1,3 A1,A2,A3 hệ đầy đủ biến cố Ta có: P(A1)= 8+5+7 = 20 = 0,4 P(A2)= 20 = 0,25 P(A3)= 20 = 0,35 Gọi B biến cố “để sản phẩm lấy bị xây xước” Ta có P(B/A1)=0,017 P(B/A2)=0,019 P(B/A3)=0,015 Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) =0,4x0,017+0,25x0,019+0,35x0,015= 0,0168 Vậy xác suất để sản phẩm lấy bị xây xước 0,0168 b, Áp dụng công thức Bayes P(A1/B)= 𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴1) 𝑃 (𝐵 ) = P(A2/B)= 𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴2) 𝑃 (𝐵 ) = P(A3/B)= 𝑃 (𝐴1)𝑃(𝐵/𝐴3) 𝑃 (𝐵 ) = 0,4𝑥0,017 0,0168 = 0,4048 0,25𝑥0,019 0,0168 0,35𝑥0,015 0,0168 = 0,2827 = 0,3125 P(A1/B)> P(A2/B)> P(A3/B) Vậy sản phẩm lấy bị xây xước khả sản phẩm máy lớn Bài 2: Người ta vấn khách hàng sản phẩm định đưa thị trường thấy có 50% trả lời Sẽ mua, 36% trả lời Có thể mua 14% trả lời Không mua Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ khách hàng thực mua sản phẩm tương ứng với cách trả lời là: 48%, 21%,1% Gặp ngẫu nhiên khách hàng a, Tính xác suất để khách hàng thực mua sản phẩm b, Biết khách hàng thực mua sản phẩm, khả khách hàng trả lời Sẽ mua Bài làm Gọi A1 biến cố “ khách hàng trả lời Sẽ mua” A2 biến cố “ khách hàng trả lời Có thể mua” A3 biến cố “ khách hàng trả lời Không mua” A1,A2,A3 hệ đầy đủ biến cố Ta có: P(A1)=0,5 P(A2)= 0,36 P(A3)= 0,14 Gọi B biến cố “khách hàng thực mua sản phẩm” Ta có P(B/A1)=0,48 P(B/A2)=0,21 P(B/A3)=0,01 Áp dụng cơng thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) =0,5x0,48+0,36x0,21+0,14x0,01= 0,317 Vậy xác suất để khách hàng thực mua sản phẩm 0,317 b, Áp dụng công thức Bayes P(A1/𝐵̅ )= 𝑃(𝐴1)𝑃(𝐵̅ /𝐴1) 𝑃 (𝐵̅ ) = 𝑃 (𝐴1)[1−𝑃(𝐵/𝐴1)] 1−𝑃(𝐵) = 0,5𝑥(1−0,48) 1−0,317 = 0,3807 Vậy khách hàng thực mua sản phẩm, khả khách hàng trả lời mua 0,3807 Bài 3: Có máy sản xuất loại sản phẩm Khả tạo phẩm máy 1, máy 2, máy 90%, 95% 92% Từ lô hàng gồm sản phẩm máy 1, sản phẩm máy sản phẩm máy 3, người ta lấy sản phẩm để kiểm tra a, Khả sản phẩm kiểm tra phẩm b, Nếu sản phẩm kiểm tra phẩm, tính xác suất để sản phẩm máy sản xuất Bài làm ̅̅̅̅ a,Gọi Ai biến cố “ sản phẩm lấy máy i” i=1,3 A1,A2,A3 hệ đầy đủ biến cố Ta có: P(A1)= 5 = 20 = 0,25 5+7+8 P(A2)= 20 = 0,35 P(A3)= 20 = 0,4 Gọi B biến cố “để sản phẩm kiểm tra phẩm” Ta có P(B/A1)=0,9 P(B/A2)=0,95 P(B/A3)=0,92 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ P(A3)P(B/A3) =0,25x0,9+0,35x0,95+0,4x0,92= 0,9255 Vậy xác suất để sản phẩm lấy bị xây xước 0,9255 b, Áp dụng công thức Bayes P(A3/𝐵̅ )= 𝑃(𝐴3)𝑃( 𝑃 (𝐵̅ ) ̅ 𝐵 ) 𝐴3 = 𝑃 (𝐴3)[1−𝑃( 1−𝑃(𝐵 ) 𝐵 )] 𝐴3 = 0,4𝑥(1−0,92) 1−0,9255 = 0,4295 Vậy sản phẩm lấy kiểm tra khơng phải phẩm, xác suất để để sản phẩm máy sản xuất 0,4295 Bài 4: Năm công ty Minzy Construction tham gia đấu thầu hai dự án Biết khả công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside 80% Nếu cơng ty trúng thầu dự án khả trúng thầu tiếp dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort 90% Ngược lại công ty không trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside khả trúng thầu tiếp dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort 55% a, Tính xác suất cơng ty trúng thầu dự án b, Giả sử công ty trúng thầu dự án Tính xác suất để dự án tổ hợp khách sạn Amanda Resort Bài làm Gọi A1 biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây dựng tổ hợp khách sạn Samention Riverside” A2 biến cố “ công ty trúng thầu dự án xây khu nghỉ dưỡng Amanda Resort” Ta có: P(A1)=0,8 P(A2/A1)=0,9 ̅̅̅1 )=0,55 P(A2/𝐴 Gọi B biến cố “ công ty trúng thầu dự án” ̅̅̅2 + ̅̅̅ B=A1𝐴 𝐴1 A2 ̅̅̅2 + ̅̅̅ P(B)=P(A1𝐴 𝐴1 A2) ̅̅̅2)+P(𝐴 ̅̅̅1 A2) (A1 ̅̅̅̅ = P(A1𝐴 𝐴2 ̅̅̅ 𝐴1 A2= A1 ̅̅̅ 𝐴1 A2 ̅̅̅̅ 𝐴2 = 𝑉 𝑉 = 𝑉) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅ =P(A1)P(𝐴2 /𝐴1 )+P(𝐴1 ).P(A2/𝐴1 ) ̅̅̅1 ) = P(A1)[1-P(𝐴2 /𝐴1 )]+[1-P(𝐴1 )].P(A2/𝐴 =0,8x(1-0,9)+(1-0,8)x0,55=0,19 Vậy xác suất để công ty trúng thầu dự án 0,19 b, Cần tính P(A2/B) P(A2/B)= 𝑃(𝐴2.𝐵) 𝑃(𝐵) ̅̅̅2 + ̅̅̅ ̅̅̅2 A2+𝐴 ̅̅̅1 A2 A2=A1V+𝐴 ̅̅̅1 A2 Ta có A2B=A2(A1𝐴 𝐴1A2)= A1𝐴 ̅̅̅1 A2=̅̅̅ =V+𝐴 𝐴1 A2 ̅̅̅1̅) 𝑃 (𝐴2.𝐵) 𝑃 (̅𝐴̅̅1̅𝐴2) 𝑃 (̅𝐴̅̅1̅).𝑃(𝐴2/𝐴̅1 ) [1−𝑃(𝐴1)].𝑃(𝐴2/𝐴 P(A2/B)= = 𝑃(𝐵 ) = = 𝑃 (𝐵 ) 𝑃 (𝐵 ) 𝑃 (𝐵 ) = (1−0,8)𝑥0,55 0,19 = 0,5789 Bài 5: Có thùng đựng sách, thùng có sách tự nhiên sách xã hội, thùng có sách tự nhiên sách xã hội Trong trình vận chuyển thùng bị rơi sách Sau người ta chuyển số sách từ thùng sang thùng cho số sách thùng a, Tính xác suất để sau chuyển sách từ thùng sang thùng cho số sách thùng số sách tự nhiên số sách xã hội thùng b,Nếu sau chuyển sách từ thùng sang thùng số sách tự nhiên số sách xã hội thùng nhau, khả thùng bị rơi sách xã hội Bài làm ̅̅̅̅ a,Gọi Ai biến cố “thùng rơi i sách tự nhiên” i=0,2 A0,A1,A2 hệ đầy đủ biến cố Ta có P(A0)= P(A1)= P(A0)= 𝐶62 𝐶14 = 𝐶61 𝐶81 𝐶14 𝐶82 𝐶14 15 91 = = 48 91 13 Gọi B biến cố “sau chuyển sách từ thùng sang thùng cho số sách thùng số sách tự nhiên số sách xã hội thùng nhau” Ta có P(B/A0)= P(B/A1)= P(B/A2)= 𝐶41𝐶81 𝐶12 𝐶51𝐶71 𝐶12 𝐶61𝐶61 𝐶12 = = = 16 33 35 66 11 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ P(B)=P(A0)P(B/A0)+ P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2) = ……… Vậy xác suất để sau chuyển sách từ thùng sang thùng cho số sách thùng số sách tự nhiên số sách xã hội thùng là… b, Áp dụng công thức Bayes 𝑃 (𝐴0)𝑃( P(A0/B)= 𝑃 (𝐵 ) 𝐵 ) 𝐴0 =⋯ Vậy…… Bài 6: Một mạch điện gồm linh kiện điện tử hoạt động độc lập Xác suất linh kiện điện tử bị hỏng khoảng thời gian T 0,01 0,02 Biết mạch điện bị hỏng có linh kiện điện tử bị hỏng a, Tính xác suất mạch điện bị hỏng b, Biết mạch điện bị hỏng Tính xác suất để có linh kiện thứ bị hỏng Gợi ý ̅̅̅̅ a,Gọi Ai biến cố “linh kiện điện tử thứ i bị hỏng” i=1,2 Ta có P(A1)=0,01 P(A2)=0,02 Gọi B biến cố “ mạch điện bị hỏng” ̅̅̅2 + ̅̅̅ B= A1𝐴 𝐴1 A2+A1A2 ̅̅̅2 + ̅̅̅ P(B)=P(A1𝐴 𝐴1 A2+A1A2) ̅̅̅2 ) + 𝑃(𝐴 ̅̅̅1A2)+P(A1A2) =P(A1𝐴 ̅̅̅2 ) + 𝑃(𝐴 ̅̅̅1 )P(A2)+ P(A1) P(A2) =P(A1)P(𝐴 = P(A1)[1- P(A2)]+[1- P(A1)]P(A2)+ P(A1) P(A2)=…… Vậy…… b, P(A2/B)= 𝑃(𝐴2𝐵) 𝑃(𝐵) ̅̅̅2 + ̅̅̅ ̅̅̅2 𝐴2 + ̅̅̅ Ta có A2B=A2(A1𝐴 𝐴1A2+A1A2)= A1𝐴 𝐴1 A2𝐴2+A1A2𝐴2 ̅̅̅1 𝐴2+A1A2=V+𝐴 ̅̅̅1 𝐴2+A1A2=𝐴 ̅̅̅1 𝐴2+A1A2 =A1V+𝐴 P(A2/B)= ̅̅̅̅ 𝑃 (𝐴 𝐵) 𝑃 (𝐴 𝐴2 +𝐴1 𝐴2 ) = 𝑃 (𝐵 ) 𝑃 (𝐵 ) ̅̅̅̅) 𝑃 (𝐴 𝑃(𝐴2 )+𝑃(𝐴1)𝑃(𝐴2 ) = 𝑃(𝐵) = ̅̅̅̅ 𝑃 (𝐴 𝐴2 )+𝑃(𝐴1 𝐴2 ) 𝑃 (𝐵 ) = Vậy…… Một số tập tham khảo Bài 1: Thiết bị phòng cháy chữa cháy toàn chung cư gồm hệ thống phun nước tự động hệ thống chuông cảnh báo với khả bị hỏng hệ thống tương ứng 0,1 0,15 khả hệ thống bị hỏng 0,04 Tính xác suất: a, có hệ thống bị hỏng b, hệ thống hoạt động tốt Bài 2:Một vận động viên tham gia đích theo cách, đường rừng, chọn vượt thác Biết 65% theo đường rừng.Nếu theo đường rừng, xác suất quy định 0,75, chọn vượt thác xác suất quy định 0,7 a, tính xác suất để vận động viên quy định 10 b, biết vận động viên quy định, tính xác suất để di theo đường rừng Bài 3: lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A sản phẩm loại B vận chuyển cho khách hàng Khách hàng nhận 18 sản phẩm Sau khách hàng lấy sản phẩm để kiểm tra a, Tính xác suất để sản phẩm lấy kiểm tra sản phẩm loại A b, Biết sản phẩm lấy kiểm tra sản phẩm loại A, tính xác suất lơ hàng bị rơi sản phẩm loại B trình vận chuyển Bài 4: Bắn liên tiếp phát đạn vào mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu phát đạn 0,45 Nếu trúng phát đạn mục tiêu bị tiêu diệt Nếu trúng phát đạn xác suất mục tiêu bị tiêu diệt 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị tiêu diệt phát đạn GỢI Ý ĐÁP ÁN Câu 1: Gọi 𝐴1 biến cố “tờ tiền đc chọn tiền thật” 𝐴2 biến cố “tờ tiền đc chọn tiền giả” P(𝐴1 )=4/5 P(𝐴2 )=1/5 a 𝐴1 , 𝐴2 hệ đầy đủ biến cố Gọi B biến cố ‘ Người kết luận tiền thật” P(𝐵/𝐴1 )=0,8 P(𝐵/𝐴2 )=0,2 Áp dụng công thức xác suất đầy đủ P(B)= P(𝐴1 ) P(𝐵/𝐴1 )+ P(𝐴2 ) P(𝐵/𝐴2 )=………… b Gọi C biến cố “3 ng kết luận tiền thật, ng kết luận tiền giả’’ Có n=4 PTĐL Xác suất để ng đoán p=0,8 Gọi X số người đoán người X~B(4, 0,8) P(𝐶/𝐴1 )=p(X=3)=𝐶43 0,83 0,21 P(𝐶/𝐴2 )=p(X=1)=𝐶41 0,81 0,23 Áp dụng công thức Xs đầy đủ P(C)= P(𝐴1 ) P(𝐶/𝐴1 )+ P(𝐴2 ) P(𝐶/𝐴2 )=………… Gợi ý câu 2: 2a k=0 -5 11 BPPXS S S P E(S)=… D(S)=… 0,05 0,1 0,15 0,3 0,25 0,15 -5 0,15 0,45 0,4 BPPXS T T P 0,45 0,55 E(T)=… D(T)=… E(S.T) => cov(S,T)=… Gọi p tỉ lệ đầu tư cho cp A => (1-p) tỉ lệ đầu tư cho trái phiếu B Gọi X lãi suất thu đc đầu tư vào cổ phiếu |A trái phiếu B X=p.S+(1-p)T => D(X)=D(p.S+(1-p)T)=𝑝2 𝐷 (𝑆) + (1 − 𝑝)2 𝐷(𝑇 ) − 2𝑝(1 − 𝑝)𝑐𝑜𝑣(𝑆, 𝑇 ) Đến thay giá trị biết vào để tìm p ( giải phương trình bậc ẩn p) phương sai nhỏ 2.b k=0 Có n=2500 PTĐL Xác suất máy sản xuất sản phẩm loại I p=0,6 Gọi X1 số sản phẩm loại I máy sản xuất 2500sp X1~B(2500, 0,6) E(X1)=… Có n=2500 PTĐL Xác suất máy sản xuất sản phẩm loại II p=0,35 Gọi X2 số sản phẩm loại I máy sản xuất 2500sp 12 X2~B(2500, 0,35) E(X2)=… Có n=2500 PTĐL Xác suất máy sản xuất sản phẩm loại III p=0,5 Gọi X3 số sản phẩm loại I máy sản xuất 2500sp X3~B(2500, 0,35) E(X3)=… Gọi Y tiền lãi bán hết 2500 sp Y=20X1+15X2+10X3-12x2500 E(Y)=E(20X1+15X2+10X3-12x2500)=20 E(X1)+15 E(X2)+10 E(X3)-12x2500 13 ... chung cư gồm hệ thống phun nước tự động hệ thống chuông cảnh báo với khả bị hỏng hệ thống tương ứng 0,1 0,15 khả hệ thống bị hỏng 0,04 Tính xác suất: a, có hệ thống bị hỏng b, hệ thống hoạt động... rừng.Nếu theo đường rừng, xác suất quy định 0,75, chọn vượt thác xác suất quy định 0,7 a, tính xác suất để vận động viên quy định 10 b, biết vận động viên quy định, tính xác suất để di theo đường... ⋯ + An Xác suất •