Bài giảng Toán cao cấp A1 (65 trang)

Tốn cao cấp A1 Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN Bài GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC 1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Một hàm số f từ tập số nguyên dương f : *   , theo với số nguyên dương n  số thực xn  * * vào tập số thực cho tương ứng với Mỗi hàm số gọi dãy số thực biểu diễn sau: x1 , x2 , , xn , viết gọn  xn  Số xn gọi số hạng tổng quát Ví dụ Cho hàm số f : *  xác định sau: f  n   xn   3n Ta có x1  4, x2  7, x3  10, x4  13, Khi ta có dãy số: 4, 7, 10, 13, ,  3n, Số hạng tổng quát xn   3n Định nghĩa Dãy  xn  gọi hội tụ số thực a   0, N=N    cho n  N xn  a   Và a gọi giới hạn dãy số  xn  , kí hiệu: lim xn  a hay xn  a n   n Ví dụ 2.Chứng minh dãy số sau hội tụ 2017 1 1 2018, 2017  , 2017  , 2017  , 2017  , , 2017  , n Giải.Ta có xn  2017  1  xn  2017  Ta cần chứng minh n n   0, N=N    cho n  N xn  2017  1 1  n Thật vậy, với  cho trước ta chọn N=   (là phần nguyên ) ,    n  N  n      (đpcm) n 2n  n n  Ví dụ Chứng minh lim Toán cao cấp A1 Giải.Ta cần chứng minh   0, N=N    cho n  N 2n   Nhận n 1 2n 2n 2 2    , để    n  , với cho trước ta chọn N=    , n  n2  n2 n 2 2n   (đpcm) n  N  n       n n 1 thấy Định nghĩa Giới hạn vô cực: lim xn    E  0, N  E  cho n  N  E  xn  E n lim xn    E  0, N  E  cho n  N  E  xn   E n Ví dụ Chứng minh lim a n   (a  1) n Giải.Ta cần chứng minh E  0, N  E  cho n  N  E  a n  E Nhận thấy ln E Vậy E  ln a ln E  ln E    a n  E (đpcm) n ,  n  N E N E      ln a  ln a  để a n  E  ln a n  ln E  n ln a  ln E  n  ta chọn Định nghĩa Dãy  xn  gọi bị chặn tồn số thực a cho xi  a, xi xn  Dãy  xn  gọi bị chặn tồn số thực a cho xi  a, xi xn  Dãy  xn  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, nghĩa tồn số thực a cho xi  a, xi xn  1.2 Các định lí giới hạn dãy số 1.2.1.Tiêu chuẩn hội tụ 1: Nếu yn  xn  zn , n  n0 với n0 số tự nhiên lớn lim yn  lim zn  a lim xn  a n n n 1.2.2.Tiêu chuẩn hội tụ (tiêu chuẩn Cauchy): điều kiện cần đủ để dãy  xn  có giới hạn   0, N=N    : xn p  xn   n  N p  1.2.3.Tiêu chuẩn hội tụ 3: Dãy đơn điệu bị chặn hội tụ - Dãy đơn điệu tăng bị chặn hội tụ - Dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ Tốn cao cấp A1 1.2.4 Tính chất phép toán: Cho  xn   yn  hội tụ, đó: a Nếu yn  xn lim yn  lim xn n n b lim  xn  yn   lim xn  lim yn n n n c lim  xn yn   lim xn lim yn n n  xn  yn d lim  n n xn  lim n với lim yn    n y lim  n n 1.2.5 Một số giới hạn dãy số: e lim n   với    với  số n n a lim n f lim q  với q  n  với   n ln n n b lim n c lim n n p  với p  n 1  g lim 1    e n n  d lim n a0  a1n  a2 n   a p n  p n với p   5 Ví dụ Tìm giới hạn lim n n  6n 2n  n n   n        1 n n   1 5   6n     6 6   Giải lim n    0.1  lim lim lim   n n n  n n n n     2 2 n    1   1 7    n Toán cao cấp A1 Bài GIỚI HẠN HÀM SỐ Giả s f hàm số xác định tập D  2.1 Giới thi u hà a  D a  D số lư ng giác ngư c a Hàm số y  arcsin x (Đọc ac-sinx) Người ta chứng minh rằng: y  sin x,    x    x  arcsin y, 1  y  Như vậy, hàm số: có hàm số ngược: f : [  2;  2]  [1;1], x f 1 : [1;1]  [  2;  2], x sin x y arcsin x  y  y  arcsinx y  sinx  x O -1   O x -1  Hàm số y  arcsin x có miền xác định [1;1] , miền giá trị [  2;  2] , hàm số tăng [1;1] b Hàm số y  arccosx (Đọc ac-cosx) Ta có: y  cos x,0  x    x  arccos y, 1  y  Vậy, hàm số f : [0; ]  [1;1], x cos x f 1 : [1;1]  [0; ], x y có hàm số ngược: arccos x y  cosx  y    x O  y  arccosx -1 x -1 O  Hàm số y  arccosx có miền xác định [1;1] , miền giá trị 0;  , hàm số giảm [1;1] c Hàm số y  arctan x (Đọc ac-tanx) Ta có: y  tan x,    x    x  arctan y, y  Toán cao cấp A1 Hàm số f : (  2;  2)  , x có hàm số ngược: tan x f 1 :  (   2;  2), x arctan x y y    x O x  O y  arctanx y  tanx  Hàm số y  arctan x có miền xác định , miền giá trị (  2;  2) , hàm số tăng d Hàm số y  arcco t x (Đọc ac-cotx) Ta có: y  cot x,0  x    x  arccot y, y  Hàm số f : (0; )  , x có hàm số ngược cotx f 1 :  (0; ), x arccot x y y  cotx  y    x O y  arccotx  x  O Hàm số y  arcco t x có miền xác định 2.2 Định nghĩa giới hạn hà a Giới hạn , miền giá trị  0;   , hàm số giảm số h u hạn gọi giới hạn f (x) điểm a với   bất k tồn   Số L cho với x th a mãn  x  a   ta có f (x)  L   Viết gọn dạng k hiệu logic: lim f (x)  L    0,   0, x  D :  x  a    f (x)  L   xa Ví dụ Chứng t lim ( x  6x  9)  HD:   , chọn    x3 b Giới hạn ột bên Ta định nghĩa giới hạn phải, giới hạn trái f (x) a (nếu có) sau: lim f (x)  L    0,   0, x  D :  x  a    f (x)  L   xa  lim f (x)  L    0,   0, x  D :  a  x    f (x)  L   xa  Nhận xét lim f (x)  L  lim f (x)  lim f (x)  L xa xa  xa  Tốn cao cấp A1 x Tính lim f (x) lim f (x) x x0 x0 c Giới hạn v c c Ta định nghĩa giới hạn f (x)   sau: Ví dụ Cho f (x)  lim f (x)  L    0, N  0, x  D : x  N  f (x)  L   x lim f (x)  L    0, N  0, x  D : x   N  f (x)  L   x Ví dụ Chứng t lim x x  x x  lim HD:   , chọn N  1 N '    d Giới hạn v c c Ta định nghĩa: lim f (x)    N  0,   0, x  D :  x  a    f (x)  N xa lim f (x)    N  0,   0, x  D :  x  a    f (x)   N xa 1   HD: N  , chọn   x0 x N Ví dụ Chứng t lim 2.3 Tính chất Tính chất Cho lim f1 (x)  L1 , lim f (x)  L2 xa xa Trong L1 , L2 hữu hạn, cịn a hữu hạn vơ Khi đó: i) lim Cf1 (x)  CL1 , với C số; ii) lim f1 (x)  f (x)  L1  L2 ; xa xa f1 (x) L1 , với L2   xa f (x) L 2 iii) lim f1 (x)f (x)  L1L2 ; iv) lim xa Tính chất sin x  1; i) lim x0 x x x 1  ii) lim     e ; lim 1  x   e ; x  x0 x với e  2, 718281828 x Ví dụ Tính I  lim 1  sin x  ĐS: I  e x0 2.4 Các dạng v định a Dạng : Trư ng h p Khi f (x)  P(x) , với P, Q đa thức Q(x) Toán cao cấp A1 P(x) P(a)  xa Q(x) Q(a) + Nếu Q(a)  lim f (x)  lim xa + Nếu P(a)  0; Q(a)  phân thức x3  Ví dụ Tính I  lim x1 x  3x  P(x) cần giản ước vài lần cho x  a Q(x) ĐS: I  3 Trư ng h p Khi f (x) hàm có chứa biểu thức vơ tỷ, cách đặt phép để đưa dạng hữu tỷ biến đổi để đưa biểu thức vô tỷ từ mẫu số lên t số ngược lại x ĐS: I  x0 x   Ví dụ Tính I  lim sin x  x0 x Trư ng h p Khi f (x) có chứa biểu thức lượng giác, thường áp dụng lim Ví dụ Tính I  lim x0 b Dạng  cos x ĐS: I  2 x  :  Khi f (x)  Pm (x) , Pm (x),Qn (x) hai đa thức bậc m n tương ứng Ta chia t Qn (x) số mẫu số cho x k , với k  max(m;n) x3  x  ĐS: I  x x  Ví dụ Tính I  lim c Dạng    : Để tìm giới hạn hàm số trường hợp này, ta biến đổi để đưa dạng 0  , áp dụng phương pháp giải nói  Ví dụ Tính I  lim x   x  4x  x ĐS: I  d Dạng 0. : Trong trường hợp này, ta biến đổi để đưa dạng   x ĐS: I  x 1  2.5 Vô bé v lớn a Định nghĩa Hàm số f (x) gọi vô bé (viết tắt VCB) x  a limf (x)  Ví dụ Tính I  lim 1  x  tan xa Hàm số f (x) gọi vô lớn (viết tắt VCL) x  a Toán cao cấp A1 limf (x)   limf (x)   x a xa Nghịch đảo VCB VCL, ngược lại Ví dụ f (x)  x VCB x  b.Tính chất Cho f1 (x), f (x) hai VCB x  a f1 (x)  ta nói VCB f1 (x) có bậc cao VCB f (x) k hiệu x a f (x) (i) Nếu lim f1 (x)  o  f (x)  Ch ng hạn: x  o  3x  f1 (x)  C (với C  ) ta nói VCB f1 (x) bậc với VCB f (x) k x a f (x) (ii) Nếu lim hiệu f1 (x)  O  f (x)  f1 (x)  ta nói VCB f1 (x) tương đương với VCB f (x) k x a f (x) Đặc biệt, lim hiệu f1 (x) f (x) x  a Ch ng hạn: sin x x x  (iii) Nếu x  a , có f1(x) f2 (x); g1(x) g2 (x) f1(x)g1(x) f (x)g2 (x) f1 (x) g1 (x) f (x) g (x) Một số c ng thức (khi x  ): sin x x; ex  x ; tan x  cos x x; x2 ; ln 1  x  (1  x)a  ax a x  x ln a ; sin(x  3) ln(cos x)  cosax ; B  lim ; C  lim 2 x 3 x  4x  x 0 x 0 x2 x Ví dụ Tính giới hạn: A  lim ĐS: A  1 a2 ; B ; C 2 x; Tốn cao cấp A1 Bài TÍNH I N T C CỦA HÀM SỐ 3.1 Hà số liên tục Cho f hàm số xác định (a,b) Ta nói f liên tục x  (a,b) lim f (x)  f (x ) x x f gọi liên tục (a,b) f (x) liên tục điểm thuộc (a,b) Ví dụ f (x)  x  hàm số liên tục Ch Người ta cịn định nghĩa hàm số liên tục theo ngơn ngữ    sau f liên tục x    0,   0, x  (a, b) : x  x    f (x)  f (x )   3.2 Hà số gián đoạn Hàm số f (x) không liên tục x , gọi gián đoạn điểm Điểm x điểm gián đoạn f (x) xảy khả sau: + x không thuộc miền xác định f (x) ; + x thuộc miền xác định f (x) , lim f (x)  f (x ) ; xx0 + Không tồn lim f (x) xx0 Ví dụ f (x)  hàm số gián đoạn x  x 3.3 Tính chất hà số liên tục Tính chất Cho f (x),g(x) hàm số liên tục khoảng (a,b) , đó: i) f (x)  g(x) liên tục (a,b) ; ii) f (x)g(x) liên tục (a,b) Đặc biệt Cf (x) liên tục (a,b) (với C số); iii) f (x) liên tục (a,b) trừ điểm x làm cho g(x)  g(x) Nhận xét Các hàm đa thức, hàm phân thức hữu t , hàm lượng giác, hàm lượng giác ngược, hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm lôgarit liên tục miền xác định chúng  sinx , x   Ví dụ Khảo sát tính liên tục hàm số f (x)   x 1, x  4.3x , x  Ví dụ Cho f (x)   2a  x, x  Xác định a để f (x) liên tục điểm x  ĐS: a  Tính chất (Định l giá trị trung gian) Cho f (x) hàm số xác định, liên tục (a, b) Nếu có ,  th a mãn a      b f ()f ()  tồn c  (, ) cho f (c)  Toán cao cấp A1 Bài ĐẠO HÀM – VI PHÂN 4.1 Định nghĩa đạo hà Giả s f hàm số xác định khoảng  a, b  , x   a,b  Nếu tồn f (x)  f (x )  xx0 x  x0 lim , (3.1) giới hạn gọi đạo hàm f (x) x , k hiệu f ' (x ) Hàm số f gọi có đạo hàm  a, b  f có đạo hàm điểm x   a,b  Khi hàm số f có đạo hàm điểm x , ta nói f khả vi điểm x Nhận xét Nếu đặt x  x  x (1.1) trở thành f ( x  x )  f (x ) x0 x f ' (x )  lim (3.2) Ví dụ Cho f (x)  x Tính đạo hàm f điểm x theo định nghĩa Nhận xét Nếu f hàm số có đạo hàm x f liên tục x 4.2 Ý nghĩa hình học đạo hà Giả s hàm số y  f (x) có đồ thị đường cong (C) Nếu f khả vi x f '  x  hệ số góc tiếp tuyến  đường cong (C) điểm M0  x ,f (x )  Từ suy rằng: Nếu f khả vi điểm x tiếp tuyến  (C) M0  x ,f (x )  có phương trình là: y  f '(x )  x  x   y0 4.3 Đạo hà ột phía + Giả s hàm số f xác định khoảng  x , b  Nếu tồn f (x)  f (x )  x x  xx0 lim  , giới hạn gọi đạo hàm phải f điểm x , k hiệu f ' (x 0+ ) + Giả s hàm số f xác định khoảng  a, x  Nếu tồn f (x)  f (x )   x  x0 xx0 lim , giới hạn gọi đạo hàm trái f điểm x0 , k hiệu f ' (x  ) Nhận xét f(x) khả vi (có đạo hàm) x  f ' (x 0+ ) = f ' (x 0 ) x  x  e Ví dụ Dùng định nghĩa, tính đạo hàm (nếu có) hàm số f  x      x  x  x  điểm x o  Giải 10 Toán cao cấp A1 4  2x   Tìm điểm dừng cách giải hệ:  3  2y   x  y    5 Giải hệ được: 1  , x1  , y1     , x   , y   5 5 d F  Fxx'' dx  2Fxy'' dxdy  Fyy'' dy2  (2)dx  2(0)dxdy  (2)dy  2(dx  dy ) Nếu   , x  , y  d F  , nên f đạt cực tiểu điểm M1 (4 5; 5) 5 Nếu    , x   , y   d F  , nên f đạt cực đại điểm M2 ( 4 5; 3 5) 5 Như vậy, f max   16   11 f   16   13.5 Giá trị lớn giá trị nh Cực trị giới thiệu mục trên, ch mang tính chất địa phương Nghĩa là, chúng ch lớn (hay nh hơn) giá trị khác hàm số lân cận (đủ bé) điểm cực trị xét, người ta thường gọi cực trị địa phương Để mở rộng tính chất cục này, ta xét tính chất cực trị hàm số toàn miền Ta nhớ lại rằng, hàm số f(x,y) liên tục miền đóng giới nội D, đạt giá trị lớn (GTLN) giá trị nh (GTNN) miền Nếu giá trị đạt điểm bên miền D, điểm phải điểm cực trị, chúng lại điểm dừng hàm số Ngoài GTLN GTNN hàm số đạt biên miền D Để tìm GTLN GTNN hàm số f(x,y) miền đóng giới nội D, ta thực bước sau: i) Tính giá trị f điểm dừng thuộc miền D ; ii) Tính GTLN GTNN f biên miền D ; iii) Số lớn nh giá trị tính bước i) bước ii) GTLN GTNN cần tìm Ví dụ Tính GTLN GTNN hàm số y A B f (x, y)  x  2xy  3y2 miền đóng D, hình tam giác có đ nh A( 1;1) , B(2;1) , C( 1; 2) x -1 HD: f có điểm dừng O(0;0)  1  x  + Trên đoạn AB:  y  O -1 Do C -2 f (x,1)  x  2x  , với 1  x  Trên tập [1;2] , h(x)  x  2x  nh (tại x  1 ) lớn 11 (tại x  ) 51 Toán cao cấp A1  x  1 + Trên đoạn AC:  Do f (1, y)  3y2  2y  , với 2  y   2  y  Trên tập [2;1] , h(y)  3y2  2y  nh (tại y  ) lớn 11 (tại y  2 ) y  x  Do + Trên đoạn CB:   1  x  f  x;x  1  x  2x(x  1)  3(x  1)2  6x  8x  , với 1  x  Trên tập [1;2] , h(x)  6x  8x  nh (tại x  ) lớn 17 (tại x  1 ) So sánh giá trị tính, ta thấy: f  , đạt điểm O(0,0) ; f max  17 , đạt điểm C(1, 2) Ví dụ Tìm GTLN GTNN hàm số f (x, y)  x  y2 miền tròn đóng D: (x  2)2  (y  2)2  HD: Điểm tới hạn (0;0) thuộc D Biên D có phương trình (x  2)2  (y  2)2  Đặt x   3cos t, y   3sin t, t  0;2 Khi đó: f  13  2(sin t  cos t)  13  12sin(t   4) f max  25 t   , tức đạt x  y  ; f  t  5 , tức đạt x  y   52 Toán cao cấp A1 BÀI T P CH NG KH I NI M HÀM NHIỀU BIẾN – GIỚI HẠN – SỰ I N T C 1.1 Tìm miền xác định hàm số: a) u  ; x  y2 d) u   x y2 z   ; a b2 c b) u  ln(x  y2  1) ; c) u  e) u  ln xy ; f) u   x  y2 ; 1 ;  xy xy g) u   x  y2  x  y2  11.2 Tính giới hạn sau: 1 3xy2  5x y  (x  y)sin sin a) lim ; b) (x,y)lim (0,0) (x,y)(0,0) x y 7xy  2x  3y c) ; lim (x,y)(0,0) 3x  2y 11.3 Xét tính liên tục theo tập hợp biến số theo biến số hàm số sau:  x y2 , x  y   4 f (x, y)   x  y 0, x  y   điểm O(0;0) A(1;2) ĐẠO HÀM RI NG – VI PHÂN TỒN PHẦN 12.1 Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số: a) f  (x  y2 ) ; b) f  cos(xy) ; c) f  x y 12.2 Tính vi phân tồn phần hàm: f (x, y)  x y ; g(x, y)  x  y3 Ứng dụng, tính gần biểu thức: a  (1,04)2,03 ; b  (1,02)3  (1,97)3 12.3 Một thép có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 1m chiều dài 2m Khi bị ảnh hưởng nhiệt độ, thép bị thay đổi (có thể dãn nở thêm, co lại): chiều rộng thay đổi 2mm, chiều dài thay đổi 3mm Hãy ước lượng, phần diện tích tăng giảm ấy? 12.4 Khi đo bán kính đáy chiều cao khối gỗ dạng hình trụ, ta bán kính r  0,5m chiều cao h  2m Biết sai số đo bán kính 0,2cm ; sai số đo chiều cao 0,3cm Hãy tính sai số tuyệt đối lớn tính thể tích khối gỗ 12.5 Khi đo kích thước bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật ta số liệu theo chiều rộng, chiều dài chiều cao sau: a  2m , b  3m c  5m Biết sai số lần đo tới 0,1cm Tính sai số tuyệt đối lớn tính thể tích bể chứa nước 12.6 Tính đạo hàm hàm số hợp sau: a) f (u, v)  e u2 2 v2 , với u  cos x; v  x  y2 b) f (u, v)  ln(u  v ) , với u  xy; v  x y 53 Toán cao cấp A1 CỰC TR – GI TR ỚN NHẤT – GI TR NH 13.1 Tìm cực trị hàm số sau: NHẤT a) f   6x  x  xy  y2 ; g) f  x  y  xey b) f  (x  1)2  2y2 ; h) f  x  y3  3xy ; c) f  x  y2  2x  4y  ; i) f  x  4x  2y2  5x  8y  1; d) f  x  xy  y2  3x  6y ; j) f  y3  x  3y  6x  5y  2; e) f  x 3y2 (6  x  y) , với x  0, y  f) f  4(x  y)  x  y2 ; 13.2 Tìm cực trị có điều kiện hàm số sau: a) f  xy với điều kiện x  y  ; b) f  x  2y với điều kiện x  y2  ; 13.3 Tính GTLN GTNN hàm số miền D: a) f (x, y)  x  xy  y2  x  y , miền D đóng giới hạn hình tam giác có đ nh: O(0;0) , A( 3;0) , B(0; 3) b) f (x, y)  x  3y2  x  y , miền đóng D giới hạn đường th ng x  ; y  ; x  y  54 Toán cao cấp A1 Chương Ý THUYẾT CHUỖI Bài 14 CHUỖI SỐ 14.1 Các hái ni a Định nghĩa Cho dãy số a1,a2, ,an,  Tổng a1  a2   an  gọi chuỗi số, k hiệu   an ,  an n 1 n1 Gọi Sn  a1  a2   an tổng riêng thứ n Nếu giới hạn lim Sn tồn hữu hạn S, ta nói chuỗi hội tụ có tổng S n Tức là: Sn  S  an  nlim  n1 Trong trường hợp giới hạn khơng tồn tại,  , ta nói chuỗi phân k khơng có tổng Ví dụ Tính tổng S  1 1    HD: Sn   n b Chuỗi cấp số nhân (chuỗi hình học) Chuỗi cấp số nhân chuỗi có dạng   aqn1 Trong a, q số, với a khác n 1 và: n 1 Sn  a  aq   aq q=1 na,  n   a(1  q )   q , q   Nếu q  chuỗi tụ có tổng S  lim Sn  n a 1 q Nếu q  chuỗi phân k Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số  3n n 1 c Chuỗi Dirichler Chuỗi Dirichler chuỗi có dạng  n n 1  ,  Chuỗi hội tụ   phân k   Khi   1, chuỗi   n gọi chuỗi điều hòa Như chuỗi điều hòa phân k n 1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi   n 1 n d Chuỗi số dương Chuỗi số dương chuỗi số có dạng  an , an  0,n  n1 55 Tốn cao cấp A1 Nhận xét Vì dãy tổng riêng Sn  chuỗi số dương  a n 1 n an tăng nên: n 1 (với a n  0, n ) hội tụ  dãy Sn  bị chặn e Chuỗi đan dấu  Chuỗi đan dấu chuỗi có dạng   ( 1) n a n , a n  với n  n 1 14.2 Tính chất chuỗi số  a n , cách b k số hạng đầu ta chuỗi Tính chất 1: Từ chuỗi n 1  a n  k 1 n có chất với chuỗi ban đầu (tức hội tụ, phân k )    a n Tính chất 2: Cho chuỗi  a n 1 (i) Nếu   chuỗi   a n 1 n  a n 1   a chúng hội tụ, ta có: n 1 Tính chất 3: Cho chuỗi  a n Trong trường hợp n 1  n   a n n 1  a n ,  bn n 1  a n ,  bn n 1 , với  Khi đó: có chất với chuỗi n n 1 (i) Nếu hai chuỗi n hội tụ  (ii) Nếu   chuỗi n 1  (a n  bn ) Khi đó: n 1 hội tụ chuỗi n 1  (a n  bn ) hội tụ, nữa: n 1  (a n  bn )   a n   bn n1  a n ,  bn (ii) Nếu hai chuỗi n 1  (a n  bn ) n 1 n 1 có chuỗi hội tụ, chuỗi phân k chuỗi n 1 phân k n 1 (iii) Nếu chuỗi an hội tụ chuỗi Ch Nếu hai chuỗi  a n ,  bn n 1 chuỗi  (a n  bn ) có chất với chuỗi n 1 n 1  bn n 1 phân k chưa có kết luận chất n 1  (a n  bn ) n 1 14.3 Điều i n cần đ chuỗi hội tụ a Định l Nếu chuỗi  a n 1 b H n hội tụ lim a n  n (i) Nếu lim a n khơng tồn lim a n  chuỗi n n 56 an n 1 phân k Tốn cao cấp A1 (ii) Nếu lim a n khơng tồn lim a n  chuỗi n n c Ch an phân k n 1 Nếu lim a n  ta chưa kết luận hội tụ hay phân k chuỗi n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi   (1)n arctan n 1 an n 1  3n HD: lim a n   n n 2 1 14.4 Các tiêu chuẩn hội tụ a Tiêu chuẩn so sánh Cho hai chuỗi số dương  a n  bn Khi đó: n 1 n 1 hội tụ  an phân k  n 1 (i) Nếu a n  bn , n  1,2, thì: an  bn hội tụ; n 1 n 1  bn phân k n 1 a (ii) a n ~ bn n   (nghĩa lim n  ), hai chuỗi n b n   a , b n 1 n n 1 n có chất a (iii) Nếu lim n  thì: n b n  bn hội tụ  an phân k  an hội tụ   bn phân k  n 1 an n 1 a (iv) Nếu lim n   thì: n b n hội tụ; n 1  bn phân k n 1 n 1  bn hội tụ; n 1 n 1 an phân k n 1 n 3n  4n 3n  4n   Ví dụ Xét hội tụ chuỗi  n HD: n n ~   n   n 5 5 n 1   b Tiêu chuẩn thức Cauchy Cho chuỗi số  a n 1 n giả s tồn giới hạn lim (i) Nếu   chuỗi n  a n 1 (ii) Nếu   chuỗi n n 1 a n   Khi đó: hội tụ  a n n phân k (iii) Nếu   chưa kết luận hội tụ chuỗi  a n 1 Chú ý lim n n  n 57 n Toán cao cấp A1 n n  1  Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số  ĐS: chuỗi hội tụ n 1 n n 3n c Tiêu chuẩn tỉ số D Ale bert Cho chuỗi số  a n 1 n giả s tồn giới hạn lim n  a (i) Nếu   chuỗi n 1 n hội tụ  a (ii) Nếu   chuỗi n 1 a n1   Khi đó: an n phân k (iii) Nếu   chưa kết luận hội tụ chuỗi  a n 1 n  3n n! ĐS: chuỗi hội tụ  n n 1 n Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số d Tiêu chuẩn tích phân Cauchy Cho chuỗi số dương  a n 1 n Giả s f(x) hàm số không âm, liên tục giảm  1;  cho a n  f (n), n  Khi đó:  a n hội tụ  n 1  H   hội tụ  n 1 n Ví dụ Xét hội tụ  x   f (x)dx hội tụ   Ví dụ Xét hội tụ chuỗi số  n 2 n ln n  HD:  x ln x dx   dx hội tụ    1   n3     HD:  a n ~ n n   n 1  n n  2n  3n    e Tiêu chuẩn eibnitz  Nếu chuỗi đan dấu   ( 1) n a n th a mãn điều kiện: n 1 (i) Dãy số a n  không âm giảm; (ii) lim a n  , n hội tụ có tổng S th a mãn S  a1 Ví dụ Xét hội tụ chuỗi   (1)n n 1 n2  ĐS: hội tụ n4  ( 1) n Nhận xét Xét chuỗi dạng   ,  n 1 n  58 Khi đó: Tốn cao cấp A1 ( 1) n hội tụ;  Nếu   chuỗi   n 1 n   Nếu   chuỗi ( 1) n phân k   n 1 n  14.5 Hội t đối bán hội tụ a Định nghĩa Chuỗi   a n gọi hội tụ tuyệt đối chuỗi n 1 Chuỗi  a n 1 n hội tụ   a n gọi bán hội tụ (hay hội tụ có điều kiện) chuỗi n 1 chuỗi  a n 1 n  a n 1 n phân k hội tụ b Tính chất Tính chất Nếu chuỗi  a n 1 Tính chất n ( 1) n (với    n 1 n  hội tụ chuỗi  a n 1 hội tụ a n 1  n   an n 1 ) hội tụ tuyệt đối   bán hội tụ    Ví dụ Xét hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ chuỗi HD: a n n  n  4n  ( 1)  n  2n  3n  n 1  n n   ; chuỗi bán hội tụ n c Nhận xét Trong tiêu chu n thức Cauchy tiêu chu n t số D’Alembert, giới hạn   1, hội tụ phát biểu hội tụ tuyệt đối Ví dụ Cho p  ( 1) n1 Tìm p để chuỗi cho hội tụ tuyệt đối; hội tụ có điều  p (2n  1) n1 kiện HD: a n ~ 1 n   ; chuỗi hội tụ tuyệt đối p  bán hội tụ  p  2p n p 59 Toán cao cấp A1 Bài 15 CHUỖI HÀM 15.1 Các hái ni a Định nghĩa Chuỗi hàm chuỗi có dạng   u n (x) (15.1) n 1 u n (x) hàm số xác định tập hợp X  Gọi Sn (x) tổng riêng thứ n chuỗi Chuỗi (15.1) gọi hội tụ điểm x  X dãy hàm số Sn (x ) hội tụ điểm x Chuỗi (15.1) gọi hội tụ tập X hội tụ điểm x  X Nếu dãy Sn (x) có giới hạn S(x) S(x) gọi tổng chuỗi Tức là: Sn (x)  S(x)  un (x)  nlim  n1 Ví dụ Tính tổng chuỗi hàm   x n1 trường hợp hội tụ n 1 HD: Sn (x)  1  xn ; chuỗi hội tụ x  có tổng S(x)  1 x 1 x 15.2 Tì iền hội tụ Để xét hội tụ chuỗi (15.1) điểm x , ta xét hội tụ chuỗi số  u n (x ) n 1 (bằng cách áp dụng tiêu chu n thông thường) Tập hợp điểm x mà chuỗi (15.1) hội tụ, gọi miền hội tụ Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi hàm  e nx n 1 HD: Với x  ta có:   lim n u n (x )  e  x0 n Theo tiêu chu n Cauchy chuỗi  e nx n 1 Tại x   e nx n 1 hội tụ x  phân k x   1 : phân k Vậy miền hội tụ chuỗi cho x  (0; ) n 1 Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: (i) 3  x   n1 (ii)  n1  x n 2n HD: Dùng tiêu chu n Cauchy; x  (2;  2)  ( 2; 2) HD: Dùng tiêu chu n D’Alembert; x  15.3 Chuỗi l y thừa a Định nghĩa Chuỗi lũy thừa chuỗi có dạng  a n x n  a n (x  a)n n 0 60 n 0 Toán cao cấp A1 b Tính chất  a x (i) Nếu n 0 (ii) Nếu n n hội tụ x  x  hội tụ tuyệt đối điểm x   x ;x   a x n 0 n n phân k x  x1 phân k điểm x thuộc  ;x1    x1;   c Bán ính hội tụ Rõ ràng chuỗi lũy thừa  a x n 0 n n hội tụ điểm x  Từ tính chất trên, suy tồn số thực R  0;   cho chuỗi hội tụ tuyệt đối khoảng   R;R  phân k tập  ;  R    R;   Nhưng điểm x  R x  R chuỗi lũy thừa chưa biết hội tụ hay phân k Số R nói gọi bán kính hội tụ, khoảng   R;R  gọi khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa Định l Cho chuỗi lũy thừa dạng a x  n 0 n n a  n 0 n (x  a) n 1    a  Nếu lim n1   (hoặc lim n a n   ) R  0 n n a n   =+   =0 Ví dụ Xác định bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa sau: 3n (i)  n1 (ii) n!(x  5)  n1 2n x n ; ĐS: R  ; x  ( 3; 3) n ĐS: R  ; chuỗi ch hội tụ x  d Tì iền hội tụ chuỗi l y thừa Do chuỗi lũy thừa trường hợp riêng chuỗi hàm, nên ta áp dụng cách trình bày Ví dụ Xét hội tụ chuỗi lũy thừa xn  n ĐS: x [1;1) n 1 15.4 Chuỗi Taylor Giả s hàm f (x) tổng chuỗi lũy thừa: f (x) :  a n (x  a) n  a  a1 (x  a)  a (x  a)   a n (x  a) n  (15.2) n0 với khoảng hội tụ  a  R; a  R  Khi ta nói f (x) khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm a theo lũy thừa x  a 61 Toán cao cấp A1 Từ khai triển (15.2) phép lấy đạo hàm liên tiếp thay x  a vào kết ta thu được: f (n) (a) an  n! chuỗi (15.2) có dạng: f (x) :  f ( n ) (a) n 0 n! (x  a) n  f (a)  f '(a) 1! (x  a)  f ''(a) 2! (x  a)   f ( n ) (a) n! (x  a) n  (15.3) vế phải (15.3) gọi chuỗi Taylor hàm f (x) Khi a  (15.3) có dạng: f (x) :  n 0 f ( n ) (0) n! x n  f (0)  f '(0) 1! x f ''(0) 2! x   f ( n ) (0) n! x n  (15.4) vế phải (15.4) gọi chuỗi Maclaurine hàm f (x) f '(a) f ''(a) f (n) (a) (x  a)  (x  a)   (x  a) n Đặt Sn (x)  f (a)  1! 2! n! R n (x)  f (x)  Sn (x) (phần dư), có dạng: R n (x)  f (n1) () (x  a) n1 , với  (a,x) (n  1)! Hàm f (x) khả vi vô hạn lần điểm a tổng chuỗi Taylor ch R n (x)  n   a Phương pháp tr c tiếp f (n) (a) n! + Chứng t R n (x)  n   + Tính hệ số theo cơng thức a n  Ví dụ Khai triển hàm hàm y  cosx thành chuỗi Taylor điểm a  + Tính giá trị hàm đạo hàm điểm x    :  ; y   4 2  ; y'     4  ; y''     4  y'''    ; 4    y(n)    cos   n  2 4 4 Do đó: f (x)  f (  4)   2  f '(  4) 1! (x   4)  f ''(  4) 2! (x   4)   f ( n ) (  4) n! (x   4) n  (n) f (  4) (x   4) (x   4) 2 (x   4) n (x   4)      1! 2! 3! n! 2 62 Toán cao cấp A1    x   (x   4) (x   4)     1   1! 2! 3!  + Khảo sát phần dư R n công thức Taylor: R n (x)  f ( n 1) ( ) (n  1)!   cos   (n  1) (x  a) n 1    (n  1)! (x   4) n 1 (x   4) n1 Ta có: cos  1,  xét chuỗi  u n , u n  (n  1)! n 0 Ta có: u n1 (x   4) n2 (n  1)! x   n     , nên n 1 un (n  2)! (x   4) n2 u  n 0 n hội tụ theo n dấu hiệu D’Alembert Suy số hạng tổng quát u n   Tức là: lim R n (x)  n Vậy chuỗi Taylor thu hội tụ đến cosx với giá trị x b Phương pháp gián tiếp: Khai triển cách s dụng công thức Maclaurin số hàm sơ cấp bản: x x2 xn e  1     ; x   ;   1! 2! n! x x3 x5 x 2n1 n 1 sin x  x      1  ; x   ;   3! 5!  2n  1! cos x   2n x2 x4 n x     1  ; x   ;   2! 4!  2n ! m m(m  1) m(m  1) (m  n  1) n x x   x  ; x   1;1 1! 2! n! 1 1   x  x2  o x2  Đặc biệt:  x   x  x  o  x  8 1 x 1  x  m 1   x  x   x n  ; x   1;1 1  x  ln 1  x   x  n x2 x3 n x     1  ; x   1;1 n Ví dụ Khai triển hàm f (x)  sin x thành chuỗi Taylor theo lũy thừa x 2n  cos2x (2x)2 (2x) n (2x)     1  nên HD: sin x  cos2x   2! 4!  2n ! 2n 1 2n 2x 23 x 25 x x ( 1) n 1 22n 1 2n n 1 sin x       1    x 2! 4! 6!  2n !  2n ! n1 63 Toán cao cấp A1 BÀI T P CH NG CHUỖI SỐ 14.1 Dùng dấu hiệu so sánh xét hội tụ chuỗi số sau: a)  n1 n3 n 1 ; b)  n1 ; n(1  n ) c)  n1 (2n  1).2 2n 1 ; d)  n1 (n n ;  3)5 14.2 Dùng dấu hiệu Côsi xét hội tụ chuỗi số sau: a) n  2n    ;     n1 3n  n  b)    n1  n   n2  n  c)    ; 2n    n1 ; n2 d)  n n1  1 n ; 2   n  14.3 Dùng dấu hiệu D’Alembert xét hội tụ chuỗi số sau: a)  73n b)  ; n1 (2n  5)! nn e)  ; n1 n! (n!) f)  ; n1 (2n)! n! ; n n1 n(n  1) ; 3n n1 3n n! c)  n ; n1 n (n!) g)  2n n1 14.4 Dùng tiêu chu n tích phân xét hội tụ chuỗi số d)  n3 h)  n1 (n  1)! ;  n ln(n  1) n 2 14.5 Dùng tiêu chu n Leinitz xét hội tụ chuỗi đan dấu sau: cos(n) ; n n1 ( 1) n1 ; 2n  n1 d)  ( 1) n1 n1 ( 1) n ; n(n  1) n1 b)  a)  2n  ; n(n  1) 14.6 Cho p  chuỗi e)  ( 1) n n 1 n1  (1) n1 n 1 tan p c)   n    ;  2n   n n f)  ( 1) n1  2n  301    ;  5n   n n 1 Tìm p để chuỗi cho hội tụ tuyệt đối; hội tụ có điều kiện 14.7 Với giá trị p (p dương) chuỗi  (1) n1 n 1 sin p 5n  hội tụ tuyệt đối n n3 hội tụ có điều kiện 14.8 Với giá trị p (p dương) chuỗi ( 1) n1 p n  hội tụ tuyệt đối hội tụ ln  n 1 n n1 có điều kiện 14.9 Xét hội tụ chuỗi số sau (bài tập bổ sung) n ( 1) n n ; b)  ; n 1 n ln(n  1) n 1 (n  1) n a)  c)  ln n 1 3n  3n ; d)  n 1 tổng; e)  n 2 nn n ; ; n 2 ln(n!) f)    n2  g)   3 n 2   n  64 n(n  1)(n  2) Tốn cao cấp A1 CHUỖI HÀM 15.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm sau: b)  ln n x ; ; n n 1 x a)  n1 n  x(x  n)  e)    ; n n1  e)  2n  n 1 (n d)    x  ; ; n n1  x c)   1) x f)  ( 1) ; 2n n 0 n n n1 n    2x    n 1  x  g) n 2x   n   x  n 1 n ; ; h) i) n 2x   n   x  ; n 1 n  n 0 n ( 1) n n  x  ;   n 1  3 x  n  x n 1 j)  15.2 Tìm bán kính hội tụ khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa sau: x 2n1 a)  ; n1 (2n  1)(2n  1)! (n!) n c)  x ; n 1 (2n)! n2 3n  n  x b)   ;  3n n1  n   (x  2) n ; n n1 ln (n  1) n! (x  2) n ; n n1 n d)  f)  ( 1) e)  n1 n n! n2 (x  1) n 15.3 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ chuỗi lũy thừa: n2  1 a)     x n ; n n1  e)    sin n1  1 n (x  1) ; n xn b)  n ; n 1 f) xn ;  n n.5 n 1 c)   tan x n ; n n 1  3n 1 n2 x ; d)  n 1 n  3n  ( 2) n  n g)   x n n1   15.4 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa a)  n 1 n2 n2 (x  3) n ; b) n xn  3n  2n ; n 1 n n 1  n d)    (x  1) 2n   n 1  2n   n c)    (x  2) ;  3n  n 1  15.5 Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa có số hạng tổng quát: a) u n (x)  ( 1) n1 d) u n (x)  (nx) n ; xn ; n b) u n (x)  (x  4) n ; n e) u n (x)  x n ln n ; 65 c) n n 1  2n u n (x)    x  2 ;  2n   (5x) n f) u n (x)  ; n! n ... x1  x  f (x ) f '' (x ) 19 Tốn cao cấp A1 + Tính e  x1  x + Nếu e   kết luận:   x1 , với sai số cho phép  + Nếu e   quay lại bước 20 Toán cao cấp A1 BÀI T P CH NG GIỚI HẠN HÀM SỐ 1.1... số có đạo hàm liên tục a, b Khi đó: 28 Tốn cao cấp A1 b b b  udv (uv) a   vdu a a Ví dụ Tính I   xe x dx ĐS: I  29 Toán cao cấp A1 Bài ỨNG D NG H NH H C CỦA TÍCH PHÂN C Đ NH 8.1... y2 y2 x y Ví dụ Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số f (x, y)  x 2e y  xy2 Ch Các đạo hàm riêng cấp cao hơn, định nghĩa tương tự 45 y x y Toán cao cấp A1 b Định l (Schwarz): Nếu hàm số f (x,