Giáo trình Toán kinh tế Phần (Trường ĐH Kinh tế Nghệ An)

- GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Một số ví dụ tốn quy hoạch tuyến tính 1.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất 1.2 Bài tốn phân cơng lao động 1.3 Bài toán vận tải Bài tốn quy hoạch tuyến tính 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc chuẩn tắc 10 2.3 Chuyển đổi dạng toán quy hoạch tuyến tính 12 Thuật tốn đồ thị giải tốn quy hoạch tuyến tính hai biến 14 3.1 Nhận xét 14 3.2 Thuật toán đồ thị giải toán quy hoạch tuyến tính 14 17 Một số yếu tố hình học khơng gian  n 4.1 Tập hợp lồi 17 4.2 Các tính chất tập hợp lồi 18 Các tính chất tốn quy hoạch tuyến tính 18 5.1 Các giả thiết ban đầu 18 5.2 Các tính chất tốn quy hoạch tuyến tính 19 28 Cơ sở lý luận phương pháp đơn hình 6.1 Cơ sở lý luận phương pháp đơn hình 28 6.2 Cơng thức đổi tọa độ bảng đơn hình 33 6.3 Bài tốn suy biến 38 39 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát 7.1 Bài toán giả tạo 39 7.2 Mối quan hệ phương án tối ưu tốn tắc tốn 42 giả tạo -1- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - CHƯƠNG BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU 45 Khái niệm tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 45 1.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu khơng đối xứng 45 1.2 Quy tắc thành lập toán đối ngẫu 47 1.3 Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu đối xứng 49 Các định lý đối ngẫu 51 Phương pháp đơn hình đối ngẫu 55 3.1 Nội dung phương pháp 55 3.2 Thuật toán đơn hình đối ngẫu 56 CHƯƠNG BÀI TỐN VẬN TẢI 59 Các khái niệm tính chất toán vận tải 59 1.1 Nội dung kinh tế mơ hình tốn học tốn vận tải 59 1.2 Mơ hình bảng tốn vận tải 63 1.3 Tính chất tốn vận tải cân thu phát 65 Thuật toán vị giải toán vận tải cân thu phát 67 2.1 Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát 67 2.2 Tiêu chuẩn tối ưu cho phương án toán vận tải cân 71 thu phát 2.3 Phương pháp cải tiến phương án 73 81 Bài toán vận tải không cân thu phát 3.1 Phát lớn thu 81 3.2 Phát thu 86 Bài toán phân phối 90 4.1 Định nghĩa 91 4.2 Phương pháp giải 91 Bài tốn cấm 96 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG BÀI TOÁN QUY 99 HOẠCH TUYẾN TÍNH I BÀI TỐN SẢN XUẤT ĐỒNG BỘ -2- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Các khái niệm tính chất tốn sản xuất đồng 1.1 Nội dung kinh tế mơ hình toán học toán sản xuất 99 99 đồng 1.2 Tính chất tốn sản xuất đồng 103 107 Phương pháp nhân tử giải tốn sản xuất đồng 2.1 Phương pháp tìm phương án cực biên suy rộng ban đầu 107 2.2 Xây dựng hệ thống số kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu 110 2.3 Điều chỉnh phương án 111 2.4 Thuật toán nhân tử giải toán sản xuất đồng 113 II BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN 117 Một số khái niệm mở đầu 117 1.1 Ví dụ trị chơi ma trận 117 1.2 Bài tốn trị chơi ma trận 117 1.3 Hàm thu hoạch P 118 Điểm yên ngựa chiến lược tối ưu 120 2.1 Điểm yên ngựa 120 2.2 Chiến lược tối ưu 121 2.3 Trò chơi đối xứng 122 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho tốn trị chơi ma trận 123 3.1 Đưa trò chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính 123 3.2 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho tốn trị chơi ma trận 125 TÀI LIỆU THAM KHẢO 128 -3- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học kinh tế hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với Kinh tế nguồn cảm hứng cho toán học thực khả tiềm mình, cịn tốn học cơng cụ giúp cho việc phân tích, giải vấn đề kinh tế cách chặt chẽ, hợp lý hiệu Toán kinh tế việc nghiên cứu để mô tả vấn đề kinh tế dạng mơ hình tốn học thích hợp từ góc độ tốn học tìm lời giải cho mơ hình đó, từ giúp nhà kinh tế tìm giải pháp tối ưu cho toán kinh tế Để đáp ứng nhu cầu giảng dạy học tập mơn Tốn kinh tế cho sinh viên hệ đại học cao đẳng, biên soạn giáo trình Giáo trình khơng sâu vào vấn đề lý luận kỹ thuật toán học phức tạp mà tập trung trình bày nội dung thuật tốn lý thuyết tối ưu tuyến tính Nhằm giúp sinh viên rèn luyện kỹ giáo trình có đầy đủ ví dụ cụ thể mơ tả tình huống, hướng dẫn tỉ mỉ tồn q trình giải vấn đề Nội dung giáo trình gồm chương: Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính Chương Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Chương Bài toán vận tải Chương Một số toán ứng dụng toán quy hoạch tuyến tính Mặc dù có nhiều cố gắng, giáo trình chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong bạn đọc góp ý để sách ngày hoàn thiện Các tác giả -4- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất 1.1.1 Nội dung toán Một sở sản xuất sản xuất hai loại sản phẩm A B, từ nguyên liệu I, II, III Chi phí loại nguyên liệu tiền lãi đơn vị sản phẩm, dự trữ nguyên liệu cho Bảng 1.1 Bảng 1.1 Nguyên liệu Lãi I II III A B 1 Dự trữ Sản phẩm (đơn vị tiền) Hãy lập toán thể kế hoạch sản xuất cho có tổng số lãi lớn phù hợp với điều kiện dự trữ nguyên liệu 1.1.2 Mơ hình tốn học tốn Gọi x1, x2 số sản phẩm A B sản xuất Khi đó: Tổng số lãi là: 3x1 + 5x2 Tổng số nguyên liệu I cần sử dụng là: 2x1 + x2 Tổng số nguyên liệu II cần sử dụng là: x2 Tổng số nguyên liệu III cần sử dụng là: x1 Theo ra, ta có mơ hình tốn học: Tìm X(x1, x2) cho f(X) = 3x1 + 5x2  max -5- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 2x1  x   x2   với điều kiện  x1 3   x j  0, j  1,2  1.2 Bài tốn phân cơng lao động 1.2.1 Nội dung tốn Một phân xưởng có dây chuyền sản xuất khác sản xuất loại sản phẩm Lượng sản phẩm loại sản xuất sử dụng dây chuyền sản xuất loại chi phí sản xuất dây chuyền sau hoạt động với nhu cầu tối thiểu sản phẩm cho Bảng 1.2 Bảng 1.2 Sản phẩm (SP) Dây chuyền sản xuất Nhu cầu I II III IV tối thiểu SP 1 1600 SP 2 2200 SP 3 2000 Chi phí (1000đ) 10 13 16 Hãy lập tốn để bố trí thời gian cho dây chuyền sản xuất cho thỏa mãn nhu cầu tối thiểu sản phẩm đồng thời tổng chi phí sản xuất thấp 1.2.2 Mơ hình tốn học tốn Gọi xj thời gian (giờ) áp dụng dây chuyền sản xuất thứ j (j = 1,4 ) đó: Tổng chi phí sản xuất là: 10x1 + 5x2 + 13x3 + 16x4 (1000đ) Tổng lượng sản phẩm sản xuất là: 2x1 + 3x2 + x3 + x4 Tổng lượng sản phẩm sản xuất là: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 Tổng lượng sản phẩm sản xuất là: 3x1 + x2 + 4x3 + 5x4 Theo ra, ta có mơ hình tốn học: Tìm X(x1, x2, x3, x4) cho f(X) = 10x1 + 5x2 + 13x3 + 16x4  -6- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ -  2x1  3x  x  x  1600  x  2x  3x  4x  2200  với điều kiện  3x1  x  4x  5x  2000   x j  0, j  1,  1.3 Bài toán vận tải 1.3.1 Nội dung toán Một đơn vị vận tải cần vận chuyển xi măng từ kho K1, K2, K3 tới công trường xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lượng xi măng có kho, lượng xi măng cần công trường giá cước vận chuyển (ngàn đồng) xi măng từ kho tới công trường Bảng 1.3 Bảng 1.3 Kho xi măng Công trường xây dựng T1: 130 T2: 160 T3: 120 T4: 140 K1: 170 20 18 22 25 K2: 200 15 25 30 15 K3: 180 45 30 40 35 Hãy lập toán tìm kế hoạch vận chuyển xi măng từ kho tới cơng trường cho tổng chi phí vận chuyển nhỏ kho phát hết lượng xi măng có, cơng trường nhận đủ lượng xi măng cần? 1.3.2 Mơ hình tốn học toán Gọi xij lượng xi măng cần vận chuyển từ kho i (i = 1, 2, 3) tới công trường j (j = 1, 2, 3, 4) Khi đó: Kho K1 phát hết lượng xi măng có: x11 + x12 + x13 + x14 = 170 Kho K2 phát hết lượng xi măng có: x21 + x22 + x23 + x24 = 200 Kho K3 phát hết lượng xi măng có: x31 + x32 + x33 + x34 = 180 Công trường T1 nhận đủ số xi măng cần: x11 + x21 + x31 = 130 Công trường T2 nhận đủ số xi măng cần: x12 + x22 + x32 = 160 Công trường T3 nhận đủ số xi măng cần: x13 + x23 + x33 = 120 -7- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Cơng trường T4 nhận đủ số xi măng cần: x14 + x24 + x34 = 130 Lượng hàng vận chuyển không âm: xij  0, i = 1,3 , j = 1,4 Tổng chi phí vận chuyển: f(X) = 20x11 + 18x12 + 22x13 + 25x14 + 15x21 + 25x22 + 30x23 + 15x24 + 45x31 + 30x32 + 40x33 + 35x34 Vậy mơ hình tốn học tốn là: Tìm X = [xij]3x4 cho f(X)  với X thỏa mãn điều kiện Tổng quát: Gọi m số kho chứa hàng (điểm phát), n số nơi tiêu thụ hàng (điểm thu) lượng hàng có (cung) điểm phát thứ i (i = 1, m ) bj lượng hàng cần (cầu) điểm thu thứ j (j = 1,n ) cij chi phí vận chuyển đơn vị hàng từ điểm phát i tới điểm thu j xij lượng hàng vận chuyển cần tìm từ điểm phát i tới điểm thu j Mơ hình tốn học tốn vận tải có dạng: m n f (X)   cijx ij  i 1 j1  n   x ij  a i ,i  1,m j 1   m với điều kiện   x  b , j  1,n ij j i    x ij  0,i  1, m; j  1, n   BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (QHTT) 2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tổng qt Định nghĩa 1.1 Từ toán thực tế nêu nhiều tốn khác, ta thấy tốn QHTT dạng tổng qt có dạng sau: Tìm véctơ X(x1, x2, , xn) cho hàm số n f (X)  c1x1  c x   c n x n   c jx j  (max) (1.1) j1 -8- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - n  a ijx j  bi ,i  1,p  j1 n  a ijx j  bi ,i  p  1,q với điều kiện:  j1 n  a ijx j  bi ,i  q  1,m  j1   x j  0, j  1, k; x j  0, j  k  1,r; (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) đó: p, q, m, k, n, r số nguyên thỏa mãn: 0 p  q  m;  k  r  n xj biến số, hệ số cj, aij, bi (j = 1,n ; i = 1, m ) Khi đó: ▪ Hàm số f(X) = n c x j1 j j gọi hàm mục tiêu ▪ Các bất phương trình (1.2) - (1.5) gọi hệ ràng buộc toán Các ràng buộc (1.2) - (1.4) gọi ràng buộc (hay ràng buộc cưỡng bức) Các ràng buộc (1.5) gọi ràng buộc dấu (hay ràng buộc tự nhiên) toán Định nghĩa 1.2 Véc tơ X(x1, x2, , xn) thỏa mãn hệ ràng buộc (1.2) - (1.5) gọi phương án toán Ký hiệu tập hợp phương án toán QHTT  Ta có khả năng: - Bài tốn (1.2)  (1.5) có vơ số phương án, tức tập  có vơ số phần tử - Bài tốn (1.2)  (1.5) có phương án, tức tập  có phần tử - Bài tốn (1.2)  (1.5) khơng có phương án nào, tức tập  =  Định nghĩa 1.3 Phương án X * ( x1* , x2* , , x n* ) toán (1.2)  (1.5) gọi phương án tối ưu (PATƯ) toán nếu: f(X*)  f(X),  X  (đối với toán f(X)  min) f(X*)  f(X),  X  (đối với toán f(X)  max) Chú ý: Tập PATƯ tốn QHTT điểm vơ số điểm khơng có điểm -9- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Định nghĩa 1.4 Nếu tốn QHTT có phương án tối ưu tốn gọi giải (hay tốn có lời giải) phương án tối ưu tốn cịn gọi lời giải tốn Nếu tốn QHTT khơng có phương án tối ưu tốn gọi khơng giải (hay tốn khơng có lời giải) Định nghĩa 1.5 Nếu phương án X(x1, x2, , xn) toán QHTT làm thỏa mãn n a x j1 ij j  bi phương án X gọi thỏa mãn chặt ràng buộc i tương ứng (1.2), (1.3) (1.4) Nếu phương án X(x1, x2, , xn) có xj = phương án X gọi thỏa mãn chặt ràng buộc dấu tương ứng (nếu có ràng buộc loại xj  xj  0) Nếu phương án X(x1, x2, , xn) thỏa mãn n a x ij j1 j  bi (hoặc n a x j1 ij j  bi xj > xj < 0) phương án X gọi thỏa mãn lỏng ràng buộc tương ứng (nếu có) 2.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc chuẩn tắc 2.2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc Bài tốn QHTT tắc có dạng: Tìm X(x1, x2, , xn) cho n f (X)  c1x1  c x   c n x n   c jx j  (1.6) j1 n  a ijx j  bi ,i  1, m với điều kiện  j1  x  0, j  1, n  j  a11 a12 a a 22 Nếu ký hiệu A =  21   a m1 a m2 (1.7) (1.8) a1n  a 2n   ma trận cấp m  n, gọi ma trận   a mn  ràng buộc toán; - 10 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Đưa ô (i2, j2) vào tập ô chọn thay cho ô (i1, j1) - Xây dựng hệ thống nhân tử w2 = (ui' , v 'j ) cách: + Hoặc ui'  ui , v 'j   v j hàng i hay cột j có chữ λ + Hoặc tính lại từ đầu cách đặt nhân tử vj = cột j đó, sau tính ui, vj theo công thức ui – aijvj = với (i, j )  H Ta có phương án cực biên w2 tốt w1 Gán w2 = w1 quay trở lại bước Sau hữu hạn bước lặp ta tìm phương án tối ưu Chú ý: + Trường hợp tốn đối ngẫu suy biến, gặp λ =1, ta áp dụng thuật tốn bình thường kết khơng cho phương án cực biên suy rộng mà chuyển sang sở khác phương án Điều làm xuất hiện tượng xoay vòng Tuy nhiên thực tế tính tốn dễ dàng khỏi tượng xoay vịng + Khi λ đạt nhiều khác dấu hiệu toán suy biến, ta chọn ngẫu nhiên vào làm chọn Ví dụ 4.2: Tìm phương án tối ưu toán sản xuất đồng với phương án cực biên suy rộng xây dựng ví dụ Bảng 4.4 50 60 100 * 96 * 99 70 45 * 70 72 57 * 80 65 * 40 41 u1 = 100 * (-) * 25 u3 = 75 38 u4 = 95 (+) v1 = 5/3 V2 = u2 = 100 λ v3 = 25/24 v4 = 100/41 λ - 114 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Z u i 1 v j 1 i j  100  100  75  95  60,19 /   25 / 24  100 / 41 Nhận thấy cột có chọn (2, 4) nên x24 = Z/a24 > Trên hàng có chọn (2, 1) (2, 4) nên x21 + x24 = Suy x21 = - x24 < 0, ghi dấu (-) vào ô (2, 1) bảng Ta chuyển sang điều chỉnh phương án x21 < nên u2 phải sửa, dóng theo dịng gặp chọn (2, 4) nhân tử cột v4 phải sửa Dóng theo cột khơng gặp chọn nữa, nhân tử khác giữ nguyên (những nhân tử phải sửa ta viết thêm chữ λ vào cạnh bên để đánh dấu bảng trên)    100 75 95  41  , , A = {(1, 4), (3, 4), (4, 4)}, λ =  100 100 100  40  40  25 38 41 41 41   Cực tiểu đạt ô (1, 4) (4, 4) Lấy ô làm ô chọn thay ô (2, 1) bị loại, chẳng hạn ô (4, 4), ghi dấu (+) vào ô (4, 4) bảng Xây dựng bảng với hệ thống ô chọn mới, hệ thống nhân tử theo hai cách: Hoặc ui'  ui , v 'j   v j hàng i hay cột j có chữ λ, tính lại từ đầu cách đặt nhân tử cột vj = Bảng 4.5 50 100 * 96 60 99 70 * 40 u1 = 100 41 45 * 70 72 57 * 80 65 V2 = v3 = 25/24 v4 = 5/2 v1 = 5/3 * * - 115 - 25 u2 = 102,5 u3 = 75 38 * u4 = 95 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Ta có Z  u i 1 v j 1 i j  100  102,5  75  95  60 /   25 / 24  / x12 + x13 = x24 = x31 + x33 = x41 + x44 = 45x31 + 57x41 = 60 100x12 = 60 96x13 + 72x33 = 60 41x24 + 38x44 = 60 Giải hệ ta tìm được: x24 = 1; x44 = 0,5; x41 = 0,5; x31 = 0,7; x33 = 0,3; x13 = 0,4; x12 = 0,6 Do xij ≥ nên phương án tối ưu cần tìm tốn cho  0,6 0,4   0  *  X   0,7 0,3    0,5   0,5 với số sản phẩm đủ sản xuất nhiều fmax= 60 - 116 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - II BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN MỘT SỐ KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU 1.1 Ví dụ trị chơi ma trận + Quy tắc chơi: Hai đối thủ P Q chơi, người có viên bi trắng (T) viên bi xanh (X) Cùng lúc (bằng hiệu lệnh đó) người lấy viên bi đặt lên bàn + Cách trả tiền: Q trả cho P đồng hai viên bi chọn màu, – đồng (nghĩa P trả cho Q đồng) hai viên bi chọn khác màu Trong trường hợp đầu ta nói P thắng, Q thua; trường hợp sau ta nói Q thắng, P thua Trị chơi tiếp tục Số tiền trả hay – biểu thị số thu nhập hay số tổn thất P P mong muốn làm cực đại số thu nhập nên P gọi người chơi max, cịn Q mong muốn làm cực tiểu số thu nhập đối thủ P (hay cực tiểu số tổn thất mình) nên Q gọi người chơi + Ma trận trò chơi: thể bảng 4.6 Bảng 4.6 Q S N S -1 N -1 P  1 Ma trận A =   gọi ma trận thu hoạch hay ma trận thắng  1  hay ma trận trả tiền P Ví dụ dạng trò chơi ma trận hay gọi trò chơi đối kháng hai đối thủ với tổng (số thu hoạch người số tổn thất người kia) 1.2 Bài tốn trị chơi ma trận Định nghĩa 4.3 Trò chơi ma trận trò chơi xác định ma trận m hàng, n cột A = (aij)mxn với aij số thực tùy ý cho trước Ma trận A gọi ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Phần tử aij biểu thị mức độ - 117 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - thắng (chẳng hạn số tiền mà Q phải trả cho P, thắng aij > 0, thua aij < 0,hịa aij = 0) P P chọn cách chơi thứ i, Q chọn cách chơi thứ j Đối với người chơi P A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền), ngược lại người chơi Q - A ma trận thắng (hay ma trận thu hoạch, hay ma trận trả tiền) Định nghĩa 4.4 Với i = 1, 2, …, m, véc tơ đơn vị thứ i X = (0, 0, …, 1, …, 0)   m với số tọa độ thứ i, gọi chiến lược đơn thứ i P Véc tơ chiến lược thứ i biểu thị việc người chơi P chọn hàng i ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lược đơn thứ i ta nói chiến lược i Tương tự, Với j = 1, 2, …, n, véc tơ đơn vị thứ j X = (0, 0, …, 1, …, 0)   n với số tọa độ thứ j, gọi chiến lược đơn thứ j Q Véc tơ chiến lược thứ j biểu thị việc người chơi Q chọn hàng j ma trận A Để đơn giản, thay nói chiến lược đơn thứ j ta nói chiến lược j Chú ý trò chơi ma trận, thông tin cách chơi đối thủ cần giữ kín Ở lần chơi, đối thủ không chọn cố định chiến lược đơn ( hàng, cột) cụ thể mà lựa chọn phối hợp hàng (cột) theo tỷ lệ (xác suất) Vì thế, ta đến khái niệm chiến lược hỗn hợp Định nghĩa 4.5 Véc tơ X = (x1, x2, …, xm) với xi  0,i  1, m x1 + x2 + …+ xm = 1, xi biểu thị xác suất để P chọn cách chơi thứ i, gọi chiến lược hỗn hợp P Tương tự, Véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) với yj  0, j  1, n y1 + y2 + …+ yn = 1, yj biểu thị xác suất để Q chọn cách chơi thứ j, gọi chiến lược hỗn hợp Q 1.3 Hàm thu hoạch P - 118 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Khi P chọn chiến lược hỗn hợp X = (x1, x2, …, xm) Q chọn chiến lược hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) phần thắng P (cũng phần thua Q) tính sau: Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ (cột A) kỳ vọng thắng m a P là: a11x1 + a21x2 + … + am1xm = i 1 x i1 i Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ hai (cột A) kỳ vọng thắng P là: a12x1 + a22x2 + … + am2xm = m a i 1 i2 xi … Nếu Q chọn chiến lược đơn thứ n (cột n A) kỳ vọng thắng P là: a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm = m a i 1 in xi Do Q chọn chiến lược hỗn hợp Y = (y1, y2, …, yn) nên kỳ vọng thắng P là: m m m  m  E(X, Y) = y1  a i1x i + y2  a i2 x i + … + yn  a in x i =    a ijx i y j i 1 i 1 i 1 j1  i 1  n Định nghĩa 4.6 Hàm thu hoạch hay số thu hoạch P số thực E(X, Y) =  m     a ijx i y j , j1  i 1  n X = (x1, x2, …, xm) Y = (y1, y2, …, yn) tương ứng chiến lược hỗn hợp P Q Ví dụ 4.3: Xét trị chơi cho ma trận chữ nhật (m = 3, n = 4): 1 3  5     1    1 Xét cặp chiến lược X =  2 1 1  Y =  4 1 1  Tính số thu 4 hoạch P? - 119 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2,5 Q chọn cột 2: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2,25 Q chọn cột 3: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  Q chọn cột 1: kỳ vọng thắng P là:  /   /   /  2, 25 Vậy số thu hoạch P là: E(X, Y) = 2,5  /  2, 25  /   /  2,25  /  2, 25 ĐIỂM YÊN NGỰA VÀ CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU 2.1 Điểm yên ngựa Xét trò chơi cho ma trận trả tiền A = (aij) Nếu P chọn chiến lược đơn thứ i P tin nhận số thu hoạch a ij j Do P chọn chiến lược đơn nên P chọn chiến lược đơn làm cực đại số thắng cuộc, nghĩa P chọn i cho a ij lớn Bằng cách chọn j chiến lược đơn này, P bảo đảm thắng max a ij i j Tương tự, Q chọn chiến lược đơn j, Q tin số tiền phải trả (tổn thất) nhiều max a ij Như Q cách chọn chiến lược đơn làm cực tiểu số tổn i thất Bằng cách chọn chiến lược đơn Q giữ cho P thắng nhiều (Q thua nhất) m ax a ij j i Định nghĩa 4.7 Nếu ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện: max a ij = m ax a ij = ahk = v, i j j i ta nói trị chơi ma trận có điểm yên ngựa giá điểm yên ngựa phần tử ahk = v Khi trị chơi có điểm yên ngựa ahk, P thắng v, P chọn chiến lược đơn h Q thua nhiều v, Q chọn chiến lược đơn k Khi h chiến lược tối ưu cho P k chiến lược tối ưu cho Q Ví dụ 4.4: Cho trị chơi với ma trận trả tiền - 120 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 1  5 1    3 3   Ta có: a1j = a11 = a13 = 1, a 2j = a23 = 0, a 3j = a33 = j j j max a ij = = a33 i j m ax a i1 = a21 = 5, m ax a i2 = a22 = 4, m ax a i3 = a33 = 2, m ax a i4 = a34 = i i i i m ax a ij = = a33 j i Vậy giá điểm yên ngựa a33 = = v, ứng với cặp chiến lược đơn X = (0, 0, 1) Y = (0, 0, 1, 0) Ta nhận xét a33 vừa phần tử nhỏ hàng 3, vừa phần tử lớn cột Bất điểm n ngựa có tính chất Tổng qt, ta có ahk = v giá điểm yên ngựa h chiến lược đơn tối ưu P k chiến lược đơn tối ưu Q Tuy nhiên khơng phải trị chơi ma trận có điểm yên ngựa, nghĩa có chiến lược đơn tối ưu Vì ta đến khái niệm chiến lược hỗn hợp tối ưu 2.2 Chiến lược tối ưu Định nghĩa 4.8 Nghiệm trò chơi ma trận cặp chiến lược hỗn hợp X  (x1 , x , , x m ), Y  (y1 , y , , y n ) số thực v, ký hiệu E( X , Y , v) cho: a E( X , Y ) = v, b E( X , j)  v với chiến lược đơn j = 1, 2, …, n, c E(i, Y ) = v với chiến lược đơn i = 1, 2, …, m X , Y tương ứng gọi chiến lược tối ưu P Q, v gọi giá trò chơi Định nghĩa cho thấy P chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lược tối ưu X dù Q chơi nào, P ln thắng v Cũng vậy, Q - 121 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - chọn cách chơi theo tỷ lệ cho chiến lược tối ưu Y dù P chơi nào, Q thua nhiều v Giá v dương, âm Định lý 4.9 ( Định lý minimax) Mọi trò chơi ma trận với phần tử dương, hàm thu hoạch E(X, Y) tồn giá tối ưu, hay ta có max E( X ,Y )  m ax E( X ,Y ) = v X Y Y X Nhận xét: 1) Mọi trò chơi ma trận, với aij > 0, có nghiệm ( X , Y , v) thỏa mãn E(X, Y ) ≤ E( X , Y ) = v ≤ E( X ,Y), với cặp chiến lược hỗn hợp X, Y 2) Nếu ma trận trả tiền A có phần tử âm ta thay ma trận Ap = (aij + p), với aij + p > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0} Người ta chứng minh chiến lược tối ưu hai trò chơi ứng với ma trận trả tiền A Ap nhau, đồng thời vp = v + p > 2.3 Trò chơi đối xứng 2.3.1 Định nghĩa Trò chơi đối xứng trị chơi có ma trận trả tiền A thỏa mãn điều kiện sau: a) A ma trận vuông cấp n; b) aii = 0,với i; c) aij = -aji, với i, j Ma trận A với tính chất a, b, c gọi ma trận đối xứng lệch Ví dụ 4.5: Trò chơi dân gian: “One – Two -Three” (đọc chệch Oẳn tù tì) trị chơi ma trận với tập chiến lược đơn giống cho hai đấu thủ: lần chơi, người chơi giơ tay hiệu chọn “Giấy” “Búa” “Kéo” với quy ước: Giấy thắng Búa, Búa thắng Kéo, Kéo thắng Giấy Ma trận trả tiền có dạng: - 122 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - Bảng 4.7 Q Giấy Búa Kéo Giấy -1 Búa -1 Kéo -1 P 2.3.2 Tính chất trị chơi đối xứng +) Nếu X = Y E(X, Y) = 0, nghĩa hai người chơi sử dụng chiến lược kỳ vọng thắng họ +) Giả sử chiến lược tối ưu hai người X Y Khi X = Y v = E( X , Y ) = 0, nghĩa giá trò chơi đối xứng Chiến lược tối ưu cho trò chơi “Giấy – Búa – Kéo” X = Y = (1/3, 1/3, 1/3) với giá v = PHƯƠNG PHÁP TÌM CHIẾN LƯỢC TỐI ƯU CHO BÀI TỐN TRỊ CHƠI MA TRẬN 3.1 Đưa trị chơi ma trận tốn quy hoạch tuyến tính Xét trị chơi ma trận A = (aij)mxn Theo định nghĩa định nghĩa tốn P tìm véc tơ X = (x1, x2, …, xm) số v cho a11x1 + a21x2 + … + am1xm ≥ v (cộng theo cột 1), a12x1 + a22x2 + … + am2xm ≥ v (cộng theo cột 2), … a1nx1 + a2nx2 + … + amnxm ≥ v (cộng theo cột n), x1 + x2 + … + xm = 1, xi ≥ 0, i = 1, 2, …, m Bài tốn Q tìm véc tơ Y = (y1, y2, …, yn) số v cho a11y1 + a12y2 + … + a1nyn ≤ v (cộng theo hàng 1), a21y1 + a22y2 + … + a2nyn ≤ v (cộng theo hàng 2), … am1y1 + am2y2 + … + amnyn ≤ v (cộng theo hàng m), y1 + y2 + … + yn = 1, yj ≥ 0, i = 1, 2, …, n - 123 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Khơng tính tổng qt, ta giả thiết aij > v > Đặt x i'  y xi ,i  1,m y'j  j , j  1,n Ta có v v x1'  x '2   x 'm  1 y1'  y '2   y'n  v v Ta thấy v số tiền mà P nhận v số tiền mà Q phải trả nên P tìm cách làm cực đại v hay cực tiểu 1/v; cịn Q tìm cách làm cực tiểu v hay cực đại 1/v Vì ta có cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu: Bài tốn P: f1  x1'  x '2   x 'm  a11x1'  a 21x '2   a m1x 'm   ' ' ' a12 x1  a 22 x   a m2 x m    a x '  a x '   a x '  mn m  1n 2n '  x  0,i  1, m  i Bài toán Q: f  y1'  y '2   y 'n  m ax a11y1'  a12 y '2   a1n y 'n   ' ' ' a 21y1  a 22 y   a 2n y n    a y '  a y'   a y '  mn n  m1 m2 '  y  0, j  1, n  j Nhận xét + Hai toán lập thành cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Hơn nữa, rõ ràng hai tốn có phương án nên hai tốn có m n phương án tối ưu  x  max  y'j  X' i 1 ' i Y' j1 v (Số tiền thắng nhỏ P số tiền thua lớn Q) + Chiến lược tối ưu P1 P2 tương ứng là: - 124 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - x i  v  x i' ,i  1, n y j  v  y 'j , j  1,n 3.2 Phương pháp tìm chiến lược tối ưu cho tốn trị chơi ma trận + Xét ma trận A thỏa mãn aij > 0, chưa ta đưa ma trận A ma trận Ap cho aij > 0, cách chọn p = – min{aij: aij < 0};Ap = (aij + p)mxn + Viết cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu tương ứng P Q + Giải hai tốn phương pháp đơn hình đơn hình đối ngẫu Từ tìm phương án tối ưu cho tốn cịn lại + Từ phương án tối ưu X’ = ( x i' ) Y’ = ( y'j ) cặp toán đối ngẫu ta tìm chiến lược tối ưu X* = (xi) Y* = (yj) P Q với x i  v p  x i' ,i  1, n y j  v p  y 'j , j  1,n , với vp = 1/f1; v* = vp - p Ví dụ 4.6: Tìm chiến lược tối ưu trò chơi ma trận  1  A   2 2   3    Ta thấy – min{ aij: aij < 0} = 3, chọn p = Xét ma trận Ap sau:  4 A p    5 1   Mọi phần tử Ap dương nên vp > Cặp toán đối ngẫu P Q là: (P) f1  x1'  x '2  x 3'  6x1'  2x '2  5x 3'   ' ' ' 3x1  4x  6x   ' ' ' 4x1  2x  x   x '  0, x '  0, x '   (Q) f  y1'  y '2  y3'  m ax - 125 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - 6y1'  3y '2  4y3'   ' ' ' 2y1  4y  2y3   ' ' ' 5y1  6y  y3   y '  0, y'  0, y '   Ta giải tốn (Q) Đưa tốn (Q) dạng tắc sau: f   y1'  y '2  y3'  6y1'  3y'2  4y3'  y '4 1  ' ' ' ' 2y1  4y  5y3  y5   ' ' '  y'6  5y1  6y  y3  y '  0, j  1,6  j Chọn sở {A4, A5, A6} với phương án cực biên xuất phát ta có bảng đơn sau Bảng 4.8 Bảng Cơ sở Hệ số Số Ai ci A4 I Tọa độ xio III -1 -1 0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 0 A5 A6 0 1 1 0 f(X) = -10 II -1 A4 1/2 7/2 7/2 -1/2 A5 1/3 -4/3 4/3 -2/3 -1 1/6 5/6 1/6 0 1/6 F(X) = -1/6 1/6 5/6 0 -1/6 A3 -1 1/7 1 2/7 -1/7 A5 1/7 -8/3 0 -8/21 -6/7 A2 -1 1/7 2/3 -1/21 4/21 A2 - 126 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - F(X) = -2/7 -2/3 0 -5/21 -1/21 Tại bảng III ta thấy j  0,  j = 1,6 nên phương án tối ưu toán (Q) là: Y’ = (0, 1/7, 1/7, 0, 1/7, 0) Suy phương án tối ưu toán (Q) Y’ = (0, 1/7, 1/7) f1 = f1 = 2/7 = 1/vp Ta có Y’ = (0, 1/7, 1/7) thỏa mãn lỏng ràng buộc sau  y '2   ' ,  y3   ' ' ' 2y1  4y  2y3  nên theo định lý lệch bù ta có 3x1'  4x '2  6x 3'   ' ' ' 4x1  2x  x   ' x   x1'  / 21    x '2   '  x  / 21 Phương án tối ưu toán (P) X’ = (5/21, 0, 1/21) Nghiệm trò chơi là: + Chiến lược tối ưu P là: X* = v.X’ = 7/2.(5/21, 0, 1/21) = (5/6, 0, 7/42) + Chiến lược tối ưu Q là: Y* = v.Y’ = 7/2.(0, 1/7, 1/7) = (0, 1/2, 1/2) + Giá trò chơi: v* = vp – p = 7/2 – = -1/2 - 127 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Đơng, Ngơ Văn Thứ, Hồng Đình Tuấn, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [2] Trần Xuân Sinh, Toán kinh tế, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2007 [3] Phạm Đình Phùng, Nguyễn Văn Quý, Giáo trình mơ hình tốn kinh tế, Nhà xuất tài Hà Nội, 2002 [4] Trần Túc, Quy hoạch tuyến tính, Đại học Kinh tế Quốc dân, 2001 [5] Trần Vũ Thiệu, giáo trình tối ưu tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 - 128 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN ... KHẢO 128 -3- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học kinh tế hai lĩnh vực có mối quan hệ gắn bó với Kinh tế nguồn cảm hứng cho toán học thực khả tiềm mình,... mơ tả theo thuật toán đồ thị sau 3.2 Thuật toán đồ thị giải tốn quy hoạch tuyến tính Xét toán QHTT với hai biến số - 14 - TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TOÁN KINH TẾ - min(max){f(X)... gắng, giáo trình chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong bạn đọc góp ý để sách ngày hoàn thiện Các tác giả -4- TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN - GIÁO TRÌNH TỐN KINH TẾ - Chương BÀI TOÁN