Đang tải... (xem toàn văn)
Chương I Những nhóm ma trận thực và phức híng dÉn ®äc toµn v¨n b¸o c¸o KQNC ! B¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanhB¹n muèn ®äc nhanh nh÷ng th«ng tin cÇn thiÕt ? nh÷ng th«ng tin cÇn[.]
hướng dẫn đọc toàn văn báo cáo KQNC ! ! Bạn muốn đọc nhanh thông tin cần thiết ? Hy đọc qua Mục lục bên tay trái bạn trước đọc báo cáo ( với Acrobat 4.0 trở lên, cho trỏ chuột vào đề mục để đọc toàn dòng bị che khuất ) ! Chọn đề mục muốn đọc nháy chuột vào ! ! Bạn muốn phóng to hay thu nhỏ trang báo cáo hình ? Chọn, nháy chuột vào kích th thưước có sẵn Menu , ! Më View trªn Menu, Chän Zoom to ! Chän tû lƯ cã s½n hép kÝch th thíc muốn,, Nhấn OK tự điền tỷ lệ theo ý muốn Chúc bạn hài lòng với thông tin đđưược cung cÊp BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN -o0o - Luận văn tốt nghiệp Đề tài: Nhóm Lie m a trận GVHD SVTH Lớp MSSV : TS Nguyễn Hà Thanh : Nguyễn Duy Quang : Toán 4B : 34101071 Lời cảm ơn Tôi muốn gửi lời cảm ơn tri ân sâu sắc đến Tiến sĩ Nguyễn Hà Thanh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại học Sư phạm dẫn nhiệt tình đóng góp quý báu Thầy cho luận văn Ngồi ra, tơi xin cảm ơn bạn Võ Văn Vinh Quang – người cộng thân thiết với nghiên cứu phần đầu luận văn Lời mở đầu Từ hình học Euclid đời nửa đầu kỉ thứ 19, nhà tốn học nói chung hình học nói riêng tồn giới đao đáo trước câu hỏi: “Liệu có loại hình học hình học Euclid hay cịn loại hình học khác?” Và câu trả lời dần sáng tỏ nhu cầu thực tế vật lý tốn học ngày địi hỏi hình học phải nghiên cứu nhiều chiều không đơn hay chiều trước nữa, làm phát sinh loại hình học hình học phi Euclid Do với ý tưởng táo bạo tất loại hình học trường hợp đặc biệt hình học xạ ảnh, vào năm 1872, Felix Klein khởi động chương trình nghiên cứu mang tên chương trình Erlangen với mục đích để giải tốn phân loại mơ tả loại hình học dựa sở hình học xạ ảnh lý thuyết nhóm Kết cơng trình nghiên cứu cho thấy hình học Euclide quen thuộc tương ứng với nhóm E(3) phép đẳng cự khơng gian Euclid , hình học bảo giác tương ứng với mở rộng nhóm nhóm bảo giác, hình học xạ ảnh tương ứng với nhóm xạ ảnh… Từ cấu trúc cụ thể người ta xây dựng nên khái niệm G-cấu trúc, G nhóm Lie Vậy nhóm Lie gì? Nhóm Lie đa tạp khả vi với cấu trúc nhóm cho phép tốn nhóm khả vi Cấu trúc nhóm Lie khởi xướng Sophus Lie (cha đẻ lý thuyết nhóm liên tục) vào cuối kỷ 19 với tên gọi ban đầu nhóm vi phân sau phát triển H.Weyl Tuy nhiên sau người ta đặt tên lại cho nhóm vi phân nhóm Lie để ghi nhớ đến công lao S.Lie người đặt viên đá mở đường cho lý thuyết tối quan trọng tốn học đại Nói thật khơng q nhóm Lie khơng có mặt hình học mà cịn xuất lĩnh vực đại số Vào thập niên 40,50 kỷ trước, nhà toán học Ellis Kolchin, Armand Borel Claude Chevalley nhận nhiều kết nhóm Lie xây dựng hồn tồn dựa theo đại số Chính điều dẫn đến việc cho đời lý thuyết nhóm đại số trường vốn phát kiến quan trọng đại số túy cung cấp cho quan tâm đến vấn đề công cụ xây dựng thống cho hầu hết nhóm hữu hạn đơn giản Với lý nhóm Lie đã, đóng vai trị lớn tốn học đại ngành tốn học ứng dụng Vì với mục đích tiếp cận đại số Lie nhóm Lie, luận văn giới thiệu cách tổng quan nhóm ma trận lý thuyết Lie khuôn khổ luận văn tốt nghiệp đại học Luận văn chia làm bốn chương với nội dung sau: Chương 1: Bổ sung lại kiến thức đại số, giải tích hàm đa tạp trơn Chương 2: Định nghĩa nhóm tuyến tính tổng qt GLn () với = , , sau nghiên cứu nhóm đồng thời khơng gian tơpơ Tiếp theo ta định nghĩa nhóm ma trận tìm hiểu ví dụ quan trọng nhóm ma trận Ngồi mối quan hệ nhóm ma trận phức nhóm ma trận thực xem xét chương cuối phần ánh xạ lũy thừa xây dựng nhóm ma trận tổng quát giới thiệu để làm tảng cho chương sau Chương 3: Dành hẳn cho câu trả lời đại số Lie nhóm ma trận? Chương 4: Định nghĩa khái niệm nhóm Lie, từ chứng minh tất nhóm ma trận nhóm Lie nhóm tuyến tính tổng quát Tuy nhiên cần phải lưu ý thêm khái niệm chương xây dựng dựa đa tạp, xuất khái niệm cũ mới, so sánh với khái niệm định nghĩa chương trước, điều mà độc giả cần quan tâm nhiều Mục lục Trang bìa Lời cảm ơn Lời mở đầu Mục lục Chương 1: Kiến thức Kiến thức đại số Kiến thức giải tích Kiến thức đa tạp trơn (khả vi) 6 12 16 Chương 2: Nhóm ma trận thực phức Những nhóm ma trận M n () khơng gian mêtric Nhóm ma trận Các nhóm ma trận quan trọng UTn (), SUTn (), O(n), SO(n), U (n), SU (n) Nhóm ma trận phức nhóm ma trận thực Đồng cấu liên tục nhóm ma trận Tác động nhóm liên tục Hàm lũy thừa logarit ma trận 18 18 18 22 23 25 26 27 27 Chương 3: Đại số Lie nhóm ma trận Phương trình vi phân ma trận Đường cong, không gian tiếp xúc đại số Lie Một vài đại số Lie nhóm ma trận 32 32 33 36 Chương 4: Nhóm Lie ma trận Không gian tiếp xúc đạo hàm Nhóm Lie Một vài ví dụ nhóm Lie Một số cơng thức quan trọng nhóm ma trận Các nhóm ma trận nhóm Lie Khơng phải tất nhóm Lie nhóm ma trận 42 42 44 45 48 54 56 Kết luận Nội dung luận văn Các toán hướng nghiên cứu nhóm Lie 61 61 62 Tài liệu tham khảo 63 Chương 1: Kiến thức Chương đưa nhằm hệ thống lại kiến thức đại số, giải tích đa tạp trơn (khả vi) mà người đọc luận văn cần phải có để lĩnh hội khái niệm sau Do tính đặc thù việc ơn lại kiến thức cũ nên bố cục trình bày chương rời rạc, độc giả xem cách tùy ý khơng theo thứ tự nắm bắt Tuy nhiên bên cạnh phần chương nói đa tạp trơn – vốn khái niệm khó quan trọng để xây dựng nên lý thuyết Lie phần mà độc giả nên quan tâm nhiều Kiến thức đại số Định nghĩa 1.1: Ta gọi phép tốn hai ngơi (hay cịn gọi tắt phép toán) tập hợp X ánh xạ f từ X × X đến X Giá trị f ( x, y ) f ( x, y ) gọi hợp thành x y Định nghĩa 1.2: Một phận A X gọi ổn định (đối với phép tốn hai ngơi X) xy ∈ A với x, y ∈ A Định nghĩa 1.3: Một phép tốn hai ngơi tập hợp X gọi kết hợp ta có ( xy ) z = x( yz ) với x, y, z ∈ X ; giao hốn ta có xy = yx với x, y ∈ X Định nghĩa 1.4: Giả sử cho phép tốn hai ngơi tập hợp X Một phần tử e X gọi đơn vị trái phép toán hai ex = x với x ∈ X Tương tự, phần tử e X gọi đơn vị phải phép tốn hai ngơi xe = x với x ∈ X Trong trường hợp phần tử e X vừa đơn vị trái vừa đơn vị phải, e gọi đơn vị, phần tử trung lập phép tốn hai ngơi Định nghĩa 1.5: Ta gọi nửa nhóm tập hợp X với phép tốn hai ngơi kết hợp cho X Một nửa nhóm có phần tử trung lập gọi vị nhóm Một nửa nhóm giao hốn phép tốn giao hốn Định nghĩa 1.6: Ta gọi nhóm nửa nhóm X có tính chất sau: a) Có phần tử trung lập b) Với x ∈ X , có x ' ∈ X cho x= ' x xx =' e (phần tử x ' gọi phần tử đối xứng hay nghịch đảo x) Như vậy, nhóm vị nhóm mà phần tử có nghịch đảo Nếu tập hợp X hữu hạn ta bảo ta có nhóm hữu hạn số phần tử X gọi cấp nhóm Nếu phép tốn hai ngơi X giao hốn ta bảo ta có nhóm giao hốn hay nhóm aben Định lý 1.7: Mỗi phần tử nhóm có phần tử đối xứng Trong trường hợp phép tốn hai ngơi nhóm kí hiệu dấu (dấu cộng +), phần tử đối xứng x kí hiệu x −1 ( − x ) gọi nghịch đảo x (đối x) Từ định nghĩa phần tử nghịch đảo (phần tử đối) ta có nghịch ( x −1 ) −1 = x , ( −(− x) =x ) Nếu nhóm aben phép tốn nhóm kí hiệu dấu (dấu +) phần tử xy −1 = y −1 x ( x + (− y ) = (− y ) + x ) kí hiệu x / y ( x − y ) gọi thương x y (hiệu x y) Định lý 1.8: Một nửa nhóm X nhóm hai điều kiện sau thỏa mãn: a) X có đơn vị trái e b) Với x ∈ X , có x ' ∈ X cho x ' x = e Định lý 1.9: Một nửa nhóm khác rỗng X nhóm phương trình ax = b ya = b có nghiệm X với a, b ∈ X Định nghĩa 1.10: Một phận ổn định A nhóm X nhóm X A với phép tốn cảm sinh nhóm, kí hiệu A ≤ X Định lý 1.11: Một phận A nhóm X nhóm X điều kiện sau thỏa mãn: a) Với x, y ∈ A, xy ∈ A b) e ∈ A , với e phần tử trung lập X c) Với x ∈ A, x −1 ∈ A Hệ 1.12: Giả sử A phận khác rỗng nhóm X Các điều kiện sau tương đương: a) A nhóm X b) Với x, y ∈ A, xy ∈ A x −1 ∈ A c) Với x, y ∈ A, xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.13: Giả sử U phận nhóm X Nhóm A bé X chứa U gọi nhóm sinh U Trong trường hợp A = X , ta nói U hệ sinh X X sinh U Kí hiệu nhóm sinh tập hợp U U Định nghĩa 1.14: Một nhóm X gọi xyclic X sinh phần tử a ∈ X Phần tử a gọi phần tử sinh X Như nhóm X xyclic phần tử lũy thừa a λ , λ ∈ , phần tử a ∈ X , kí hiệu là= a {a λ } | λ ∈ Định nghĩa 1.15: Giả sử a phần tử nhóm X A nhóm sinh a Phần tử a gọi có cấp vô hạn A vô hạn; trường hợp khơng có số ngun dương n cho a n = e Phần tử a gọi có cấp m A có cấp m; trường hợp m số nguyên dương bé cho a m = e Một phần tử a ∈ X có cấp a = e Định nghĩa 1.16: Giả sử A nhóm nhóm X, ta định nghĩa quan hệ ~ tập hợp X sau: với x, y ∈ A , x ~ y x −1 y ∈ A Bổ đề 1.17: Quan hệ ~ X quan hệ tương đương Với phần tử x ∈ X , ta kí hiệu lớp tương đương chứa x x kí hiệu phận X gồm phần tử có dạng xa với a chạy khắp A xA , tức = xA { xa | a ∈ A} Bổ đề 1.18: x = xA Định nghĩa 1.19: Các phận xA gọi lớp trái nhóm A X Tương tự lớp phải Ax A X phận mà phần tử có dạng ax với a ∈ A Cũng lớp trái, ta chứng minh lớp phải A lớp tương đương theo quan hệ tương đương: x ~ y xy −1 ∈ A Định nghĩa 1.20: Tập hợp thương X quan hệ tương đương ~ gọi tập hợp thương nhóm X nhóm A, kí hiệu X / A Các phần tử X / A lớp trái xA Số l lớp trái xA (hay lớp phải Ax ) gọi số nhóm A X Định nghĩa 1.21 (Chuẩn hóa): Chuẩn hóa S nhóm (nửa nhóm) G định N G ( S ) =∈ gS } Khi N G ( S ) ≤ G { g G | Sg = Định nghĩa 1.22: Một nhóm A nhóm X gọi chuẩn tắc x −1ax ∈ A với a ∈ A x ∈ X Kí hiệu A X Định lý 1.23: Nếu A nhóm chuẩn tắc nhóm X, thì: a) Quy tắc cho tương ứng với cặp ( xA, yA) lớp trái xyA ánh xạ từ X / A × X / A đến X / A b) X / A với phép tốn hai ngơi ( xA, yA) xyA nhóm, gọi nhóm thương X A Định lý 1.24: Giả sử A nhóm nhóm X Các điều kiện sau tương đương: a) A chuẩn tắc b) xA = Ax với x ∈ X Do định lý trên, từ A chuẩn tắc ta khơng phân biệt lớp trái, lớp phải A gọi lớp trái (hay lớp phải) A lớp A Định nghĩa 1.25: Một đồng cấu (nhóm) ánh xạ f từ nhóm X đến nhóm Y cho f (ab) = f (a ) f (b) với a, b ∈ X Nếu X = Y đồng cấu f gọi tự đồng cấu X Một đồng cấu mà đơn ánh gọi đơn cấu, đồng cấu toàn ánh gọi toàn cấu, đồng cấu song ánh gọi đẳng cấu, tự đồng cấu song ánh gọi tự đẳng cấu Nếu f : X → Y ~ đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y người ta viết f : X → Y (Trong trường hợp X Y nửa nhóm, ta định nghĩa đồng cấu (nửa nhóm) có khái niệm tương tự) Mệnh đề 1.26: Nếu f : X → Y đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ánh xạ ngược f −1 : Y → X đẳng cấu Định nghĩa 1.27: Nếu có đẳng cấu từ nhóm X đến nhóm Y ta bảo hai nhóm X Y đẳng cấu với nhau, ta viết X ≅ Y Định nghĩa 1.28: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, phần tử trung lập X Y kí hiệu theo thứ tự eX eY Ta kí hiệu Im f = f ( X ) Kerf = eY } = f −1 (eY ) { x ∈ X | f ( x) = gọi Im f ảnh đồng cấu f , Kerf hạt nhân đồng cấu f Định lý 1.29: Giả sử X , Y , Z nhóm f : X → Y g : Y → Z đồng cấu Thế ánh xạ tích gf : X → Z đồng cấu Đặc biệt tích hai đẳng cấu đẳng cấu Định lý 1.30: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì: a) f (eX ) = eY b) f ( x −1 ) = [ f ( x)]−1 với x ∈ X Định lý 1.31: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y, A nhóm X B nhóm chuẩn tắc Y Thế thì: a) f ( A) nhóm Y b) f −1 ( B) nhóm chuẩn tắc X Hệ 1.32: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế Im f nhóm Y Kerf nhóm chuẩn tắc X Định lý 1.33: Giả sử f : X → Y đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y Thế thì: a) f toàn ánh Im f = Y b) f đơn ánh Kerf = {eX } c) f ( X ) ≅ X / Kerf Định nghĩa 1.34: Giả sử X nhóm, ta gọi tâm X phận C ( X ) = {a ∈ X | ax = xa, ∀x ∈ X } Mệnh đề 1.35: C(X) nhóm giao hốn X nhóm C(X) nhóm chuẩn tắc X Định nghĩa 1.36: Giả sử X nhóm, x y hai phần tử X Ta gọi hoán tử x y phần tử xyx −1 y −1 Định nghĩa 1.37: Ta gọi vành tập hợp X với hai phép tốn hai ngơi cho X kí hiệu theo thứ tự cấu dấu + (người ta thường kí hiệu vậy) gọi phép cộng phép nhân cho điều kiện sau thỏa mãn: a) X với phép cộng nhóm aben b) X với phép nhân nửa nhóm c) Phép nhân phân phối phép cộng, nghĩa là: x( y + z ) = xy + xz ∀x, y, z ∈ X : ( y + z ) x =yx + zx Phần tử trung lập phép cộng kí hiệu gọi phần tử không Phần tử đối xứng (đối với phép cộng) phần tử x kí hiệu − x gọi đối x Nếu phép nhân giao hoán ta bảo vành X giao hốn Nếu phép nhân có phần tử trung lập phần tử gọi phần tử đơn vị X thường kí hiệu e hay (nếu khơng có nhầm lẫn) Định nghĩa 1.38: Trường X-vành giao hoán, e ≠ phần tử x ≠ có nghịch đảo x −1 Định nghĩa 1.39: Cho tập hợp V mà phần tử kí hiệu α , β , γ trường mà phần tử kí hiệu x, y, z Giả sử V có hai phép tốn: Phép tốn trong, kí hiệu + : V ×V → V (α , β ) α + β Phép tốn ngồi, kí hiệu : ×V → V ( x, α ) xα thỏa mãn tiên đề sau với α , β , γ ∈ V với x, y ∈ 1) α + β + γ =α + β + γ 2) Có ∈ V cho + α = α + = α 3) Với α ∈ V tồn α ' ∈ V cho α ' + α = α + α ' = 4) α + β = β + α 5) ( x + y )α =xα + yα 6) x α + β = xα + x β 7) x yα = ( xy )α 8) 1.α = α (1 phần tử đơn vị ) Khi V với hai phép tốn nói gọi khơng gian vectơ trường hay -không gian vectơ Định nghĩa 1.40: Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) V gọi hệ vectơ độc lập tuyến tính ∑ xi α i = ⇒ xi = 0, ∀i ∈ I ( ) ( ) ( ) ( ) i∈I Một hệ vectơ gọi phụ thuộc tuyến tính khơng độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.41: Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) gọi độc lập tuyến tính tối đại hệ vectơ B = α i ∈ V , i ∈ I { } B chứa hệ đó, hệ độc lập tuyến tính vectơ B biểu thị tuyến tính qua vectơ hệ Hệ vectơ (α i , i ∈ I ) gọi hệ sinh hệ vectơ B vectơ B biểu thị tuyến tính qua vectơ hệ Nếu B hữu hạn sinh (nghĩa có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử) B có hệ độc lập tuyến tính tối đại gồm hữu hạn phần tử số phần tử hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại B Số gọi hạng hệ vectơ B Nếu B = V số gọi số chiều khơng gian vectơ V kí hiệu dimV Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại V gọi sở V Định nghĩa 1.42: Giả sử e1 , , en sở V, vectơ x ∈ V viết ( ) cách = x x1 e1 + xn en Bộ n số ( x1 , , xn ) gọi tọa độ x sở e1 , , en ( ) Định nghĩa 1.43: Một tập khác rỗng W V gọi không gian vectơ V ổn định hai phép toán V, nghĩa là: ∀ x, y ∈ W λ x + µ y ∈ W với ∀λ , µ ∈ ... số Lie Một vài đại số Lie nhóm ma trận 32 32 33 36 Chương 4: Nhóm Lie ma trận Khơng gian tiếp xúc đạo hàm Nhóm Lie Một vài ví dụ nhóm Lie Một số cơng thức quan trọng nhóm ma trận Các nhóm ma trận. .. Chương 2: Nhóm ma trận thực phức Những nhóm ma trận M n () khơng gian mêtric Nhóm ma trận Các nhóm ma trận quan trọng UTn (), SUTn (), O(n), SO(n), U (n), SU (n) Nhóm ma trận phức nhóm ma trận. .. định nghĩa nhóm ma trận ví dụ quan trọng nhóm ma trận, khái niệm dẫn xuất liên quan Nhóm ma trận Trong lớp ma trận vuông, ta quan tâm đến lớp ma trận vuông khả nghịch Dưới góc độ nhóm, ta có