Lý thuyết xác suất thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA QUẢN TRỊ NHÂN LỰC - - BÀI THẢO LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN Đề tài : 1.Với độ tin cậy 95% ước lượng thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường ĐH Thương Mại 2.Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết cho thời gian tự học trung bình ngày sinh viên ĐH Thương Mại thấp giờ? Nhóm : 10 Lớp : 1999AMAT0111 Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Hiên Hà Nội, 11/2019 Lời mở đầu Ngày thống kê sử dụng rộng rãi nhiều so với xuất phát điểm Đầu tiên phục vụ cho quyền hay phủ mà cịn có tổ chức cá nhân sử dụng thống kê để phân tích liệu đưa định Thống kê công cụ quản lí vĩ mơ quan trọng, cung cấp thơng tin thống kê trung thực, khách quan, xác, đầy đủ, kịp thời việc đánh giá, dự báo tình hình, hoạch định chiến lược, sách, xây dựng kế hoạch nhằm phát triển kinh tế - xã hội đáp ứng nhu cầu thông tin thống kê tổ chức, cá nhân Cùng với lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định giả thuyết thống kê phận quan trọng thống kê toán Nó phương tiện giúp ta giải tốn nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể Trong trình học đại học, thảo luận phần thống kê giúp phần áp dụng công thức vào thực tiễn từ đưa kết luận khách quan mà số muốn nói đến Cụ thể cơng việc nghiên cứu “ thời gian tự học ngày sinh viên ĐH Thương Mại” thực thành viên nhóm 10 Trang Tử có câu nói rằng: “ Đời sống có hạn mà học vơ hạn” Xã hội không ngừng thay đổi đồng nghĩa với việc phải tiếp thu tinh hoa nhân loại giây phút Nhưng ngày có 24h, việc học giảng đường mà phải dành cho thân thời gian để tự học Khối lượng kiến thức khổng lồ, thầy cô người định hướng cho sinh viên, điều chứng tỏ tầm quan trọng việc tự học Tự học giúp không hiểu hiểu sâu giảng mà tự học ta cịn rèn tính tự giác,học hỏi tri thức từ tri thức mà ta học Thấy tầm quan trọng tự học, nhóm chúng em định chọn đề tài ước lượng thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường ĐH Thương Mại mong muốn đưa nhìn tổng quát thời gian tự học trung bình thơng qua số liệu thực tế mà nhóm chúng em thu thập khảo sát từ bạn sinh viên trường khóa 53, 54, 55 PHẦN I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT Ước lượng Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu X đám đơng Một mục tiêu việc nghiên cứu xác định tham số đặc trưng X trung bình đám đơng μ = E(X), phương sai đám đông Var(X) = ơ2 Những tham số thường chưa biết khơng chủ trương điều tra đám đông Chúng ta ước lượng tham số nói Xét ĐLNN X , ký hiệu chung cho tham số đám đơng cần ước lượng θ Có hai phương pháp ước lượng θ ước lượng điểm ước lượng khoảng tin cậy 1.1 Ước lượng điểm Trong thực tế ta thường dùng khái niệm ước lượng điểm nói: “ước lượng cho lạm phát 6,5%”; “ước lượng mức tăng trưởng kinh tế 8%”, nghĩa dùng số để ước lượng Ước lượng điểm thống kê tốn tìm giá trị, tính tốn mẫu, tùy thuộc mẫu mà kết khác Bước : Lấy mẫu ngẫu nhiên : W= (X1,X2,…,Xn) với n lớn Xây dựng thống kê : f(X1,X2,…,Xn) phù hợp với tham số θ ( Trong đó: θ số ĐLNN ) Bước : Lấy mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn) tính tốn giá trị cụ thể thống kê f(x1,x2,…,xn) Bước : Lấy θ = làm ước lượng điểm cho tham số θ gọi ước lượng điểm θ Cùng với mẫu ngẫu nhiên xây dựng nhiều thống kê θ* khác để ước lượng tham số θ Vì vậy, ta cần lựa chọn thống kê tốt để ước lượng cho tham số θ dựa vào tiêu chuẩn sau: a Ước lượng không chệch Thống kê gọi ước lượng không chệch θ nếu: E() = θ Ngược lại E() ≠ θ ta nói ước lượng chệch θ Ta có : ước lượng khơng chệch ước lượng không chệch Nếu ước lượng chệch θ thỏa mãn điều kiện: Thì gọi ước lượng tiệm cận không chệch θ b Ước lượng vững Thống kê gọi ước lượng vững θ với ta có : Theo định lí Trebusep Theo định lí Bernoulli tần suất mẫu f ước lượng vững tỉ lệ đám đông p Nếu ước lượng không chệch θ Thì ước lượng vững θ c Ước lượng hiệu Thống kê gọi ước lượng hiệu θ ĐLNN gốc X, ước lượng khơng chệch có phương sai nhỏ so với ước lượng không chệch khác xây dựng mẫu Ta có : ước lượng hiệu Tần suất mẫu f ước lượng hiệu tỉ lệ đám đông p Đương nhiên, hai ước lượng khơng chệch θ mà lượng tốt ước 1.2 Ước lượng khoảng tin cậy 1.2.1 Khái niệm Phương pháp ước lượng điểm nói có ưu điểm đơn giản, có nhược điểm lớn không cho biết sai số không khả mắc sai lầm ước lượng Đặc biệt kích thước mẫu nhỏ, ước lượng điểm tìm sai lệch hiều so với tham số cần ước lượng, nói cách khác sai số ước lượng lớn Phương pháp ước lượng khoảng tin cậy khắc phục nhược điểm Giả sử cần ước lượng tham số θ ĐLNN X đám đông Bước : Ta lấy mẫu ngẫu nhiên : W= (X1,X2,…,Xn) Xây dựng thống kê G= f(X1,X2,…,Xn, θ) cho quy luật phân phối G hoàn toàn xác định Bước : Với xác suất ( thường 0,9 0,99) cho trước, xác định , thỏa mãn Từ xác định phân vị : Thay G, biến đổi tương đương ta có : Nguyên lí xác suất lớn : Nếu biến cố có xác suất lớn lần thực phép thử ta coi biến cố chắn xảy : • Theo nguyên lý xác suất lớn : Khoảng ( gọi khoảng tin cậy Xác suất gọi độ tin cậy gọi độ dài khoảng tin cậy Bước : Với mẫu cụ thể w = (x1,x2,…,xn)  Tính tốn kết luận khoảng tin cậy  Chú ý : Xác suất mắc sai lầm ước lượng khoảng Khi G có phân phối N(0,1) phân phối STUDENT chọn ta có khoảng tin cậy ngắn khoảng tin cậy đối xứng - Để ước lượng giá trị tối thiểu cho ta chọn :  Đây khoảng tin cậy phải - Để ước lượng giá trị tối đa cho ta chọn :  Đây khoảng tin cậy trái 1.2.2 Ước lượng kỳ vọng toán ĐLNN Bài tốn : Xét ĐLNN X có E(X) , Var(X) với chưa biết Ta xét toán trường hợp sau :  Trường hợp : , với biết  Trường hợp : Chưa biết quy luật phân phối X, n 30  Trường hợp : , với chưa biết, n 30 1.2.2.1 Xét trường hợp : , với biết Bước : Vì nên Xây dựng thống kê : Bước : Đưa khoảng tin cậy a Khoảng tin cậy đối xứng ( ) Với độ tin cậy ta có : - Thay U ta có :  P( Đặt gọi sai số ước lượng  P(  Khoảng tin cậy đối xứng ( Bước : Tính tốn kết luận Với mẫu cụ thể ta có khoảng tin cậy cụ thể :  Chú ý : Nếu toán cho (1)  P( Nếu toán cho khoảng tin cậy ( )  Từ công thức ta gặp tốn sau : Bài tốn : Cho n, Tìm Bài tốn 2: Cho n, Tìm = Bài tốn : Cho Tìm n b Khoảng tin cậy phải ( Ước lượng Với độ tin cậy ta tìm phân vị cho : Khoảng tin cậy phải : c Khoảng tin cậy trái Ước lượng Với độ tin cậy ta tìm phân vị cho : Khoảng tin cậy trái : 1.2.2.2 Xét trường hợp : Chưa biết QLPP X, Bước : Vì nên Xây dựng thống kê : Bước 2,3 làm tương tự trường hợp • Chú ý : Nếu chưa biết, nên ta lấy 1.2.2.3 Xét trường hợp : với chưa biết , Bước : Vì Xây dựng thống kê : Bước : Đưa khoảng tin cậy Khoảng tin cậy Đối xứng Phải ( Trái Xác suất Khoảng tin cậy 1.2.3 Ước lượng tỷ lệ đám đơng Bài tốn : Xét đám đơng có tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A p p chưa biết, cần ước lượng Chọn mẫu kích thước n lớn Ta có tần suất mẫu : Bước : Vì n lớn nên Xây dựng thống kê : Bước : Đưa khoảng tin cậy Khoảng tin cậy Đối xứng Phải ( Trái • Xác suất Khoảng tin cậy Chú ý : Khoảng tin cậy đối xứng dùng để ước lượng tính Khoảng tin cậy phải dùng để ước lượng Khoảng tin cậy 1.2.4 Ước lượng phương sai ĐLNN phân phối chuẩn Bài tốn: Xét ĐLNN X phân phối chuẩn có E(X)= µ Var(X)= chưa biết, cần ước lượng: B1: Vì X N(), XDTK: B2: Đưa khoảng tin cậy a Khoảng tin cậy hai phía Với độ tin cậy ta tìm phân vị cho )= ( < < )= Khoảng tin cậy hai phía ( b Khoảng tin cậy phải ƯL Với độ tin cậy ta tìm phân vị cho: )= = Khoảng tin cậy phải : ( ) c Khoảng tin cậy trái ƯL Với độ tin cậy ta tìm phân vị cho: )= = Khoảng tin cậy trái ( 0; Với α cho trước ta tìm Ta có miền bác bỏ: uα cho: P( U < −uα ) = α Wα = { u tn > −uα } *Phương pháp P-giá trị(P-value) Cơng thức tìm P-giá trị H 0: : µ = µ H : µ ≠ µ0 a) Đối với toán: { P(U > u tn ) Ta có P-giá trị = u tn = x − µ0 σ n Trong U~N(0;1) b) Đối với tốn: { Ta có P-giá trị = P (U > u tn ) c) Đối với tốn: { Ta có P-giá trị = H : µ = µ0 H1 : µ > µ0 H : µ = µ0 H1 : µ < µ0 P(U < u tn ) Kết luận sau tìm P-giá trị a) Cách thứ nhất: - Nếu P-giá trị ≤ 0,05: Chưa có sở để bác bỏ H0 - Nếu 0,01 ≤ P-giá trị < 0,05: Có sở để bác bỏ H0 - Nếu P-giá trị < 0,01: Có sở chắn để bác bỏ H0 b) Cách thứ hai: Quy định trước mức ý nghĩa α α Tính P-giá trị so sánh với : - Nếu P-giá trị < - Nếu P-giá trị ≥ α α bác bỏ H0 chưa có sở để bác bỏ H0 * Chú ý: Các cơng thức tìm P-giá trị cịn dùng cho toán kiểm định giả thuyết thống kê khác, có dùng tiêu chuẩn kiểm định U σ 2.2.1.2 ĐLNN X đám đơng có phối chuẩn với T= chưa biết: X − µ0 S' n XDTCKĐ: Vì X có phân phối chuẩn, H0 T~T(n-1) H 0: : µ = µ H : µ ≠ µ0  Bài tốn 1: { Với mức ý nghĩa α t α( n −1) cho trước ta tìm P ( T > t α( n −1) ) = α Từ ta có miền bác bỏ: cho:   Wα = t tn : t tn > t α( n −1)     Bài toán 2: { t tn = x − µ0 s' n đó: H : µ = µ0 H1 : µ > µ0 Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm tα( n −1) cho: P (T > tα(n −1) ) = α Từ ta có miền bác bỏ: Wα = {t tn : t tn > tα( n−1) }  Bài toán 3: { H : µ = µ0 H1 : µ < µ0 Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm P (T < −tα(n −1) ) = α Từ ta có miền bác bỏ: Wα = {t tn : t tn < −tα( n−1) } * Công thức P-giá trị(P-value): H 0: : µ = µ H : µ ≠ µ0  Bài tốn 1: { tα( n −1) cho: t tn = P (T > t tn ) Ta có P-giá trị =  Bài tốn 2: { n Trong T~T(n-1) H : µ = µ0 H1 : µ > µ0 Ta có P-giá trị =  Bài tốn 3: { x − µ0 s' P (T > t tn ) H : µ = µ0 H1 : µ < µ0 Ta có P-giá trị = P (T < t tn ) * Chú ý: + Các công thức tìm P-giá trị cịn dùng cho toán kiểm định giả thuyết thống kê khác, có dùng tiêu chuẩn kiểm định T Sau tìm P-giá trị, việc kết luận tiến hành mục II.1.1 σ2 + Khi ĐLNN có phân phối chuẩn, chưa biết, kích thước mẫu n > 30 người ta thường dùng chuẩn U mục II.1.1 Đến tìm utn ta lấy σ ≈ s' 2.2.1.3 Chưa biết quy luật phân phối xác suất X kích thước mẫu n>30 Với n>30 µ ,σ X ≅ N( ) n Ta dùng tiêu chuẩn kiểm định: U= X − µ0 σ n Khi giả thuyết H0 U xấp xỉ phân phối chuẩn N(0;1) Phần lại tiến hành mục II.1.1 ta cần nhớ rằng: lấy σ ≈ s' σ chưa biết, nhứng n>30 ta 2.2.2 Kiểm định giả thuyết tỷ lệ đám đông Bài tốn: Xét đám đơng có tỷ lệ phần tư mang dấu hiệu A p(p xác suất để rút ngẫu nhiên phần tử mang dấu hiệu A từ đám đơng) Từ sở người ta đặt giả thuyết H0: p=p0 Chọn từ đám đông Nghi ngờ GT với mức ý nghĩa α ta kiểm định toán sau: Bài toán 1: Bài toán 2: Bài toán 3: f = B1: Chọn mẫu kích thước n lớn Ta có tần suất mẫu f ~ N ( p, Vì n lớn nên U= XDTCTK: B2: pq ) n f − p0 p0 q0 n Nếu H0 U~N(0;1) nA n H0 P(G ∈ Wα / H ) = α Miền bác bỏ p ≠ p 02 P[( U < uα / ) = α Wα = {u tn : u tn > uα / p > p 02 P(U > uα ) = α Wα = {u tn : u tn > uα } p < p 02 P(U < −uα ) = α Wα = {u tn : u tn < −uα } H1 p = p 02 B3: Tính kết luận theo Quy tắc kiểm định  Với mẫu cụ thể tính: u tn = f − p0 p0 q0 n  Kết luận theo quy tắc kiểm định + Nếu utn + Nếu utn ∈ Wα ∉ Wα :Bác bỏ H0, chấp nhận H1 :Chưa có sở bác bỏ H0 2.2.3 Kiểm định giả thuyết phương sai ĐLNN phân phối Bài toán: Xét ĐLNN X phân phối chuẩn với E(X)=μ, Var(X)=σ2, σ2 chưa biết H : σ = σ 02 Từ sở người ta đặt giả thuyết mức ý nghĩa α ta kiểm định toán sau: Nghi ngờ GT với H0 :σ = σ  Bài toán 1:{ H1 : σ ≠ σ H0 :σ = σ  Bài toán :{ H1 : σ > σ H0 :σ = σ  Bài toán 3:{ H1 : σ < σ ( n − 1) S χ = σ 02 B1: Vì X~N(μ; σ2 ), XDTCKĐ: Nếu H0 χ ~ χ ( n −1) B2: Tóm tắt bảng sau: H0 σ =σ H1 P(G ∈ Wα / H ) = α σ ≠ σ 02 P[( χ < χ 1−α / 2 ( n −1) + ( χ > χα / 2 σ > σ 02 P( χ > χ 1−α ( n −1) Wα = {χ tn2 : χ < χ 1−α / ) ( n −1) Miền bác bỏ )] = α Hoặc ) =α ( n −1) χ > χ α / 2( n −1) } { Wα = χ tn2 : χ tn2 > χ α ( n −1) } σ < σ 02 P( χ < χ 1−α ( n −1) ) =α B3: Tính kết luận theo quy tắc kiểm định • Với mẫu cụ thể tính (n − 1) s ' x = σ 02 tn • Kết luận theo quy tắc kiểm định + Nếu + Nếu xtn ∈ Wα xtn ∉ Wα : Bác bỏ H0, chấp nhận H1 : Chưa có sở bác bỏ H0 { Wα = χ tn2 : χ tn2 < χ α ( n −1) } PHẦN II: ÁP DỤNG VÀO BÀI TẬP NHĨM Bài tốn: Phỏng vấn 200 sinh viên trường Đại học Thương Mại thời gian tự học ngày ta bảng số liệu sau: Thời gian tự học xi Số sinh viên Từ 0.5- Từ 1h 1.5h 47 73 1h- Từ 1.5- Từ 2- Từ 2.52h 2.5h 3h 26 33 21 ni a Với độ tin cậy 95% ước lượng thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại b Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết cho thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại thấp Bài làm a) Với độ tin cậy 95% ước lượng thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại Gọi X thời gian tự học sinh viên Đại học Thương Mại 1ngày X thời gian tự học trung bình sinh viên Đại học Thương Mại 1ngày mẫu µ thời gian tự học trung bình sinh viên Đại học Thương Mại 1ngày đám đơng Ta có bảng sau: xi.ni xi2.ni 47 35,25 26,4375 1,25 73 91,25 114,0625 1,75 26 45,5 79,625 2,25 33 74,25 167,0625 2,75 21 57,75 158,8125 Tổng 200 304 546 Thời gian tự học Số sinh viên xi ni 0,75 Ta có: k x = ∑ ni xi = 304 = 152 n i =1 200 1 k  ( s ' ) =  ∑ ni x i − n ( x )  = ( 546 − 200.1,522 ) ≈ 0,42171 n  i =1  199 ≈ => s’ 0,6494 Do ta chưa biết quy luật phân phối X, Vì n>30 nên ta lấy: σ ≈ s' U= Xây dựng thống kê: Với độ tin cậy γ = 1−α => σ chưa biết σ2 X ~ N (µ , ) σ = 0,6499 n X −µ σ/ n ta có: , ~ N (0;1) P(−uα / < U < uα / ) = γ Thay U ta có: P (−uα / < P ( −u α / ε = uα / Đặt σ n => σ/ n σ σ < µ < X + uα / )=γ n n P( X − ε < µ < X + ε ) = γ => Khoảng tin cậy đối xứng Lại có: µ γ = − α = 0.95 = >α = 0.05 uα / = U 0.025 = 1,96 = >ε = 1,96 0,6494 200 < uα / ) = γ σ σ < X − µ < uα / )=γ n n P ( X − uα / X −µ ≈ 0.09 Trên mẫu cụ thể: µ 1,52-0,09 < < 1,61 µ 1,43 < < 4,61 (X − ε; X + ε ) => Kết luận : Với độ tin cậy 95% nói thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại nằm khoảng ( 1,43 ; 1,61 ) b) Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết cho thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại thấp Gọi X thời gian tự học sinh viên Đại học Thương Mại ngày X thời gian tự học trung bình sinh viên Đại học Thương Mại 1ngày mẫu µ thời gian tự học trung bình sinh viên Đại học Thương Mại 1ngày đám đơng H0 : µ = α = 0,05 Với mức ý nghĩa Vì n=200>30 nên U= XDTCKĐ: ta kiểm định toán sau: σ2 X ~ N (µ, ) n X −µ σ/ n Với mức ý nghĩa α Nếu H0 U~N(0;1) ta tìm phân vị chuẩn uα P(U < −uα ) = γ = >Wα = { u tn : u tn < −uα } Ta có: k x = ∑ ni xi = 1,52 n i =1 : { H1 : µ ≠ 1 k  ( s' ) = ∑ ni xi − n( x )  ≈ 0,42171 n  i =1  ≈ s’ 0,6494 Vì n=200>30 nên ta lấy: Ta có: σ ≈ s ' σ = 0,6499 α = 0.05 = >uα = U 0.05 = 1,65 Trên mẫu cụ thể: u tn = x − µ0 σ/ n = 1,52 − 0,6494 / 200 = −10,453 < −uα = −1,65 : Bác bỏ H0, chấp nhận H1 => Kết luận : Với mức ý nghĩa 5% ta nói thời gian tự học trung bình ngày sinh viên trường Đại học Thương Mại thấp PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP LỜI CẢM ƠN Sau thời gian học tập nghiên cứu môn học Lý thuyết xác suất thống kê tốn thực đề tài thảo luận nhóm… chúng em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Nguyễn Thị Hiên - giảng viên trực tiếp hướng dẫn bảo để nhóm chúng em hồn thành tốt đề tài giao.Và xin cảm ơn đóng góp ý kiến bạn nhóm trao đổi để có thảo luận đạt kết tốt Trong trình tìm hiểu làm đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót mong bạn thơng cảm góp ý nhiệt tình Xin chân thành cảm ơn! ... đương ta có : Nguyên lí xác suất lớn : Nếu biến cố có xác suất lớn lần thực phép thử ta coi biến cố chắn xảy : • Theo nguyên lý xác suất lớn : Khoảng ( gọi khoảng tin cậy Xác suất gọi độ tin cậy... thuyết thống kê 2.1 Khái niệm chung 2.1.1 Giả thuyết thống kê Như ta biết, khơng điều tra đám đông nên ta dạng phân phối xác suất dấu hiệu cần nghiên cứu X đám đơng biết dạng phân phối xác suất. .. thống kê Ngun lí xác suất nhỏ: “ Một biến cố có xác suất bé thực hành ta coi khơng xảy lần thực phép thử ” 2.1.2 Thủ tục kiểm định giả thuyết thống kê Để kiểm định giả thuyết thống kê H0 với đối