1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY Họ và tên Lớp Tài liệu lưu hành nội bộ TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2022 2023 (HỌC KÌ II) 1 PHẦN GẢI TÍCH 3 CHƯƠNG III NGUYÊ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 12 NĂM HỌC 2022 - 2023 (HỌC KÌ II) Họ tên: Lớp: Tài liệu lưu hành nội PHẦN GẢI TÍCH CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI NGUYÊN HÀM VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f ( x )dx phương pháp đổi biến số VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp BÀI TÍCH PHÂN VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số VẤN ĐỀ 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần 10 VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối 10 VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vơ tỉ 11 VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác 12 VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit 13 BÀI ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 13 VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng 14 VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể 15 BÀI ƠN TẬP TÍCH PHÂN 15 CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC 17 BÀI SỐ PHỨC 17 VẤN ĐỀ 1: Thực phép toán cộng – trừ – nhân – chia 18 VẤN ĐỀ 2: Tập hợp điểm 19 BÀI ÔN TẬP SỐ PHỨC 19 PHẦN HÌNH HỌC 20 CHƯƠNG III : PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 20 BÀI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 20 BÀI HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 20 VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm 22 VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích 23 VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu 23 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu 25 BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 25 VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng 26 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai mặt phẳng 28 VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng 29 VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng 29 VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu 30 Bài tập ơn: Phương trình mặt phẳng 31 BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 31 VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng 33 VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng 37 VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng 38 VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu 39 VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách 39 VẤN ĐỀ 6: Góc .41 VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác 41 Bài tập ôn phương trình đường thẳng 43 PHẦN GẢI TÍCH CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , x K • Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: f ( x )dx = F ( x ) + C , C R • Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất • f '( x )dx = f ( x ) + C • f ( x ) g( x )dx = f ( x )dx g( x )dx • kf ( x )dx = k f ( x )dx (k 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp ax • a dx = + C (0 a 1) ln a • cos xdx = sin x + C • 0dx = C x • dx = x + C x +1 • x dx = + C, +1 • dx = ln x + C x ( −1) • sin xdx = − cos x + C • e x dx = e x + C • dx = tan x + C cos2 x • dx = − cot x + C sin2 x • 1 dx = − + C x x2 • cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a 0) a • sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a 0) a ax + b e + C , (a 0) a 1 dx = ln ax + b + C • ax + b a • eax + b dx = Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu f (u)du = F (u) + C u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: f u( x ) u '( x )dx = F u( x ) + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: udv = uv − vdu VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Câu Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = x – x + d) f ( x ) = ( x − 1)2 x2 x b) f ( x ) = 2x4 + x2 e) f ( x ) = x + x + x c) f ( x ) = f) f ( x ) = x −1 x2 x − x g) f ( x ) = sin k) f ( x ) = x 2 h) f ( x ) = tan x i) f ( x ) = cos2 x cos x l) f ( x ) = m) f ( x ) = 2sin x cos x sin x.cos2 x e− x o) f ( x ) = e x + cos2 x sin x.cos x n) f ( x ) = e x ( e x – 1) p) f ( x ) = e3 x +1 Câu Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x − x + 5; − 5x ; x x3 − e) f (x )= ; x2 c) f ( x ) = F (1) = b) f ( x ) = − 5cos x; F (e) = d) f ( x ) = F (−2) = f) f ( x ) = x x + F ( ) = x2 + ; x F(1) = x ; F (1) = −2 3x − x3 + F ' = h) f ( x ) = ; F (1) = 3 x2 Câu Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: F =3 a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; 2 g) f ( x ) = sin x.cos x; b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F( ) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F(2) = −2 VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm f ( x )dx phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = g u( x ) u '( x ) ta đặt t = u( x ) dt = u '( x )dx Khi đó: f ( x )dx = g(t )dt , g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) • Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a −x a +x Cách đổi biến x = a sin t, hoặc g) x + 1.xdx 3x + 2x t x = a cos t, x = a tan t, − x = a cot t, e) ( x + 5)4 x dx h) 2 0t Câu Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx a) (5 x − 1)dx b) (3 − x )5 d) (2 x + 1)7 xdx − dx t 2 t c) f) i) − 2xdx x dx x +5 dx x (1 + x )2 k) sin x cos xdx l) e x dx n) q) ln3 x x dx sin x cos5 x o) x.e x x e −3 r) dx m) +1 dx p) dx s) ex + tan xdx cos2 x e x x dx etan x cos2 x dx Câu Tính nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): a) − x dx b) dx − x2 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm phương pháp tính nguyên hàm phần Với P(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: P( x).e u dv x dx P(x) e x dx P( x ).cos xdx P( x ).sin xdx P( x ).ln xdx P(x) cos xdx P(x) sin xdx lnx P(x) Câu Tính nguyên hàm sau: a) x.sin xdx b) x cos xdx c) ( x + 5)sin xdx d) ( x + x + 3) cos xdx e) x sin xdx f) x cos xdx g) x.e x dx h) x 3e x dx i) ln xdx k) x ln xdx l) ln xdx m) ln( x + 1)dx Câu Tính nguyên hàm sau: a) e x dx d) cos x dx ln(ln x ) dx x Câu Tính nguyên hàm sau: g) a) e x cos xdx ln xdx b) e) x.sin c) sin x dx x x dx f) sin xdx h) sin(ln x )dx i) cos(ln x )dx b) e x sin xdx c) x cos2 x dx VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm số hàm số thường gặp f(x) hàm hữu tỉ: f ( x ) = P( x ) Q( x ) – Nếu bậc P(x) bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức – Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định) Chẳng hạn: A B = + ( x − a)( x − b) x − a x − b = ( x − m)(ax + bx + c) ( x − a )2 ( x − b ) = A Bx + C + , với = b2 − 4ac x − m ax + bx + c A B C D + + + x − a ( x − a ) x − b ( x − b) 2 f(x) hàm vô tỉ ax + b + f(x) = R x , m cx + d → đặt + f(x) = R ( x + a)( x + b) t=m → đặt ax + b cx + d t = x+a + x+b • f(x) hàm lượng giác Ta sử dụng phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa nguyên hàm Chẳng hạn: + sin ( x + a) − ( x + b) 1 , = sin( x + a).sin( x + b) sin(a − b) sin( x + a).sin( x + b) sin(a − b) sử dụng = sin(a − b) + sin ( x + a) − ( x + b) 1 , = cos( x + a).cos( x + b) sin(a − b) cos( x + a).cos( x + b) sin(a − b) sử dụng = sin(a − b) cos ( x + a) − ( x + b) 1 cos(a − b) , sử dụng = = cos(a − b) sin( x + a).cos( x + b) cos(a − b) sin( x + a).cos( x + b) + Nếu R(− sin x, cos x ) = − R(sin x, cos x ) đặt t = cosx + + Nếu R(sin x, − cos x ) = − R(sin x, cos x ) đặt t = sinx + Nếu R(− sin x, − cos x ) = − R(sin x, cos x ) đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Câu Tính nguyên hàm sau: a) d) dx x( x + 1) dx b) x − x + 10 x g) dx ( x + 1)(2 x + 1) dx k) x ( x + 1) Câu Tính nguyên hàm sau: a) dx 1+ x +1 d) g) k) 3 x+4 x dx dx x + x +2 x dx (2 x + 1)2 − x + dx ( x + 1)(2 x − 3) dx e) h) l) b) x e) h) l) f) i) dx c) + x + 1dx dx f) x( x + 1)dx i) 1+ x x2 − x + x x2 − 3x − dx dx + x3 x +1 x −2 x2 + dx x −1 dx c) x x −3 x − x dx 1+ x x dx x − 5x + Câu Tính nguyên hàm sau: x2 − x3 x2 − 3x + x m) dx x3 − dx x m) − x dx x dx x2 + x + a) sin x sin xdx c) (tan2 x + tan x )dx b) cos x sin xdx cos x dx dx d) + sin x cos x dx e) sin x + f) cos x g) − sin x cos x dx h) sin3 x cos x dx i) m) sin xdx l) cos3 xdx k) cos x cos x cos3 xdx dx cos x cos x + 4 BÀI TÍCH PHÂN Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục K a, b K Nếu F nguyên hàm f K thì: b f ( x )dx F(b) – F(a) đgl tích phân f từ a đến b kí hiệu a b f ( x )dx = F(b) − F(a) a • Đối với biến số lấy tích phân, ta chọn chữ khác thay cho x, tức là: b b b a a a f ( x )dx = f (t)dt = f (u)du = = F(b) − F(a) • Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục không âm đoạn [a; b] diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = f ( x )dx a Tính chất tích phân • • f ( x )dx = • b b a f ( x )dx = − f ( x )dx b b b a a a a b f ( x ) g( x )dx = f ( x )dx g( x )dx • Nếu f(x) [a; b] b • kf ( x )dx = k f ( x )dx (k: const) • a b a a c b a c f ( x )dx = f ( x )dx + f ( x )dx b f ( x )dx a • Nếu f(x) g(x) [a; b] b a b f ( x )dx g( x )dx a Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số b f u( x ) u '( x )dx = u( b ) f (u)du u( a ) a đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục K, y = f(u) liên tục hàm hợp f[u(x)] xác định K, a, b K b) Phương pháp tích phân phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K, a, b K thì: b b b udv = uv − vdu a a a Chú ý: – Cần xem lại phương pháp tìm nguyên hàm b b a a – Trong phương pháp tích phân phần, ta cần chọn cho vdu dễ tính udv VẤN ĐỀ 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b f ( x )dx = F(b) − F(a) a Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Câu Tính tích phân sau: a) (x + x + 1)dx d) g) x −1 x 2 +2 x3 −1 dx x − 2x b) ( x + + e x +1 )dx x e) (x −2 ) c) e +4 dx x2 x −1 dx x2 1 + + x )dx x x f) ( x + dx Câu Tính tích phân sau: a) x + 1dx b) d) x+2 + x −2 xdx 0 dx − x2 Câu Tính tích phân sau: e) dx 0 3x + x3 dx c) ( x + x x + x )dx f) a) sin( x + )dx b) (2 sin x + 3cosx + x )dx x + 9dx 0 x ( sin x + cos x ) dx c) d) tan x dx cos x e) k) h) − cos x + cos x dx − l) x + 5) dx (tan x − cot x )2 dx (2 cot f) dx + sin x tan x dx g) i) x.cos2 xdx sin( − x ) dx sin m) cos − sin( + x ) ( x + 1).dx 1e x dx Câu Tính tích phân sau: x a) e − e− x 0e x +e −x dx b) c) x + x ln x 0 2x x −4 e +2 dx d) ln 0 g) k) ex dx ex + ecos x e ln x 1 x e) sin xdx h) dx l) x e (1 − x 4e 1 x 0 xe x2 e− x )dx x dx 1e f) 0 i) 1 x e + ln x dx x dx m) dx 2x 1+ e x dx VẤN ĐỀ 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Giả sử ta cần tính g( x )dx a Nếu viết g(x) dạng: g( x ) = f u( x ) u '( x ) b u( b ) a u( a ) g( x )dx = f (u)du Dạng 2: Giả sử ta cần tính f ( x )dx Đặt x = x(t) (t K) a, b K thoả mãn = x(a), = x(b) b b a a ( g(t) = f x(t).x '(t) ) f ( x )dx = f x(t) x '(t)dt = g(t)dt Dạng thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a −x a +x Cách đổi biến x = a sin t, hoặc d) − x = a cot t, a , sin t a x= , cos t g) ln k) x x2 + x e dx e ( e + 1) x h) l) x5 + 2x3 1+ x2 t 2 t t − ; \ 0 2 t 0; \ 2 x5 0 x + dx c) f) x − x dx dx e) x − x dx 2x + x = a tan t, xdx t x = a cos t, Câu Tính tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1 x3 19 a) x(1 − x) dx b) 0 (1 + x ) 2 0t x= x − a2 − ln dx i) + ln x dx 2x e m) ex + ex dx + ln x ln x dx x VẤN ĐỀ 5: Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu.Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R • () (S) khơng có điểm chung d ( I ,( )) R • () tiếp xúc với (S) d ( I ,( )) = R () tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d () H tiếp điểm (S) với () • () cắt (S) theo đường tròn d ( I ,( )) R Để xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vng góc với () – Tìm toạ độ giao điểm H d () H tâm đường trịn giao tuyến (S) với () Bán kính r đường tròn giao tuyến: r = R − IH Câu Xét vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): ( P ) : x + y + z − = ( P ) : x − 3y + 6z − = a) b) 2 2 2 (S ) : x + y + z − x − y + 4z + = (S ) : ( x − 1) + ( y − 3) + ( z + 2) = 16 ( P ) : x + y − 2z − 11 = c) 2 (S ) : x + y + z + x − y − 2z + = ( P ) : x − y + 2z + = d) 2 (S ) : x + y + z − x − y − 8z + 13 = ( P ) : x + y + z = e) 2 (S ) : x + y + z − x + y − z + 10 = ( P ) : z − = f) 2 (S ) : x + y + z − x + y − 16 z + 22 = Câu Biện luận theo m, vị trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): a) ( P) : x − y − z − = 0; (S ) : x + y + z2 − 2(m − 1) x + 4my + 4z + 8m = b) ( P) : x − y + 4z − = 0; (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 2)2 + ( z − 3)2 = (m − 1)2 c) ( P) : 3x + y − 6z + = 0; (S ) : ( x − 2)2 + ( y − 1)2 + ( z + 1)2 = (m + 2)2 d) ( P) : x − 3y + 6z − 10 = 0; (S ) : x + y + z2 + 4mx − 2(m + 1) y − 2z + +3m + 5m − = Câu Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) I (3; −5; −2), ( P) : x − y − 3z + = b) I (1; 4; 7), ( P) : x + y − z + 42 = c) I (1;1; 2), ( P) : x + y + 2z + = d) I (−2;1;1), ( P) : x + y − 2z + = Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S ) : ( x − 3)2 + ( y − 1)2 + ( z + 2)2 = 24 M(−1; 3; 0) b) (S ) : x + y + z2 − x − y + z + = M(4; 3; 0) c) (S ) : ( x − 1)2 + ( y + 3)2 + ( z − 2)2 = 49 M(7; −1; 5) d) (S ) : x + y + z2 − x − y − 2z − 22 = song song với mặt phẳng 3x − y + 6z + 14 = e) (S ) : x + y + z2 − x + y + 2z − 11 = song song với mặt phẳng x + 3z − 17 = f) (S ) : x + y + z2 − x − y + 4z = song song với mặt phẳng x + y + 2z + = g) (S ) : x + y + z2 − x + y + 2z + = chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0) i) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z − 10 x + y + 26 z − 113 = song song với đường thẳng: 30 x + y − z + 13 x + y +1 z − , d1 : = = = = −3 −2 Bài tập ơn: Phương trình mặt phẳng Câu Cho tứ diện ABCD • Viết phương trình mặt tứ diện • Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh song song với cạnh đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh song song với mặt đối diện • Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB vng góc với (BCD) • Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện • Tìm toạ độ điểm A, B, C, D điểm đối xứng với điểm A, B, C, D qua mặt đối diện • Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện • Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm I bán kính R (S) • Viết phương trình tiếp diện (S) đỉnh A, B, C, D tứ diện • Viết phương trình tiếp diện (S) song song với mặt tứ diện a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; ) , C ( 5; 0; ) , D ( 4; 0; ) b) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) d1 : c) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) d) A(2; 3;1), B(4;1; −2), C(6; 3; 7), D(−5; −4; 8) e) A(5; 7; −2), B(3;1; −1), C(9; 4; −4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C(−2; 2; 2), D(1; −1; 2) Câu Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ điểm: A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;–3) E(–2;0;0), F(0;1;0), G(0;0;1) a) Tìm phương trình tổng qt (P) (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số đường thẳng • Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) : x = xo + a1t (d ) : y = yo + a2t z = z + a t o • Nếu a1a2 a3 (d ) : x − x0 a1 = y − y0 a2 = ( t R) z − z0 a3 đgl phương trình tắc d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số là: x = x0 + ta1 x = x0 + ta1 d : y = y0 + ta2 d : y = y0 + ta2 z = z + ta z = z + ta 3 • d // d a , a phương x + ta = x + ta 1 hệ y0 + ta2 = y0 + ta2 (ẩn t , t ) vô nghiệm z0 + ta3 = z0 + ta3 a , a = a , a phương a, a phương M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) d a , M0 M0 a , M0 M0 không phương 31 • d d x0 + ta1 = x0 + ta1 heä y0 + ta2 = y0 + ta2 (aån t, t) có vô số nghiệm z + ta = z + ta 3 a, a phương M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) d a, a, M0 M0 đôi phương a, a = a, M0 M0 = • d, d cắt x0 + ta1 = x0 + t a1 hệ y0 + ta2 = y0 + ta2 (ẩn t, t) có nghiệm z + ta = z + ta 3 a , a không phương a, a a , a, M0 M0 đồng phẳng a, a M0 M0 = a , a không phương x + ta = x + ta 1 • d, d chéo heä y0 + ta2 = y0 + ta2 (aån t , t ) vô nghiệm z0 + ta3 = z0 + ta3 • d ⊥ d a, a, M0 M0 không đồng phẳng a, a M0 M0 a ⊥ a a.a = Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng x = x0 + ta1 Cho mặt phẳng (): Ax + By + Cz + D = đường thẳng d: y = y0 + ta2 z = z + ta Xét phương trình: A( x0 + ta1 ) + B( y0 + ta2 ) + C(z0 + ta3 ) + D = (ẩn t) (*) • d // () (*) vơ nghiệm • d cắt () (*) có nghiệm • d () (*) có vơ số nghiệm Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu x = x0 + ta1 Cho đường thẳng d: y = y0 + ta2 (1) mặt cầu (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R (2) z = z + ta Để xét VTTĐ d (S) ta thay (1) vào (2), phương trình (*) • d (S) khơng có điểm chung (*) vơ nghiệm d(I, d) > R • d tiếp xúc với (S) (*) có nghiệm d(I, d) = R • d cắt (S) hai điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt d(I, d) < R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M M M, a a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d(M, d ) = d (d1, d2 ) = a1, a2 M1M2 a1, a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 32 Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng () Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos ( a1, a2 ) = a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n = ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () Aa1 + Ba2 + Ca3 sin d ,( ) = A2 + B + C a12 + a22 + a32 ( ) VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) : x = xo + a1t (d ) : y = yo + a2t z = z + a t o ( t R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B: Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng cho trước: Vì d // nên VTCP VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d ⊥ (P) nên VTPT (P) VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q): • Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P ) – Tìm toạ độ điểm A d: cách giải hệ phương trình (với việc chọn giá trị cho (Q ) ẩn) – Tìm VTCP d: a = nP , nQ • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai đường thẳng d1, d2: Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad 2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vng góc cắt đường thẳng • Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M0 đường thẳng H M0 H ⊥ u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0, H • Cách 2: Gọi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d; (Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = (P) (Q) Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2: • Cách 1: Gọi M1 d1, M2 d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d 33 • Cách 2: Gọi (P) = ( M0 , d1 ) , (Q) = ( M0 , d2 ) Khi d = (P) (Q) Do đó, VTCP d chọn a = nP , nQ Dạng 9: d nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2: Tìm giao điểm A = d1 (P), B = d2 (P) Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với cắt hai đường thẳng d1, d2: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1, mặt phẳng (Q) chứa d2 Khi d = (P) (Q) Dạng 11: d đường vng góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN ⊥ d1 • Cách 1: Gọi M d1, N d2 Từ điều kiện , ta tìm M, N MN ⊥ d2 Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d là: a = ad , ad 2 – Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 + Một VTPT (P) là: nP = a, ad 1 – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = (P) (Q) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng (P): • Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa vng góc với mặt phẳng (P) cách: – Lấy M – Vì (Q) chứa vng góc với (P) nên nQ = a , nP Khi d = (P) (Q) Dạng 13: d qua điểm M, vng góc với d1 cắt d2: • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa M d2 Khi d = (P) (Q) Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm M có VTCP a cho trước: a) M (1;2; −3), a = (−1;3;5) b) M (0; −2;5), a = (0;1; 4) c) M (1;3; −1), a = (1;2; −1) d) M (3; −1; −3), a = (1; −2; 0) e) M (3; −2;5), a = (−2; 0; 4) f) M (4;3; −2), a = (−3; 0; 0) Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A, B cho trước: a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; ) b) A (1; −1; ) , B ( 0;1; ) c) A ( 3;1; −5) , B ( 2;1; −1) d) A ( 2;1; ) , B ( 0;1; ) e) A (1; 2; −7 ) , B (1; 2; ) f) A ( −2;1; 3) , B ( 4; 2; −2 ) Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với đường thẳng cho trước: a) A ( 3; 2; −4 ) , Ox b) A ( 2; −5; 3) , ñi qua M (5; 3; 2), N (2;1; −2) x = − 3t x + y −5 z−2 = = c) A(2; −5; 3), : y = + 4t d) A(4; −2; 2), : z = − 2t x = + 4t x + y −1 z + = = e) A(1; −3; 2), : y = − 2t f) A(5; 2; −3), : z = 3t − Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với mặt phẳng (P) cho 34 trước: a) A ( −2; 4; 3) , (P) : x − 3y + 6z + 19 = c) A ( 3; 2;1) , ( P) : x − 5y + = b) A (1; −1; ) , (P) : mp toạ độ d) A(2; −3; 6), ( P) : x − 3y + 6z + 19 = Câu Viết phương trình tham số đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: ( P ) : x + y + z + = ( P ) : x − 3y + 3z − = ( P ) : x + 3y − z + = a) b) c) ( ( Q Q ) ) : : x x + − y y − − z + z − = = 0 (Q) : x + y + z − = ( P ) : x + y − z + = ( P ) : x + y + z − = ( P ) : x + z − = d) e) f) (Q) : x + y + z − = (Q) : x + z − = (Q) : y − = Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A vng góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = + 2t x = 1+ t x = + 3t x = 1− t a) A(1; 0; 5), d1 : y = − 2t , d2 : y = + t b) A(2; −1;1), d1 : y = −2 + t , d2 : y = −2 + t z = + t z = z = + t z = − 3t x = −7 + 3t x = 1− t x = 1+ t x = c) A(1; −2; 3), d1 : y = −2 − 2t , d2 : y = −2 + t d) A(4;1; 4), d1 : y = − 2t , d2 : y = −9 + 2t z = + 3t z = − 3t z = −12 − t z = + t x = + 3t x = t x = t x = 2t e) A(2; −1; −3), d1 : y = + t , d2 : y = −3 + 4t f) A(3;1; −4), d1 : y = − t , d2 : y = − 2t z = −2 + 2t z = −2t z = z = − t Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc cắt đường thẳng cho trước: x = −3 + 2t x = t a) A(1; 2; −2), : y = − t b) A(−4; −2; 4), d : y = − t z = −1 + 4t z = 2t x = + 3t x = t c) A(2; −1; −3), : y = + t d) A(3;1; −4), : y = − t z = −2 + 2t z = −2t x = 1+ t x = 1− t e) A(1; −2; 3), : y = −2 − 2t f) A(2; −1;1), : y = −2 + t z = − 3t z = Câu Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x = + 2t x = 1− t x = 1+ t x = + 3t a) A(1; 0; 5), d1 : y = − 2t , d2 : y = + t b) A(2; −1;1), d1 : y = −2 + t , d2 : y = −2 + t z = + t z = − 3t z = z = + t x = −1 + 3t x = + 3t x = + 2t x = −t c) A(−4; −5; 3), d1 : y = −3 − 2t , d2 : y = −1 + 3t d) A(2;1; −1), d1 : y = −2 + 4t , d2 : y = t z = − t z = − 5t z = −3 + 5t z = 2t x = + t x = −4 + 3t x = −3 + 3t x = + 2t e) A(2; 3; −1), d1 : y = − 2t , d2 : y = + t f) A(3; −2; 5), d1 : y = + 4t , d2 : y = − t z = + 3t z = −2 + 3t z = + 2t z = − 3t Câu Viết phương trình tham số đường thẳng nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 35 ( P ) : y + 2z = ( P ) : x + y + 2z + = x = + 2t x = − t x = 1− t a) b) x −1 y z d1 : −1 = = , d2 : y = + 2t d1 : y = − 2t , d2 : y = + t z = z = − 3t z = + t ( P ) : x − 3y + 3z − = ( P ) : 3x + 3y − 4z + = x = − t x = −7 + 3t x = 1+ t x = c) d) d1 : y = − 2t , d2 : y = −9 + 2t d1 : y = −2 − 2t , d2 : y = −2 + t z = + 3t z = −12 − t z = + t z = − 3t Câu 10 Viết phương trình tham số đường thẳng song song với đường thẳng cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x y −1 z − x y −1 z −1 : = −1 = : = −1 = x +1 y z −1 x −1 y + z − = = = = a) d1 : b) d1 : 1 −1 x − y + z + x + y + z d : d : = = = = x −1 y + z − x +1 y + z − : = = : = −2 = −1 x − y + z −1 x −1 y + z − = = c) d1 : d) d1 : = = 1 x − y − z −9 d : x+4 y+7 z = = d : = = −1 Câu 11 Viết phương trình tham số đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo d1, d2 cho trước: x = − 2t x = + 3t x = + 2t x = −2 + 3t a) d1 : y = + 4t , d2 : y = − t b) d1 : y = −3 + t , d2 : y = + 2t z = −2 + 4t z = − 2t z = + 3t z = −4 + 4t x = + 3t x = + 2t x = −1 + 2t x = 1+ t c) d1 : y = + t , d2 : y = + t d) d1 : y = −3 − t , d2 : y = − 2t z = + 2t z = − t z = + t z = + 2t Câu 12 Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu đường thẳng mặt phẳng (P) cho trước: x + y − z −1 x −3 y −2 z+ a) : = −1 = b) : −1 = = ( P ) : x − y + 2z + = ( P ) : 3x + y − 2z + = x +1 y −1 z − x y z −1 c) : = = −2 d) : −2 = = ( P ) : x − y + z − = ( P ) : x + y − z + = x − y + z −1 x −1 y − z : : = = = = e) f) 1 −2 −1 ( P ) : x + y + 3z + = ( P ) : x − y − 3z + = 5 x − y − z − = x − y − z −1 = : : g) x + z − = h) x + z − = ( P ) : x − y + z − = ( P ) : x + y − z − = Câu 13 Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A, vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 cho trước: 36 x = −1 x −1 y − z a) A(0;1;1), d1 : = = , d2 : y = t 1 z = + t x = x −1 y +1 z b) A(1;1;1), d1 : = = , d2 : y = + 2t −1 z = −1 − t c) A(−1; 2; −3), d1 : x +1 y − z x −1 y +1 z − = = , d2 : = = −2 −3 −5 Câu 14 Cho tam giác ABC có A(3; −1; −1), B(1; 2; −7), C(−5;14; −3) Viết phương trình tham số đường thẳng sau: a) Trung tuyến AM b) Đường cao BH c) Đường phân giác BK d) Đường trung trực BC ABC VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Câu Xét vị trí tương đối hai đường thẳng d1, d2 cho trước: x −1 y + z − = = ; d2 : x = −1 + t; y = −t; z = −2 + 3t a) d1 : −2 d2 : x = + 2t '; y = −3 − t '; z = − t ' b) d1 : x = + 2t; y = − t; z = − t ; c) d1 : x = + 2t; y = −1 + t; z = 1; d2 : x = 1; y = + t; z = − t x −1 y − z − = = ; x −1 y + z − = = ; e) d1 : x − y z +1 = = ; f) d1 : −6 −8 x − y + 2z − = ; g) d1 : 2 x + y − 2z + = x −7 y −6 z−5 = = x − y +1 z + d2 : = = x −7 y−2 z d2 : = = −6 12 2 x + y − z + = d2 : x − y + 2z − = x − y − 3z − = d2 : x − 2y + z + = d) d1 : h) d1 : x = 9t; y = 5t; z = t − 3; d2 : Câu Chứng tỏ cặp đường thẳng sau chéo Viết phương trình đường vng góc chung chúng: a) d1 : x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : x = 2t '; y = + t '; z = − 2t ' b) d1 : x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : x = 2t '; y = − 3t '; z = c) d1 : x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : x = + 3t '; y = − t '; z = − 2t ' x − y +1 z x y −1 z +1 = = ; d2 : = = −2 2 x −7 y −3 z−9 x − y −1 z −1 = = ; d2 : = = e) d1 : −1 −7 x − y −1 z − x − y +1 z −1 = = ; d2 : = = f) d1 : −2 −2 d) d1 : 37 x − y + 2z − = g) d1 : ; 2 x + y − 2z + = 2 x + y − z + = d2 : x − y + 2z − = Câu Tìm giao điểm hai đường thẳng d1 d2: d2 : x = + t '; y = 2t '; z = + t ' a) d1 : x = 3t; y = − 2t; z = + t ; x + y + z + = ; b) d1 : 2 x − y + = x − 2y − z − = ; c) d1 : 2 x + y + z + = 2 x + y + = d) d1 : ; x − y + z −1 = d2 : x = + t; y = −2 + t; z = − t x − z − = d2 : y + 2z + = 3 x + y − z + = d2 : 2 x − y + = Câu Tìm m để hai đường thẳng d1 d2 cắt Khi tìm toạ độ giao điểm chúng: d2 : x = − t '; y = + 2t '; z = − t ' a) d1 : x = + mt; y = t; z = −1 + 2t ; b) d1 : x = − t; y = + 2t; z = m + t ; d2 : x = + t '; y = + t '; z = − 3t ' 2 x + y − z − = ; c) d1 : x + y − = x + y + mz − = d2 : 2 x + y + z − = VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng a) d : x = 2t; y = − t; z = + t ; (P) : x + y + z − 10 = b) d : x = 3t − 2; y = − 4t; z = 4t − ; x − 12 y − z − = = ; x + 11 y − z = = ; d) d : x − 13 y − z − = = ; e) d : 3 x + y + z + 16 = ; f) d : 2 x − y + z − = 2 x + 3y + z − 10 = ; g) d : x + y + z + = c) d : ( P ) : x − 3y − z − = ( P) : 3x + 5y − z − = ( P ) : x − 3y + z − = ( P) : x + y − 4z + = (P) : 5x − z − = ( P ) : y + z + 17 = Câu Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: i) d cắt (P) ii) d // (P) iii) d ⊥ (P) x −1 y + z + = = ; ( P ) : x + 3y − z − = a) d : m 2m − x + y − z −1 = = ; ( P ) : x + 3y + z − = b) d : m m−2 3 x − y + z + = ; ( P ) : x − y + (m + 3)z − = c) d : x − 3y + z + = d) d : x = + 4t; y = − 4t; z = −3 + t ; e) d : x = + 2t; y = − 3t; z = − 2t ; iv) d (P) (P) : (m − 1) x + 2y − 4z + n − = ( P) : (m + 2) x + (n + 3) y + 3z − = 38 Câu Cho đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm m, n để: a) d : x = m + t; y = − t; z = 3t cắt ( P) : x − y + z − = điểm có tung độ x − 2y − = b) d : cắt ( P) : x + y + 2z − 2m = điểm có cao độ –1 y + 2z + = x + 2y − = c) d : cắt ( P) : x + y + z + m = 3 x − z − = VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu Câu Xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S) Tìm giao điểm (nếu có) chúng: x y −1 z − = ; (S ) : x + y + z2 − x + 4z + = a) d : = −1 2 x + y − z − = ; ( S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + z2 = 16 b) d : x − z − = x − 2y − z − = ; (S ) : x + y + z − x + y − 14 = c) d : x + y + = x − 2y − z − = ; d) d : x + y + = (S ) : x + y + z2 + x − y − 10z − = e) d : x = −2 − t; y = t; z = − t ; (S ) : x + y + z − x − y + 2z − = f) d : x = − 2t; y = + t; z = + t ; (S ) : x + y + z − x − y + 6z − = (S ) : x + y + z − x − y + 6z − = g) d : x = − t; y = − t; z = ; Câu Biện luận theo m, vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu (S): x − 2y − z + m = ; (S ) : ( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 1)2 = a) d : x + y + = b) d : x = − t; y = m + t; z = + t ; (S ) : x + y + z2 − x + 4z + = x − 2y − = ; (S ) : x + y + z2 + x − y + 4z + m = c) d : 2 x + z − = Câu Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với đường thẳng d: a) I (1; −2;1); d : x = + 4t; y = − 2t; z = 4t − b) I (1; 2; −1); d : x = − t; y = 2; z = 2t x − y +1 z −1 = = 2 x −1 y z − d: = = d) I (1; 2; −1); −1 x − 2y −1 = d: e) I (1; 2; −1); z − = Câu Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; 3) bán kính R = Viết phương trình tiếp tuyến d (S), biết: a) d qua A(0; 0; 5) (S) có VTCP a = (1; 2; 2) b) d qua A(0; 0; 5) (S) vng góc với mặt phẳng: ( ) : 3x − y + 2z + = c) I (4; 2; −1); d: VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a 39 M M, a a • Cách 2: – Tìm hình chiếu vng góc H M đường thẳng d – d(M,d) = MH • Cách 3: – Gọi N(x; y; z) d Tính MN2 theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN2 nhỏ – Khi N H Do d(M,d) = MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d(M, d ) = d (d1, d2 ) = a1, a2 M1M2 a1, a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng () chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng () song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng () Câu Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d: x = − 4t x = + 2t a) A(2; 3;1), d : y = + 2t b) A(1; 2; −6), d : y = − t z = t − z = 4t − x + y −1 z +1 x − y −1 z = = = = d) A(2; 3;1), d : 1 2 −2 x + y −1 z +1 x + y − 2z − = = = e) A(1; −1;1), d : f) A(2; 3; −1), d : −2 x + 3y + z + = Câu Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 chéo Tính khoảng cách chúng: a) d1 : x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : x = 2t '; y = + t '; z = − 2t ' c) A(1; 0; 0), d : b) d1 : x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : x = 2t '; y = − 3t '; z = c) d1 : x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : x = + 3t '; y = − t '; z = − 2t ' x − y +1 z = = ; −2 x −7 y −3 z−9 = = ; e) d1 : −1 x − y −1 z − = = ; f) d1 : −2 x − y + 2z − = ; g) d1 : 2 x + y − 2z + = x y −1 z +1 = = x − y −1 z −1 d2 : = = −7 x − y +1 z −1 d2 : = = −2 2 x + y − z + = d2 : x − y + 2z − = d) d1 : d2 : Câu Chứng minh hai đường thẳng d1, d2 song song với Tính khoảng cách chúng: a) d1 : x = + 2t, y = + 3t, z = + t ; d2 : x = + 4t, y = + 6t, z = + 2t x −1 y + z − = = ; −6 x − y −1 z + = = ; c) d1 : b) d1 : x + y − z +1 = = −3 −12 x +1 y + z −1 d1 : = = d2 : 40 2 x + y − z − 10 = d) d1 : ; x − y − z − 22 = d2 : x +7 y −5 z−9 = = −1 VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos ( a1, a2 ) = a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng () có VTPT n = ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng () góc đường thẳng d với hình chiếu d () Aa1 + Ba2 + Ca3 sin d ,( ) = A2 + B + C a12 + a22 + a32 ( ) Câu Tính góc hai đường thẳng: a) d1 : x = + 2t, y = –1 + t, z = + 4t ; d2 : x = – t, y = –1 + 3t, z = + 2t x −1 y + z − = = ; −1 x − y − 3z − = ; c) d1 : x − 2y + z + = b) d1 : d2 : x + y −3 z+ = = −2 d2 : x = 9t; y = 5t; z = –3 + t 2 x − z + = ; d2 : x = + 3t; y = –1; z = – t d) d1 : x − y + 3z − 17 = x −1 y + z + x + 2y − z − = e) d1 : = = ; d2 : 2 x + 3z − = x + y −1 z − = = f) d1 : d2 trục toạ độ 1 x − y + z − = 2 x − y + 3z − = ; d2 : g) d1 : 2 x − y + z + = x + y + z = x − y + 3z − = ; h) d1 : 3 x + y − z + = x + y − 2z + = d2 : x − y + 3z + = Câu Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc với nhau: 7 x − z − 15 = x − y − z − = d1 : ; d2 : y + z + 34 = 3 x − y − 11 = VẤN ĐỀ 7: Một số vấn đề khác Viết phương trình mặt phẳng • Dạng 1: Mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d: – Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C – Một VTPT (P) là: n = AB, AC • Dạng 2: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d1, d2: – Xác định VTCP a d1 (hoặc d2) – Trên d1 lấy điểm A, d2 lấy điểm B Suy A, B (P) – Một VTPT (P) là: n = a, AB • Dạng 3: Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt d1, d2: 41 – Lấy điểm A d1 (hoặc A d2) A (P) – Xác định VTCP a d1, b d2 – Một VTPT (P) là: n = a, b • Dạng 4: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (P) là: n = a, b – Lấy điểm M thuộc d1 M (P) • Dạng 5: Mặt phẳng (P) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: – Xác định VTCP a , b đường thẳng d1, d2 – Một VTPT (P) là: n = a, b Xác định hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d • Cách 1: – Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với d – Khi đó: H = d (P) H d • Cách 2: Điểm H xác định bởi: MH ⊥ ad Điểm đối xứng M' điểm M qua đường thẳng d • Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M d – Xác định điểm M cho H trung điểm đoạn MM • Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M – Khi toạ độ điểm M xác định bởi: MM ' ⊥ ad H d Xc định hình chiếu H điểm M lên mặt phẳng (P) • Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với (P) – Khi đó: H = d (P) H (P) • Cách 2: Điểm H xác định bởi: MH , nP phương Điểm đối xứng M' điểm M qua mặt phẳng (P) • Cách 1: – Tìm điểm H hình chiếu M (P) – Xác định điểm M cho H trung điểm đoạn MM • Cách 2: – Gọi H trung điểm đoạn MM Tính toạ độ điểm H theo toạ độ M, M H (P) – Khi toạ độ điểm M xác định bởi: MH , nP phương Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A đường thẳng d: x = − t x = + 2t d : y = −1 + 2t d : y = − 3t a) A(2; −3;1), b) A(1; 4; −3), z = − 3t z = + t x −1 y + z − x + y + z −1 d: = = d: = = c) A(4; −2; 3), d) A(2; −1; 5), 2 x − y + 2z − = x + 3y − z + = d: d: e) A(−2;1; 4), f) A(3; −2; 4), x + y + 2z + = 2 x − y + z − = Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng song song d1, d2: x + y −1 z + d2 : = = a) d1 : x = + 3t; y = + 2t; z = t − 1; x −1 y + z − x + y −1 z − = = , d2 : = = b) d1 : 4 x −1 y + z − x + y − z +1 = = ; d2 : = = c) d1 : −6 −3 −12 42 x − y −1 z + x +1 y + z −1 = = ; d2 : = = Câu Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai đường thẳng cắt d1, d2: a) d1 : x = 3t; y = − 2t; z = + t ; d2 : x = + t '; y = 2t '; z = + t ' d) d1 : x + y + z + = ; b) d1 : 2 x − y + = x − 2y − z − = ; c) d1 : 2 x + y + z + = 2 x + y + = ; d) d1 : x − y + z −1 = d2 : x = + t; y = −2 + t; z = − t x − z − = d2 : y + 2z + = 3 x + y − z + = d2 : 2 x − y + = Câu Cho hai đường thẳng chéo d1, d2 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 song song với d2: a) d1 : x = − 2t; y = + t; z = −2 − 3t ; d2 : x = 2t '; y = + t '; z = − 2t ' b) d1 : x = + 2t; y = − 2t; z = −t; d2 : x = 2t '; y = − 3t '; z = c) d1 : x = − 2t; y = + 4t; z = 4t − 2; d2 : x = + 3t '; y = − t '; z = − 2t ' x − y +1 z x y −1 z +1 = = ; d2 : = = −2 2 x −7 y −3 z−9 x − y −1 z −1 = = ; d2 : = = e) d1 : −1 −7 x − y −1 z − x − y +1 z −1 = = ; d2 : = = f) d1 : −2 −2 d) d1 : Câu Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M đường thẳng d điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d: x = + 2t x = − 4t a) M (1; 2; −6), b) M (2; 3;1), d : y = − t d : y = + 2t z = t − z = 4t − x = 2t x = − t c) M (2;1; −3), d) M (1; 2; −1), d : y = − t d : y = + 2t z = −1 + 2t z = 3t x −1 y + z − x +1 y + z − d: = = = = f) M (2; 5; 2), 2 −2 y + z − = x − 2y − z = d: d: g) M (2;1; −3), h) M (2;1; −3), x + y − z − = 2 x − y − z + = Câu Tìm toạ độ hình chiếu H điểm M mặt phẳng (P) điểm M đối xứng với M qua mặt phẳng (P): M (2; −3; 5) M (1; −4; −2) a) ( P) : x − y + 2z − = 0, b) ( P) : x + y + 5z − 14 = 0, M (3;1; −2) M (2; −3; 4) c) ( P) : x − y + 3z + 12 = 0, d) ( P) : x − y + 4z + = 0, M (1; 2; 4) M (2;1; −1) e) ( P) : x − y + z − = 0, f) ( P) : 3x − y + z − = 0, Bài tập ơn phương trình đường thẳng x −1 y z + Câu Tìm trục Ox điểm M cách đường thẳng : mặt phẳng = = 2 ( ) : x − y − 2z = e) M (1; 2; −1), d: Câu Cho điểm A(1;0;0) B(0;2;0) Viết phương trình mp ( ) qua AB tạo với mp(Oxy) góc 60 43 Câu Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3; –1; 1) nằm mp ( ) : x – y + z – = hợp x y−2 z với đường thẳng : = góc 45 = 2 Câu Gọi ( ) mặt phẳng qua A(2; 0; 1) B(–2; 0; 5) hợp với mp(Oxz) góc 45 Tính khoảng cách từ O đến mp ( ) x = + 3t x −1 y + z − Câu Chứng minh đường thẳng : : y = + 2t nằm = = −3 z = −1 − 3t mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng x +1 y − z − = = −2 a) Chứng minh đường thẳng d đường thẳng AB thuộc mặt phẳng b) Tìm điểm I thuộc d cho IA + IB nhỏ Câu Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) đường thẳng d : 44 ... = kb1 a2 = kb2 a = kb a1 b1 = a2 b2 = a3 b3 , (b1, b2 , b3 0) • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b a1b1 + a2 b2 + a3b3 = • a = a 12 + a 22 + a 32 • a = a 12 + a 22 + a 22 • cos(a , b... 2) + ( z − 3) = (m + 2) ( x + 3 )2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1 )2 = 16 ( x + 2) 2 + ( y − 2) 2 + ( z − 1 )2 = 25 c) d) 2 2 2 2 ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) = (m + 3) ( x + 1) + ( y + 2) ... hai VTPT n1, n2 cos ( ( ),( ) ) = Chú ý: • 00 ( ( ),( ) ) 900 n1.n2 n1 n2 = A1 A2 + B1B2 + C1C2 A 12 + B 12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22 • ( ) ⊥ ( ) A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Câu Tính góc