thảo luận lý thuyết xác suất thống kê toán

thảo luận lý thuyết xác suất thống kê toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI KHOA THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ  BÀI THẢO LUẬN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT THỐNG KÊ TOÁN Đề bài: 1.Ước lượng mức chi tiêu trung bình sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH TM Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4triệu 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định (α = 0,05; γ = 0,95 ) Nhóm : Lớp : Lớp 1028AMAT0111 GVHD : Thầy Đức Minh Hà Nội, 2010 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định giả thuyết thống kê phận quan trọng thống kê tốn Nó phương tiện giúp ta giải tốn nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu tổng thể Để ước lượng kì vọng tốn ĐLNN X, người ta giả sử đám đơng có E(X)= µ Var(X) Trong µ chưa biết, cần ước lượng Từ đám đông ta lấy kích thước mẫu n: Từ mẫu ta tìm trung bình mẫu X phương sai mẫu điều chỉnh S ′ Dựa vào đặc trưng mẫu ta xây dựng thống kê G thích hợp.Với vấn đề đề tài thảo luận, “ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại”, nhóm chúng tơi xác định dùng phương pháp ước lượng µ chưa biết quy luật phân phối ĐLNN , kích thước mẫu n đủ lớn Kiểm định giả thuyết thống kê tỉ lệ đám đông, thông thường ta thường giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu đám đơng có E(X) µ, Var(X) , µ chưa biết từ sở người ta tìm p=po , nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa thuyết cho trước ta cần kiểm định giả : p=po Từ đám đơng lấy mẫu: tính đặc trưng mẫu: , Lấy mẫu cụ thể Từ mẫu ta tính , so sánh bỏ hay không bác bỏ , chấp nhận hay không chấp nhận với để bác Đó phương pháp làm nhóm tơi phần vấn đề thảo luận: “Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4triệu 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định trên.” Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Bài thảo luận xây dựng dựa sở của: giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán trường Đại học Thương Mại, giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán trường Đại học Kinh Tế Quốc Dân với kiến thức tiếp thu từ giảng giảng viên môn trường Đại học Thương Mại Do thời gian, điều kiện khả có hạn, thảo luận nhóm chúng tơi không tránh khỏi khiếm khuyết Chúng mong nhận cảm thơng, chia sẻ góp ý từ phía giảng viên, bạn sinh viên quan tâm để thảo luận nhóm hồn thiện hơn! Tập thể nhóm 7! Phần I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT I.Ước lượng kỳ vọng toán ĐLNN Giả sử đám đơng ĐLNN có E ( X ) = µ Trong µ chưa biết, cần ước lượng Từ đám đông ta lấy mẫu kích thước n: Từ đám đơng ta lấy mẫu ta tìm trung bình mẫu phương sai mẫu điều chỉnh Dựa vào đặc trưng mẫu ta xây dựng thống kê G thích hợp Có trường hợp cần xét là: Trường hợp 1: ĐLNN X phân phối theo quy luật chuẩn, biết Trường hợp 2: ĐLNN gốc X phân phối theo quy luật chuẩn, phương sai chưa biết Trường hợp 3: Chưa biết quy luật phân phối xác suất X đám đơng, kích thước mẫu n>30 Theo u cầu thảo luận sau xét trường hợp Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Vì tâm ngẫu nhiên n lớn, theo định lý giới hạn trung có phân phối xấp xỉ chuẩn: X −µ U=σ n nên: ≅ N(0,1) (1) (U có phân phối chuẩn xấp xỉ chuẩn hóa) Khi ta tìm phân vị cho: (2) Thay biểu thức U (1) vào (2)và biến đổi ta được: P( X − µ < σ uα ) ≈ − α n ⇔ (3) (4) Trong đó: (5) Từ (4) ta có độ tin cậy ước lượng − α Khoảng tin cậy đối xứng là: (6) Độ dài khoảng tin cậy Sai số ước lượng , tính cơng thức (5) Từ ta có sai số ước lượng nửa độ dài khoảng tin cậy Vì biết khoảng tin cậy đối xứng (a, b) sai số tính theo công thức: Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm ε= b−a (7) Ở ta có tốn cần giải quyết: Bài tốn 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy − α , cần tìm sai số khoảng tin cậy Nếu biết độ tin cậy − α ta tìm tính α , tra bảng ta tìm uα từ ta theo cơng thức (5) cuối cần, ta tìm khoảng tin cậy (6) μ • Chú ý: Khoảng tin cậy (6) khoảng tin cậy ngẫu nhiên, số xác định Đối với mẫu ngẫu nhiên W=(X ,X ,…,X n ), độ tin cậy − α gần nên theo nguyên lý xác suất lớn coi biến cố ( X − ε < µ < X + ε ) xảy lần thực phép thử Nói cách xác, với xác suất − α khoảng tin cậy ngẫu nhiên (6) chụp E ( X ) = µ Trong lần lấy mẫu ta mẫu cụ thể w=(x ,x ,…,x n ) Từ mẫu cụ thể ta tìm giá trị cụ thể x ĐLNN trung bình mẫu Khi với độ tin cậy − α , ta tìm khoảng tin cậy cụ thể Bài tốn 2: Biết kích thước mẫu n sai số cần tìm độ tin cậy (nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a, b) ta tính sai số theo cơng thức (7)) Từ (5) ta tìm u α = ε n α , tra bảng tìm từ tìm độ tin cậy σ 1−α Bài toán 3: Biết độ tin cậy − α , biết sai số cần tìm kích thước mẫu n Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Do ta chưa biết quy luật phân phối xác suất X, kích thước mẫu chưa biết(đang cần tìm) nên ta phải giả thiết X có phân phối chuẩn.(nếu σ chưa biết, n> 30 nên ta lấy σ ≈ s ′ ) n= σ u ε2 ε 2 n = s ′ u ε2 ε Đó kích thước mẫu tối thiểu cần tìm • Chú ý: Từ biểu thức ta thấy: Nếu giữ nguyên kích thước mẫu n giảm sai số u α giảm, có nghĩa giảm độ tin cậy Ngược lại giữ kích thước mẫu n khơng đổi tăng độ tin cậy − α làm tăng u α dẫn đến sai số tăng theo Tương tự giữ nguyên sai số đồng thời giảm kích thước mẫu n u α giảm, tức độ tin cậy giảm Nếu giữ nguyên độ tin cậy − α tăng kích thước mẫu n sai số giảm Ví dụ: Theo dõi 36 cơng nhân sản xuất loại sản phẩm thu bảng số liệu thống kê thời gian cần thiết (đơn vị phút)sản xuất sản phẩm sau: Thời gian sản xuất sản phẩm 10 11 12 Số công nhân 20 Với độ tin cậy 99% ước lượng thời gian trung bình cần thiết để sản xuất loại sản phẩm Giải Gọi X thời gian sản xuất loại sản phẩm thời gian trunh bình sản xuất loại sản phẩm mẫu thời gian trung bình sản xuất loại sản phẩm đám đông Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Ta có n=36>30 nên U= Do Vì σ có phân phối xấp xỉ chuẩn X −µ ≅ N (0,1) σ n chưa biết, n=100 lớn nên ta lấy σ ≈ s ′ được: U= Tìm thõa mãn (1) Ta có : X = n 385 ∑ ni xi = 36 n i =1 S '2 = Thay n ∑ ni ( X i − X ) = 0,618 ⇒ S = 0,786 n − i =1 tìm khoảng tin cậy: P( X − ε < µ < X + ε ) ≈ − α Ta có Kết luận: Với độ tin cậy 99% thời gian trung bình cần thiết để sản xuất loại sản phẩm (10,3564; 11,0324) II.Kiểm định giả thuyết tỷ lệ đám đông Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Xét đám đơng kích thước N, có M phần tử mang dấu hiệu A Khi tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A đám đông Từ sở người ta tìm p = p nghi ngờ điều Với mức ý nghĩa α ta cần kiểm định giả thuyết Ho: p= p Để kiểm định giả thuyết trên, từ đám đông ta lấy mẫu kích thước n Gọi f tỷ lệ phần tử mang dấu hiệu A mẫu Theo quy luật phân phối xác suất tần suất mẫu, n lớn f ≅ N ( p, pq ) Ta xây dựng tiêu chuẩn n kiểm định: f − p0 U= p q , q = − p0 n Nếu Ho U ≅ N (0,1) Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ tùy thuộc vào đối thuyết H1 ta có miền bác bỏ Wα sau: Loại giả thuyết H0 H1 Xác suất Wα P ( U > uα / ) = α Wα = {U tn : U tn > U α } Phải P(U > uα ) = α Wα = {U tn : U α > U α } Trái P(U < −uα ) = α Wα = {Utn : Uα < −Uα } phía H : p =  • Trường hợp 1:  H : p ≠   p p o o Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm Uα / cho P( U > uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {U tn : U tn > U α 2} Ví dụ: Ở địa phương tỷ lệ mắc bệnh gan xác định nhiều lần 34% Sau đợt điều trị loại thuốc, người ta kiểm tra lại 120 Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm người thấy 24 người cịn mắc bệnh gan Hỏi với mức ý nghĩa 5% tỷ lệ người mắc bệnh gan địa phương có thay đổi không? Giải: Gọi f tỷ lệ người mắc bệnh gan mẫu p tỷ lệ người mắc bệnh gan đám đơng Vì n=120 lớn nên f ≅ N ( p, pq ) n  H : p = p (= 0,34) H : p ≠ p0 Với mức ý nghĩa α= 0,05 cần kiểm định:  U= XDTCKD: f − p0 p0 q0 n Nếu H0 U ≅ N (0,1) Với α cho trước ta xác định Uα / cho: P( U > uα / ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {Utn : Utn > Uα / 2} Ta có Uα / = U 0,025 =1,96 Theo đề bài: f = 0,2 − 0,34 24 = 0,2 ⇒ U = = 3,237 ∈ W tn α 120 0,34.0,66 120 ⇒ Bác bỏ H0 Vậy với mức ý nghĩa 5% tỷ lệ người mắc bệnh gan địa phương có thay đổi  H : p = p0  H : p > p0 * Trường hợp 2:  Với mức ý nghĩa α cho trước ta tìm U α / cho P(U > uα ) = α Lập luận trường hợp ta thu miền bác bỏ Wα = {Utn : Uα > Uα} Ví dụ: Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Ngày 15/ 01/ 2002 tác giả báo viết: Ở Việt Nam có tới 90% doanh nghiệp chưa quan tâm tới thương mại điện tử Có ý kiến cho tỉ lệ thấp so với thực tế Để kiểm tra lại, người ta điều tra 120 doanh nghiệp thấy có 115 doanh nghiệp chưa quan tâm tới lĩnh vực Với mức ý nghĩa 0,05 cho nhận định vấn đề Giải: Gọi X số doanh nghiệp chưa quan tâm tới thương mại điện tử f tỉ lệ doanh nghiệp chưa quan tâm tới thương mại điện tử mẫu p tỉ lệ doanh nghiệp chưa quan tâm tới thương mại điện tử đám đơng Vì n=120 lớn nên f ≅ N ( p, pq ) n  H : p = p ( = 0,90)  H : p > p0 Với mức ý nghĩa α= 0,05 cần kiểm định:  U= XDTCKD: f − p0 p0 q n Nếu H U ≅ N (0,1) Với α cho trước ta xác định Uα cho: P(U > uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {Utn : Utn > Uα } Ta có U α = U 0, 05 = 1,65 Theo đề : f = 115 0,9583 − 0,90 = 0,9583 ⇒ Utn = = 2,1288 ∈Wα 120 0,90.0,10 120 ⇒ Bác bỏ H0 Vậy với mức ý nghĩa 0,05 ta nói tỉ lệ doanh nghiệp chưa quan tâm tới thương mại điện tử lớn 90%  H : p = p0  H : p < p0 * Trường hợp 3:  Lớp 1028AMAT0111 Trang 10 / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Với α cho trước ta xác định Uα cho: P(U < −uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {Utn : Utn < −Uα } Ví dụ: Điều tra 300 học sinh trung học Hà Nội thấy có 66 em bị cận thị Với mức ý nghĩa 1% nói tỉ lệ học sinh trung học Hà Nội bị cận thị nhỏ 25% hay không? Giải: Gọi X số học sinh trung học Hà Nội bị cận thị f tỉ lệ học sinh bị cận thị mẫu p tỉ lệ học sinh bị cận thị đám đơng Vì n=300 lớn nên f ≅ N ( p, pq ) n  H : p = p (= 0,25)  H : p < p0 Với mức ý nghĩa α= 0,01 cần kiểm định:  XDTCKD: U= f − p0 p0 q0 n Nếu H0 U ≅ N (0,1) Với α cho trước ta xác định Uα cho: P(U < −uα ) = α Vì α bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Wα = {U tn : U tn < −U α } Ta có U α = U 0,01 = 2,33 Theo đề f = 66 0,22 − 0,25 = 0,22 ⇒ Utn = = −1,2 ∉Wα 300 0,75.0,25 300 ⇒ Chưa có sở bác bỏ H0 Vậy với mức ý nghĩa 0,01 ta nói tỉ lệ học sinh trung học bị cận nhỏ 25% Lớp 1028AMAT0111 Trang 11 / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Phần II: BÀI TẬP Đề bài: 1.Ước lượng mức chi tiêu trung bình sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH TM Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4triệu 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định (α = 0,05; γ = 0,95 ) Bảng phân phối thực nghiệm Mức chi tiêu (triệu VNĐ) 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 Số SV 13 11 21 29 20 19 15 16 Kích thước mẫu n=150 Giải tốn: Ước lượng mức chi tiêu trung bình sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương mại Gọi: X mức chi tiêu trung bình hàng tháng sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM mẫu μ mức chi tiêu trung bình hàng tháng sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM đám đơng Vì n = 100 > 30 nên X có phân phối xấp xỉ chuẩn: Do U= X −µ ≅ N (0,1) σ n Với độ tin cậy γ ta tìm phân vị u α cho: ( P ( U < uα ) ≈ − α = γ Thay biểu thức U vào công thức ta biến đổi ta có: Lớp 1028AMAT0111 Trang 12 / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm P( X − µ < ⇔ σ uα ) = γ n P( X − ε < µ < X + ε ) = γ Trong ε = σ uα n (X −ε < µ < X +ε ) Khoảng tin cậy: Vì σ chưa biết, kích thước mẫu lớn nên ta lấy σ ≈ s' ta có s ' = s' = n ∑ ni xi − n.x = 28,6318604 = 5,35 n − i =1 ⇒ σ ≈ 5,35 α Với γ =0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ =0,025 ⇒ u0,025=1,96 Thay vào khoảng tin cậy ta X− σ 5,35 uα = 1,584 − 1,96 = 1,5141 150 150 X+ σ 5,35 uα = 1,584 + 1,96 = 1,6539 150 150 Vậy mức chi tiêu trung bình hàng tháng sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM nằmvtrong khoảng (1,5141; 1,6539) (đơn vị: triệu VNĐ) Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4triệu 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định Tóm tắt: n = 150, nA = 47 (từ bảng số liệu) p0 = 60% = 0,6 α = 0,05 Lớp 1028AMAT0111 Trang 13 / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Kiểm định giả thuyết: Gọi f tỷ lệ sinh viên trường ĐHTM chi tiêu hàng tháng đến 1,4 triệu mẫu p tỷ lệ sinh viên trường ĐHTM chi tiêu hàng tháng đến 1,4 triệu đám đơng Vì n = 100 lớn nên f có phân phối xấp xỉ chuẩn: Với mức ý nghĩa =0,05 ta cần kiểm định giả thuyết: f − p0 Xây dựng tiêu chuẩn thống kê: Nếu Vì = p0 q0 n ta tìm phân vị chuẩn cho: bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có miền bác bỏ: Trong Ta có Vậy miền bác bỏ: Lớp 1028AMAT0111 Trang 14 / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Kết luận: Vậy với mức ý nghĩa ta có sở bác bỏ giả thuyết H0 Tức “Tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4 triệu khác 60%” Lớp 1028AMAT0111 Trang 15 / 15 ... thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Bài thảo luận xây dựng dựa sở của: giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán trường Đại học Thương Mại, giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê toán trường.. .Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ước lượng, lý thuyết kiểm định giả thuyết thống kê phận quan trọng thống kê tốn Nó phương tiện giúp... biết quy luật phân phối xác suất X đám đơng, kích thước mẫu n>30 Theo u cầu thảo luận sau xét trường hợp Lớp 1028AMAT0111 Trang / 15 Thảo luận Lý thuyết xác suất thống kê tốn Nhóm Vì tâm ngẫu