Thông tin tài liệu
Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Lê Thế mạnh Đại số Lie các nhóm Lie ma trận Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2011 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Lê Thế Mạnh Đại số Lie nhóm Lie ma trận Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-íng dÉn khoa häc: PGS TS Ngun h÷u quang Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chng I Đại số Lie 1.1 Đại sè Lie 1.2 §ång cÊu Lie 1.3 Phép đạo hàm đại số Lie 12 Ch-ơng II Đại số Lie nhóm Lie ma trËn 17 2.1 Nhãm Lie 17 2.2 Đại số Lie nhãm Lie 25 2.3 Đại số Lie nhóm Lie ma trËn 31 KÕt luËn 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Lời mở đầu Nh chỳng ta biết, phát triển Tốn ln xảy hai q trình song song, phân chia thành nhiều ngành để có nghiên cứu ngày sâu sắc, mặt khác có kết hợp ngành Tốn học khác để có thành tựu lớn Có thể nói: Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie kết hợp chuyên ngành Hình học – Tơpơ, Giải tích Đại số Do đại số Lie phận quan trọng tốn học đại trở thành công cụ hữu hiệu nghiên cứu đa tạp Vào cuối kỷ 19 xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann cơng trình chủ yếu Phêlix Klein (1849 – 1925) Xôphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác ca toỏn hc Đại số Lie nhóm Lie ma trËn vấn đề quan trọng đại số Lie Trên sở số kết nhà toán học lớn Serre, Helgason…, số tài liệu nghiên cứu theo hướng trên, hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hu Quang chỳng tụi nghiờn cu ti: Đại số Lie nhóm Lie ma trận Bài toán đặt trình bày đại số Lie số nhóm Lie ma trận Nội dung chủ yếu luận văn tập hợp cách hệ thống, trình bày chứng minh chi tiết đại số Lie, đại số Lie nhãm Lie ma trËn Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 Trường Đại học Vinh với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo mơn Hình học - Tơpơ, thầy giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả Ch-¬ng I Đại số Lie Trong ch-ơng này, trình bày tính chất đại số, đại số Lie G tr-ờng K, phép đạo hàm đại số đồng cấu Lie 1.1 Đại số Lie Trong mục này, ta giả thiết K vành giao hoán với đơn vị G Môđun K 1.1.1 Định nghĩa.(Xem [4]) G đ-ợc gọi đại số K G đ-ợc trang bị thêm phép toán . : GG G (a,b) a.b ( Phép toán . : đ-ợc gọi lµ tÝch trong) tÝnh chÊt: * a(b + c) = ab + ac ; a,b,c G * (a + b)c = ac+ bc ; a,b,c G * ( a)b = a( b) ; a,b G, K Nh- ta ®· biÕt: NÕu tÝch cã tÝnh chÊt giao ho¸n G d-ợc gọi đại số giao hoán Nếu tích có tính chất kết hợp G d-ợc gọi đại số kết hợp Nếu ab = a,b G, ta nãi G lµ đại số tầm th-ờng 1.1.2 Ví dụ a, Ta kí hiệu L(G) tập hợp tất dạng tuyến tính môđun Ta đ-a vào L(G) phép to¸n sau: (f + g)(x) = f(x) + g(x) ; f, g L(G), x G ( f)(x) = f(x) ; f L(G), x G (f.g)(x) = f(x).g(x) ; f, g L(G), x G Khi ®ã L(G) đại số R b, Ta ký hiƯu Mn = { A/ A ma trËn vu«ng thùc cấp n} với phép toán ma trận thông th-ờng Khi Mn đại số kết hợp nh-ng không giao hoán 1.1.3 Định nghĩa (Xem [4]) Cho G đại số K G đ-ợc gọi đại số Lie tích thoả mÃn tính chất phản xứng đẳng thức Jacobi Nghĩa là: i) [x, y] = -[y, x]; x, y G ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = ; x, y, z G Chó ý: §iỊu kiƯn i cã thĨ thay thÕ b»ng [x, x] =0 ; x G 1.1.4 Nhận xét a) Mọi đại số tầm th-ờng G đại số Lie b) Cho G l mt khụng gian n - chiều trường K Cấu trúc đại số Lie G cho móc Lie cặp vectơ thuộc sở {e1, e2, , en} chọn n cho trước G sau: [ei, ej ] = c k 1 Víi x xi ei , y y j e j th× x, y i Các hệ số j c k ij k ij ,1 i j n x y e , e x y i j i j i, j i j i j k x j yi cijk ek ,1 i j n gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.1.5 VÝ dô a) Ta xét G = B ( n ) tập tất trường véc tơ khả vi G tích Lie [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( n Lie Chứng minh : Ta bit rng: B ( n ) đ-ợc trang bÞ hai phép tốn: n Ta đưa vào ) Khi G đại số (+) Phép cộng trường véc tơ Với X : p Yp , với p thuộc Xp; Y : p X + Y : p X p Y p , p n n thì: (+) Phép nhân trường véc tơ với hàm số khả vi Với X : p Xp; : p p X p ; p thì: X : p ; p n n n ( p) n , không gian vộc t trờn trng n Với hai phép toán G mô đun F( n hoán có đơn vị phép ánh xạ khả vi từ n ) ( ổ F( n ) lµ vµnh giao ) Mặt khác, dễ dàng chứng minh tích Lie [X, Y] = D X Y D Y X có tính chất song tuyến tính nên B ( n ) trở thành đại số Ở ta kiểm tra điều kiện đại số Lie Với X thuộc B ( n ), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = Với X, Y, Z thuộc B ( n ), f thuộc F( n ), xét [X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]] = X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]] Hoàn toàn tương tự ta có: [Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] [Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] Cộng vế theo vế ta có đẳng thức Jacobi Vậy G = B ( b) Không gian Hiển nhiên 3 n ) đại số Lie với tích có hướng thơng thường đại số Lie thực 3-chiều không gian vectơ trường số thực nên ta cần kiểm tra tính chất móc Lie [x, y] = x y x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3) ∈ R , λ1, λ2 ∈ R ta có: + [λ1x + λ2y, z] = (λ1x + λ2y) z = λ1x z + λ2y z = λ1[x, z] + λ2[y, z] [x, λ1y + λ1z] = x (λ1y + λ1z) = λ1x y + λ2x z = = λ1[x, y] + λ2[x, z]+ [x, x] = x x = + Sử dụng tọa độ ta có: [[x,y],z]=(x y) z = (x3y1z3 − x1y3z3 − x1y2z2 + x2y1z2,, x1y2z1 − x2y1z1 − x2y3z3 + x3y2z3,, x2y3z2 − x3y2z2 − x3y1z1 + x1y3z1) [[y,z],x]=(y z) x = (y3z1x3 − y1z3x3 − y1z2x2 + y2z1x2, y1z2x1 − y2z1x1 − y2z3x3 + y3z2x3, y2z3x2 − y3z2x2 − y3z1x1 + y1z3x1); [[z,x],y]=(z x) y = (z3x1y3 − z1x3y3 − z1x2y − 2+ z2x1y2, z1x2y1 − z2x1y1 − z2x3y3 + z3x2y3, z2x3y2 − z3x2y2 − z3x1y1 + z1x3y1) (1) Suy [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 1.1.6 Mệnh đề Tích trực tiếp hữu hạn đại số Lie đại số Lie Chứng minh Giả sử G1, G2, , Gn đại số Lie Đặt G = g1 × g2 × × gn Khi G khơng gian vectơ Ta xét: [, ] : g × g → g (X, Y ) [X, Y ] = ([X1, Y1], , [Xn, Yn]) Trong đó, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn),Xi, Yi gi, i = 1, , n ta chØ kiểm tra [.,.] ánh xạ thỏa mãn điều kiện trở thành tích Lie: + X, Y, Z ∈ G, X = (X1, ,Xn), Y = (Y1, , Yn), Z = (Z1, ,Zn), α, β ∈ K, ta có: [αX + βY,Z] = ([αX1 + βY1, Z1], , [αXn + βYn, Zn]) = (α[X1, Z1] + β[Y1, Z1], , α[Xn, Zn] + β[Yn, Zn]) = α[X, Z] + β[Y,Z] Tương tự: [X, αY + βZ] = α[X, Y ] + β[X, Z] + X ∈ G, [X,X] = ([X1,X1], , [Xn,Xn]) = + X, Y, Z ∈ G [[X, Y ], Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X], Y ] = ([[X1, Y1], Z1], , [[Xn, Yn], Zn])+([[Y1, Z1],X1], , [[Yn, Zn],Xn])+([[Z1,X1], Y1], , [[Zn,Xn], Yn]) = ([[X1,Y1],Z1]+[[Y1,Z1],X1]+[[Z1,X1],Y1], ,[[Xn, Yn], Zn]+[[Yn, Zn],Xn]+[[Zn,Xn], Yn])= (0, , 0) = 1.1.7 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử G đại số kết hợp trường K Ta đặt [a, b] = a.b b.a ; a, b G Khi G đại số Lie Chứng minh: Ở đây, ta kiểm tra tính chất phản xứng đẳng thức Jacobi cđa [,] Ta có [a, a] = a.a a.a = Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba] = abc – acb – bca + cba +bca – bac – cab +acb +cab – cba – abc + bac = Vậy G đại số kết hợp trường K, với [a, b] = ab – ba; a, b G G i s Lie 1.1.8 Mệnh đề Giả sử V không gian vec tơ K Xét tích Lie : [f,g] = f g-gf víi f,g End(V) Khi ®ã End(V) đại số Lie K ( End(V) tập tự đồng cấu tuyến tính V V) Chøng minh: End(V) víi hai phÐp toán cộng ánh xạ nhận ánh xạ với số thực thông th-ờng lập thành không gian vÐct¬ thùc [f, f] = fof – f0f = [[g, f], h] + [[f,h], g] + [[h, g], f] = gfh – fgh – hgf + hfg + fhg – hfg – gfh +ghf +hgf – ghf – fhg + fgh = 0, f, g, h End(V) Do H më, e H nªn có lân cận U e mà U H Khi U.y lân cận y H Giả sử Uy U Điều có nghÜa lµ cã z U.y, z U z u y ; u U z H y = z.u-1 ; u H, z H y H, v« lý VËy víi y H, ®Ịu ®ã Uy U = Nh- vËy G\H më, H võa më võa ®ãng G, H = G 2.2 Đại số Lie nhóm Lie 2.2.1 Định nghĩa (Xem [4]) Tr-ờng véctơ X G đ-ợc gọi tr-ờng vectơ bất biến trái nÕu: (La)* X = X, a G Ta ký hiệu Đ tập tr-ờng vectơ bất biến trái G 2.2.2 Nhận xét Mỗi tr-ờng vectơ bất biến trái hoàn toàn đ-ợc xác định giá trị đơn vị Thật theo định nghĩa th× X g, a G, ta cã: Xa =( La)* e Xe 2.2.3 VÝ dô G = Rn ( G nhóm Lie với phép cộng thông th-êng) a Rn , La: Rn Rn x a+x 26 Nh- vËy La(x1, ,xn) = (a1 + x1, , an + xn); víi x(x1, ., xn) vµ a(a1, , an) Giả sử X tr-ờng véc tơ bất biến Rn Theo định nghĩa, ta có: X a p ( La ) p ( X p ) J La p X p 1 0 X p 0 1 X p ; a R n Nh- X tr-ờng véc tơ song song Rn Nghĩa X(X1, , Xn) Xj lµ hµm h»ng j = 1, ,n 2.2.4 Định nghĩa (Xem [4]) Giả sử f: M M' ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp M' Tr-ờng vectơ X Vect M đ-ợc gọi f - liên hệ với tr-ờng vectơ X' Vect M’ nÕu: f*p (X(p)) =X'(f(p)), p M 2.2.5 Bổ đề Cho f: M M' ánh xạ khả vi từ đa tạp M đến đa tạp M', tr-ờng vectơ X f - liên hệ với tr-ờng vectơ X' Khi đó, ta có: X(gof) =(X'g)of, g F M' Chøng minh: p M vµ g FM' ta cã: ((X'g)f)(p) = (X'g)(f(p)) = X'(f(p))(g) Vì X f - liên hệ với X' nªn: 27 (1) X'(f(p))(g) = f*p(X(p))(g) = X(p)(gf) = (X(gf))(p); p M (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy X(gof) =(X'g) of, g FM' 2.2.6 Bổ đề Cho X f - liên hệ với X' Y f - liên hệ với Y' Khi ta có X,Y f liên hệ với X',Y' Chøng minh: pM vµ g FM', ta cã: (f*p([X,Y (p))) (g) = ([X,Y](p))(gof) = X(p)(Y(gof))-Y(p)(X)(gof)) = X(p)((Y'g) of))-Y(p)(X'g) of = (X(Y'g) of))-Y((X'g) of))(p) = (X((Y'g) of- Y((X'g) of))(p) = ((X'(Y'g)) of - (Y'(X'g)) of)(p) = (X'(Y'g)) of(p) -(Y'(X'g) of (p) = (X'(Y'g)) (f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (*) MỈt kh¸c ta cã: ([X',Y'](f(p)))(g) = X'(f(p))(Y'g) - Y'(f(p))(X'g) = (X'(Y'g))(f(p)) - (Y'(X'g)(f(p)) (**) Tõ (*) vµ (**) suy ra: (f*p([X,Y (p)))(g) = ([X',Y' (f(p)))(g), p M vµ g FM' Do đó, [X,Y] f - liên hệ víi [X',Y'] 2.2.7 MƯnh ®Ị TÝch Lie cđa hai tr-êng véctơ bất biến trái nhóm Lie G tr-ờng vectơ bất biến trái 28 Chứng minh: Với X, Y g ; a G, ta cã: (La )* X = X suy (La)*p (Xp) = Xq (q = La (p)) Do X La - liên hệ với X T-ơng tự Y La - liên hệ với Y Từ suy [X,Y] La - liên hệ với [X,Y] đó: (La)*p [X,Y] p = [X,Y] q VËy [X,Y] lµ tr-êng vectơ bất biến trái 2.2.8 Hệ Tập Đ tr-ờng vectơ bất biến trái G đại số đại số Lie B(G) đ-ợc gọi đại số Lie nhóm Lie G 2.2.9 Nhận xét Về ph-ơng diện không gian vectơ Đ đẳng cấu với TeG (và đẳng cấu với TpG, với p G), đẳng cấu G TeG X Xe Do ®ã, ta cã thĨ ®ång đại số Lie G với TeG, dim Đ = dim G Giả sử G nhóm Lie; a, p G, v TpG, ta ký hiÖu: a.v = (La)*p(v) ; v.a = (Ra)*p(v) 2.2.10 NhËn xÐt Nếu v vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong (t) t = to a G, a.v vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong a.(t) t = to v.a vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong (t).a t = to Thật vậy, theo định nghÜa ta suy : 29 aV ( La ) p (v) d La (t ) dt d a (t ) t0 dt t0 2.2.11 Mệnh đề Cho , v TeG c R Giả sử vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong (t) t=0, v vectơ tiếp xúc với đ-ờng cong h(t) t = Khi đó: a) + v vectơ tiếp xúc với (t).h(t) t = b) - vectơ tiếp xúc với (t) t = c) c vectơ tiÕp xóc víi (ct) t¹i t = Chøng minh : Theo định nghĩa ta có: = d ((t))t0, v = dt d (h(t))t0, dt (0) = h(0) = e Do ®ã: a) d d d (h)t0 = (0) (h(t)) t0 + ((t)) h(0)t0 = +v dt dt dt b) d d [((t)]-1t0 = -e.( ((t))t0) e-1 = - dt dt c) d d ((ct))t0 = c ((t))t0 = c. dt dt 2.2.12 MƯnh ®Ị : Cho : G K đồng cấu nhóm Lie Khi ®ã:0La = La0 Chøng minh : 30 La ( p) (a p) (a). ( p) L ( a ) ( ( p)) ( L ( a ) )( p) ; p La L ( a ) 2.2.13 Mệnh đề: Cho : G K đồng cấu nhóm Lie, kí hiệu Đ K theo thứ tự đại số Lie nhóm Lie G K Giả sử X G, Y K *e X e = Y e Khi ta cã: *a(Xa) = Y(a) ; a G Chøng minh: Ta cã Y(a) = (L (a))*e Ye' = (L (a))* (e)(*e(Xe)) = (L(a))*(e)0*e(Xe) = (L (a)0)*e(Xe) Mặt khác *a(Xa) (1) = *a((La)*e(Xe)) = *a(La)*e(Xe) Tõ (1) vµ (2) suy ra: = 0(La)*e(Xe) = (L(a)0)*e(Xe) (2) *a(X) =Y (a)' aG 2.2.14 Nhận xét: Từ mệnh đề suy X - liên hệ với Y 2.2.15 Mệnh đề Giả sử : G G tự đẳng cấu cđa nhãm Lie G Khi ®ã * : BG BG biến tr-ờng véc tơ bất biến trái thành tr-ờng vectơ bất biến trái 31 Chứng minh: Ta có La = L(a) (*) aG Đặt a=-1(b), bG Khi ta có (a) =b Thay vào (1) ta cã 0L-1(b) = 0La = L(a)0 = Lb0 Do ®ã (Lb)*( *A) = (Lb)*0*(A), a g = (Lb0)*(A) =((0L-1(b))*(A) = *((L-1(b))*(A))= *A (vì Ag) Vậy *A tr-ờng vectơ bất biến trái 2.3 Đại số Lie số nhóm Lie ma trận (Xem [4] ,[7]) Ta nhắc lại rằng: Với nhóm Lie G, ta có ánh xạ đẳng cấu từ G TeG, (G đại số Lie G TeG không gian véc tơ tiếp xúc với G phần tử đơn vị e G) Vì để mô tả đại số Lie G, ta th-ờng mô tả không gian tiếp xúc TeG cđa nã Trong mơc nµy, ta kÝ hiƯu Mn(R) không gian ma trận vuông, thực, cấp n n Ta đ-a vào Mn(R) chuẩn A = (aij ) = aij2 Khi ta có nhận i , j 1 xÐt sau : 2.3.1 NhËn xét i) Mn(R) không gian tuyến tính định chuẩn với phép toánvectơ Mn (R) phép cộng ma trận phép nhân ma trận với mét sè ii) Với X M n (R): X < ma trận A =I + X ma trận khả nghịch Xét B = I – X + X + … = (1) n X n Ta chứng minh chuỗi hội tụ n 1 Ta có: ( X m X m1 X m2 (1) k 1 X mk 1 = X m I X X (1) k 1 X k 1 32 m X (1 + X + X + … + X k 1 )= X m 1 X 1 X k Do X < B hội tụ Mặt khác ta có: AB = (I + X)(I – X + X - … ) = I (Vì X < nên X n n ) A 1 = B A khả nghịch iii) Với X M n (R): X < chuỗi Xm m! iii) Ta có: X Chuỗi X m1 (m 1)! m m! (1 X m 1 X Xn hội tụ i n! n X m k 1 (m k 1)! k 1 (m 1) (m k 1) ) m Xn hội tụ i 1 n! n 2.3.2 MƯnh ®Ị : Đại số Lie nhóm Lie Mn(R) G = R n2 Chøng minh: Nh- ta ®· biÕt G = Mn(R), G nhóm Lie với phép toán nhóm phép cộng, phần tử đơn vị ma trận 0, (e = 0) cấu trúc khả vi G cấu trúc tự nhiên Nghĩa Mn(R) ®¼ng cÊu tun tÝnh víi R n Do vËy, không gian tiếp xúc e = Rn 2.3.3 Mệnh đề: i s Lie nhóm Lie Gl(n, R) G = M n (R) Chøng minh: 33 Tõ vÝ dơ c phÇn 2.1.3, Nhãm Lie, ta ®· biÕt r»ng Gl(n, R) lËp thành nhóm Lie với phép toán nhân ma trận thông th-ờng với phần tử đơn vị e = I, (I ma trận đơn vị +) Gi s x(t) đường cong Gl(n, R) qua I Khi detx(t) 0, x(t ) = I x(t) = I + A(t) Gl(n, R); Ta có: A(t ) = d d x(t ) |t t0 = A(t ) |t t0 = A’(t ) M n (R) dt dt v T I Gl(n, R) v M n (R) T I Gl(n, R) M n (R) (1) +) Ngược lại, giả sử A M n (R) Xét đường cong x(t) = I + tA (Với t đủ nhỏ cho tA < 1) Khi ta có: x(t) Gl(n, R) d x(t ) |t 0 T I Gl(n, R) dt A T I Gl(n, R) M n (R) T I Gl(n, R) (2) Từ (1), (2) T I Gl(n, R) = M n (R) 2.3.4 MÖnh ®Ị: Đại số Lie nhóm Lie O(n): G lµ tập ma trận phản xứng a) Nhận xét: Nhóm trùc giao O(n) ®ãng Mat (n , R) XÐt ¸nh x¹ f : Mat(n , R) Mat(n , R) A = (a,j) n f hàm liên tục v× f(X) = i ; j 1 f(A) = A.A' xik xjk hàm đa thức bậc hai cđa n2 Èn A O(n) nªn f(A) = A.A' = I suy O(n) = f -1({ I }) Mà {I} đóng Mat (n , R), f ánh xạ liên tục nên O(n) đóng Mat (n , R) Vì GL (n , R) không gian tôpô Mat(n , R) với tôpô cảm sinh từ Mat(n , R) nên O(n) đóng Mat(n , R) đóng GL(n , R) Vậy O(n) nhãm ®ãng cđa nhãm Lie GL (n , R) nên O(n) 34 nhóm Lie b) Chứng minh: Đại số Lie nhóm Lie O(n): G lµ tập ma trận phản xứng Với G = O(n) = { A A.A* = I } CÊu trúc khả vi G cấu trúc cảm sinh từ R n phép nhân G phép nhân ma trận với phần tử đơn vị e = I +) Giả sử x(t) đ-ờng cong O(n), x(t) = A(t) víi A(0) = I Tõ A(t).A*(t) = I, ta suy : d ( A(t ).A (t )) |t o dt A’(0).A*(0) + A(0).A*(0) = A’(0)+ A*(0) = A’(0) ma trận phản xứng +) Ng-ợc lại, X ma trận phản xứng, ta xét đ-ờng cong x(t) = I + tX, ( víi t ®đ nhá) Khi ®ã ta cã: x(t).x*(t) = I +t2(X.X*) = I + O(t) Rõ ràng t 0, x(t) tiếp xóc víi O(n) t¹i I Hay X Te(O(n)) Nh- G tập ma trận phản xứng 2.3.5 Mệnh đế Đại số Lie nhóm Lie SL(n, R) lµ G = A trA a) Nhận xét: Nhóm tuyến tính đặc biệt G = SL(n , R) ={A A=1} lµ mét nhãm Lie XÐt ¸nh x¹ det: GL(n , R) R\{0; 1} A detA ánh xạ det liên tục Ta có: det(GL(n , R)\SL(n , R)) = R\{0, 1} lµ tËp më R Mặt khác ánh xạ det ánh xạ liên tục nên SL(n, R) đóng GL(n, R) 35 Vậy SL(n, R) nhóm đóng nhóm Lie GL(n , R) nên ta có SL(n , R) nhóm Lie b) Chứng minh: Đại số Lie cđa nhãm Lie SL(n, R) lµ G = A trA 1 a11 (t ) a1n (t ) Ta xÐt ®-êng cong x(t) = I + A(t) = a (t ) ann (t ) n1 víi aij(0) = ; i,j = 1,2, ,n Ta sử dụng khai triển Taylo đối vớicác hàm bij(t) = + aij(t) víi ®iỊu kiƯn bii(0) = 1, b’ij(t) = a’ij(t) Khi ®ã d ( A(t )) dt t 0 A (aij ) n Mặt khác, x(t) = 1, ta suy ra: aij t 0(t ) i 1 n Tõ ®ã ta cã aij i 1 VËy vect¬ tiÕp xóc víi SL(n,R) I ma trận A = (aij) với TrA = Ng-ợc lại: Giả sử X ma trËn cã TrX = Ta xÐt ®-êng cong x(t) = I + tX ; (víi t ®đ nhá) Ta cã x(t) = +t.TrX + 0(t) Khi t 0, thÊy x(t) tiÕp xóc víi SL(n,R) t¹i I Nh- ta lấy x(t) X T1SL(n,R) 2.3.6 Mệnh đề: Đại số Lie nhóm Lie Sp(2n, R) lµ: G = {A Mat(2n ,R)}\ At J+JA = 0} a) ánh xạ mũ exp : G G, với G = Gl(n,R), đ-ợc xác định : 36 x I X X2 ; 1! 2! Ta có : o Chuỗi I X X2 ; héi tô X Mn(R) 1! 2! o NÕu X.Y = Y.X th× exp(X + Y) = exp(X).exp(Y) o NÕu A = expX th× A-1 = exp(-X) o exp(X*) = (expX)* b) Cho J lµ mét ma trËn ph¶n xøng cÊp 2n: 1 0 1 1 J= 1 1 0 1 1 Ma trËn A cÊp 2n lµ ma trËn Sympletic vµ chØ At JA = J c) Nhãm Sympletic Sp (2n,R) = {A Mat (2n,R)AtJA =J} nhóm Lie Xét ánh xạ f : Mat(2n , R) Mat (2n , R) A AtJA, f ánh xạ liên tục Với A Sp (2n,R) AtJA = I nên f -1({ I }) = Sp(2n , R) đóng 37 Mat(2n , R) (vì {I} đóng Mat (2n , R), f ánh xạ liên tục) mà GL (2n, R) không gian tôpô Mat (2n, R) với tôpô cảm sinh nên Sp (2n, R) đóng GL (2n , R) VËy Sp (2n , R) lµ nhãm ®ãng cđa nhãm Lie GL( 2n , R) nªn Sp (2n , R) lµ mét nhãm Lie d) Chøng minh: Đại số Lie nhóm Lie Sp(2n, R) là: G = {A Mat(2n ,R)}\ At J+JA = 0} Gi¶ sử A = A(s) đ-ờng cong Sp(2n , R) thì: AtJA = J A(0) = I (1) dA dA JA + At J = ds ds Vi ph©n hai vÕ cđa (1) ta cã: Đặt (*) dA t = = thay s = vµo (*) ta cã: ds tJ + J = (2) Do ®ã, bÊt kú ma trËn A nhóm Lie Sp(2n, R) thoả mÃn biểu thức (2) Ng-ợc lại, giả sử (2) đ-ợc thoả mÃn nếu: dA ds và: s=0 A(s) = exp s; th×: = [A(s)]tJA(s) = (exp st) J (exp s) (3) Nh-ng theo định nghĩa J, ta có J2 = - I Do nhân hai vế (2) với J ta đ-ợc: t = JJ (4) Tõ (3) ta cã: AtJA = (exp s(JJ)) J (exp s) = (exp(-s(JJ-1)))J(exp s) = J(exp(-s))J-1J(exp s) = J Do A(s) đ-ờng cong Sp(2n , R) nên Sp(2n , R) 38 Kết luận Luận văn đà đạt đ-ợc kết sau: - Hệ thống số khái niệm đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie số ví dụ đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie Chứng minh tính chất số đại sè Lie (MƯnh ®Ị 1.1.8), ®ång cÊu Lie (MƯnh ®Ị 1.2.5), phép đạo hàm đại số Lie (Mệnh đề 1.3.9) - Hệ thống số khái niệm vµ chØ mét sè vÝ dơ vỊ nhãm Lie Chứng minh đ-ợc số tính chất nhóm Lie (MƯnh ®Ị 2.1.4, MƯnh ®Ị 2.1.8, MƯnh ®Ị 2.1.9) - Trình bày khái niệm tr-ờng véctơ bất biến phải, tr-ờng véctơ bất biến trái, đồng đại số Lie với TeG từ đ-a khái niệm đại số lie nhóm Lie Chứng minh số tính chát đại số Lie cđa nhãm Lie (MƯnh ®Ị 2.2.11, MƯnh ®Ị 2.2.12, Mệnh đề 2.2.13) - Trình bày đại số Lie nhóm Lie ma trận: o Đại số Lie cđa nhãm Mn(n, R) lµ: G = R n2 o Đại số Lie nhóm Lie GL (n, R) là: G= o Đại số Lie nhóm Lie O(n, R) là: G M n (R) tập ma trận phản xứng o Đại số Lie nhóm Lie SL(n, R) lµ G = A trA o Đại số Lie nhóm Lie Sp (2n, R) lµ: 39 G = {A Mat(2n ,R)}\ At J+JA = 0} TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học – Tơpơ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hồng Phương (2004), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý lượng tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [6] Nguyễn Thị Huệ (2010), ánh xạ đạo hàm đại sè lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications 40 ... Đại số Lie nhóm Lie ma trận Bài toán đặt trình bày đại số Lie số nhóm Lie ma trận Nội dung chủ yếu luận văn tập hợp cách hệ thống, trình bày chứng minh chi tiết đại số Lie, đại số Lie nhóm Lie. .. II Đại số Lie nhóm Lie ma trận Trong ch-ơng này, trình bày định nghĩa tính chất nhóm Lie, đại số nhóm Lie Đặc biệt đại số Lie nhóm Lie ma trận 2.1 Nhóm Lie Trong mục hệ thống lại khái niệm nhóm. .. thống số khái niệm đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie số ví dụ đại số Lie, đồng cấu Lie, phép đạo hàm đại số Lie Chứng minh tính chất số đại số Lie (Mệnh đề 1.1.8), đồng cấu Lie
Ngày đăng: 03/10/2021, 12:21
Xem thêm:
