Giáo trình Xác suất thống kê (Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI NGUYỄN HỒN VŨ (Chủ biên) – TƠ XN LƢỢC XÁC SUẤT THỐNG KÊ Giáo trình dùng cho sinh viên Kinh tế HÀ NỘI 2022 MỤC LỤC Mục lục ………………………………………………………………………………………… Lới nói đầu …………………………………………………………………………… …… PHẦN I XÁC SUẤT………………………………………………………………………… Chƣơng Khái niệm xác suất …………………………………………………… Giải tích tổ hợp …………………………………………………………………… Định nghĩa xác suất ………………………………………………………… Quan hệ biến cố ………………………………………………… Các định lí xác suất ……………………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………… Chƣơng Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất ………………………………………… Biến ngẫu nhiên …………………………………………………………………… Hàm phân phối ……………………………………………………………………… Các số đặc trƣng biến ngẫu nhiên ……………………………………………… Luật số lớn định lí giới hạn ………………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………… PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN ……………………………………………………………… Chƣơng Phƣơng pháp mẫu thống kê ……………………………………………………… Mẫu thống kê ngẫu nhiên …………………………………………………………… Thống kê mẫu ……………………………………………………………… Thống kê mô tả ……………………………………………………………………… Phân phối xác suất thống kê mẫu ………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………………… Chƣơng Ƣớc lƣợng tham số thống kê …………………………………………………… Ƣớc lƣợng điểm …………………………………………………………………… Ƣớc lƣợng tham số khoảng tin cậy …………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………… Chƣơng Kiểm định giả thuyết thống kê ………………………………………………… Khái niệm chung …………………………………………………………… Kiểm định giá trị tham số …………………………………………………………… Kiểm định so sánh giá trị tham số ………………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………… Chƣơng Phân tích tƣơng quan hồi qui ………………………………………………… Hệ số tƣơng quan …………………………………………………………………… Hồi qui tuyến tính đơn ……………………………………………………………… BÀI TẬP CHƢƠNG ………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………………… PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………………… 03 05 07 07 07 10 13 16 26 31 31 34 37 49 54 59 59 59 60 63 68 72 75 75 77 89 91 91 93 100 113 117 117 121 125 128 129 Lời nói đầu Thống kê mơn khoa học lớn có phạm vi ứng dụng rộng rãi hầu hết hoạt động xã hội, đặc biệt Kinh tế học Việc áp dụng nghiên cứu phát triển phƣơng pháp Thống kê Kinh tế học nhƣ ngành khác phổ biến Hiện hầu hết trƣờng đại học giới, chƣơng trình đào tạo ngành Kinh tế, Y học, Quản trị kinh doanh…, Thống kê môn học cốt lõi, có tính bắt buộc bậc đại học sau đại học Ở nƣớc ta, nhu cầu trang bị kiến thức, nâng cao hiểu biết phƣơng pháp thống kê ngành khoa học, có Kinh tế học ngày tăng Các trƣờng triển khai ngày rộng rãi việc biên soạn giáo trình Thống kê cho phù hợp với xu hƣớng giới chƣơng trình đào tạo trƣờng Chúng tơi biên soạn giáo trình nhằm cung cấp tài liệu có chất lƣợng phục vụ sinh viên, học viên cao học chuyên ngành Kinh tế bạn có quan tâm Chúng tơi chủ trƣơng trình bày đơn vị kiến thức thật bản, đơn giản dễ hiểu, cung cấp kiến thức cần thiết, lƣợc bớt kiến thức mang tính lí thuyết mà ứng dụng thực tế, chủ yếu thiên việc thực hành tính tốn, nhằm giúp bạn đọc áp dụng phƣơng pháp thống kê vào cơng việc mình, khơng cần trang bị nhiều kiến thức Toán học Cuối chƣơng có tập giúp bạn đọc vận dụng kĩ học vào toán thực tế Giáo trình gồm chƣơng chia làm phần Phần I gồm chƣơng cung cấp kiến thức Lí thuyết xác suất, sở toán học Thống kê toán, chủ yếu để áp dụng phần sau (Bạn đọc có nhu cầu tìm hiểu sâu phần này, tìm đọc Tài liệu tham khảo) Phần II gồm chƣơng, giới thiệu nội dung phƣơng pháp Thống kê toán ngành Kinh tế học Chúng xin cảm ơn Ban Giám hiệu nhà trƣờng, Ban chủ nhiệm Khoa Toán đạo tạo điều kiện để tác giả hồn thành giáo trình Cảm ơn phản biện đọc cho nhận xét quý báu Mặc dù cố gắng nhƣng giáo trình khó tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp phê bình bạn đọc Hà Nội, tháng 01 năm 2021 Các tác giả PHẦN I XÁC SUẤT Chương KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Lí thuyết xác suất ngành toán học lớn nghiên cứu tượng ngẫu nhiên, có nhiều ứng dụng sống ngành khoa học Trong chương chương tập trung giới thiệu nét đại cương lí thuyết xác suất, để phục vụ cho vấn đề đề cập tới Phần 2: Thống kê tốn § GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Hốn vị Giả sử ta có n phần tử xếp vào n vị trí khác Mỗi cách đổi chỗ phần tử cho đƣợc gọi hốn vị Bằng phƣơng pháp qui nạp chứng minh số cách đổi chỗ nhƣ vậy, kí hiệu Pn bằng: Pn  n! Qui ƣớc: 0! = Ví dụ 1.1: Xếp ngƣời A, B, C vào chỗ ngồi theo hàng ngang, có cách: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 1.1.2 Tổ hợp Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) tập hợp A số cách lấy ngẫu nhiên k phẩn tử từ n phần tử cho, cho cách lấy đƣợc coi khác chúng có phần tử khác Số cách lấy nhƣ vậy, kí hiệu Cnk đƣợc tính bằng: Cnk  n!  Cnn  k k !(n  k )! Ta thấy Cn0  Cnn  1; Cn1  Cnn1  n Ví dụ 1.2: Chọn ngẫu nhiên ngƣời từ nhóm ngƣời A, B, C Ta có: C32  cách chọn nhƣ sau: AB, AC, BC 1.1.3 Chỉnh hợp Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử cho trƣớc (k ≤ n), cho cách lấy đƣợc coi khác chúng có phần tử khác thứ tự lấy k phần tử khác Số cách lấy nhƣ gọi chỉnh hợp (khơng lặp) chập k n phần tử, kí hiệu Ank tính cơng thức: n! Ak  n(n  1) (n  k  1)  n (n  k )! Các cơng thức chứng minh phƣơng pháp qui nạp theo k Ví dụ 1.3: Chọn ngẫu nhiên ngƣời từ nhóm ngƣời A, B, C Ai đƣợc chọn làm nhóm trƣởng Từ ví dụ ta có cách chọn nhóm: AB, AC, BC Để phân nhóm trƣởng ta có cách nữa: BA, CA, CB Chú ý: - Với cách chọn k phần tử theo nghĩa tổ hợp, ta có k! cách đổi chỗ k phần tử đó, vậy: Ank  Cnk k !  n!  n(n  1) (n  k  1) (n  k )! - Hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử n! 1.1.4 Lấy phần tử k lần Chỉnh hợp lặp Các cách lấy lần k phần tử từ tập n phần tử cho trƣớc Ngồi cịn có cách lấy phần tử k lần: lấy có hồn lại (một phần tử đƣợc lấy đến k lần) lấy khơng hồn lại (mỗi phần tử đƣợc lấy lần) - Lấy khơng hồn lại tƣơng đƣơng với chỉnh hợp chập k - Lấy có hồn lại: cách lấy đƣợc coi khác chúng có phần tử khác Số cách lấy đƣợc gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử, tính cơng thức: nk Nhận xét Để dễ phân biệt trƣờng hợp, ta nên ý nhận xét sau: a Có cách lấy k phần tử từ tập n phần tử cho: Lấy theo nghĩa tổ hợp Lấy theo nghĩa chỉnh hợp Lấy phần tử không hoàn lại k lần Lấy phần tử có hồn lại k lần - cách đầu lấy lần (cùng lúc), cách sau lấy phần tử một, k lần - Trong cách đầu: phần tử tập A có mặt lần (k phần tử khác nhau), theo cách có phần tử lấy trùng lại (k phần tử trùng nhau) b Cách phân biệt với cách đầu chỗ lấy k lần hay lần c Cách phân biệt với chỗ thứ tự phần tử lấy có kể đến hay khơng d Định lượng: Cách  Cnk  < Cách  Ank  = Cách  n(n  1) (n  k  1)  < Cách  n k  e Luật tích: Nếu có việc A1 (có k1 cách thực hiện) A2 (có k2 cách thực hiện) khác số cách thực hai việc A1 A2 liên tiếp k1 k2 (tích khơng phải tổng) Tổng qt cho việc A1, A2, …, Am khác Do số cách n(n  1) (n  k  1) , cịn cách nk Ví dụ 1.4: Một hộp có 10 ống thuốc, có ống tốt Lấy ngẫu nhiên ống để kiểm nghiệm Hỏi có cách lấy ống thuốc? Có cách lấy thuốc để có ống tốt? Giải Số cách lấy ống từ 10 ống thuốc: C106  210 Số cách lấy ống từ ống tốt: C74  35 (việc A1) ống lại từ ống không tốt: C32  (việc A2) Hai việc khác nhau, với cách lấy ống tốt có cách lấy ống khơng tốt, theo luật tích: để lấy ống có ống tốt là: C74 C32  35.3  105 § ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT Phép thử biến cố Hiện tƣợng xảy số điều kiện đƣợc gọi phép thử (ngẫu nhiên), kết (có thể xảy khơng) đƣợc gọi biến cố ngẫu nhiên (hoặc kiện ngẫu nhiên), thƣờng kí hiệu biến cố A, B, C,… Chẳng hạn, tung xúc xắc phép thử, xuất mặt có số chấm chẵn tung xúc xắc biến cố Biến cố xảy thực phép thử đƣợc gọi biến cố khơng thể, thƣờng đƣợc kí hiệu Ø Φ Ví dụ xuất mặt chấm tung xúc xắc Biến cố định xảy đƣợc gọi biến cố chắn, thƣờng kí hiệu Ω Chẳng hạn biến cố xuất mặt có số chấm khơng q 1.2.1 Định nghĩa xác suất (dạng cổ điển) Định nghĩa Xác suất biến cố A số khơng âm, kí hiệu P(A) (P viết tắt Probability), biểu thị khả xảy biến cố A đƣợc xác định nhƣ sau: P(A) = m = n Số trường hợp thuận lợi cho A Số trường hợp xảy thực phép thử Chú ý Theo định nghĩa trên, ta ln có  P( A)  1; P()  0; P()  Ví dụ 1.5: Rút ngẫu nhiên quân từ cỗ 52 quân Tìm xác suất cho: a Có quân At, quân 10, quân 2, quân K, quân J (Biến cố A) b Có qn Cơ, qn Rơ, qn Pic, quân Nhép (B) c Có quân đỏ, quân đen (C) d Có quân chủ (D) Giải Theo luật tích: 10 P ( A)  C43 C42 C41 C41 C41 4.6.4.4.4  8 C52 C52 P( B)  C132 C131 C132 C133 C52 P (C )  C26 C26 C52 P( D)  C133 C395 C52 6.1.2 Hệ số tƣơng quan mẫu Giả sử ta có mẫu quan sát X Y (xi, yi), i = 1, 2,…, n Khi hệ số tƣơng quan mẫu ρ(X, Y) đƣợc ƣớc lƣợng bởi: r n   xi  x  yi  y  n i 1 n  xi  x   n i 1 n  yi  y   n i 1 n  n  n  n xi yi    xi   yi  i 1  i 1  i 1     n xi2    xi  i 1  i 1  n n Trƣờng hợp mẫu thu gọn: (xi, yi), ni, i = 1, 2,…, k với   n yi2    yi  i 1  i 1  n k n i 1 k  k  k  n ni xi yi    ni xi   ni yi  i 1  i 1  i 1  r   n ni xi2    ni xi  i 1  i 1  k k   n ni yi2    ni yi  i 1  i 1  k k i n (6.1)  n, (6.2) Ví dụ 6.1: Theo dõi mức lãi suất (Y) tỉ lệ lạm phát (X) số nƣớc, ta có số liệu sau: Y 17,5 15,6 9,8 5,3 7,9 10,0 19,2 13,1 X 14,2 11,7 6,4 2,1 4,8 8,1 15,4 9,8 Tính hệ số tƣơng quan mẫu Giải Áp dụng cơng thức (6.2) ta có: n = 8; ∑ x = 72,5; ∑ y = 98,4; ∑ x2 = 805,75; ∑ y2 = 1376,4; ∑ xy = 1047,85; n(∑ xy) – (∑ x)(∑ y) = 8.1047,85 – 72,5.98,4 = 1248,8; n∑ x2 – (∑ x)2 = 8.805,75 – 72,52 = 1189,75; n∑ y2 – (∑ y)2 = 8.1376,4 – 98,42 = 1328,64; Cuối ta có: r  1248,8 1189,75 1328,64  0,993256 Nhƣ mức tƣơng quan đồng biến gần nhƣ hoàn hảo mức lãi suất tỉ lệ lạm phát Chú ý, ngồi cách tính theo cơng thức nhƣ trên, ta cịn dùng máy tính phần mềm chun dụng để tính hệ số tƣơng quan Ta biểu diễn mối tƣơng quan X Y mặt phẳng Mỗi số liệu (xi, yi) đƣợc biểu diễn điểm Mi(xi, yi) hệ tọa độ Oxy Một mẫu kích thƣớc n đƣợc 118 biểu diễn tập hợp n điểm, gọi đám mây điểm (scatterplot) Nếu điểm tụ tập xung quanh đƣờng thẳng hệ số tƣơng quan |r| có giá trị tuyệt đối gần 1, nghĩa biến ngẫu nhiên có tƣơng quan tuyến tính mạnh Nếu đám mây điểm nằm rải rác tụ tập quanh đƣờng cong hệ số tƣơng quan |r| có giá trị tuyệt đối bé, hai biến khơng có mối tƣơng quan có nhƣng khơng phải tƣơng quan tuyến tính (xem Hình 8) Hình Đám mây điểm a) Dữ liệu có tƣơng quan tuyến tính yếu b) Dữ liệu có tƣơng quan tuyến tính mạnh 6.1.3 Kiểm định giả thuyết cho hệ số tƣơng quan Ta xét toán kiểm định giả thuyết liệu biến ngẫu nhiên X Y có tƣơng quan tuyến tính hay khơng, tức toán kiểm định với giả thuyết H0: “X Y khơng có tƣơng quan tuyến tính”, ρ(X, Y) = với đối thuyết H1: “X Y có tƣơng quan tuyến tính”, ρ(X, Y) ≠ Định lí Giả sử X Y có phân bố chuẩn đồng thời Khi H0 thống kê: T r sr có phân bố Student với n – bậc tự do, sr  1  r   n   Thành thử bác bỏ H0 T > tn – 2(α/2), với tn – 2(α/2) tra bảng phân phối Student Ví dụ 6.2: Tiếp ví dụ 6.1 (mục 6.1.2.) ta có n = sr  1  r   n    (1  0,9932562 ) (8  2)  0,047  T  r sr  0,993256 / 0,047  20,984  t6 (0,025)  2,447; 119 Vậy bác bỏ H0 kết luận có tƣơng quan tuyến tính X Y với mức ý nghĩa α = 0,05 Chú ý Đối với toán kiểm định giả thuyết H0 : ρ(X, Y) = ρ0 với đối thuyết H1 : ρ(X, Y) ≠ ρ0, ρ0 ≠ cho trƣớc, tiến hành theo bƣớc sau: u  u0 1 r 1  0 ; u0  ln ; s ; T ; • Tính u  ln 1 r  0 s n3 • Bác bỏ H0 |T| > u(α/2) Ví dụ 6.3: Gọi X lƣợng phân NPK đƣợc dùng bón ruộng vụ (từ đến lần), đơn vị kg, Y suất lúa/sào Thống kê 30 hộ nông dân ta có số liệu sau: xi yi ni 40 270 40 280 50 280 50 290 50 300 60 300 60 310 60 320 a) Tính hệ số tƣơng quan mẫu r b) Kiểm tra giả thuyết cho ρ = 0,90 với mức ý nghĩa 0,05 Giải a) ∑ nx = 1520; ∑ ny = 8800; ∑ nx2 = 78800; ∑ ny2 = 2587400; ∑ nxy = 448800; r 30.448800  1520.8800 30.78800  15202 30.2587400  88002  0,890973 Chứng tỏ hai đại lƣợng suất lúa lƣợng phân bón NPK có phụ thuộc tuyến tính chặt, phụ thuộc đồng biến, nghĩa lƣợng phân bón tăng từ 35 kg lên 65 kg ta khẳng định suất lúa tăng (Cịn lƣợng phân bón ngồi khoảng (35; 65) ta chƣa có thơng tin; chí q nhiều phân bón lúa tốt mà hạt) b) Ta có r = 0,890973; ρ0 = 0,90; α = 0,05; u(0,025) = 1,96; u  u0 1 r 1  0 u  ln  1,426626; u0  ln  1,472219; s  ;T   0,23691; s 1 r  0 27 Do | T | = |- 0,23691| < 1,96 = u(0,025) nên ta chấp nhận H0: hệ số tƣơng quan X Y 0,90; độ tin cậy đến 95% Tƣơng quan nhân Khái niệm nhân khái niệm trung tâm khoa học Với hai tƣợng có tƣơng quan với nhau, cần lí giải xem nguyên nhân, hậu Chẳng hạn nhiễm vi rút mắc bệnh cúm hai tƣợng có quan hệ với nhau, nhiễm vi rút nguyên nhân, mắc bệnh cúm hậu 120 Mối tƣơng quan tuyến tính hai biến X Y biểu thị qua hệ số tƣơng quan số tốn học, khơng biểu thị mối quan hệ nhân hai biến Khi biến X tăng hay giảm biến Y có xu hƣớng tăng hay giảm khơng có nghĩa biến nguyên nhân, biến hậu mà có chúng liên quan đến biến thứ ba (gọi biến giấu mặt) Sự giải thích đắn lí tƣơng quan hai biến địi hỏi kiến thức tổng hợp, đơi nằm ngồi Tốn học Thống kê Chẳng hạn ta có ví dụ sau: theo số liệu thống kê từ năm 1961 đến 1977, hệ số tƣơng quan lƣơng giáo viên giá rƣợu dƣơng cao Nhƣng kết luận tăng (hay giảm) lƣơng giáo viên nguyên nhân cho tăng (hay giảm) giá rƣợu hay ngƣợc lại Để giải thích tƣơng quan ta cần tìm biến giấu mặt ngun nhân cho tăng lƣơng cho tăng giá rƣợu Biến giấu mặt lạm phát, dẫn tới việc tăng lƣơng cho giáo viên tăng giá rƣợu § HỒI QUI TUYẾN TÍNH ĐƠN 6.2.1 Đƣờng thẳng hồi qui Giả sử biến ngẫu nhiên Y phụ thuộc biến X theo mơ hình tuyến tính: Y = αX + β + ξ (A) α, β số, ξ biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với kì vọng μ = phƣơng sai σ2 Khi ta nói Y có hồi qui tuyến tính theo X đƣờng thẳng y = αx + β đƣợc gọi đường hồi qui lí thuyết Y theo X α, β đƣợc gọi hệ số hồi qui lí thuyết X đƣợc gọi biến giải thích, cịn Y gọi biến phụ thuộc Khi X nhận giá trị X = x biến phụ thuộc Y có kì vọng hàm tuyến tính x: E(Y | X = x) = αx + β Vấn đề đặt ra: liệu mơ hình tuyến tính (A) có phù hợp khơng? Biểu diễn theo hình học, từ mẫu liệu (xi, yi), i = 1, 2,…, n X, Y ta có đám mây điểm (scatterplot) (xem Hình 8) Ta cần xem điểm có tụ tập quanh đƣờng thẳng hay khơng? Giả sử Y có hồi qui tuyến tính theo X Bài tốn cần ƣớc lƣợng hệ số hồi qui lí thuyết α, β dựa mẫu liệu thu đƣợc Gọi a, b ƣớc lƣợng α, β Bằng phƣơng pháp bỉnh phƣơng bé [1], ta tìm đƣợc: 121 n a  x i 1  x  yi  y  n  x i 1 i  x n b  y  ax  n  n  n  n xi yi    xi   yi   i 1  i 1  ,  i 1 n  n  n  xi    xi  i 1  i 1  (6.3) n  yi  a xi i 1 i 1 n (6.4) Từ cơng thức tính r a, ta có liên hệ nhƣ sau: ra sX s ar Y , sY sX (6.5) sX, sY độ lệch chuẩn mẫu Đƣờng thẳng y = ax + b đƣợc gọi đường hồi qui thực nghiệm Ta thấy tất đƣờng thẳng d mặt phẳng, đƣờng thẳng hồi qui y = ax + b có khoảng cách tới đám mây điểm, tức tổng bình phƣơng khoảng cách từ điểm Mi(xi, yi) tới đƣờng thẳng d bé • Ngồi việc ƣớc lƣợng hệ số hồi qui lí thuyết, ta cịn quan tâm tới ƣớc lƣợng phƣơng sai σ mơ hình hồi qui: Y = αX + β + ξ Vì σ2 = Vξ = E(Y – αX – β)2 nên đo mức độ phân tán Y quanh đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết y = αX + β Ƣớc lƣợng cho phƣơng sai σ2, kí hiệu sY2 , X đƣợc tính cơng thức: sY2 , X  n n n  n   yi  axi  b      yi  a xi yi  b yi  n  i 1 n   i 1 i 1 i 1  (6.6) Đại lƣợng sY , X  sY2 , X đƣợc gọi sai số tiêu chuẩn (Standard Error) đƣờng thẳng hồi qui Ví dụ 6.4: Tiếp ví dụ 6.1 (mục 6.1.2.) Ta xây dựng phƣơng trình đƣờng thẳng hồi qui dự báo giá trị mức lãi suất tỉ lệ lạm phát 22,5 Từ công thức (hoặc dùng máy tính) ta tính đƣợc kết sau: x  9,0625; y  12,3; xy  130,9813; s X2  18,59; s X  4,3116; sY2  20,76; sY  4,56;  x  72,5;  y  98,4;  xy  1047,85;  x 122  805,75;  y  1376,4; a 8.1047,85  72,5.98,4  1,0496; 8.805,75  72,52 a  0,99 4,56 ; b  12,3  1,05.9,0625  2,7877 4,3115 Vậy ta có phƣơng trình đƣờng thẳng hồi qui thực nghiệm: y = 1,0496x + 2,7877 Ƣớc lƣợng cho phƣơng sai: sY2 , X  0,372  sY , X  0,609973 Với tỉ lệ lạm phát x0 = 22,5 mức lãi suất ngân hàng là: y0 = 1,05.22,5 + 2,79 = 26,415 6.2.2 Kiểm định giả thuyết cho hệ số hồi qui Vấn đề quan trọng cần kiểm định xem biến giải thích X có thực giải thích biến phụ thuộc Y khơng, tức kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết 0” Nếu H0 Y      EY   khơng phụ thuộc vào X Khi Y khơng đƣợc giải thích X Việc xây dựng qui tắc kiểm định dựa định lí sau: Định lí Giả sử X Y có phân bố chuẩn đồng thời Khi H0 thống kê T a sa có phân bố Student với n – bậc tự do, đó: sa  sa2 với: sa2  sY2 , X n  x i 1 i  x  sY2 , X 1 n  x    xi   n  i 1  i 1 n i Nếu |T | > tn – (α/2) bác bỏ H0 Ví dụ 6.5: Tiếp ví dụ mục 6.1.2.: sY2 , X  0,37207;  x  72,5;  x  805,75; x   805,75  (72,5)2  148,71875; sa  0,372 148,71875  0,050018;   n T  a sa  1,04963 0,05  20,98502; T  t (0,025)  2,447 x  Vậy bác bỏ H0, ta kết luận hệ số α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết khác (biến X thực giải thích đƣợc biến Y) Mức ý nghĩa 5% 123 Câu hỏi gợi ý nội dung trọng tâm ôn tập Chƣơng Thế hệ số tƣơng quan lí thuyết, định nghĩa, ý nghĩa Hệ số tƣơng quan mẫu: khái niệm, công thức tính Bài tốn kiểm định giả thuyết cho hệ số tƣơng quan Qui tắc kiểm định Thế đƣờng thẳng hồi qui (cho hồi qui tuyến tính đơn) Biểu diễn hình học mặt phẳng tọa độ Oxy Cách xây dựng đƣờng thẳng hồi qui tuyến tính thực nghiệm ƣớc lƣợng phƣơng sai mơ hình hồi qui Bài tốn kiểm định giả thuyết cho hệ số hồi qui 124 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài Vẽ đám mây điểm tính hệ số tƣơng quan mẫu số liệu sau: a) x y 10 20 35 10 50 11 65 b) x y 50 42 10 40 12 35 15 33 22 28 Bài Một trƣờng đại học thu thập số liệu số chứng mà sinh viên đăng kí học số học nhà tuần: x (số học) y (số chứng chỉ) 20 25 12 13 30 12 50 15 20 16 23 16 a) Tính hệ số tƣơng quan b) Với mức ý nghĩa 5% có tƣơng quan tuyến tính hai biến X : “số học” Y : “số chứng chỉ” hay không? Bài Một nhà xã hội học quan tâm tới vấn đề liệu có mối quan hệ thời gian làm thêm sinh viên với điểm thi trƣờng hay không Khảo sát 10 sinh viên cho kết sau: x (số làm thêm) y (điểm thi) 84 60 56 12 73 63 14 49 10 68 13 49 11 69 53 a) Tính hệ số tƣơng quan b) Tìm hàm hồi qui biến phụ thuộc Y: “điểm thi” theo biến giải thích X: “số làm thêm” c) Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết Y theo X 0” 125 Bài Một đài truyền hình tiến hành nghiên cứu để xác lập xem có mối tƣơng quan giá sản xuất chƣơng trình truyền hình 30 phút với chất lƣợng chƣơng trình thơng qua điểm trung bình mà đài nhận đƣợc từ ngƣời xem Kết nhƣ sau: x y 1,2 3,3 1,6 3,9 1,8 5,7 2,5 4,2 2,7 4,5 3,0 8,2 3,5 6,1 4,4 4,6 x giá sản xuất chƣơng trình truyền hình 30 phút (đơn vị trăm nghìn USD), y điểm trung bình mà đài nhận đƣợc từ ngƣời xem a) Tính hệ số tƣơng quan b) Với mức ý nghĩa 1% có tƣơng quan tuyến tính giá sản xuất chất lƣợng chƣơng trình truyền hình hay khơng? Bài Một cơng ti muốn biết hiệu việc quảng cáo công ti với doanh số bán hàng Theo dõi tháng kết thu đƣợc nhƣ sau: x y 15 10 20 15 30 22 39 x số tiền chi cho quảng cáo (đơn vị trăm USD) y doanh số bán hàng (đơn vị nghìn USD) a) Tính hệ số tƣơng quan X: “số tiền chi cho quảng cáo” Y: “doanh số bán hàng” b) Tìm đƣờng hồi qui biến phụ thuộc Y Bài Đo đƣờng kính chiều cao 20 ta thu đƣợc mẫu số liệu sau: x y 2,3 2,5 2,6 3,1 3,4 3,7 7,3 14 3,9 12 4,1 x y 4,1 4,2 4,4 4,7 5,1 10 5,5 13 5,8 6,2 11 6,9 11 6,9 16 x đƣờng kính y chiều cao (đơn vị m) a) Tìm đƣờng hồi qui biến phụ thuộc Y: “chiều cao” theo biến giải thích X: “đƣờng kính” 126 b) Tính sai số tiêu chuẩn đƣờng hồi qui c) Ƣớc lƣợng chiều cao có đƣờng kính 4,3 m d) Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết H0: “Hệ số góc α đƣờng thẳng hồi qui lí thuyết Y theo X 0” 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ, Xác suất Thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Năm 2007 [2] Trần Ngọc Phác – Trần Thị Kim Thu, Giáo trình Lý thuyết Thống kê, Nhà xuất Thống kê, Hà Nội, 2006 [3] Tống Đình Quỳ, Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 [4] Đặng Hùng Thắng (chủ biên), Trần Mạnh Cƣờng, Thống kê cho Khoa học xã hội Khoa học sống, Nà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2019 [5] Nguyễn Cao Văn (Chủ biên) – Trần Thái Ninh, Lý thuyết Xác suất Thống kê toán, Nhà xuất Giáo dục, 2002 128 PHỤ LỤC Bảng GIÁ TRỊ PHÂN PHỐI POISSON P(𝝀) P(X = k) = λ 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.3679 0.2707 0.1494 0.0733 0.0337 0.0149 0.1839 0.2707 0.2240 0.1465 0.0842 0.0613 0.1804 0.2240 0.1954 0.0153 0.0902 0.1680 0.0031 0.0361 0.0005 𝝀𝒌 −𝝀 𝒆 𝒌! 10 0.0003 0.0001 0.0000 0.0064 0.0027 0.0011 0.0005 0.0446 0.0223 0.0107 0.0050 0.0023 0.1404 0.0892 0.0521 0.0286 0.0150 0.0076 0.1954 0.1755 0.1339 0.0912 0.0573 0.0337 0.0189 0.1008 0.1563 0.1755 0.1606 0.1277 0.0916 0.0607 0.0378 0.0120 0.0504 0.1042 0.1462 0.1606 0.1490 0.1221 0.0911 0.0631 0.0001 0.0034 0.0216 0.0595 0.1044 0.1377 0.1490 0.1396 0.1171 0.0901 0.0000 0.0009 0.0081 0.0298 0.0653 0.1033 0.1304 0.1396 0.1318 0.1126 0.0002 0.0027 0.0132 0.0363 0.0688 0.1014 0.1241 0.1318 0.1251 10 0.0000 0.0008 0.0053 0.0181 0.0413 0.0710 0.0993 0.1186 0.1251 11 0.0002 0.0019 0.0082 0.0225 0.0452 0.0722 0.0970 0.1137 12 0.0001 0.0006 0.0034 0.0113 0.0263 0.0481 0.0728 0.0948 13 0.0000 0.0002 0.0013 0.0052 0.0142 0.0296 0.0504 0.0729 14 0.0001 0.0005 0.0022 0.0071 0.0169 0.0324 0.0521 15 0.0000 0.0002 0.0009 0.0033 0.0090 0.0194 0.0347 0.0000 0.0003 0.0014 0.0045 0.0109 0.0217 17 0.0001 0.0006 0.0021 0.0058 0.0128 18 0.0000 0.0002 0.0009 0.0029 0.0071 19 0.0001 0.0004 0.0014 0.0037 20 0.0000 0.0002 0.0006 0.0019 21 0.0001 0.0003 0.0009 22 0.0000 0.0001 0.0004 0.0000 0.0002 k 16 23 24 0.0001 25 0.0000 129 Bảng GIÁ TRỊ HÀM PHÂN PHỐI CHUẨN TẮC   u   2 u e  x2 dx  P  X  u   u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 4.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 130 Bảng GIÁ TRỊ TỚI HẠN PHÂN PHỐI CHUẨN P  X  u    u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0.4641 0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0.4247 0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0.3859 0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0.3483 0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3300 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0.3121 0.5 0.3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0.2776 0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0.2451 0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0.2148 0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0.1867 0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0.1611 1.0 0.1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0.1379 1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0.1170 1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0.0985 1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0.0823 1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.0721 0.0708 0.0694 0.0681 1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0.0559 1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0.0455 1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0.0367 1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0.0294 1.9 0.0287 0.0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0.0233 2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0.0183 2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0.0143 2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0.0110 2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0.0084 2.4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0.0064 2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.0047 0.0035 0.0026 0.0019 0.0013 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0045 0.0034 0.0025 0.0018 0.0013 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0044 0.0033 0.0024 0.0018 0.0013 0.0009 0.0006 0.0005 0.0003 0.0002 0.0043 0.0032 0.0023 0.0017 0.0012 0.0009 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0041 0.0031 0.0023 0.0016 0.0012 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0040 0.0030 0.0022 0.0016 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0039 0.0029 0.0021 0.0015 0.0011 0.0008 0.0006 0.0004 0.0003 0.0002 0.0038 0.0028 0.0021 0.0015 0.0011 0.0008 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0037 0.0027 0.0020 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0036 0.0026 0.0019 0.0014 0.0010 0.0007 0.0005 0.0003 0.0002 0.0002 3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 3.7 3.8 3.9 4.0 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 131   Bảng GIÁ TRỊ TỚI HẠN PHÂN PHỐI STUDENT P X  t n     α 0.2 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0025 0.001 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 240 1.376 1.061 0.978 0.941 0.920 0.906 0.896 0.889 0.883 0.879 0.876 0.873 0.870 0.868 0.866 0.865 0.863 0.862 0.861 0.860 0.859 0.858 0.858 0.857 0.856 0.856 0.855 0.855 0.854 0.854 0.851 0.849 0.848 0.847 0.846 0.846 0.845 0.845 0.843 1.963 1.386 1.250 1.190 1.156 1.134 1.119 1.108 1.100 1.093 1.088 1.083 1.079 1.076 1.074 1.071 1.069 1.067 1.066 1.064 1.063 1.061 1.060 1.059 1.058 1.058 1.057 1.056 1.055 1.055 1.050 1.047 1.045 1.044 1.043 1.042 1.042 1.041 1.039 3.078 1.886 1.638 1.533 1.476 1.440 1.415 1.397 1.383 1.372 1.363 1.356 1.350 1.345 1.341 1.337 1.333 1.330 1.328 1.325 1.323 1.321 1.319 1.318 1.316 1.315 1.314 1.313 1.311 1.310 1.303 1.299 1.296 1.294 1.292 1.291 1.290 1.289 1.285 6.314 2.920 2.353 2.132 2.015 1.943 1.895 1.860 1.833 1.812 1.796 1.782 1.771 1.761 1.753 1.746 1.740 1.734 1.729 1.725 1.721 1.717 1.714 1.711 1.708 1.706 1.703 1.701 1.699 1.697 1.684 1.676 1.671 1.667 1.664 1.662 1.660 1.658 1.651 12.71 4.303 3.182 2.776 2.571 2.447 2.365 2.306 2.262 2.228 2.201 2.179 2.160 2.145 2.131 2.120 2.110 2.101 2.093 2.086 2.080 2.074 2.069 2.064 2.060 2.056 2.052 2.048 2.045 2.042 2.021 2.009 2.000 1.994 1.990 1.987 1.984 1.980 1.970 31.82 6.965 4.541 3.747 3.365 3.143 2.998 2.896 2.821 2.764 2.718 2.681 2.650 2.624 2.602 2.583 2.567 2.552 2.539 2.528 2.518 2.508 2.500 2.492 2.485 2.479 2.473 2.467 2.462 2.457 2.423 2.403 2.390 2.381 2.374 2.368 2.364 2.358 2.342 63.66 9.925 5.841 4.604 4.032 3.707 3.499 3.355 3.250 3.169 3.106 3.055 3.012 2.977 2.947 2.921 2.898 2.878 2.861 2.845 2.831 2.819 2.807 2.797 2.787 2.779 2.771 2.763 2.756 2.750 2.704 2.678 2.660 2.648 2.639 2.632 2.626 2.617 2.596 127.3 14.09 7.453 5.598 4.773 4.317 4.029 3.833 3.690 3.581 3.497 3.428 3.372 3.326 3.286 3.252 3.222 3.197 3.174 3.153 3.135 3.119 3.104 3.091 3.078 3.067 3.057 3.047 3.038 3.030 2.971 2.937 2.915 2.899 2.887 2.878 2.871 2.860 2.833 318.3 22.33 10.22 7.173 5.893 5.208 4.785 4.501 4.297 4.144 4.025 3.930 3.852 3.787 3.733 3.686 3.646 3.610 3.579 3.552 3.527 3.505 3.485 3.467 3.450 3.435 3.421 3.408 3.396 3.385 3.307 3.261 3.232 3.211 3.195 3.183 3.174 3.160 3.125 ∞ 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 2.807 3.090 n 132 ... nghĩa phép thử biến cố, xác suất biến cố Nguyên lí xác suất nhỏ nguyên lí xác suất lớn Quan hệ biến cố Các định lí xác suất, cộng nhân xác suất Chú ý công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes Thế... điểm   O Vậy xác suất cần tìm là: r  r 2r   Hình Minh họa ví dụ 1.2.4 Nguyên lí xác suất nhỏ nguyên lí xác suất lớn Một biến cố khơng thể có xác suất Tuy nhiên biến cố có xác suất xảy dù hãn... II THỐNG KÊ TOÁN ……………………………………………………………… Chƣơng Phƣơng pháp mẫu thống kê ……………………………………………………… Mẫu thống kê ngẫu nhiên …………………………………………………………… Thống kê mẫu ……………………………………………………………… Thống kê