Bài Giảng Lý Thuyết Xác Suất Và Thống Kê Toán

ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT BÌNH DƯƠNG KHOA KẾ TOÁN, TÀI CHÍNH NGÂN HÀNG BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Họ và tên Mã HSSV Bình Dương 2017 1 Chương 0 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Sau khi học[.]

ĐẠI HỌC KINH TẾ KỸ THUẬT BÌNH DƯƠNG KHOA KẾ TỐN, TÀI CHÍNH - NGÂN HÀNG BÀI GIẢNG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Họ tên: Mã HSSV: Bình Dương - 2017 Chương BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP Sau học xong chương này, sinh viên có thể:  Về kiến thức: - Hiểu khái niệm giải tích tổ hợp - Trình bày kiến thức về: Chỉnh hợp, Hoán vị, Tổ hợp Nhị thức Newton  Kĩ năng: - Giải toán áp dụng quy tắc cộng nhân giải tích tổ hợp - Thực việc giải toán Chỉnh hợp, Hoán vị, Tổ hợp - Giải tốn có áp dụng Nhị thức Newton  Thái độ: - Cẩn thận, xác tính tốn, lập luận - Tích cực tham gia vào học 0.1 BIỂU DIỄN TẬP HỢP 0.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà mô tả họ hay lớp cá thể riêng khác có chung thuộc tính Mỗi cá thể tập hợp gọi phần tử tập hợp Ký hiệu: a  A có nghĩa a phần tử tập hợp A a  A có nghĩa a khơng phần tử tập hợp A 0.1.2 Các cách biểu diễn tập hợp a) Vẽ giản đồ b) Liệt kê: A  {a, b, c, d } c) Chỉ tính chất chung: B  {4,  2, 0, 2, 4} B  {x | x số nguyên chẵn x  2} 0.1.3 Tập rỗng Là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu  0.1.4 Tập Tập A tập tập B ký hiệu A  B phần tử A phần tử B Ví dụ 0.1: Với A  {1, 2, 5} B  {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ta có A  B 0.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 0.2.1 Phép giao A giao B ký hiệu A  B tập hợp phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ví dụ 0.2: Với A  {a, b, c, d, e} B  {c, d, e, n, g, h } Ta có A  B  {c, d, e} 0.2.2 Phép hợp A hợp B ký hiệu A  B tập hợp phần tử thuộc A , thuộc B Ví dụ 0.3: Với A  {a, b, c, d, e} B  {c, d, e, n, g, h } Ta có A  B  {a, b, c, d, e, n, g, h} 0.2.3 Phép hiệu Hiệu tập hợp A hợp B ký hiệu A \ B tập hợp gồm phần tử thuộc A mà khơng thuộc B Ví dụ 0.4: Với A  {a, b, c, d, e} B  {c, d, e, n, g, h } Ta có A \ B  {a, b} 0.2.4 Các tính chất phép tốn tập hợp a) Tính giao hốn: AB  B A AB  B A (A  B )  C  A  (B  C ) , b) Tính kết hợp: (A  B )  C  A  (B  C ) c) Tính phân phối: A  (B  C )  (A  B )  (A  C ) , A  (B  C )  (A  B )  (A  C ) , d) Tính đối ngẫu (De - Morgan): AB  AB AB  AB 0.3 CÁC QUY TẮC CỦA PHÉP ĐẾM 0.3.1 Quy tắc cộng Giả sử cơng việc chia làm k trường hợp: - Trường hợp 1: Có n1 cách thực - Trường hợp 2: Có n2 cách thực … - Trường hợp k : Có nk cách thực Khi số cách để thực cơng việc là: n  n1  n2    nk (0.1) Ví dụ 0.5: Giả sử bạn mua áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu áo khác nhau, áo cỡ 40 có màu áo khác Hỏi bạn có lụa chọn? Giải Có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: mua áo cỡ 39, có n1  cách chọn Trường hợp 2: mua áo cỡ 40, có n2  cách chọn Vậy có tất n  n1  n2    cách chọn 0.3.2 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc chia làm k giai đoạn: - Giai đoạn có n1 cách thực - Giai đoạn có n2 cách thực … - Giai đoạn k có nk cách thực Khi đó, tổng số cách thực cơng việc n  n1n2 nk (0.2) Ví dụ 0.6: Với bi đen bi trắng, muốn chọn cặp bi đen trắng, hỏi có cách chọn? Hình 1.1 Giải Việc chọn cặp bi đen - trắng tiến hành qua hai giai đoạn: - Chọn bi đen: có n1  cách - Chọn bi trắng: có n2  cách Vậy có tất n  n1n2  2.3  cách khác để thực công việc Ví dụ 0.7: Một đề thi trắc nghiệm ngoại ngữ gồm có ba phần Phần thứ có câu hỏi, câu có cho sẵn phương án trả lời Phần thứ hai có 10 câu hỏi, câu có cách trả lời sai Phần thứ ba đoạn văn có trống ứng với từ khác cho trước Hỏi thí sinh làm cách ngẫu nhiên có tất cách giải khác nhau? Giải Ta tìm riêng số cách giải phần nhân số cách giải ba phần với nhau: - Trong phần thứ nhất, câu hỏi có cách chọn phương án khác nên phần (5 câu) có tất số cách giải n1  4.4.4.4.4  45  1024 - Với 10 câu phần thứ hai, câu có cách chọn sai nên tổng số cách khác để giải cho phần n2  210  1024 - Ở phần ba, để chọn từ điền vào ô trống thứ có cách chọn từ cho thứ hai, thứ ba, thứ tư có số cách chọn 3, cách Do đó, tổng số cách để giải cho phần n  4.3.2.1  24 Vậy, tổng số cách giải ngẫu nhiên n  n1.n2 n3  25165824 0.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 0.4.1 Chỉnh hợp a) Định nghĩa Một chỉnh hợp chập k n phần tử ( k  n ) nhóm gồm k phần tử khác nhau, có phân biệt thứ tự, chọn từ tập hợp n phần tử cho trước Ví dụ 0.8: Cho ba phần tử 2, Các chỉnh hợp chập phần tử là: 23, 25, 32, 35, 52, 53 b) Cơng thức tính Số chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Ank tính Ank  n!  n(n  1) (n  k  1) (n  k )! (0.3) CHÚ Ý 0.1: i) n! = 1.2 n ii) 0! = Ví dụ 0.9: Từ lớp học có 50 sinh viên chọn ngẫu nhiên nhóm sinh viên để lập ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó văn thể Hỏi có cách chọn tất cả? Giải Mỗi cách chọn nhóm sinh viên để lập ban cán lớp chỉnh hợp chập 50 phần tử Do đó, tổng số cách chọn ban cán cho lớp A50  50!  50.49.48  117600 47 ! 0.4.2 Hoán vị a) Định nghĩa Một hoán vị n phần tử cách xếp thứ tự n phần tử Ví dụ 0.10: Cho ba phần tử 2, Các hốn vị phần tử là: 235, 253, 325, 353, 523, 532 b) Cơng thức tính Số hốn vị n phần tử kí hiệu Pn xác định sau Pn  n ! (0.4) Ví dụ 0.11: Hỏi xếp giáo trình khác lên kệ sách có cách xếp? Giải Vì cách xếp giáo trình lên kệ sách hốn vị phần tử nên số cách xếp tất P4  !  1.2.3.4  24 0.4.3 Chỉnh hợp lặp a) Định nghĩa Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử (k lớn n ) nhóm gồm k phần tử có phân biệt thứ tự, có phần tử giống chọn từ tập hợp n phần tử cho trước Ví dụ 0.12: Cho hai phần tử Các chỉnh hợp chập phần tử là: 111, 115, 151, 155, 511, 515, 551, 555 b) Cơng thức tính Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu Bn tính Bnk  n k (0.5) Ví dụ 0.13: Có cách lập nên số tự nhiên gồm chữ số chọn từ chữ số 5? Giải Mỗi cách lập nên số tự nhiên gồm chữ số chọn từ chữ số cho chỉnh hợp lặp chập phần tử Số cách lập B23  23  0.4.4 Tổ hợp a) Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử ( k  n ) nhóm gồm k phần tử khác nhau, khơng phân biệt thứ tự, chọn từ tập hợp n phần tử cho trước Ví dụ 0.14: Cho ba phần tử 2, Các tổ hợp chập phần tử là: 23, 25, 35 b) Cơng thức tính Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C nk tính C nk  n! n(n  1) (n  k  1)  k !(n  k )! 1.2 k (0.6) CHÚ Ý 0.2: i) C nk  C nn k ii) C n0  C nn  , C n1  C nn 1  n 1 iii) C nk  C nk1  C nk  Ví dụ 0.15: Từ lơ hàng có 20 sản phẩm chọn kiểm tra ngẫu nhiên 15 sản phẩm Hỏi có cách chọn? Giải Mỗi cách chọn mẫu kiểm tra tổ hợp chập 15 20 phần tử Do đó, tổng số cách chọn khác 15 C 20  C 20  20.19.18.17.16  5814 1.2.3.4.5 Với độ tin cậy    95%  0, 95    0, 05   u 1   0, 975  u 0,975  1, 96  f (1  f )  Độ xác   u  1 n 0, 04.0, 96  1, 96 200  0, 0272 Vậy khoảng ước lượng p (0, 0128; 0, 0672) 4.3.4 Ước lượng phương sai Đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối chuẩn X  N (,  ) phương sai D(X )   chưa biết Cho số  nhỏ, ước lượng phương sai  với mức ý nghĩa  khoảng (12 , 22 ) cho: P (12    22 )    Từ X lập mẫu ngẫu nhiên WX  (X1, X 2, , X n ) xét trường hợp sau: a) Trường hợp 1: Biết E(X )   n Ta chọn 2   (Xi  )2  i 1  2 (n ) Trong đó: 2 (n) phân phối chi bình phương bậc tự n Thực phép thử để có mẫu cụ thể w X  (x 1, x 2, , x n ) Khi đó: k   (12, 22 ) với: 12   (x i  )2.ni i 1   1 (n ) k ; 22   (x i  )2.ni i 1 2 (n ) Ví dụ 5.6: Kiểm tra 25 sản phẩm công ty sản xuất thức ăn đóng gói ta kết sau: Trọng lượng (g) 195 Số sản phẩm 86 200 205 Biết trọng lượng trung bình   200 g Hãy ước lượng sai trọng lượng sản phẩm với độ tin cậy 90% Giải Ta lập bảng tính sau: 2 xi ni xi    xi    ni  x i    195 5 25 125 200 0 205 25 50  n  25 175    90%  0,    0,1     0, 05    0, 95 2 Tra bảng phân vị  với bậc tự n  25 , ta 2 2  (n )  0,95 (25)  37, 6526 , 2 (n )  0,05 (25)  14, 6114 1 2  12  175  4, 6478; 37, 6526 22  175  11, 9769 14, 6114 Vậy khoảng ước lượng  (4, 6478;11, 9769) b) Trường hợp 2: Chưa biết E(X )   Chọn thống kê: 2  (n  1).S   2 (n  1) Thực phép thử để có mẫu cụ thể w X  (x 1, x 2, , x n ) , tính s Khi khoảng ước lượng phương sai  với độ tin cậy   là: (12 , 22 ) với 12  (n  1).s 2  1 (n  1) ; 22  (n  1).s 2 (n  1) 87 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT Sau học xong chương này, sinh viên có thể:  Về kiến thức: - Hiểu rõ khái niệm: giả thiết thống kê, kiểm định giả thiết thống kê; giả thiết cần kiểm định; giả thiết đối; mức ý nghĩa; p-value; miền bác bỏ; sai lầm loại 1; sai lầm loại - Trình bày phương pháp kiểm định giá trị trung bình, tỉ lệ phương sai tổng thể  Kĩ năng: - Biết cách đặt giả thiết thống kê - Biết tiến hành kiểm định giả thiết giá trị trung bình, tỷ lệ phương sai tổng thể - Biết tính xác suất mắc phải sai lầm loại (p-value) sai lầm loại  Thái độ: - Cẩn thận, xác tính tốn, lập luận - Tích cực tham gia vào học 5.1 KHÁI NIỆM 5.1.1 Các khái niệm định nghĩa Kiểm định giả thiết thống kê vấn đề quan trọng Thống kê Nội dung công việc số liệu thu để đưa kết luận giả thiết thống kê mà ta quan tâm a) Giả thiết thống kê Là giả thiết nói tham số, dạng quy luật phân phối, tính độc lập đại lượng ngẫu nhiên Chẳng hạn giả thiết cho đại lượng ngẫu nhiên có phân phối theo luật chuẩn, giả thiết cho trọng lượng 88 trung bình loại sản phẩm có xu hướng giảm sút, giả thiết cho tuổi thọ trung bình hai loại bóng đèn A B nhau, Giả thiết thống kê kí hiệu H b) Kiểm định giả thiết thống kê Là việc tìm kết luận tính thừa nhận hay không thừa nhận giả thiết thống kê c) Giả thiết đối (đối thiết) Là dạng mệnh đề trái ngược với giả thiết thống kê H d) Sai lầm loại sai lầm loại Khi kiểm định giả thiết thống kê mắc hai dạng sai lầm sau - Sai lầm loại 1: Bác bỏ giả thiết - Sai lầm loại 2: Chấp nhận giả thiết sai Nếu muốn làm giảm xác suất mắc sai lầm loại làm tăng xác suất mắc sai lầm loại (và ngược lại) kiểm định e) Mức ý nghĩa  Là xác suất mắc phải sai lầm loại Khi kiểm định giả thiết thống kê H , người ta thường ấn định trước mức ý nghĩa (là xác suất nhỏ) tìm cách hạn chế xác suất mắc sai lầm loại f) Miền bác bỏ Là miền giá trị W xác định từ mức ý nghĩa  cho H sai giá trị quan sát u  W (Giá trị quan sát u xác định từ mẫu số liệu quan sát) 89 5.1.2 Kiểm định giả thiết thống kê tham số đại lượng ngẫu nhiên a) Bài toán Giả sử tổng thể nghiên cứu (tương ứng với đại lượng ngẫu nhiên gốc X ) có tham số  (trung bình, tỷ lệ phương sai) chưa biết Dựa vào sở người ta đưa giả thiết: H :   0 Cho trước mức ý nghĩa  mẫu số liệu có kích thước n , kiểm định giả thiết H CHÚ Ý 5.1 Giả thiết H thường xét song song với ba dạng đối thiết sau: H1 :    0 ; H :   0 ; H :   0 5.1.3 Nguyên tắc kiểm định Từ mẫu ngẫu nhiên WX  (X1, X 2, , X n ) chọn thống kê    W )     f (X1, X 2, , X n ) cho H P ( • Lấy mẫu quan sát cụ thể w X  (x 1, x , , x n ) mẫu ngẫu nhiên WX  (X1, X 2, , X n ) , xác định giá trị quan sát u  f (x 1, x 2, , x n ) • Từ mức ý nghĩa  , xác định miền bác bỏ W • Kết luận - Nếu u  W bác bỏ giả thiết H , thừa nhận đối thiết tương ứng - Nếu u  W thừa nhận H 90 5.2 SO SÁNH THAM SỐ TỪ BẢNG THỐNG KÊ 5.2.1 Kiểm định trung bình Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có trung bình E (X )  m chưa biết Ta đưa giả thuyết để kiểm định H : m  m đối thuyết tương ứng H1 : m   m0 ; H : m  m ; H : m  m Ta xét trường hợp: a) D( X)  2 biết n  30 ( n  30 X có phân phối chuẩn) Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm miền bác bỏ W theo đối thuyết sau:  m W  (; u Nếu H : m  1 )  (u 1  ; ) Nếu H : m  m W  (; u1 ) Nếu H : m  m W  (u1 ; ) Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị quan sát là: u  (x  m ) n  Kết luận:  Nếu u  W bác bỏ giả thuyết H , chấp nhận đối thuyết H  Nếu u  W chấp nhận giả thuyết H , bác bỏ đối thuyết H Ví dụ 5.1: Khối lượng sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên X có trung bình quy định m  100 g, độ lệch chuẩn   0, g Sau thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ khối lượng sản phẩm có xu hướng tăng lên Kiểm tra 60 sản phẩm tính trung bình mẫu x  100, a Với độ tin cậy 95% , kết luận nghi ngờ b Câu hỏi tương tự với độ tin cậy 99% 91 c Với độ tin cậy lớn để kết luận điều nghi ngờ nói đúng? Giải Chọn giả thiết: H : m  100 g; đối thiết: H : m  100 g a Với độ tin cậy    95%  0, 95  u1  u 0,95  1, 65 Miền bác bỏ: W  (u1 ; )  (1, 65; ) Giá trị quan sát: u  (x  m0 ) n (100,  100) 60   1, 94  W  0, Vậy với độ tin cậy 95%, ta bác bỏ H , chấp nhận H Tức nghi ngờ b Với độ tin cậy    99%  0, 99  u1  u 0,99  2, 33 Miền bác bỏ: W  (u1 ; )  (2, 33; ) Giá trị quan sát: u  1, 94  W Vậy với độ tin cậy 99%, ta chấp nhận H Tức nghi ngờ sai c Để kết luận điều nghi ngờ nói ta phải có: u  W  1, 94  (u1 ; )  u1  1, 94  u 0,9738     0, 9738 Vậy độ tin cậy lớn 97, 38% b) D( X)  2 chưa biết n  30 Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm miền bác bỏ W theo đối thuyết giống trường hợp 92 Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị quan sát là: u  (x  m ) n s Kết luận: Giống trường hợp c) D( X)  2 chưa biết n  30 X có phân phối chuẩn Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm miền bác bỏ W theo đối thuyết sau:  m W  (; t Nếu H : m  1  (n  1))  (t 1  (n  1); ) Nếu H : m  m W  (; t1 (n  1)) Nếu H : m  m W  (t1 (n  1); ) Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị quan sát là: t0  (x  m ) n s Kết luận:  Nếu t0  W bác bỏ giả thuyết H , chấp nhận đối thuyết H  Nếu t0  W chấp nhận giả thuyết H , bác bỏ đối thuyết H 5.2.2 Kiểm định tỉ lệ Giả sử tổng thể có hai loại phần tử (phần tử có tính chất A khơng có tính chất A ) Gọi p tỉ lệ phần tử có tính chất A tổng thể Ta đưa giả thuyết kiểm định H : p  p0 Khi đó, H nhận  p0 ; H : p  p ; H : p  p đối thuyết tương ứng là: H : p  Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm miền bác bỏ W theo đối thuyết sau: Nếu H : p   p0 W  (; u 1 )  (u 1  ; ) Nếu H : p  p0 W  (; u1 ) Nếu H : p  p0 W  (u1 ; ) 93 Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị quan sát u  (f  p0 ) n p0q , f tỉ lệ phần tử có tính chất A (của mẫu) Kết luận:  Nếu u  W bác bỏ giả thuyết H , chấp nhận đối thuyết H  Nếu u  W chấp nhận giả thuyết H , bác bỏ đối thuyết H Ví dụ 5.2: Tỉ lệ phế phẩm máy p  5% Sau cải tiến kỹ thuật, kiểm tra 400 sản phẩm có 12 phế phẩm Với độ tin cậy 99% , kết luận việc cải tiến kỹ thuật có hiệu hay khơng? Giải f  12  0, 03 400 Chọn giả thiết: H : p  0, 05 ; đối thiết: H : p  0, 05 Với độ tin cậy    99%  0, 99  u1  u 0,99  2, 33 Miền bác bỏ: W  (; u1 )  (; 2, 33) Giá trị quan sát: u  ( f  p0 ) n p0q  (0, 03  0, 05) 400 0, 05.0, 95  1, 84  W Vậy với độ tin cậy 99%, ta chấp nhận H Tức cải tiến không hiệu 5.2.3 Kiểm định phương sai Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với phương sai D(X )   chưa biết Ta đưa giả thuyết để kiểm định H :   02 Khi đó, H nhận đối thuyết tương ứng H :   02 ; H :   02 ; H :   02 94 Với mức ý nghĩa  cho trước, ta tìm miền bác bỏ W theo đối thuyết sau: Nếu H :   02 W  (; 2 (n  1))  (2 1  (n  1); ) Nếu H :   02 W  (; 12 (n  1)) Nếu H :   02 W  (12 (n  1); ) Với mẫu cụ thể, ta tính giá trị quan sát là: 02  (n  1).s 02 Kết luận:  Nếu 02  W bác bỏ giả thuyết H , chấp nhận đối thuyết H  Nếu 02  W chấp nhận giả thuyết H , bác bỏ đối thuyết H Ví dụ 5.3: Khối lượng sản phẩm hệ thống máy sản xuất đại lượng ngẫu nhiên X có luật phân phối chuẩn, phương sai D(X )  15 g2 Sau thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ khối lượng sản phẩm sản xuất không ổn định Kiểm tra 25 sản phẩm, tính phương sai điều chỉnh s  26g2 Với độ tin cậy 99%, kết luận nghi ngờ Giải Chọn giả thiết: H :   15 ; đối thiết: H :   15 Với độ tin cậy    95%  0, 95    0, 05     0, 025    0, 975 2 2 (n  1)  0,025 (24)  12, 4011 2 2  (n  1)  0,975 (24)  39, 3641 1 95 Miền bác bỏ: W  (;12, 4011)  (39, 3641; ) Giá trị quan sát: 02  (n  1).s 02  24.26  41,  W 15 Vậy với độ tin cậy 95%, ta bác bỏ H , chấp nhận H Tức nghi ngờ 5.3 SO SÁNH HAI THAM SỐ THỐNG KÊ 5.3.1 Kiểm định giả thiết trung bình Giả sử đại lượng ngẫu nhiên X , Y độc lập, phân phối theo quy luật chuẩn với E (X ), E (Y ) chưa biết Cần kiểm định giả thiết: H : E (X )  E (Y ) Với đối thiết: H : E (X )   E (Y ); H : E (X )  E (Y ); H : E (X )  E (Y ) • Miền bác bỏ: xác định giống kiểm định tỷ lệ • Giá trị quan sát u  x y D(X ) D (Y )  m n ( m, n kích thước mẫu lấy từ tổng thể tương ứng với đại lượng X , Y ; chưa có D(X ), D (Y ) ta thay sx , sy ) 5.3.2 Kiểm định giả thiết tỷ lệ Giả sử p1, p2 tỷ lệ phần tử có tính chất A tương ứng tổng thể khác có loại phần tử Cần kiểm định giả thiết H : p1  p2 với đối thiết: H : p1  p2 ; H : p  p2 ; H : p  p2 • Miền bác bỏ: xác định giống kiểm định tỷ lệ 96 • Giá trị quan sát: u  f1  f2 1 1 p *   p *      m n  Trong + f1 tỷ lệ phần tử có tính chất A mẫu ứng với tổng thể + f2 tỷ lệ phần tử có tính chất A mẫu ứng với tổng thể + p*  mf1  nf2 m n 97 MỤC LỤC Chương BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 0.1 BIỂU DIỄN TẬP HỢP 0.1.1 Khái niệm tập hợp 0.1.2 Các cách biểu diễn tập hợp 0.1.3 Tập rỗng 0.1.4 Tập 0.2 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 0.2.1 Phép giao 0.2.2 Phép hợp 0.2.3 Phép hiệu 0.2.4 Các tính chất phép tốn tập hợp 0.3 CÁC QUY TẮC CỦA PHÉP ĐẾM 0.3.1 Quy tắc cộng 0.3.2 Quy tắc nhân 0.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 0.4.1 Chỉnh hợp 0.4.2 Hoán vị 0.4.3 Chỉnh hợp lặp 0.4.4 Tổ hợp BÀI TẬP .11 Chương 13 XÁC SUẤT 13 1.1 HIỆN TƯỢNG NGẪU NHIÊN 13 1.1.1 Khái niệm phép thử biến cố 13 1.1.2 Các loại biến cố 14 1.1.3 Các dạng quan hệ biến cố 18 1.2 XÁC SUẤT 19 1.2.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển 19 98 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê 21 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 22 1.2.4 Các tính chất xác suất 23 1.3 CÁC CÔNG THỨC XÁC SUẤT 24 1.3.1 Công thức cộng xác suất 24 1.3.2 Công thức nhân xác suất 27 1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 32 1.3.4 Công thức Bernoulli 34 BÀI TẬP 36 Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 44 2.1 KHÁI NIỆM 44 2.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên 44 2.1.2 Các loại đại lượng ngẫu nhiên 46 2.2 XÁC ĐỊNH ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 46 2.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 53 2.3.1 Kỳ vọng 53 2.3.2 Phương sai 56 2.3.3 Độ lệch chuẩn 59 2.3.4 Mode 59 Chương PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 61 3.1 CÁC PHÂN PHỐI RỜI RẠC 61 3.1.1 Phân phối nhị thức 61 3.1.2 Phân phối Poisson 64 3.1.3 Phân phối siêu bội 66 3.2 CÁC PHÂN PHỐI LIÊN TỤC 68 3.2.1 Phân phối chuẩn 68 3.2.2 Phân phối  (chi - bình phương) 72 3.2.3 Phân phối Student 73 99 Chương MẪU THỐNG KÊ VÀ ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 75 4.1 LÝ THUYẾT MẪU VÀ LÝ THUYẾT ƯỚC LƯỢNG 75 4.1.1 Khái niệm tổng thể mẫu .75 4.1.2 Đại lượng ngẫu nhiên gốc mẫu ngẫu nhiên 76 4.1.3 Các đặc trưng mẫu ngẫu nhiên 77 4.1.4 Các đặc trưng mẫu cụ thể 78 4.1.5 Lý thuyết ước lượng 78 4.2 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM .79 4.2.1 Ước lượng không chệch 79 4.2.2 Ước lượng hiệu 80 4.2.3 Ước lượng vững 80 4.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG .80 4.3.1 Bài toán chung 80 4.3.2 Ước lượng trung bình 81 4.3.3 Ước lượng tỉ lệ 84 4.3.4 Ước lượng phương sai 86 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 88 5.1 KHÁI NIỆM 88 5.1.1 Các khái niệm định nghĩa .88 5.1.2 Kiểm định giả thiết thống kê tham số đại lượng ngẫu nhiên 90 5.1.3 Nguyên tắc kiểm định 90 5.2 SO SÁNH THAM SỐ TỪ BẢNG THỐNG KÊ 91 5.2.1 Kiểm định trung bình 91 5.2.2 Kiểm định tỉ lệ 93 5.2.3 Kiểm định phương sai 94 5.3 SO SÁNH HAI THAM SỐ THỐNG KÊ 96 5.3.1 Kiểm định giả thiết trung bình .96 5.3.2 Kiểm định giả thiết tỷ lệ .96 100