lý thuyết xác suất và thống kê toán

Danh sách mẫu điều tra: điểm trung bình môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương Mại 2.. Áp dụng lý thuyết giải bài toán thực tế: 3.1 Ước lượng điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sin

NỘI DUNG CHÍNH

1 Danh sách mẫu điều tra: điểm trung bình môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương Mại

2 Cơ sở lý thuyết

2.1 Bài toán Ước lượng.

2.2 Bài toán Kiểm định.

3 Áp dụng lý thuyết giải bài toán thực tế:

3.1 Ước lượng điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương Mại với độ tin cậy 95%.

3.2 Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐH Thương Mại thi trượt môn LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30% Với mức ý nghĩa 5%.

1 Danh sách mẫu điều tra: điểm thi trung bình môn LTXS và TK

Toán của sinh viên ĐH Thương Mại ( làm tròn đến hàng đơn vị)

Bảng 1:

Điểm thi môn LTXS&TK Toán

33 Trương Thị Tuyết Nhung K43E5 Thương mại quốc tế 6.0

73 Phạm Tùng Lâm K44C3 Marketing thương mại 7.5

76 Mai Thuỳ Trang 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 8.0

77 Nguyễn Ngọc Đức 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.0

78 Nguyễn Thị Thanh Hoa 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 9.0

80 Nguyễn Trung Kiên 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 6.0

84 Lê Thị Ngọc Bích 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 6.0

85 Nguyễn Thj Quỳnh Anh 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.5

88 Trần Thị Thu Hương 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.5

89 Nguyễn Mạnh Hùng 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 9.0

90 Dương Đặng Hiệp 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 4.5

113 Ngọc Thị Hoa K45H1 Tài chính ngân hàng 9.5

118 Phan Nguyễn Phương Anh K45H4 Tài chính ngân hàng 6.0

2 Cơ sở lý thuyết

2.1 Bài toán Ước lượng.

Giả sử trên một đám đông ĐLNN X có E(X) = và Var (X)=

Trong đó chưa biết,cần ước lượng.Từ đám đông là sinh viên ĐHTM ta lấy ra mẫu kích thước n:W=(X1,X2,…,Xn).Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu và phương sai mẫu

Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN gốc X, chưa biết quy luật phân phối của X trên đám đông ,nhưng biết kích thước mẫu

n >30 (nghiên cứu trên lượng lớn sinh viên ĐHTM)

Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số

E(X)=µ và Var(X)=

Gọi X là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM

Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên mẫu Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên đám đông

Tính từ mẫu đã thu được :

Do đó U= (*)

 TH1: Khoảng tin cậy đối xứng

Khi đó ta tìm được phân vị

2

uαsao cho:

Thay U vào công thức trên và biến đổi ta có:

Hay P(

-Hay P(

Đặt

Vậy điểm trung bình môn xác suất-thống kê của sv ĐHTM nằm trong khoảng ( +

 TH2:Khoảng tin cậy phải (α 1 =0,α 2 =α ,dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)

Ta vẫn dùng thống kê trên (*).Với độ tin cậy 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho: P(U< uα) =1- α

Thay biểu thức của U vào công thức trên ta có:

P( uα ) =1-α

Hay P( uα <µ) =1-α

Vậy khoảng tin cậy phải với độ tin cậy 1-α của µ là:

( uα ; )

 TH3:Khoảng tin cậy phải (α 1 =α ,α 2 =0,dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)

Với độ tin cậy 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho:

P(-uα < U) =1-α

Thay biểu thức U vào công thức trên ta có :

P(-uα < )=1-α

Biến đổi tương đương ta được:

P(µ< uα) =1-α

Như vậy khoảng tin cậy trái với độ tin cậy 1-α của µ là:

(- uα )

2.2 Bài toán Kiểm định

Xét một đám đông có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là P ,trong đó P chưa biết Từ một cơ sở nào

đó người ta tìm được P = P0nhưng đang nghi nghờ về điều này Với mức ý nghĩa cần kiểm định giả thuyết : P = Po Gọi f là tỉ lệ phàn tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n Như ta đã biết kkhi kích thước mẫu n đủ lớn thì f có phân phối xấp xỉ chuẩn :

f N (p,)

XDTCKĐ: U=

Trong đó =1-

Bài toán :

1

: :

o

H p p

H p p

=





<



Phương pháp giải:

 B1 : Gọi f là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n

Gọi p là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông

Với kích thước mẫu n đủ lớn nên ta có :

f N (P, )

Với mức ý 𝑛𝑛ℎĩ𝑛 cần kiểm định :

XDTKKĐ :

U =

trong đó : = 1-

nếu đúng thì U N (0,1)

 B2: Ta tìm được phân vị sao cho :

(P U < −uα)=α

Vì khá bé nên theo nguyên lý thuyết xác suất thống kê nhỏ ta có miền bác bỏ :

Wα ={u tn:u tn < −uα}

Trong đó

=

 B3: Với mẫu đã cho, ta có: f nA

n

=

Với đã biết => f, p q n đã biết ta tính được o, o

So sánh với uα

• TH1 : Nếu u tn∈Wα => có cở sở để bác bỏ , chấp nhận

• TH2 : Nếu u tn∉Wα => không có cơ sở để bác bỏ

Kết luận : - TH1 Vậy với mức ý nghĩa ta có thể nói rằng p <

-TH2 Vậy với mức ý nghĩa ta không thể nói rằng p <

3 Áp dụng lý thuyết giải bài toán thực tế:

Từ bảng danh sách ta thống kê được số lượng sinh viên với mức điểm thi tương ứng như sau:

Bảng 2:

Điểm thi môn LTXS và TK Toán

( )x i

Số lượng sv

( )n i n x i i n x . 2

i i

8.0 12 96 768

3.1 Ước lượng điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương Mại với độ tin cậy 95%.

Với đám đông là sinh viên ĐHTM ta lấy ra một mẫu kích thước n= 120 sinh viên và điều tra điểm thi TB môn LTXS và TK Toán, với độ tin cậy 95% Nghiên cứu mẫu này ta tìm được trung bình mẫu và phương sai mẫu

Xác định bài toán:

Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN gốc X, chưa biết quy luật phân phối của X trên đám đông ,nhưng biết kích thước mẫu n >30 (nghiên cứu trên lượng lớn sinh viên ĐHTM) Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số E(X)=µ và Var(X)= 2

n

δ

Giải:

Biết: n=120, γ =0,95

Gọi X là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM

Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên mẫu Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên đám đông

Vì n=120>30, nên X N( ; 2)

n

δ µ

; XDTK:

(0;1)

X

n

µ δ

−

Với độ tin cậy γ α= −1, ta tìm được giá trị phân vị

2

Uα, sao cho:

2

P U <Uα =γ

Thay U, ta được:

δ − < =

Đặt:

2

U

n

α δ

Ta được:

− < − < =

Với mẫu đã cho (bảng 2) ta có:

15 1

120

i i i

n =

Và:

15

1

Vì n=120>30, nên ta lấy δ ≈ ≈s′ 1,515 (ƯL điểm)

Lại có:

0.025 2

0.95 1

0, 05 uα u 1,96

α

2

1,515

120

u

n

α δ

ε

Kết luận:

Vậy với độ tin cậy 0.95%, ta có thể nói rằng: điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sv ĐH Thương Mại nằm trong khoảng (6,358-0,271 ; 6,358+0,271) hay ( 6,078 ; 6,629)

3.2 Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐH Thương Mại thi trượt môn LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30% Với mức ý nghĩa 5% ( điều kiện thi trượt: điểm TB < 4 )

Xét đám đông là sinh viên ĐHTM có tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán là P ,trong đó P chưa biết Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được P = P0nhưng đang nghi nghờ về điều này Với mức ý nghĩa cần kiểm định giả thuyết : P = Po Gọi f là tỷ lệ sinh viên thi trượt trên mẫu đã chọn Như ta đã biết kkhi kích thước mẫu n đủ lớn thì f có phân phối xấp xỉ chuẩn

Xác định bài toán:

Đây là bài toán Kiểm định phía trái

1

: :

o

H p p

H p p

=





<



Từ mẫu đã cho, ta tìm đc tỷ lệ sv thi trượt là trên mẫu là f Khi n khá lớn thì f có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số E X( ) p v, àVar( )X pq,

n

Giải:

Từ bảng 2 ta có: n=120,n A =5,p o =0,3,α =0.05

Gọi f là tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán trên mẫu

Gọi p là tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán trên đám đông

Với mức ý nghĩa α =0,05, ta đi kiểm đinh BT:

1

: 0,3 : 0,3

o

H p

H p

=



 <



Vì n=120 khá lớn nên f N p( , pq)

n

;

XDTCKĐ:

o

o o

f p U

p q n

−

=

nếu Ho đúng thì U ; N(0;1)

Với α =0,01, ta tìm đc giá trị phân vị uα, sao cho:

P U < −uα =α

Vì α =0,05 khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ, ta có miền bác bỏ:

{ tn: tn }

Wα = u u < −uα

120 24

A

n f n

0,3.0,7 120

o tn

o o

f p u

p q n

−

−

Với α =0,05→uα =u0,05 =1,65

tn

Vậy suy ra: u tn∈W :α Bác bỏ Ho, chấp nhận H1

Kết luận:

Vậy với mức ý nghĩa 5% , ta có thể nói rằng: trong mỗi lần thi tỷ lệ sv ĐHTM thi trượt môn LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30%

$$ -The End -$$