1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY Họ và tên Lớp Tài liệu lưu hành nội bộ TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN 11 NĂM HỌC 2022 2023 (HỌC KÌ II) 2 21 I Giới hạn của dãy số Giới hạ[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT ĐÀO SƠN TÂY TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN 11 NĂM HỌC 2022 - 2023 (HỌC KÌ II) Họ tên: Lớp: Tài liệu lưu hành nội CHƯƠNG IV GIỚI HẠN CHƯƠNG IV GIỚI HẠN I Giới hạn dãy số Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim = ; n→+ n CHƯƠNG IV GIỚI HẠN Giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: CHƯƠNG IV lim n = + = (k + ) n→+ n k GIỚI HẠN lim qn = + (q 1) n lim q = ( q 1) ; lim C = C Định lí: lim n→+ n→+ Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b • lim (un + vn) = a + b • lim (un – vn) = a – b • lim (un.vn) = a.b u a • lim n = (nếu b 0) b b) Nếu un 0, n lim un= a lim nk = + (k a lim a) Nếu lim un = + lim c) Nếu un ,n lim = ) =0 un b) Nếu lim un = a, lim = lim un =0 c) Nếu lim un = a 0, lim = u + neáu a.vn lim n = a.vn − d) Nếu lim un = +, lim = a + lim(un.vn) = − un = a + a a lim un = * Khi tính giới hạn có dạng vô d) Nếu lim un = a lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn định: , , – , 0. phải tìm cách khử u1 S = u1 + u1q + u1q + … = ( q 1) dạng vô định 1− q Một số phương pháp tìm giới hạn dãy số: • Chia tử mẫu cho luỹ thừa cao n 1 1+ − n + n − 3n n +1 n n =1 = lim =1 = lim VD: a) lim b) lim − 2n 2n + −2 2+ n n c) lim(n2 − 4n + 1) = lim n2 − + = + n n2 • Nhân lượng liên hợp: Dùng đẳng thức 1+ ( a − b )( a + b ) = a − b; ( a − b ) ( a2 + ab + b2 ) = a − b 21 lim ( ) n2 − 3n − n = lim VD: ( n2 − 3n − n ( )( n2 − 3n + n n2 − 3n + n ) ) = lim −3n n2 − 3n + n =− • Dùng định lí kẹp: Nếu un ,n lim = lim un = VD: sin n sin n sin n lim = nên lim =0 Vì n n n n n 3sin n − cos n b) Tính lim Vì 3sin n − cos n (32 + 42 )(sin2 n + cos2 n) = 2n + 3sin n − cos n nên 2 2n + 2n + a) Tính lim Mà lim 2n + = nên lim 3sin n − cos n n2 + =0 Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: • Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn • Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu • Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim n2 − n + 3n2 + 2n + n4 (n + 1)(2 + n)(n2 + 1) Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim + 3n + 3n n + 5n+1 + 5n Bài 3: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim n2 + + n − n2 + n + + n n2 + + n 2n + b) lim c) lim n3 + 4n2 + n2 + e) lim 2n4 + n + b) lim e) lim b) lim f) lim 4.3n + 7n+1 3n3 − 2n2 + f) lim 5n + 2.7n n2 + − n − c) lim n2 + + n n2 + n + + n Bài 4: Tính giới hạn sau: 1 a) lim + + + (2n − 1)(2n + 1) 1.3 3.5 n3 + n + n2 − c) lim 2.5n + 7n + 2.3n − 7n (2n n + 1)( n + 3) e) lim (n + 1)(n + 2) 3n3 + 2n2 + n f) lim n+1 + n+2 5n + 8n − 2.3n + n n (3n+1 − 5) n2 + − n6 n + + n2 n2 − n − n2 + 3n2 + + n 1 b) lim + + + n(n + 2) 1.3 2.4 22 1 d) lim + + + n(n + 1) 1.2 2.3 c) lim − − − 22 32 n2 e) lim + + + n f) lim n2 + 3n + + 22 + + n + + 32 + + 3n Bài 5: Tính giới hạn sau: ( n2 + 2n − n − 1) b) lim ( n2 + n − n2 + ) d) lim (1 + n2 − n4 + 3n + ) e) lim ( n2 − n − n ) a) lim g) lim n2 + − n − h) lim n2 + n + − n Bài 6: Tính giới hạn sau: a) lim d) lim cos n2 b) lim n2 + 3sin n + cos2 (n + 1) n2 + n2 + − n6 n + − n2 (−1)n sin(3n + n2 ) 3n − e) lim 3sin (n3 + 2) + n2 c) lim f) lim i) lim ( 2n − n3 + n − 1) n2 + − n2 + n2 − n − n2 + 3n2 + − n c) lim f) lim 3n2 − 2n + n(3 cos n + 2) − 3n2 Baøi 7: Cho dãy số (un) với un = − − − , với n 2 n2 a) Rút gọn un b) Tìm lim un 1 = − Baøi 8: a) Chứng minh: (n N*) n n + + (n + 1) n n n +1 1 + + + b) Rút gọn: un = +2 +3 n n + + ( n + 1) n c) Tìm lim un u1 = Baøi 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: u = u + ( n 1) n + n 2n a) Đặt = un+1 – un Tính v1 + v2 + … + theo n b) Tính un theo n c) Tìm lim un u = 0; u2 = Baøi 10: Cho dãy số (un) xác định bởi: 2un+2 = un+1 + un , (n 1) a) Chứng minh rằng: un+1 = − un + , n 2 b) Đặt = un – Tính theo n Từ tìm lim un II Giới hạn hàm số 23 − 2n cos n 3n + Giới hạn hữu hạn Giới hạn đặc biệt: lim x = x0 ; Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: lim c = c (c: số) x → x0 lim x k = + ; x → x0 Định lí: a) Nếu lim f ( x ) = L lim g( x ) = M + k chẵn lim x k = x →− − k lẻ x → x0 x → x0 x →+ thì: lim f ( x ) + g( x ) = L + M x → x0 lim c = c ; x → lim f ( x ) − g( x ) = L − M lim c =0 xk lim+ = + x →0 x x → = − ; x →0 x lim f ( x ).g( x ) = L.M 1 x → x0 lim− = lim+ = + x →0 x x →0 x f ( x) L (nếu M 0) Định lí: lim = x → x0 g( x ) M Nếu lim f ( x ) = L lim g( x ) = thì: b) Nếu f(x) lim f ( x ) = L x → x0 x → x0 lim− x → x0 x → x0 L lim x → x0 + L lim g( x ) dấu x → x0 lim f ( x )g( x ) = g( x ) traùi dấu x → x0 − L xlim → x0 f ( x) = L c) Nếu lim f ( x ) = L lim f ( x ) = L x → x0 x → x0 Giới hạn bên: lim f ( x ) = L 0 neáu lim g( x ) = x → x0 f ( x ) lim = + lim g( x ) = L.g( x ) x → x0 g( x ) x → x0 g( x ) = L.g( x ) − xlim → x0 x → x0 * Khi tính giới hạn có dạng vơ định: , , – , 0. phải tìm cách khử dạng vô định Một số phương pháp khử dạng vô định: Dạng P( x ) a) L = lim với P(x), Q(x) đa thức P(x0) = Q(x0) = x → x0 Q( x ) Phân tích tử mẫu thành nhân tử rút gọn x3 − ( x − 2)( x + x + 4) x + x + 12 VD: lim = lim = lim = =3 x →2 x − x →2 x →2 ( x − 2)( x + 2) x+2 P( x ) b) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x), Q(x) biểu thức chứa bậc x → x0 Q( x ) Sử dụng đẳng thức để nhân lượng liên hợp tử mẫu ( − − x )( + − x ) 2− 4−x 1 = lim = lim = x →0 x →0 x →0 + − x x x (2 + − x ) P( x ) c) L = lim với P(x0) = Q(x0) = P(x) biêåu thức chứa không đồng bậc x → x0 Q( x ) VD: lim Giả sử: P(x) = m u( x ) − n v( x ) với m u( x 0) = n v( x0 ) = a 24 Ta phân tích P(x) = VD: lim x →0 ( m u( x) − a) + ( a − n v( x) ) x +1 −1 1− 1− x x +1 − 1− x = lim + x →0 x x x 1 1 = lim + = + = x →0 3 + − x ( x + 1) + x + + P( x ) Dạng :L = lim với P(x), Q(x) đa thức biểu thức chứa x → Q( x ) – Nếu P(x), Q(x) đa thức chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x – Nếu P(x), Q(x) có chứa chia tử mẫu cho luỹ thừa cao x nhân lượng liên hợp 2+ − 2 x + 5x − x x2 VD: a) lim = lim =2 x →+ x + x + x →+ 1+ + x x2 b) lim x →− 2x − x +1 − x 2− = lim x →− − 1+ x x2 = −1 −1 Dạng – : Giới hạn thường có chứa Ta thường sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp tử mẫu VD: lim x →+ ( ( + x − x ) = lim + x − x )( + x + x ) 1+ x + x x →+ = lim 1+ x + x x →+ =0 Dạng 0.: Ta thường sử dụng phương pháp dạng VD: lim+ ( x − 2) x →2 x x −4 = lim x →2 + x − x x+2 = =0 Bài 1: Tìm giới hạn sau: 1+ x + x + x x →0 1+ x a) lim d) lim x −1 x →−1 x4 + x − x +8 −3 x →1 x −2 Bài 2: Tìm giới hạn sau: g) lim a) lim x →1 d) lim x →3 x3 − x2 − x + x2 − 3x + x3 − 5x + 3x + x − 8x2 − b) lim x →−1 e) lim x →2 h) lim x →2 b) lim x →1 e) lim x →1 3x + − x x −1 sin x − 4 c) lim x x→ x2 − x + x −1 f) lim 3x2 − − 3x − x +1 i) lim x sin x4 −1 x3 − x2 + x − 5x + x (1 − x )2 25 x2 − 2x + x +1 x →1 x →0 c) lim x5 + x3 + xm −1 x →−1 f) lim x →1 xn −1 (1 + x )(1 + x )(1 + x ) − x + x + + x n − n h) lim x →0 x →1 x x −1 g) lim x − 16 i) lim x3 + x2 x →−2 Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim x →2 d) lim x →2 g) lim 4x +1 − x2 − x +2 −2 x +7 −3 1+ x −1 x →0 + x −1 Bài 4: Tìm giới hạn sau: a) lim x →0 d) lim 1+ x − 1+ x x 1+ 4x − 1+ 6x x2 + 4x + 6x −1 g) lim x →0 x Bài 5: Tìm giới hạn sau: x →0 a) lim x →+ d) lim x → g) lim x →− x2 + x2 − x + x2 + x + + x + x2 + + − x (2 x − 1) x − x − 5x2 b) lim x →1 d) lim+ x2 − x −2 x + 3x x →−3 b) lim e) lim x + 11 − x + x2 − 3x + x →2 x + 11 − x + x2 − 5x + + x + x − h) lim x →0 x x →2 b) lim x → x2 − x + x −2 x2 − x + + − x e) lim x2 − 3x + x x → x2 + x + 3x h) lim x →+ x2 + − x + f) lim x →− ( 3x3 − + x →0 x2 + −1 f) lim x →0 x + 16 − x + + x + 16 − x i) lim x →0 1+ x − − x x →0 x c) lim − x3 − x2 + f) lim x →1 i) lim x →0 x2 + c) lim x →+ f) lim x2 − x +1 − 1− x x x3 − 3x2 + x x +1 x →+ x2 + x + x − 5x + x →− x + i) lim x2 + ) 1 + h) lim x →2 x − x + x − x + b) lim− x →2 e) lim x − 15 x −2 2−x 2 x − 5x + Bài 8: Tìm giới hạn bên hàm số điểm ra: x →2 + x2 − x c) lim b) lim x − − x − x − x →+ d) lim x + x + x − x x →+ ( 2x −1 − 2x +1) − g) lim x →1 − x − x Bài 7: Tìm giới hạn sau: x − 15 a) lim+ x →2 x − x + − 2x h) lim c) lim x + − x − x →+ x →+ 4x + − x + − 3x + e) lim x →1 x −1 Baøi 6: Tìm giới hạn sau: a) lim x + x − x x →+ e) lim x −1 x →2 + 26 c) lim+ x →3 f) lim x →2 − + 3x − x2 x −3 2−x 2 x − 5x + a) c) Baøi 9: a) 1+ x −1 − x2 x + x − b) f ( x ) = x − x f ( x) = taïi x = taïi x = 3 x 1 − x x x2 − x x2 − 3x + x x d) f ( x ) = x − taïi x = f ( x) = − x taïi x = x x − 16 − x x x − Tìm giá trị m để hàm số sau có giới hạn điểm ra:: x3 − − x x taïi x = b) f ( x ) = x − x − f ( x) = x − taïi x = 2 m x − 3mx + x mx + x x + m x x + 3m x −1 taïi x = −1 c) f ( x ) = x + 100 x + taïi x = d) f ( x ) = x + x + m + x − x x +3 III Hàm số liên tục 27 Hàm số liên tục điểm:y = f(x) liên tục x0 lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 • Để xét tính liên tục hàm số y = f(x) điểm x0 ta thực bước: B1: Tính f(x0) B2: Tính lim f ( x ) (trong nhiều trường hợp ta cần tính lim + f ( x ) , lim − f ( x ) ) x → x0 x → x0 x → x0 B3: So sánh lim f ( x ) với f(x0) rút kết luận x → x0 Hàm số liên tục khoảng: y = f(x) liên tục điểm thuộc khoảng Hàm số liên tục đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục (a; b) lim f ( x ) = f (a), lim f ( x ) = f (b) x →a + x →b − • Hàm số đa thức liên tục R • Hàm số phân thức, hàm số lượng giác liên tục khoảng xác định chúng Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục điểm x0 Khi đó: • Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục x0 f ( x) • Hàm số y = liên tục x0 g(x0) g( x ) Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< tồn số c (a; b): f(c) = Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] f(a) f(b)< phương trình f(x) = có nghiệm c (a; b) Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục [a; b] Đặt m = f ( x ) , M = max f ( x ) Khi với T a;b a;b (m; M) tồn số c (a; b): f(c) = T Bài 1: Xét tính liên tục hàm số điểm ra: x +3 −2 x taïi x = −1 b) f ( x ) = x − 1 x = x −5 − x + 5x2 − x3 x f ( x) = x2 − 3x + taïi x = d) f ( x ) = x − − 1 ( x − 5)2 + x = x −1 1 − cos x x f) f ( x ) = − x − f ( x) = taïi x = x x +1 −2 x Tìm m, n để hàm số liên tục điểm ra: x f ( x) = x taïi x = mx − x x +3 a) f ( x ) = x − −1 c) e) Baøi 2: a) x3 − x2 + x − b) f ( x ) = x −1 3 x + m x taïi x = x = 28 x taïi x = x = x taïi x = x x x x = Bài 1: Cho hàm số (C): y = f ( x ) = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm thuộc (C) có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vng góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp trục tọa độ − x + x2 (C) x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 3x + Baøi 3: Cho hàm số y = f ( x ) = (C) 1− x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = x + 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : 2x + 2y – = Baøi 2: Cho hàm số y = f ( x ) = Baøi 4: Cho hàm số (C): y = x − x a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Baøi 5: Cho hàm số (C): y = − x − x Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hồnh độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao ( ) / Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y ( n) = y ( n−1) Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức Bài 10: Cho hàm số f ( x ) = 3( x + 1) cos x b) Tính f ''( ), f '' , f ''(1) 2 Baøi 11: Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: x −3 , y '' a) y = cos x , y ''' b) y = x − x + x − x + 7, y '' c) y = x+4 a) Tính f '( x ), f ''( x ) d) y = x − x , y '' f) y = x tan x, y '' e) y = x sin x, y '' 35 g) y = ( x + 1)3 , y '' Baøi 12: h) y = x − x + 4, y(4) i) y = , y(5) 1− x Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: (n) (−1)n n! n. n. a) b) (sin x )( n) = sin x + c) (cos x )( n) = cos x + = (1 + x )n+1 1+ x Bài 13: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: 1 x a) y = b) y = c) y = 2 x+2 x − 3x + x −1 1− x e) y = sin2 x f) y = sin x + cos4 x 1+ x Baøi 14: Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: y = x sin x a) b) y = x − x xy ''− 2( y '− sin x ) + xy = y y ''+ = d) y = x −3 y = d) x+4 2 y2 = ( y − 1) y '' y = x tan x c) 2 x y ''− 2( x + y )(1 + y ) = sin u( x ) x → x0 u( x ) Ta sử dụng công thức lượng giác để biến đổi sử dụng công thức sin u( x ) lim = (với lim u( x ) = ) x → x0 x → x0 u( x ) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim Bài 1: Tính giới hạn sau: sin x − cos x a) lim b) lim x →0 sin x x →0 x2 + sin x − cos x e) lim x →0 − sin x − cos x f) lim x→ tan x x →0 sin x c) lim − sin x − x 2 d) lim x→ g) lim − x tan x h) lim 2 x→ x→ cos x − sin x cos x sin x − 6 − cos x VẤN ĐỀ 6: Các tốn khác Bài 1: Giải phương trình f '( x ) = với: a) f ( x ) = 3cos x − 4sin x + x b) f ( x ) = cos x + sin x + x − c) f ( x ) = sin x + cos x d) f ( x ) = sin x − cos x cos x − 3 + x f) f ( x ) = sin x − cos3 x + 3(cos x − sin x ) Bài 2: Giải phương trình f '( x ) = g( x ) với: e) f ( x ) = − sin( + x ) + cos 36 b) f ( x ) = sin x g( x ) = cos x − 5sin x x 2 x f ( x ) = x cos f ( x ) = x cos c) d) g( x ) = cos x − − x sin x g( x ) = x − x sin x Baøi 3: Giải bất phương trình f '( x ) g '( x ) với: a) f ( x ) = sin x g( x ) = sin x a) f ( x ) = x + x − 2, g( x ) = x + x + b) f ( x) = x − x − 8, g ( x) = x x2 d) f ( x ) = , g( x ) = x − x − x Baøi 4: Xác định m để bất phương trình sau nghiệm với x R: c) f ( x ) = x − x + 3, g( x ) = x + mx − x + mx − mx mx f '( x ) với f ( x ) = − + (m + 1) x − 15 Cho hàm số y = x − x + mx − Tìm m để: f '( x) bình phương nhị thức bậc f '( x) với x a) f '( x ) b) Baøi 5: a) b) với f ( x ) = Bài 6: Cho hàm số f ( x) = − mx3 mx + − (3 − m) x + Tìm m để: a) f '( x) với x b) f '( x) = có hai nghiệm phân biệt dấu c) Trong trường hợp f '( x) = có hai nghiệm, tìm hệ thức hai nghiệm không phụ thuộc vào m 37 BÀI TẬP ƠN CHƯỜNG V Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = x ( x − 4) b) y = ( x + 3)( x − 1) c) y = x − x + d) y = x (2 x − 1) e) y = (2 x + 1)(4 x − x ) f) y = x − 3x + h) y = 2x − x − 2x Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: i) y = (3 − x )2 g) y = a) y = x − x + d) y = e) y = 1− x Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = sin( x − x + 2) d) y = c) y = x − x − b) y = − x 1+ x sin x + cos x sin x − cos x + 9x x +1 x f) y = − x2 x −3 x sin x x + x sin x b) y = tan (cos x ) c) y = e) y = x cot( x − 1) f) y = cos2 ( x + x + 2) g) y = cos x h) y = cot + x i) y = tan2 (3 x + x ) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số, với: a) (C ) : y = x − x + điểm M(−1, −2) b) (C ) : y = x2 + x + điểm có hồnh độ x0 = x+2 c) (C ) : y = x + biết hệ số góc tiếp tuyến k = Bài 5: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) cho tiếp tuyến đó: a) Song song với đường thẳng y = −3 x + b) Vng góc với đường thẳng y = c) Đi qua điểm A(0;2) x − cos x Tính giá trị f ' + f ' cos x 6 3 b) Cho hai hàm số f ( x ) = sin x + cos4 x g( x ) = cos x So sánh f '( x ) g '( x ) Bài 7: Tìm m để f ( x ) 0, x R , với: Bài 6: a) Cho hàm số f ( x ) = a) f ( x ) = x + (m − 1) x + x + 1 b) f ( x ) = sin x − m sin x − sin x + 2mx Bài 8: Chứng minh f ( x ) , x R , với: a) f ( x ) = x + sin x b) f ( x ) = 38 x − x + x − x + x − CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghóa d ⊥ (P) d ⊥ a, a (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a, b ( P ), a b = O d ⊥ (P) d ⊥ a, d ⊥ b Tính chất • Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a b a b (P) ⊥ b a b • • a ⊥ ( P ), b ⊥ ( P ) ( P ) ⊥ a ( P ) (Q) ( P ) (Q) • ( P ) ⊥ a,(Q) ⊥ a a ( P ) a ( P ) • a ⊥ b,( P ) ⊥ b ( P ) (Q) a ⊥ (Q) • a ⊥ ( P ) a ( P ) b⊥a • b ⊥ ( P ) Định lí ba đường vuông goùc Cho a ⊥ ( P ), b ( P ) , a hình chiếu a (P) Khi b ⊥ a b ⊥ a Góc đường thẳng mặt phẳng ( ) • Nếu d ⊥ (P) d ,( P ) = 900 ( ) • Nếu d ⊥ ( P ) d ,( P ) = ( d , d ' ) với d hình chiếu d (P) ( ) Chú ý: 00 d ,( P ) 900 VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) • Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) • Chứng minh d // a a ⊥ (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ⊥ a, ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a • Sử dụng định lí ba đường vuông góc • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước 39 Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ suy HK ⊥ AI Bài Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ ⊥ (SBD) Bài Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC ⊥ (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD) Bài Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC ⊥ (OAH) b) H trực tâm tam giaùc ABC 1 1 c) = + + 2 OH OA OB OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH ⊥ AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM ⊥ SA Tính AM theo a a a a c) , 2 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác HD: a) a, SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh: AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA ⊥ (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK ⊥ (SBC), AL ⊥ (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 8a2 15 Bài Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S HD: a) a c) 40 b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông Bài 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD Bài 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh raèng: AB ⊥ CD AC2 – AD2 = BC2 – BD2 b) Từ suy tứ diện có cặp cạnh đối vuông góc với cặp cạnh đối lại vuông góc với VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang vuông A B với AB = BC = a, AD = 2a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Bài Cho tứ diện SABC, có đáy tam giác cạnh a; SA ⊥ (ABC) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện a2 15 20 Bài Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA ⊥ (ABC) vaø SA HD: S= = a M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn a HD: b) S = x(a – x); S lớn x = Bài Cho hình tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vuông góc với BC b) (P) qua A vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB HD: a) a2 b) 2a2 21 49 41 c) 5a2 32 Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB SH = a) CMR: SB b) Goïi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện HD: b) S = VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P) • Tìm giao điểm O a với (P) 5a2 18 • Chon điểm A a dựng AH ⊥ (P) Khi AOH = (a,( P)) Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết ( MN ,( ABCD)) = 600 a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) a 30 a 10 ; SO = b) sin ( MN ,(SBD)) = Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = HD: a) MN = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB vaø (SAC) HD: b) arctan a) 600 c) arcsin d) AC vaø (SBC) d) arcsin 21 14 Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA ⊥ (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc hợp với mặt bên SAB góc a) Tính SA b) CMR: AB = a cos( + ).cos( − ) HD: a) a.sin Bài Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC = Bieát SA, SB, SC hợp với mặt phẳng (ABC) góc a) CMR: hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) a.sin HD: b) HD: a) a cos Bài Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA ⊥ (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC) b) a 66 11 c) arcsin 42 54 55 Bài Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA ⊥ (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc mặt bên BCCB góc a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a b) Chứng minh rằng: cos = HD: sin a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = a.sin IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a ⊥ ( P ) ( P ),(Q) = ( a, b ) • b ⊥ (Q) ( ) ( ) a ( P ), a ⊥ c • Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng ( P ),(Q) = ( a, b ) b (Q ), b ⊥ c Chuù yù: ( ) 0 ( P ),(Q) 90 Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) ( ) (Q), = ( P ),(Q) Khi đó: S = S.cos Hai mặt phẳng vuông góc ( ) • (P) ⊥ (Q) ( P ),(Q) = 90 ( P ) a ( P ) ⊥ (Q) • Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: a ⊥ (Q) Tính chất ( P ) ⊥ (Q) • A (P) a (P) a A, a ⊥ (Q) ( P ) ⊥ (Q),( P ) (Q) = c a ⊥ (Q) • a ( P ), a ⊥ c ( P ) (Q) = a • ( P ) ⊥ ( R) a ⊥ ( R) (Q) ⊥ ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau: • Tìm hai đường thẳng a, b: a ⊥ (P), b ⊥ (Q) Khi đó: ( ( P ),(Q) ) = ( a, b ) • Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng a ( P ), a ⊥ c ( ( P ),(Q) ) = ( a, b ) b (Q ), b ⊥ c Bài Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) vaø SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) 43 HD: ( ) a) (SAC ),( SBC ) = 600 b) cos ((SEF ),(SBC )) = 10 Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600 HD: SA = a Bài Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) vaø SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: b) cos ((SBC ),(SCD)) = a) tan ((SAD),(SBC )) = 10 Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) HD: b) arctan a) 600 c) 300 Bài Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a a ; SA ⊥ (ABCD) SO = 3 a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD: c) 600 Bài Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) vaø (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ⊥ (Q), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ⊥ (Q) • Chứng minh ( ( P ),(Q) ) = 90 * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ⊥ (P), ta chứng minh cách sau: • Chứng minh d (Q) với (Q) ⊥ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) • Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) ⊥ (P) (R) ⊥ (P) • Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Bài Cho tam giác ABC , cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp ( ABC ) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) vuông góc với 44 Bài Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH ⊥ (ADC) Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC) HD: b) 900 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi M, N 3a a điểm caïnh BC, DC cho BM = , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB) ⊥ (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD), AD ⊥ (SAB) b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD vaø mp(SCI) 10 c) arcsin Bài Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo − Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị HD: b) arcsin c bc ; = arctan b Bài Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (BCD) b) Mặt phẳng (ABC) ⊥ (ACD) HD: b) SHmax = b2 = b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN ⊥ (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có HD: a) x2 – y2 + số đo 300 a(x + y) + xy = a2 45 HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, a SC ⊥ (ABCD) a) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK cạnh SC = c) Chứng minh BKD = 900 từ suy (SAB) ⊥ (SAD) a HD: b) IK = VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) ( ) (H) (Q), = ( P ),(Q) Khi đó: S = S.cos Bài Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳng (P) ta hình vuông ABCD a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P) b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB vaø EFDB HD: a) 450 b) SEFDB = 3a2 3a2 ; SEFDB = 4 Bài Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vuông A, tính góc (P) (ABC) HD: 300 Bài Cho tam giác ABC cạnh a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B C lấy ñoaïn BD = a , CE = a nằm bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) vaø (P) 3a2 b) arccos Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC S b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA = ABC cos Bài Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH ⊥ (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Bài Trong maët phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vuông góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Định x để tam giác OAB vuông O HD: a) 46 b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Định x để tam giác vuông A c) Cho x = 4a Vẽ đường cao OC OAB Chứng minh CA ⊥ AB Tính góc hai mặt phẳng (OAB) (P) HD: a) x = b) x = 4a c) arccos 39 26 IV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a) = MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P )) = MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo • Đường thẳng cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b • Nếu cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b • Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với • Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a ⊥ b: • Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A • Dựng AB ⊥ b B AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song • Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a • Chọn M a, dựng MH ⊥ (P) H • Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B • Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc • Dựng mặt phẳng (P) ⊥ a O • Dựng hình chiếu b b (P) • Dựng OH ⊥ b H • Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B • Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A 47 AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH Bài Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC a a b) Bài Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC vaø SD HD: a) a a b) Bài Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC SA HD: c) Gọi E = AH BC Đường vuông góc chung BC SA AE Bài a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b Chứng minh a = a, b = b Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS ⊥ (ABCD) IS HD: a) a Goïi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP AC b) MN vaø AP a a HD: a) b) = VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Bài Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) 48 c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với a a2 a a HD: a) d(A,(SCD)) = a ; d(B,(SCD)) = b) c) Bài Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA ⊥ (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông mp(SAD) cách (SAD) khoảng A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB ⊥ (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) a a a 21 b) c) 2 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) a khoảng , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE HD: a) a2 a a b) c) Bài Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 , nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD a a 93 a HD: a) AD = ; d(C,(ABD)) = b) 31 HD: a) a ; Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60 Gọi O giao 3a điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 3a 3a HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = 49 ... lim cos n2 b) lim n2 + 3sin n + cos2 (n + 1) n2 + n2 + − n6 n + − n2 (−1)n sin(3n + n2 ) 3n − e) lim 3sin (n3 + 2) + n2 c) lim f) lim i) lim ( 2n − n3 + n − 1) n2 + − n2 + n2 − n − n2 + 3n2 + −... − n2 + 3n2 + + n 1 b) lim + + + n(n + 2) 1.3 2. 4 22 1 d) lim + + + n(n + 1) 1 .2 2.3 c) lim − − − 22 32 n2 e) lim + + + n f) lim n2... 1)(2n + 1) 1.3 3.5 n3 + n + n2 − c) lim 2. 5n + 7n + 2. 3n − 7n (2n n + 1)( n + 3) e) lim (n + 1)(n + 2) 3n3 + 2n2 + n f) lim n+1 + n +2 5n + 8n − 2. 3n + n n (3n+1 − 5) n2 + − n6 n + + n2 n2