Giáo trình Toán cao cấp (Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội)

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – NGUYỄN HỒN VŨ TỐN CAO CẤP Dùng cho sinh viên ngành Công nghệ Kĩ thuật 2022 MỤC LỤC Chƣơng MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN……………… 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận 1.3 Phép chuyển vị 1.4 Phép nhân ma trận với ma trận …………………………………… 10 ĐỊNH THỨC ……………………………………………………… 12 2.1 Khái niệm cách tính …………………………………………… 12 2.2 Các tính chất định thức 15 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ………………………………………… 17 3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo …………………………………… 17 3.2 Cách tìm ma trận nghich đảo ……………………………………… 18 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 Đại cƣơng hệ phƣơng trình tuyến tính 4.2 Hệ Cramer ………………………………………………………… 4.3 Phƣơng pháp Gauss ……………………………………………… 20 20 22 23 4.4 Sơ lƣợc phƣơng pháp chiếu lặp giải hệ phƣơng trình tuyến tính cỡ lớn ……………………………………………… 25 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập …………………………………………… 28 BÀI TẬP CHƢƠNG 1………………………………………………… 29 Chƣơng HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ………………………………………… 1.1 Các khái niệm ……………………………………………… 1.2 Các phép tính hàm số ………………………………………… 1.3 Các hàm sơ cấp …………………………………………… 35 35 37 38 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 42 2.1 Các định nghĩa giới hạn …………………………………………… 2.2 Các định lý giới hạn …………………………………………… 2.3 Hai giới hạn quan trọng …………………………………………… 2.4 Hàm số liên tục …………………………………………………… 42 43 43 44 ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……………… 3.1 Đạo hàm …………………………………………………………… 3.2 Đạo hàm cấp cao ………………………………………………… 3.3 Vi phân …………………………………………………………… 3.4 Vi phân cấp cao …………………………………………………… 3.5 Các định lý hàm khả vi ………………………………… 3.6 Cực trị …………………………………………………………… 3.7 Khoảng lồi, khoảng lõm, điểm uốn ……………………………… 3.8 Tiệm cận ………………………………………………………… 3.9 Khảo sát hàm số …………………………………………………… 3.10 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ………………… 47 47 50 51 52 53 57 58 58 59 60 TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ …………………………… 4.1 Nguyên hàm tích phân bất định ………………………………… 4.2 Tích phân xác định ………………………………………………… 4.3 Tích phân suy rộng ………………………………………………… 4.4 Ứng dụng tích phân xác định tính đại lƣợng ………………… 61 61 69 75 78 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập …………………………………………… 84 BÀI TẬP CHƢƠNG ……………………………………………… 85 Chƣơng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ……………………………………… 93 1.1 Hàm số hai biến số………………………………………………… 93 1.2 Hàm số n biến số ………………………………………………… 95 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ………………………………………… 96 2.1 Giới hạn hàm số hai biến số ………………………………… 96 2.2 Giới hạn hàm số n biến số …………………………………… 99 2.3 Hàm số liên tục …………………………………………………… 100 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN ………………………………… 3.1 Đạo hàm riêng …………………………………………………… 3.2 Vi phân …………………………………………………………… 3.3 Đạo hàm riêng cấp cao vi phân toàn phần cấp cao …………… 101 101 103 105 CỰC TRỊ TỰ DO HÀM NHIỀU BIẾN …………………………… 108 4.1 Khái niệm điều kiện cần cực trị …………………………… 108 4.2 Điều kiện đủ ……………………………………………………… 109 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC ………………………… 113 5.1 Cực trị có điều kiện hàm biến phƣơng trình ràng buộc… 113 5.2 Cực trị có điều kiện hàm n biến phƣơng trình ràng buộc… 116 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ… 119 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập ………………………………………… 121 BÀI TẬP CHƢƠNG ……………………………………………… 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 125 Chƣơng MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.1 Các khái niệm Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng n cột đƣợc gọi ma trận cấp mxn đƣợc ký hiệu nhƣ sau:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A = (aij)mxn A   21     a m1 a m2 a mn  Các số aij (phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j ma trận A) đƣợc gọi phần tử ma trận A Ma trận cấp 1xn đƣợc gọi ma trận hàng: A  (a11 ,a12 , ,a1n ) Ma trận cấp mx1 đƣợc gọi ma trận cột:  a11    a 21   A=       a m1  Hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn đƣợc gọi tất phần tử tƣơng ứng chúng đôi nhau: aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n) Ma trận cấp nxn, tức ma trận có số dịng số cột nhau, đƣợc gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông: phần tử a11 , a22, , ann  a11 a12 a1n  a   21 a 22 a 2n      a n1 a n a nn  đƣợc gọi phần tử nằm đường chéo Tổng quát, phần tử ma trận số thực phức, biểu thức toán, liệu, Trong học phần này, ta tập trung xét ma trận số thực, tức phần tử aij thuộc tập số thực Ma trận đối tƣợng toán học đƣợc sử dụng hầu hết ngành khoa học kĩ thuật Ma trận có nhiều ứng dụng kĩ thuật, chẳng hạn nhƣ mơ hình hóa mạng điện, đƣờng giao thơng, q trình sản xuất, Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Xét mạng điện gồm nhánh nút, có nút nối đất Ta đánh số nhánh nút cách ngẫu nhiên Khi đó, mạng mơ tả ma trận A = (ajk), đó: aj k 1 nhánh k từ nút j   1 nhánh k vào nút j 0 nhánh k không dính đến nút j  A gọi ma trận nút mạng, mạng hình vẽ có dạng: Nhánh Nút 11 Nuùt 22 Nuùt 33 1 1 0 3 nút nối đất 0 1 0 1 1 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận 1.2.1 Cộng hai ma trận cấp Tổng hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn ma trận ký hiệu A + B đƣợc xác định nhƣ sau: A + B = (aij+bij)mxn Chú ý: Ma trận khơng, kí hiệu θ, ma trận cấp tùy ý, có tất phần tử Ma trận θ có đặc tính trung hòa với phép cộng 1.2.2 Nhân ma trận với số Tích ma trận A = (aij)mxn với số  ma trận ký hiệu αA đƣợc xác định nhƣ sau: αA = (α.aij)mxn Chú thích: Tích (-1)A ký hiệu ma trận –A đƣợc gọi ma trận đối ma trận A 1.2.3 Các tính chất bản: Với A, B, C ma trận cấp,  ,  số thực bất kỳ: a) A + B = B + A b) (A + B) + C= A + (B + C) c) A + θ = A d) e) f) g) A + (-A) = θ  (A + B) =  A +  B (  + β)A =  A + βA (  β)A =  (βA) 1.3 Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận cấp  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  21  A     a m1 a m2 a mn  Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT (T viết tắt từ tiếng Anh transpose, có kí hiệu A'), ma trận có đƣợc từ A cách chuyển hàng thành cột, cột thành hàng:  a11 a T A   12   a1n a 21 a 22 a 2n a m1  a m2    a mn  Ví dụ 1.2 1   5 A  3   A T    2  5  Chú ý: Ma trận đối xứng ma trận vng có đặc tính A = AT 1.4 Phép nhân ma trận với ma trận Cho ma trận A cấp mxn ma trận B cấp nxp (Số cột A số dòng B)  a11 a A = (aij)mxn =  21   a m1 a12 a 22 a m2 a1n  a 2n  ,   a mn   b11 b12   b 21 22 B = (bjk)nxp =    b n1 b n b1p   b2p    b np  1.4.1 Định nghĩa Ta gọi tích ma trận A với ma trận B ma trận cấp mxp, ký hiệu AB đƣợc xác định nhƣ sau:  c11 c12   c21 c22 AB = C = (cik)mxp =   cm1 cm2 c1p   c2p    cmp  đó: n cik   a ijb jk  a i1b1k  a i2 b2k   a in bnk j 1 (i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , p) Cơng thức phát biểu thành quy tắc nhƣ sau: Phần tử nằm dòng thứ i cột thứ k ma trận AB tổng n số hạng số hạng tích phần tử thuộc dòng thứ i ma trận A với phần tử tƣơng ứng thuộc cột thứ k ma trận B  b1k    b cik = (ai1 ai2 ain)  2k  = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk      b nk  Ví dụ 1.3 Nhân hai ma trận: 10 Các điểm dừng hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình: ' 12x  y  3x   w x    '  x  y   w y  1 1 Ta đƣợc điểm dừng: M1(0, 0) M2  ,   3 3 - Điều kiện đủ Ta tính đạo hàm riêng cấp hàm w: w"xx  48x  6, w"xy  w"yx  2, w"yy  Xét điểm M1(0, 0) ta có: a11 = - 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = (-6).2 - 22 = -16 < 0, hàm số khơng có cực trị M1 1 1 Tại điểm M  ,   ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - > 0, 3 3 hàm số đạt cực trị, a11 = 10 > 0, hàm có cực tiểu điểm M2, wmin = 1 1 w ,    27  3 Trường hợp hàm số n biến số Giả sử M  x1, x , , x n  điểm dừng hàm số w = f(x1, x2, , xn) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp liên tục Lập ma trận H vuông cấp n với phần tử đạo hàm riêng cấp hai w điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi ma trận Hess hay Hessian)  a11 a12  a a 22 H   21    a n1 a n2 a1n   a 2n    a nn  aij = 2w (x1 , x , , x n )  fij (x1 , x , , x n ) x i x j Với k = 1, 2, , n ta gọi Hk định thức tạo thành từ k dòng đầu k cột đầu ma trận H: 111 a11 a12 a a 22 H k  21 a k1 a k a1k a 2k a kk Các định thức H1, H2,…, Hn đƣợc gọi định thức ma trận H Lƣu ý (Hn = |H| ) Định lý • Nếu Hk > với k = 1, 2, , n hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực tiểu điểm M  x1 , x , , x n  • Nếu (-1)k Hk > với k = 1, 2, , n hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực đại điểm M  x1 , x , , x n  Ví dụ 3.20 Tìm cực trị hàm số y2 z 2 w x   4x y z  x  0, y  0, z   Tính đạo hàm riêng cấp cấp hai: w 'x   w"xx  y2 y z2 2z ' , w   , w 'z   , y 4x 2x y y z2 y2 2z 2 " , w   , w "zz   , yy 2x 2x y y z w"xy  w"yx   y 2z , w "xz  w "zx  0, w "yz  w "zy   2x y ' ' ' Giải hệ phƣơng trình w x  w y  w z = với x > 0, y > 0, z > ta đƣợc nghiệm: x = 1  , y = 1, z = tọa độ điểm dừng M  ,1,1 2  Thay giá trị vào đạo hàm riêng cấp ta có: a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2 112  2    H =  2 2   2    Các định thức chính: H1 = > 0, 2   0, H2 = 2 2 H3  2 2  32  0 2 1  Vậy hàm số đạt giá trị cực tiểu M0 wmin = w  ,1, 1  2  CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Ta xét toán cực trị hàm w = f(x1, x2, , xn) với biến x1, x2, , xn độc lập với nhau, tức giá trị biến số không ảnh hƣởng đến biến số khác Trên thực tế, nhiều ta phải lựa chọn phƣơng án tối ƣu bối cảnh biến x1, x2, , xn chi phối lẫn điều kiện ràng buộc định Ta luôn giả thiết hàm w hàm số mơ tả điều kiện ràng buộc ln ln có đạo hàm cấp cấp tất điểm đƣợc xét 5.1 Cực trị có điều kiện hàm biến phƣơng trình ràng buộc 5.1.1 Bài tốn Tìm cực trị hàm số w = f(x, y) (14) với điều kiện g(x, y) = b (15) Điều kiện (15) đƣợc gọi ràng buộc Với có mặt phƣơng trình ràng buộc (15), miền biến thiên cặp biến (x, y) bị thu hẹp Khái niệm cực trị có điều kiện đƣợc hiểu theo nghĩa địa phƣơng giống nhƣ định nghĩa cực trị tự do, khác chỗ tất giá trị biến x, y phải thỏa mãn điều kiện ràng buộc 5.1.2 Phƣơng pháp trực tiếp Nếu từ (15) ta biểu diễn y dạng y = φ(x) tốn cực trị có điều kiện (14)-(15) quy toán cực trị tự hàm số biến số x: w = f  x, (x)  F(x) 113 Phƣơng pháp vừa nêu đƣợc gọi phương pháp trực tiếp Ví dụ 3.21 Tìm cực trị hàm số w = xy + 2x (16) với điều kiện 8x + 4y = 120 (17) Từ hệ thức (17), ta rút y = 30 − 2x Do loại bớt biến số y biểu diễn hàm (16) dƣới dạng hàm biến x: w = x(30 − 2x) + 2x = 32x − 2x2 (18) Dễ dàng thấy hàm số (18) đạt giá trị cực đại x = 8, y = 30 − 16 = 14 Vậy hàm số (16), với điều kiện (17) đạt giá trị cực đại x = 8, y = 14, wCĐ = 128 5.1.3 Phƣơng pháp nhân tử Lagrange Trong phƣơng pháp trực tiếp nêu trên, ta xem hai biến x, y biến độc lập biến phụ thuộc vào Hơn nữa, ràng buộc (15) phức tạp việc áp dụng phƣơng pháp để loại bớt biến phụ thuộc gặp khó khăn Lagrange đề phƣơng pháp (Phương pháp nhân tử Lagrange) cho phép đƣa tốn cực trị có điều kiện tốn cực trị tự mà giữ vai trị bình đẳng biến x, y Xuất phát từ hàm mục tiêu (14) điều kiện (15) ta lập hàm số, gọi hàm Lagrange: L = L(  , x, y) = f(x,y) +  [b - g(x, y)] (19) Hàm số L có thêm biến  , gọi nhân tử Lagrange Chú ý với tất điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện (15), hàm w = f(x, y) đồng với hàm số L Có thể chứng minh đƣợc rằng, hàm số (14) với điều kiện (15) đạt cực trị điểm (x0, y0) tồn số  cho ba số thực  =  , x = x0, y = y0 thỏa mãn hệ phƣơng trình: L    b  g  x, y    g  L f   0  x x x     g  L f  y  y   y   (20) Nhƣ vậy, điều kiện cần để hàm số (14) với điều kiện (15) đạt cực trị quy điều kiện cần để hàm số Lagrange (19) đạt cực trị tự (không điều kiện ràng buộc) 114 Điều lý thú phƣơng trình đầu hệ điều kiện (20) điều kiện ràng buộc tốn cực trị có điều kiện Ví dụ 3.22 Trở lại ví dụ 3.21, hàm số Lagrange trƣờng hợp L = xy + 2x +  (120 - 8x - 4y)  Để tìm điểm dừng (điều kiện cần), ta giải hệ phƣơng trình: L    120  8x  4y    L  y   8    x  L  y  x  4   Hệ phƣơng trình cho nghiệm nhất:  = 2, x = 8, y = 14 Vậy hàm số có điểm dừng M0(8, 14) ứng với nhân tử λ0 = Để có đƣợc kết luận cuối cực trị ta phải dùng điều kiện đủ để kiểm tra  Điều kiện đủ Giả sử (  0, x0, y0) điểm dừng hàm số Lagrange, tức nghiệm hệ phƣơng trình (20) Lập ma trận H vuông cấp sau: 0  H   g1  g2  g1 g   L11 L12  L 21 L 22  g1  g (x , y0 ), x g2  g (x , y0 ) y 2L 2L  2L L11  ( , x , y0 ), L12  ( , x , y )  ( , x , y )  L 21 , x xy yx 2L L 22  ( , x , y0 ); y 115 Định lý Nếu định thức H > ( H < 0) hàm số w = f(x, y) với điều kiện g(x, y) = b đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) điểm (x0, y0) Ví dụ 3.23 Trở lại tốn tìm cực trị hàm số w = xy + 2x với điều kiện 8x + 4y = 120 Nhƣ nêu trên, hàm số Lagrange L = xy + 2x +  (120 - 8x - 4y) có điểm dừng (  = 2, x = 8, y = 14) Tại điểm dừng trên, ta có: g1  g (8,14)  8, x g2  g (8,14)  y 2L 2L L11  (2,8,14)  0, L12  (2,8,14)  1, x xy 2L 2L L21  (2,8,14)  1, L22  (2,8,14)  0; yx y Ta có ma trận Hessian: H   64  Vậy hàm số cho đạt cực đại có điều kiện x = 8, y = 14, wCĐ = 128 5.2 Cực trị có điều kiện hàm n biến phƣơng trình ràng buộc 5.2.1 Bài tốn Tìm cực trị hàm số w = f(x1, x2, ,xn) (21) với ràng buộc (22) g(x1, x2, ,xn) = b Các nội dung trình bày tốn cực trị có điều kiện trƣờng hợp biến đƣợc phát triển tƣơng tự cho trƣờng hợp n biến nhƣ sau: 5.2.2 Hàm số Lagrange L = L(, x1 , x , , x n )  f (x1, x , , x n )   b  g(x1, x , , x n )  116 5.2.3 Điều kiện cần Điểm (x1 , x , , x n ) mà hàm số (21) có khả đạt cực trị với điều kiện (22) đƣợc tìm với giá trị    nhân tử Lagrange từ hệ phƣơng trình:  L    b  g(x1 , x , , x n )   L f g    0 x i  x i x i (23) i  1, 2, , n tức (, x1 , x , , x n ) điểm dừng hàm số Lagrange Chú ý phƣơng trình đầu hệ phƣơng trình (23) điều kiện ràng buộc (22) toán 5.2.4 Điều kiện đủ Tại điểm thỏa mãn điều kiện cần, ta lập ma trận Hessian H vuông cấp (n + 1) sau: 0   g1 H   g2   g  n g1 g L11 L12 L 21 L 22 L n1 L n g n   L1n  L 2n    L nn  gk  g (x1 , x , , x n ) x k  k  1, 2, , n  2L Li j  (, x1 , x , , x n ) x i x j  i, j  1, 2, , n  Tính định thức H2, H3, , Hn ma trận H : g1 Hk  g2 gk g1 g L11 L12 L 21 L 22 L k1 L k g k L1k L 2n L kk (k = 2, 3, , n) 117 Hk định thức cấp (k + 1), có phần tử cuối đƣờng chéo Lkk Hn H Định lý  Nếu Hk < với k = 2, 3, , n hàm số (21) với điều kiện (22) đạt giá trị cực tiểu điểm (x1 , x , , x n )  Nếu H2 > 0, H3 < 0, , (-1)n Hn > 0, tức (-1)k Hk > với k = 2, 3, , n hàm số (21) với điều kiện (22) đạt giá trị cực đại điểm (x1 , x , , x n ) Ví dụ 3.24 Tìm cực trị hàm số w = x + y + z với điều kiện xyz = Lập hàm Lagrange: L = x + y + z +  (8 − xyz) Để tìm điểm dừng, ta giải hệ phƣơng trình:  L     L  x  L   y   L  z   xyz    yz    xz    xy  Hệ phƣơng trình có nghiệm nhất:   , x  y  z  Để kiểm tra điều kiện đủ ta tính đạo hàm riêng cấp hàm số g(x, y, z) = xyz đạo hàm riêng cấp hàm số Lagrange: gx= yz, gy= xz, gz= xy; Lxx = Lyy = Lzz = 0, Lxy = Lyx = -  z, Lxz = Lzx = -  y, Lyz = Lzy = -  x Tại điểm dừng   , x  y  z  , ta có: g1 = g2 = g3 = 4, L11 = L22 = L33 = 0, 118 L12 = L21 = L13 = L31 = L23 = L32 = -1/2 4  0   1/ 1/  H  1/ 1/      1/ 1/ Khi đó: 4 H2  1/  16  0, 1/ H3  H  12  Theo định lý điều kiện đủ, hàm số đạt giá trị cực tiểu điểm (x = 2, y = 2, z = 2) w CT  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Theo định lý Weierstrass, hàm f(x1, x2, …, xn) liên tục miền D đóng (gồm tất điểm biên) giới nội (khơng chứa điểm vơ cùng) đạt giá trị lớn (max) giá trị nhỏ (min) D Tƣơng tự nhƣ toán hàm biến, để tìm max hàm f, ta tìm tất điểm dừng toán cực trị tự miền D, điểm dừng tốn cực trị có điều kiện biên miền D, so sánh với Ví dụ 3.25 Tìm min, max hàm số z = xy miền D : x2 + y2 ≤ * Tìm điểm dừng miền D: z'x  y   M0 (0,0)  D  ' z x    y Hàm số có điểm dừng M0 miền D, z(M0) = * Tìm điểm dừng biên miền D (là đƣờng tròn x2 + y2 = 4) Ta lập hàm Lagrange: L = xy + λ(4 – x2 – y2);       L' x  y  2x    1/ : M 2,  ,M  2, ;  '  L y  x  2y     '   1/ : M3 2, ,M  2,  ; 2 L   x  y     119 Ta tính giá trị hàm số điểm dừng: z(M3) = z(M4) = 2; z(M1) = z(M2) = -2 So sánh giá trị hàm z điểm dừng, ta có: zmax = z(M3) = z(M4) = 2; 120 zmin = z(M1) = z(M2) = -2 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập Khái niệm hàm nhiều biến Tập xác định Đồ thị hàm biến Định nghĩa, ý nghĩa cách tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp vi phân cấp 1, cấp Định nghĩa, ý nghĩa cách tìm cực trị tự hàm biến, cực trị có điều kiện ràng buộc hàm biến Phân biệt rõ loại cực trị hàm nhiều biến: cực trị tự cực trị có điều kiện Bài tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số liên tục miền đóng giới nội 121 BÀI TẬP CHƢƠNG Bài Tìm miền xác định hàm số: a) z = – x – 2y b) z  x2  y c) q  d) z  x.ln(x  y) e) z = arcsin (x + y) xy f) z = arccos (x/y) Bài Tính đạo hàm riêng cấp hàm số: a) z = x3 + 5xy2 – y3 b) u  x y z   y z x c) z  x ey d) z = ln (x2 – y2) với x = 2, y = - Bài Tính vi phân tồn phần hàm số: a) z = 3x2y5 d) z = y.exy c) q  arccos b) u = 2xyz điểm M(0, 1) e) z  x.sin uv y điểm (1; π/2) x Bài Tính đạo hàm riêng cấp vi phân cấp hàm số: c) z = ex – y sin (x + y) a) z = x3 – 2x2y + 3y2 b) u = exyt d) z = x3y2 + 2xy1/2 e) z  y e x y Bài Dùng vi phân tồn phần tính gần đúng: a) 5.e0,02  (2, 03)2 b) ln[(0,09)3 + (0,99)3] c) (sin 1,59).(tg 3,09) Bài Tìm cực trị hàm số: a) z = 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 2y b) z = xy(1 – x – y) c) z = x2 + y2 – 8ln x + 4ln y – 6y + d) z  3x2  2x y  y  8x  e) z = (x2 + 2x + y).e2y f) z = x3 + xy2 – 3,5x2 – y2 Bài Dùng phƣơng pháp nhân tử Lagrange tìm cực trị có điều kiện hàm số: a) f(x, y) = xy với điều kiện x + y = b) f(x, y) = x + 2y với điều kiện x2 + y2 = 122 x y  1 d) f(x, y) = cos2x + cos2y với điều kiện y – x = π /4 e) f(x, y, z) = x – 2y – 2z với điều kiện x2 + y2 + z2 = c) f(x, y) = x2 + y2 với điều kiện Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: a) z = 2x3 + 4x2 + y2 – 2xy miền đóng, giới hạn đƣờng y = x2 y = b) z = 3xy hình tròn x2 + y2 ≤ c) z = x3 + y3 – 9xy + 27 hình vng ≤ x ≤ 4, ≤ y ≤ Bài Trong mạch điện với hai điện trở có trở kháng R1 R2 mắc song song, tổng trở kháng R đƣợc cho công thức: 1   R R1 R Chứng tỏ R1 R R  R2 R R1 R2 Bài 10 Một lon nƣớc hình trụ với chiều cao H cm bán kính đáy R cm, ta biết thể tích lon đƣợc tính theo cơng thức V = πR2H Giả sử lon nƣớc có chiều cao 12 cm bán kính đáy cm Ƣớc tính thay đổi thể tích lon tăng thêm cm đƣờng kính đáy chiều cao khơng đổi (Gợi ý: dùng vi phân toàn phần) Bài 11 Vẫn lon nƣớc 10, diện tích tồn phần tính cơng thức: S = 2πR2 + 2πRH Dùng vi phân, ƣớc tính thay đổi diện tích tồn phần khi: a Bán kính đáy tăng từ lên cm với chiều cao giữ nguyên 12 cm b Giảm chiều cao từ 12 xuống 11 cm, cịn bán kính đáy giữ nguyên cm Bài 12 Tìm hình chữ nhật có chu vi 2p cho trƣớc, cho hình quay quanh cạnh nó, tạo nên hình khối tích lớn Bài 13 Từ đoạn dây có chiều dài m, tạo mơ hình hình hộp chữ nhật tích lớn Bài 14 Giám đốc công ti vẽ sơ đồ vùng khách hàng công ti xác định khách hàng quan trọng điểm có tọa độ A(1, 5), B(0, 0) C(8, 0) (đơn vị 123 đo mile) Công ti nên đặt nhà kho địa điểm W(x, y) để tổng bình phƣơng khoảng cách từ W đến điểm A, B, C nhỏ nhất? y A(1,5) W(x, y) x B(0, 0) C(8, 0) Bài 15 Một nông dân muốn dựng hàng rào cho đồng cỏ hình chữ nhật dọc theo bờ sơng Diện tích đồng cỏ 6400 m2, không cần hàng rào cạnh dọc bờ sơng Tìm kích thƣớc đồng cỏ để độ dài phải rào 124 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích, T I, II, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003-2004 [2] Trần Trọng Huệ, Đại số Hình học giải tích, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), …, Tốn học cao cấp, Tập I, II, III, (Tái lần thứ 12), Nxb Giáo dục, 2012 [4] Y.Y Liasko, …….…, Giải tích tốn học, ví dụ tốn, T.I, II, Nxb ĐH THCN, 1979 [5] S Kaczmarz Angenaherte Auflosung von Systemen linearer Gleichungen Bulletin International de l’Académie Polonaise de Sciences A, (1937), 355–357 English translation in: Approximate solution of systems of linear equations International Journal of Control 57 (1993), 1269–1271 [6] Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., Singapore, 2008 (8-th Edition) [7] Laurence Hoffmann…[et al.], Calculus for Business, Economics, and the Social and Life Sciences, McGraw-Hill, New York, 2013 (Brief Eleventh Edition) 125 ... bản, hàm số sơ cấp Các hàm số nêu đƣợc gọi hàm số sơ cấp Nếu thực số hữu hạn phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, hợp hàm) hàm số sơ cấp bản, ta thu đựơc hàm số Hàm số đƣợc gọi hàm số sơ cấp Bạn đọc...  cos x.ln x   x   3.2 Đạo hàm cấp cao Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm khoảng (a, b) Khi f ''(x) hàm số (a, b).Nếu hàm số có đạo hàm, đạo hàm đƣợc gọi đạo hàm cấp hai y = f(x), ký hiệu f '''',... thể suất trình sản xuất 3.1.3 Đạo hàm hàm hợp, đạo hàm hàm ngƣợc Định lý Hàm u = u(x) có đạo hàm u’(a), hàm y = f(u) có đạo hàm y’(u0), u0 = u(a) Khi đó: y’(a) = y’(u0).u’(a) Ta coi hàm ngƣợc