báo cáo thảo luận lý thuyết xác suất và thống kê toán

Vì vậy thường có những giả thuyết ước lượng hay những kiểmđịnh mang tính định tính kết quả đúng sai về các trường hợp xảy ra của các biến cố.Chính vì lí do đó, việc nghiên cứu ước lượng

Type equation here Trường Đại học Thương Mại

Báo cáo thảo luận

Lý thuyết xác suất và thống kê toán

Nhóm 06

LỜI NÓI ĐẦU

Trong đời sống thực tế có rất nhiều biến cố xảy ra, và con người không thể nàolường trước hết được Vì vậy thường có những giả thuyết ước lượng hay những kiểmđịnh mang tính định tính kết quả đúng sai về các trường hợp xảy ra của các biến cố.Chính vì lí do đó, việc nghiên cứu ước lượng các tham số của đại lương ngẫu nhiên vàkiểm định giả thuyết thông kê là rất cần thiết

Lí thuyết ước lượng, lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những bộ phậnquan trọng của thống kê toán Đây là phương tiện giúp ta giải quyết các bài toán nhìn từgóc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể

 Để ước lượng kì vọng toán của “đại lượng ngẫu nhiên” (ĐLNN) X, người ta giả

sử trên một đám đông có E(X) = μ và Var(X) = σ2

 Trong đó μ chưa biết, cần ước lượng Từ đám đông ta lấy ra kích thước mẫu n:

W = ( X1,……,Xn)

 Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điều chỉnh

S ' 2

 Dựa vào những đặc trưng mẫu này, ta xây dựng thống kê G thích hợp

Với vấn đề 1 của đề tài thảo luận, đó là: “Ước lượng mức chi tiêu trung bình

hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại”, nhóm chúng tôi đã xác

định dùng phương pháp ước lượng μ khi chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN, kíchthước mẫu n đủ lớn

Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ của đám đông,thông thường ta thường giả

sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đông có:

E(X)= μ , Var(X) = σ2 , trong đó μ chưa biết

Từ một cơ sở nào đó ta tìm được p= po nhưng nghi ngờ về điều này Với mức ýnghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết Ho: p = po

Từ đám đông lấy ra mẫu và tính được các đặc trưng mẫu:

bỏ hay không bác bỏ Ho, chấp nhận hay không chấp nhận H1

Đó là phương pháp làm trong vấn đề 2 của nhóm chúng tôi : “Hiện nay tỷ lệ sinh

viên ngoại tỉnh của ĐH Thương Mại có mức chi tiêu là 1.4 triệu đồng khoảng 60% Hãy kiểm tra khẳng định trên với mức ý nghĩa là 5%”.

Chúng tôi nghiên cứu đề tài này để có thể hiểu rõ hơn mức chi tiêu của các sinhviên ngoại tỉnh hiện nay Hiện nay, giá cả leo thang nên chi tiêu hàng tháng của các bạncũng đã thay đổi so với trước đây Việc nghiên cứu đề tài này cũng giúp cho các bạn thấyđược mức chi tiêu của mình cao hay thấp hơn so với mức chi tiêu trung bình, từ đó giúpcác bạn có thể thay đổi thói quen chi tiêu để có một mức chi tiêu hợp lý nhất

Bài thảo luận được xây dựng dựa trên giáo trình “Lý thuyết xác suất và thống kê

toán” của Trường ĐH Thương Mại, “Giáo trình lý thuyết xác suất và thống kê toán”

của Trường ĐH Kinh tế quốc dân, cùng kiến thức đã tiếp thu từ bài giảng của giảng

viên bộ môn

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Chương 5: Ước lượng tham số của ĐLNN

I Các khái niệm về ước lượng tham số:

1 Khái niệm ước lượng:

Xét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó Các tham số đặc trưng của X, kí hiệu là θ

 Tham số θ nói chung chưa biết

 Để ước lượng θ, từ đám đông chọn ra một mẫu W= (X1, X2,…, Xn), từ

đó xây dựng được các tham số, kí hiệu θ* = f (X1, X2,…, Xn)

 Có hai loại ước lượng, đó là: ước lượng điểm và ước lượng khoảng

2 Ước lượng điểm:

Trong trường hợp kích thước mẫu n khá lớn, thì ta nói θ* là ước lượng điểmcủa θ

Kí hiệu : θ=θ*

3 Tính chất của ước lượng điểm:

a Ước lượng điểm không chệch:

θ* được gọi là ước lượng không chệch của θ, nếu E(θ*)=θ Ngược lại, nếu E(θ*)≠ θ, thì ta nói θ* là ước lượng chênh lệch của θ

b Ước lượng vững:

θ* được gọi là ước lượng vững của θ , nếu θ* hội tụ xác suất đến θ Tức là, với mọi ε > 0 thì n → ∞lim P(|θ¿−θ|<ε)=1

c Ước lượng hiểu quả - Ước lượng không chệch tốt nhất:

θ* được gọi là ước lượng hiệu quả của θ nếu θ* là ước lượng không chệch của θ và Var(θ*) là nhỏ nhất trong các ước lượng không chệch của θ

4 Ước lượng khoảng:

 Nếu θ2¿

= +∞, thì (θ1¿

; +∞) được gọi là khoảng tin cậy phải của

θ và θ1¿

gọi là ước lượng tối thiểu của θ

b Phương pháp xây dựng khoảng tin cậy:

 Từ đám đông, chọn mẫu W = (X1, X2,…, Xn)

 Xây dựng thống kê G = f (X1, X2,…, Xn, θ) sao cho quy luật phân phối xác xuất của G hoàn toàn xác định, không phụ thuộc và tham số

θ

 Với mức ý nghĩa ∝ = 1-γ ∈ (0; 1) khá bé, xác định các phân vị g1−∝1 ,

g ∝2, với ∝1, ∝2 ≥ 0, sao cho ∝1 + ∝2 = ∝, khi đó:

P (g1−∝1< G < g ∝2) = 1 - ∝ = γ.Bằng biến đổi tương đương, ta được:

P (θ1¿ < θ < θ2¿

) = 1- ∝ = γ

II Ước lượng kì vọng toán μ = E(X):

1 Trường hợp X ~ N(μ; σ2), với σ2 đã biết:

Như vậy, khoảng tin cậy của μ là (X´ – ε; X´ + ε), với sai số ε = u ∝

2

σ

√n

 Chú ý 1: Ta thường gặp các bài toán sau:

 Biết n và γ = 1 - ∝, tìm μ hoặc sai số ε = u ∝

Như vậy, khoảng tin cậy của X´ là (μ – ε; μ + ε)

b Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu):

Với ∝ ∈ (0;1), ta tìm được u ∝ thỏa mãn:

P (U < u ∝) = 1 - ∝

 P (μ > X´- u ∝ σ

√n) = 1 - ∝.Như vậy, khoảng tin cậy phải của μ là (X´ - u ∝ σ

√n; +∞) và giá trị tối thiểucủa μ là X´ - u ∝ σ

√n

 Chú ý:

Từ trên, ta cũng có P (X<μ +u´ ∝ σ

√n) = 1 - ∝.Như vậy, nếu μ đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của X´ là

μ+u ∝ σ

√n

c Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa):

Với ∝ ∈ (0;1), ta tìm được u ∝ thỏa mãn:

P (U > -u ∝) = 1 - ∝

 P (μ < X´+ u ∝ σ

√n) = 1 - ∝.Như vậy, khoảng tin cậy trái của μ là (ư∞; X´ + u ∝ σ

√n) và giá trị tối đa của μ là X´ + u ∝ σ

√n

 Chú ý:

Từ trên, ta cũng có P (X> μưu´ ∝ σ

√n) = 1 - ∝ Như vậy, nếu μ đã biết thì ước lượng giá trị tối đa của X´ là

 Nếu σ chưa biết, nhưng do n > 30 nên ta chọn σ ≈ s’

 Riêng với bài toán 3 xác định kích thước mẫu, ta phải giả

sử X´ có quy luật phân phối chuẩn, rồi làm tương tự mục 1a

3 Trường hợp X ~ N(μ; σ2), với σ2 chưa biết:

) = 1 - ∝

 Bước 1: Điều tra 1 mẫu sơ bộ kích thước k≥2 là W1 = (X1,

X2,…, Xk) Từ mẫu này ta tìm được S’2 và X´

 Bước 2: Giả sử mẫu cần tìm có kích thước n là W2 = (X1,

b Khoảng tin cậy phải (ước lượng giá trị tối thiểu):

Với ∝ ∈ (0;1), tìm được t(∝ n−1) thỏa mãn:

P (T < t(∝ n−1)

) = 1 - ∝

 P (μ> ´X−t(∝ n−1) S '

√n) = 1 - ∝.Như vậy, khoảng tin cậy phải của μ là (X−t´ (∝ n−1) S '

√n ;+∞)

c Khoảng tin cậy trái (ước lượng giá trị tối đa):

Với ∝ ∈ (0;1), tìm được t(∝ n−1)

thỏa mãn:

P (T > t(∝ n−1)) = 1 - ∝.

 P (μ< ´X +t ∝(n−1) S '

√n) = 1 - ∝.Như vậy, khoảng tin cậy phải của μ là (−∞; ´X −t ∝(n−1) S '

√n)

 Chú ý:

Nếu X ~ N(μ ;σ2), σ2 chưa biết và

{n>30, sdụng tkê ở mục1, với σ ≈ s n ≤30, sdụng tkê ở mục 3 '

III Ước lượng tỉ lệ:

 Xét 1 đám dông kích thước N, trong đó có M phần tử mang dấu hiệu A

Kí hiệu tỉ lệ các phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông là p = M N

 Để ước lượng p, từ đám đông ta lấy ra một mẫu kích thước n Kí hiệu nA

là số phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu Khi đó f = n A

n là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trong mẫu

 Ta dùng f để đi ước lượng cho p

1 Khoảng tin cậy đối xứng:

Khi n khá lớn, thì f ≃ N (p ; pq

n ) => U =

f −p

√pq n

Khi đó, ta cũng được n = pq u ∝2

2

ε2

Có các khả năng sau có thể xảy ra:

 Nếu biết p (hoặc f thì lấy p ≈ f), ta tìm được n

 Chưa biết p và f ta tính n qua công thức n = u ∝2

2 Khoảng tin cậy phải (UL cho giá trị tối thiểu)

Với ∝ ∈ (0; 1), tìm được u ∝ sao cho:

Ước lượng tối thiểu của p là f −√f (1−f ) n u ∝

3 Khoảng tin cậy tría (UL cho giá trị tối đa)

Với ∝ ∈ (0; 1), tìm được u ∝ sao cho:

P (U > u ∝) ≈ 1 - ∝

UL p –max  M –max  N –min  f –min  n A - min.

UL p –min  M –min  N –max  f –max  n A - max

IV Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn:

 Giả sử ta cần nghiên cứu trên đám đông dấu hiệu X có phân phối chuẩn,với σ2 – chưa biết

 Để ước lượng σ2, từ đám đông ta lấy ra một mẫu W = (X1, X2,…, Xn) và

từ mẫu tìm được S’2

 Dựa vào S’2 ta đi ước lượng cho σ2

1 Khoảng tin cậy 2 phía:

P(σ2>(n−1)S '2

X ∝ 2 (n−1 ) )=1−∝

Vậy khoảng tin cậy phải của σ2 là ((n−1)S ' 2

X ∝ 2(n−1) ;+∞)

3 Khoảng tin cậy trái:

Với ∝ ∈ (0;1), tìm được X ∝ 2 (n−1 ) sao cho:

P(X2

>X1−2(n−1) ∝

) = 1 - ∝.Biến đổi ta được

Chương 6: Kiểm định giả thuyết thống kê

I Các khái niệm cơ bản:

1 Giả thuyết thống kê:

 Giả thuyết về quy luật phân phối xác suất, về các tham số đặc trưng, về tính độc lập của ĐLNN được gọi là giả thuyết thống kê,

kí hiệu là H0

 Một giả thuyết trái với H0 được gọi là đối thuyết, kí hiệu là H1.

 Các giả thuyết H0, H1 có thể đúng, có thể sai nên ta cần kiểm định tính đúng sai của chúng Việc kiểm định này được gọi là điểm định giả thuyết thống kê

2 Tiêu chuẩn kiểm định:

Từ mẫu W = (X1, X2,…, Xn), ta xây dựng thống kê G = f (X1,

X2,…, Xn, θ0) Thống kê G chứa θ0 và khi H0 đúng, thống kê G có quy luật phân phối xác suất hoàn toàn xác định

Khi đó, G được gọi là tiêu chuẩn kiểm định

3 Miền bác bỏ:

Với mức ý nghĩa ∝ ∈ (0; 1) khá bé, ta tìm được miền W ∝, gọi

là miền bác bỏ, sao cho:

 Xác định bài toán kiểm định H0, H1

 Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định G

 Tìm miền bác bỏ W ∝

 Tính giá trị g tn và nêu kết luận

5 Các loại sai lầm:

Có 2 loại như sau:

 Loại 1: là sai lầm bác bỏ H0 khi H0 đúng Xác suất

 Loại 2: là sai lầm chấp nhận H0 trong khi H0sai.

II Kiểm định kì vọng toán μ= E ( X ):

Bài toán: Từ một cơ sở nào đó, ta thu được giả thuyết H0: μ=μ0 Nghi ngờ tính đúng đắn của H0, ta đưa ra đối thuyết H1 và kiểm định chúng

U = ´X−μ0

σ /√n

Nếu H0 đúng thì U ~ N(0; 1)Bài toán 1:

3 Trường hợp X N(μ ;σ2), σ2 chưa biết

T = X−μ´ 0

S ' /√n

nếu H0 đúng thì T T(n−1)

Nếu X N(μ ;σ2), σ2 chưa biết và

{n>30, sử dụng tkê U ở mục 1, với σ ≈ s ' n ≤ 30, sử dụng tkê T ở mục 3

III Kiểm định tỉ lệ:

U = f −μ0

√p0q0n

nếu H0 đúngthì U≃N (0 ;1)

IV Kiểm định phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn:

PHẦN II GIẢI BÀI TẬP THẢO LUẬN:

Điều tra ngẫu nhiên gồm 160 sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương mại

được kết quả như sau:

 μ=E(X) là mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên trường Đại học

Thương mại trên đám đông

 X :´ mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên thương mại trên mẫu

√n

≃N (0 ;1)

Kết luận: Với độ tin cậy 95% ta có thể nói mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh

viên ngoại tỉnh trường đại học thương mại nằm trong khoảng (1.9035 triệu đồng ; 2.0115

khi H0 đúng →U≃N (0 ;1)

Với α=0.05 ta tím được U α

2

=U0.025=1.96 sao cho

√0.6 × o 4160

=8.714

→U tn ∈ W αvậy chấp nhận H0 bác bỏ H1

Kết luận: Với mức ý nghĩa 0.05 ta có thể nói rằng tỉ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường đại

học thương mại có mức chi tiêu trung bình hàng tháng từ 1.4 triệu đồng khoảng 60%.

PHẦN III ỨNG DỤNG VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI.

1.ƯỚC LƯỢNG:

Theo kết quả ngẫu nhiên, có 90% trong tỉnh Tiền Giang và 10% sinh viên tham gia khảosát đến từ các tỉnh, thành khác Bước vào cuộc sống Sinh viên, dù muốn hay không, hầuhết tất cả các bạn đều phải tự thân vận động, đồng nghĩa các bạn phải tự lên kế hoạch,hoạch định chi tiêu cho đúng mực với hoàn cảnh của gia đình

Đối với một sinh viên đến từ trong và ngoài tỉnh, phải ở nhà trọ, sinh hoạt phí một tháng

bao gồm bao gồm:

SHP = tiền ăn + tiền thuê nhà + tiền học NN, VT + tiền đi lại + tiền chi cá nhân

Dưới đây là Bảng thống kê sinh hoạt phí trung bình của sinh viên ở Cơ sở Chính (TP MỹTho) và ở Cơ sở 1 (huyện Châu Thành) của trường:

Bảng thống kê sinh hoạt phí trung bình trong 1 tháng của sinh viên ở Cơ sở Chính

Theo như kết quả khảo sát, chi phí dành cho việc ăn uống trong 1 tháng của sinh viên cóthể dao động từ 400.000 đồng (nếu tự nấu ăn) đến trên 900.000 đồng (nếu ăn quán).Chênh lệch giữa ăn cơm quán và tự nấu ăn là 500.000 đồng/tháng, mức chênh lệch nàycũng đáng để các bạn cân nhắc Giá thuê nhà trọ có thể dao động từ 120.000 đến 300.000đồng/tháng là tùy thuộc vào bạn: ở độc lập, ở ghép, ở xa trường học hay gần trung tâmthành phố,

Trung bình một sinh viên mỗi tháng bỏ ra: 80.000 đồng/tháng cho chi phí đi lại Đây làkhoản chi phí đáng kể và cũng có sự dao động khá lớn Có bạn chỉ phải bỏ khoảng30.000 đồng/tháng, hoặc không mất đồng nào vì nhà trọ gần trường, có thể đi bộ, xe đạphoặc xe buýt Nhưng có bạn phải mất đến 200.000 - 300.000 đồng/tháng, thậm chí nhiềuhơn, nếu bạn ở trọ xa phải đi lại bằng xe máy

Mức chi tiêu cho cá nhân trung bình là 150.000 đồng/tháng/sinh viên, có thể lên đếnkhoảng 500.000 đồng/tháng, hoặc nhiều hơn nữa là tùy thuộc vào kế hoạch chi tiêu củacác bạn

Các bạn có thể căn cứ theo những thông tin khảo sát trên, đồng thời thường xuyên theodõi mức chi tiêu của mình để có sự gia giảm, điều chỉnh cho thích hợp

Ngoài việc chuẩn bị cho những chi tiêu chính nói trên, các bạn cũng cần dự trù trước chonhững khoản phí khác cũng không kém phần quan trọng Hiện nay, nhu cầu học thêm(nhất là tiếng Anh, tiếng Pháp và Tin học) là rất lớn Kết quả khảo sát cho thấy: mỗi sinhviên thường phải bỏ ra từ 200.000 đến 500.000 đồng/tháng cho việc học Ngoại ngữ vàTin học Ngoài ra, trong một năm, các bạn cũng cần tính thêm khoản khác nữa như tàu xe

về quê (đối với các bạn ở ngoại tỉnh), rồi chi phí đám tiệc, liên hoan, Nếu đi về thườngxuyên, chi phí này cũng rất đáng kể Cuối cùng, bạn cũng nên dự phòng cho những bấtngờ: sửa chữa lặt vặt (về máy tính, xe cộ, điện thoại), những sự cố phát sinh, đau ốm Đối với không nhứng sinh viên trường đại học thương mại hay trường đại học Tiền Giang

đã là sinh viên ở trọ, đi học, thường sẽ không khỏi tốn kém Nhưng các bạn hoàn toàn cóthể tự điều chỉnh chi tiêu và quản lý tài chính cá nhân để có mức sinh hoạt phí tốt, phùhợp với hoàn cảnh gia đình

Vì vậy việc vận dụng kiến thức về ước lượng tham số vào việc nghiên cứu mức chi tiêutrung bình hàng tháng của sinh viên là rất hợp lý

2 KIỂM ĐỊNH THỐNG KÊ:

Ứng dụng kiểm định giả thuyết thống kê:

Lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là một bộ phận quan trọng của thống kêtoán Từ đó mà nó có rất nhiều ứng dụng thiết thực trong thực tế:

 Trong kinh tế :

 Ta có thể kiểm tra, xác thực xem lợi nhuận trung bình thu được trong mộtphương án kinh doanh, cũng như so sánh được tính hiệu quả giữa cácphương án đó.

 Kiểm soát được hiệu quả của việc thay đổi các chiến lược kinh doanh

 Kiểm tra và so sánh được mức độ rủi ro của các quyết định trong kinhdoanh

 Từ những kiểm định tính toán được mà các nhà kinh doanh có được nhữngphản hồi đối với công tác quản trị, biết rõ được thực trạng tổ chức củamình, những vấn đề trọng tâm cần giải quyết, từ đó chủ động tìm các biệnpháp điều chỉnh kịp thời nhằm đạt được mục tiêu xác định

 Trong vấn đề văn hóa xã hội: có thể kiểm tra, ước lượng được giá trị trung bình

của một chỉ số nào đó (như: chiều cao, tuổi thọ, tỉ lệ số người mắc bệnh ung thư,chất lượng dịch vụ ) của của một khu vực, vùng miền hay quốc gia nào đó

 Từ đó mà có thể so sánh với các khu vực, vùng miền, quốc gia khác và vớimặt bằng chung để nhận ra thực trạng tình hình phát triển văn hóa xã hộicủa khu vực mình Từ cơ sở này mà đề ra các giải pháp, phương hướngnhằm nâng cao và phát triển tình hình văn hóa xã hội

PHẦN IV KẾT LUẬN.

Từ những con số biết nói, được thu thập một cách chân thực và vận dụng những

kiến thức về môn xác suất - thống kê bài thảo luận của nhóm 6 đã đưa ra được ước lượng về chi tiêu của các sinh viên trường Đại học Thương Mại và so sánh với mức chi

tiêu của các sinh viên học tập tại các trường thuộc tỉnh Tiền Giang, để từ đó sinh viên

Thương Mại có thể hiểu rõ hơn về môn học xác suất thống kê, những vận dụng thực tế

của môn học đặc biệt mỗi sinh viên có thể tự xây dựng kế hoạch dự trù chi tiêu hàngtháng hợp lý cho mình với mức giá cả đắt đỏ như hiện nay tại Hà Nội

Qua đó có thể thấy rằng xác suất và thống kê toán có những ứng dụng rất hữu ích

trong cuộc sống và đặc biệt trong nền kinh tế Việt Nam đang phát triển mạnh mẽ đều cầnnhững ước lượng và kiểm định đúng đắn, để có những quyết định thật khôn ngoan