Dạng killing trên đại số lie nửa đơn

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh lăng thị cờng dạng killing đại số lie nửa đơn Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Chƣơng Đại số Lie nửa đơn I Đại số Lie nửa đơn II Đại số Lie đơn 11 III Ánh xạ ad 13 Chƣơng Dạng Killing đại số Lie nửa đơn I Vết ánh xạ tuyến tính 18 II Dạng Killing 21 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 LỜI MỞ ĐẦU Vào cuối kỷ 19 cơng trình Xôphux Lie ( 1842-1899) Phêlix Klein (1849-1925) xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp xem cơng trình mở đầu lý thuyết , lý thuyết nhóm Lie đại số Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chun ngành Hình học –Tơpơ ,Giải tích Đại số Do đại số Lie phận toán học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều lý thuyết hệ động lực , vật lý lượng tử ngành khác tốn học Đặc biệt xem công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Hiện lý thuyết đại số Lie trình bày tài liệu viết nhà toán học tiếng Serre , Helgason , phần mở đầu đựoc trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chun ngành Hình học-Tơpơ trường đại học Đại số Lie nửa đơn nội dung quan trọng đại số Lie , luận văn chúng tơi trình bày cách chi tiết có hệ thống kiến thức đại số Lie nửa đơn , sâu vào nghiên cứu dạng Killing đại số Lie nửa đơn Do chúng tơi chọn tên đề tài là: Dạng Killing đại số Lie nửa đơn Nội dung luận văn trình bày hai chương : Chƣơng 1: Đại số Lie nửa đơn Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất đại số Lie nửa đơn, đại số Lie đơn Đặc biệt trình bày chi tiết tính chất ánh xạ ad Chương chia làm ba phần: I Đại số Lie nửa đơn II Đại số Lie đơn III Ánh xạ ad Chƣơng 2: Dạng Killing đại số Lie nửa đơn Chương nội dung luận văn với việc trình bày khái niệm tính chất dạng Killing đại số Lie nửa đơn Chương chia làm hai phần: I Vết ánh xạ tuyến tính II Dạng Killing Luận văn hoàn thành khoa Sau đại hoc Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường Đại học Vinh tác giả nhận quan tâm, bảo giúp đỡ tận tình thầy, thuộc khoa Tốn khoa Sau đại học, đặc biệt thầy giáo tổ Hình học, người trực tiếp giảng dạy hướng dẫn tác giả hoàn thành khoá học luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy cô Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn tới cán bộ, giáo viên trường THPT Hà Huy Tập, tập thể lớp Cao học 16 chun ngành Hình học- Tơpơ, gia đình , bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả CHƢƠNG ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN Trong chương này, ta ln giả thiết K trường có đặc số G đại số Lie hữu hạn chiều K I Đại số Lie nửa đơn 1.1.1 Định nghĩa Một đại số Lie G gọi nửa đơn G khơng có Iđêan giao hốn khác 1.1.2 Ví dụ 1)Ta xét G  R với a, b tích có hướng véctơ a b Khi khơng gian R3 trở thành đại số Lie nửa đơn Thật vậy: Như ta biết R3 đại số Lie trường R  Giả sử I Iđêan giao hốn khác R 3, ta có:  a  I ,    b  I     a, b   a  b  Từ tính chất tính có hướng suy a , b phụ     thuộc tuyến tính hay b  k a k  R  Do I Iđêan R3 nên    a, x   a  x  I ,  x  R           Ta chọn x  R3 cho x  , x  I  x  R  Khi         m a, xa x a     hay m  I suy vô lý   a b  2) Cho G       c a  a , b , c  R  Khi G đại số Lie nửa đơn Chứng minh  Trước hết ta chứng minh G đại số Lie M n  R  Ta chứng minh G khép kín với phép toán  x y  a b    G ; B     G Khi ta có: Gỉa sử A   z  x c  a      kx ky    G   k  R ; k A    kz  kx  yb  xa  A  B    z  c x  a   A , B   AB  BA    G   x y   a b  a b     _   z  x c  a c  a       x y   z  x    a x  cy b x  a y   a x  b z a y  b x         az  cx bz  a x   c x  a z c y  a x   c y  b z 2b x  2a y   G    2a z  2c x b z  c y   Bây ta chứng minh G nửa đơn Giả sử G không nửa đơn, tức G có chứa Iđêan I giao hốn khác Khi  A  I , A  ,  B  I :  A , B   AB  BA  Suy B  k.A  k R  Do I Iđêan G nên  X  G : X , A  I  0  0   A    với c Chọn B   1  c 0 1   Khi chọn X     G thì:   1 X , A   XA  AX 1    0   0  1            1  c   c    1  c   I  2c   Vô lý Vậy G nửa đơn  Bây ta xét Iđêan giải G: 1.1.3 Bổ đề Trong đại số Lie G tồn Iđêan giải cực đại ( theo nghĩa bao hàm) Chứng minh Nhận thấy I = {0} Iđêan giải G Giả sử M, N hai Iđêan giải G Khi M+N Iđêan giải G Thật vậy, xét ánh xạ  : N  M   N  M  / M đồng cấu tự nhiên Khi đó:   N    N  M  / M ker  / N  N  M Rõ ràng  N  M  / M  N /  N  M  Vì N  M giải nên đại số thương N /  N  M  giải được, suy (N+M)/M giải Mặt khác M giải nên ta suy N + M giải Do G hữu hạn chiều nên ta thấy G tồn Iđêan giải cực đại 1.1.4 Định nghĩa Một Iđêan giải lớn G gọi Radican G 1.1.5 Nhận xét G nửa đơn radican G Chứng minh : +)Trước hết ta chứng minh G đại số Lie nửa đơn radican G Thật vậy, ta đặt radican G r Nếu r  DGK   DGk 1; DGk 1  ; ; DG0  r n 1 Vậy D G Iđêan G    D Gn  D G (n 1) Iđêan giao hốn khác G, điều vơ lý G nửa đơn +) Giả sử r  ta chứng minh G đại số Lie nửa đơn Thật vậy, giả sử G không đại số Lie nửa đơn tức G chứa Iđêan giao hoán N  Như ta biết Iđêan giao hoán giải Vậy N giải Ta suy r  ; điều vô lý Từ nhận xét ta thấy rằng: lớp đại số Lie giải lớp đại số Lie nửa đơn hai lớp khác tập hợp tất đại số Lie K  Giả sử G đại số Lie, N Iđêan G  Xét G / N  x  x  N  x  G Các phép toán G/N xác định: +) x  y  (x  N )   y  N    x  y  N +)  x   x  N  +)   x, y    x, y   N 1.1.6 Nhận xét G/N với phép toán đại số Lie ( G/N gọi đại số Lie thương G) Thật vậy: +) dễ thấy G/N đại số +) Tính phản xứng: x  x  N  G / N ta có:  x, x    x  N , x  N    x, x   N  N   +)  x  x  N ; y  y  N ; z  z  N thuộc G/N ta có:  x,  y, z     x  N ,  y  N , z  N         x  N , y  z   N     x,  y  z    N  z, x  Tương tự :  y,   y  N ,  z  N , x  N          y,  z  x  N  z,  x, y     z  N ,  x  N , y  N         z ,  x  y  N Từ ta có:  x,  y, z   +  y,  z, x   +  z,  x, y   = N       Vậy G/N đại số Lie 1.1.7 Mệnh đề (Xem [3]) Giả sử G đại số Lie N radican G đại số thương G/N nửa đơn Chứng minh Gọi  : G  G / N phép chiếu tự nhiên Gọi S Iđêan khác không, giải G/N Đặt S   1 (S) Từ ( N)  nên N  S Đại số S N N giải  S giải chứa N Điều mâu thuẫn với N cực đại Do S = 0, nghĩa G/N khơng chứa Iđêan giao hốn khác nên G/N nửa đơn  Giả sử G1, G2 đại số Lie Ta ký hiệu G  G1  G2    g1, g2  / g1  G1; g  G2  phép toán G xác định sau :   Phép cộng : x  G , yG  x  y  g1  g1' ; g  g '2 với ' ' g1 , g1  G1 ; g , g  G Phép nhân :  xG, kK ta có kx  kg1 , kg   Tích Lie :  x, y    g1, g '1  ,  g , g 2'   Khi G đại số Lie 1.1.8 Mệnh đề Nếu G1, G2 đại số Lie nửa đơn thì: G  G1  G2    g1, g  g1  G1; g  G2  đại số Lie nửa đơn Chứng minh Trước hết ta chứng minh G đại số Lie +) Tính phản xứng: x , x    g1 , g1  ; g , g   0 , 0 ,  x  G +) Đẳng thức Jacôbi: 10    x , y , z  G ta có :  x ,  y , z    x ,  g1' , g1"  ,  g 2' , g 2''     = Tương tự :   g 1;   g1' , g1"   ,  g ,  g 2' , g 2''        y , z , x    g1;'  g1" , g1   ,  g 2' ,  g 2'' , g         z , x , y    g1'' ;  g1 , g1'   ,  g 2'' ,  g , g 2'         Suy : x , y , z  y , z , x  z , x , y    g ,  g , g     g ,  g , g     g ,  g , g   ;  g ,  g , g     g ,  g , g     g ,  g , g    ' '' ' '' 1 '' 1 ' ' '' ' '' 2 ''   0,0  G1, G2 đại số Lie nửa đơn +) Bây ta chứng minh G nửa đơn Giả sử G có chứa Iđêan giao hốn khác khơng : A    a1 , a2  a1G1 , a2  G2  Đặt A1   a1 A2   a2  a1 , a2   A   a1 , a2   A  Khi  a1  A1 ,  g1  G1 Xét g1 , g   G có: a1 , a ; g1 , g   A A Iđêan G   a1 , g1  ;  a2 , g   A   a1 , g1   A  g1  G1 Mặt khác : A Iđêan giao hốn khác khơng G nên  x , y    x  A     a1, a2  , a1' , a2'    a1 , a1'  A; a2 , a2'  A       a1, a1'  ; a2 , a2'    a1, a1'    a1 , a1'  A1 ' 21 Gọi P ma trận chuyển từ sở ei  ; i  1, n sang sở i  ; i  1, n Khi ta có: B  P A.P 1 Suy ra: Tr B = Tr ( P A.P 1 ) = Tr ( A.P.P 1 ) = Tr A Vậy vết ánh xạ tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn sở II Dạng Killing 2.2.1 Định nghĩa Giả sử G đại số Lie trường K Ánh xạ : k:GxG  K (x ; y)  Tr ad x ad y  gọi dạng Killing G Từ ta kí hiệu dạng Killing k(x;y) = x y 2.2.2 Nhận xét (Xem [4]) Với x; y;z  G,   K ta có: 1) x y = y x 2)  x  y    xy  3) (x+y) z = x z + y z Chứng minh: 1)   Tr  ad  ad  Ta có: xy  Tr ad x ad y y x  yx 2)  x  y  Tr  ad x  ad y   ad y     xy   Tr  ad x ad y   Tr ad x 3)  ( x  y ) z  Tr ad x y ad z  22   Tr  ad x ad z   Tr ad y ad z   xz  yz 2.2.3 Mệnh đề (Xem [8]) Cho G đại số Lie , x, y, z  G , ta có: ad x  y .z  y.ad x  z   Chứng minh:  ad x  y .z   x, y .z   Tr ad x , y  ad z     Tr ad x ad y  ad y ad x ad z      Tr ad x ad y ad z  Tr ad y ad x ad z   y.ad x  z   y. x, z    Tr ad y ad x , y     ad xad z  ad z ad x   Tr  ad y ad x ad z   Tr  ad y  Tr ad y ad z ad x   ad x  y .z  y.ad x z     Tr ad x ad y ad z  Tr ad y ad z ad x   Tr ad x  ad y ad z   Tr  ad y ad z   ad x  0 2.2.4 Định lý Cartan (Xem [4]) Điều kiện cần đủ để đại số Lie G nửa đơn dạng Killing xác định G không suy biến Chứng minh:  Giả sử G nửa đơn , ta xét : N  x k  x, y   0, y  G  x xy  0, y  G 23 Dễ thấy N không gian vectơ G Ta cần chứng minh N Iđêan G Thật , x  N , g  G, y  G ta có: ad g  x  y  x.ad g  y     g , x  y  x. g , y     g , x  y   x. g , y  Mà x.[g,y] =0 x thuộc N   g , x  y    g , x   N , g  G Suy N Iđêan G Mặt khác G nửa đơn N=0 Vậy dạng Killing xác định G không suy biến  Ngược lại : cho dạng Killing k xác định G không suy biến tức N=0 , ta cần chứng minh G nửa đơn Iđêan giao hoán G  Giả sử G không nửa đơn , gọi I Iđêan giao hốn G , a  I x, y  G ta có:  a ,  x ,  a ,  x, y           ad a  x,  a,  x, y      ad a ad x   y   ad a ad x  0, x  G  a.x  0, x  G Vì dạng Killing xác định G không suy biến nên suy a=0 I 0 Vậy G nửa đơn 24   2.2.5 Mệnh đề Giả sử e1, ,en sở đại số Lie G   Aij  Tr adei ade j Khi G nửa đơn A  ( với A=  Aij  ) Chứng minh Theo định lý 2.2.4 ta có :     G nửa đơn  x Tr ad x ad y  0; y  G    x  x   x* A y   0; y  G   x  xi   x* A  i  A 0 2.2.6 Ví dụ Xét G = với  x, y   x  y tích có hướng hai vectơ x y Giả sử e1; e2 ; e3 sở tắc  A11  Tr ade1 ade1 Ta có : Mà  ad  ad  ad Tìm A =  Aij    ade1  e1   e1   e1  e1   e1    e   e  e  e   e e1 ade1  e2   e1   e1  e2   e2 e1 ade1 1 3 0 0  ade1 M = 0 1  0 1  Ma trận ánh xạ ade1  A11  2  A12  Tr ade1 ade2   ad   e   e  e Ta có: ade1 ade2  e1   e1   e2  e1   e2 e1 ade2 2  e2   25  ad e1  ade2  e3   e1   e2  e3   0 1  ade2 M = 0 0    0 0   Ma trận ánh xạ ade1  A12   A13  Tr ade1 ade3  ad  ad  ad   e   e  e  e   e   e  e  e   e1 ade3  e1   e1   e3  e1   e1  e2  e3 e1 ade3 e1 ade3 3 3  Ma trận ánh xạ ade1 0  ade3 M = 0 0    0 0   A13   A21  Tr ade2 ade1  ad  ad  ad   e2 ade1  e1   e2   e1  e1   e2 ade1  e2   e2   e1  e2   e1 e2 ade1  e   e  Ma trận ánh xạ ade2  A21   A22  Tr ade2 ade2    e1  e3   0 0 ade1 M = 1 0    0 0  26   ad  ad  e   e  e  e     e   e  e  e   e Ta có: ade2 ade2  e1   e2   e2  e1   e1 e2 e2 ade2 ade2 2 2 3  Ma trận ánh xạ ade2 ade2 là:  1 0    M5 = 0    0 1  A22  2  A23  Tr ade2 ade3  ad  ad  ad   e   e e   e e2 ade3  e1   e2   e3  e1   e2 ade3 e2 ade3 2   e3  e2   e3   e3  e3   0 0 ade3 M = 0    0 0   Ma trận ánh xạ ade2  A23   A31  Tr ade3 ade1 Ta có:  ad  ad  ad   e   e  e  e   e   e  e  e   e e3 ade1  e1   e3   e1  e1   e3 ade1 e3 ade1 3 3  Ma trận ánh xạ ade3 0 0 ade1 M = 0 0    1 0  27  A31   A32  Tr ade3 ade2   ad  ad   e   e  e e   e  e Ta có: ade3 ade2  e1   e3   e2  e1   e3 ade2 e3 ade2  e2   3  e3   e2 0 0 ade2 M = 0 0    0   Ma trận ánh xạ ade3  A32   A33  Tr ade3 ade3   ad  ad     e   e  e  e   e e   e  e  e   Ta có: ade3 ade3  e1   e3   e3  e1   e1 e3 ade3 e3 ade3 3 3 3  Ma trận ánh xạ ade3  1 0  ade3 M =  1     0   A33  2  2 0  Vậy A   2     0 2  2.2.7 Mệnh đề Giả sử G đại số Lie nửa đơn , D ánh xạ đạo hàm G Xét ánh xạ : f :G  K x  Tr  ad x D  Khi ta có: 28 1) f ánh xạ tuyến tính 2) Mỗi ánh xạ f tồn x  G cho : f  y   x y Chứng minh 1) Với x, y  G,  K ta có:  f  x  y   Tr ad x y  D    Tr ad x D  ad y D   f  x  f  y f  x   Tr  ad x D   Tr  ad x D    Tr  ad x D    f  x 2)Giả sử e1, e2 , , en  sở G Khi với ta có : y  y e j j j  f  y   y f  e    y a j j j j j j   ( với a j  f e j )  Giả sử có x  xi  : x y  Tr ad x ad y   Tr      i  x y Tr  ad   A x y  i j i, j ij i i, j ( với   Aij  Tr adei ade j )  xi ad ei j j ei  y j ad e j    ad e j  29 Do f  y   x y  a y   A x y j j j     j i ij i j  Aij xi  a j  y j  0; y j     A x a  ij i i, j j  0; j i Vì G nửa đơn nên Aij  (áp dụng 2.2.5) , suy tồn  xi  2.2.8 Định lý (Xem [5]) Mọi ánh xạ đạo hàm đại số Lie nửa đơn ánh xạ ad Chứng minh Ta xét ánh xạ tuyến tính:  :G  K x   x   Tr (ad x D) Ta thấy   G , G khơng gian đối ngẫu hàm tuyến tính xác định G , D ánh xạ đạo hàm tuỳ ý G Vì dạng Killing xác định G không suy biến nên với x  G ta ln tìm phần tử a G xác định , thoã mãn đẳng thức: a.x  Tr (ad x D) Đặt E = D- ad a Ta có: Tr (ad x E )  Tr (ad x D)  Tr (ad x ada )  a.x  x.a   Tr  ad x E   0, x  G Bổ đề: Chứng minh ad E x    ad x , E  Ta có: ad E x   ad D x  x,a 30  ad D x   ad x ,a    ad x , D    ad x , ad a    ad x , D  ad a    ad x , E  Khi x, y  G ta có: Ex y  Tr (ad Ex ad y )  Tr  ad x , Ex  ad y  Tr  ad x Ex ad y  E.ad x ad y    TrEx ad y ad x  ad x ad y   TrEx ad x , y   0, y  G Vì dạng Killing xác định G không suy biến nên phải có : Ex  , x  G E 0 Mà E = D- ad a nên D  ad a với ánh xạ đạo hàm D G Vậy ánh xạ đạo hàm đại số Lie nửa đơn ánh xạ ad 2.2.9 Mệnh đề (Xem [4]) Mọi đẳng cấu Lie  : G  G bảo tồn dạng Killing (Nghĩa x.y=  (x)  (y) ) Chứng minh Giả sử  đẳng cấu Lie , x, y  G ta có:    x .  y   Tr ad  x  ad  y     Tr  ad x  1  ad y  1   Tr ad x ad y = x.y   ( Do tính chất hai ma trận đồng dạng) 31 2.2.10 Mệnh đề Giả sử G đại số Lie nửa đơn , N Iđêan G Ta ký    hiệu : N  x  G x y  0, y  N Khi đó: 1) N  Iđêan G 2) 3) G  N  N N, N      4) Nếu I Iđêan N I Iđêan G Chứng minh 1) Dễ thấy N  không gian vectơ G Ta có:  g , x y  x. g , y   0, x  N  ; g , y  G   g , x  y   x. g , y  Mà x.[g,y] = nên [g, x].y = Suy ra:  g , x  N  , x  N  , g  G  N  Iđêan G 2) Đặt A  N  N  Ta chứng minh A Iđêan N Thật , với g  G ta có: Suy ra: x  A  x  N , x  N  mà N N  Iđêan G nên  x, g   N  x, g   N   x, g   A Vậy A Iđêan G  A Iđêan N   Ta có : A  x  G x y  0, y  N Theo tiêu chuẩn Cartan ta có A giải N , mà A Iđêan G suy A= G nủa đơn Vậy N  N   Từ ta có G  N  N  3)Theo chứng minh ta có : G  N  N   N  N   32   Giả sử y   N , N   y   a, b, a  N , b  N Khi đó:  a, b.n  b. a, n  0, n  N Mà ta có:  a, n  N  b. a, n    a, b .n  0, n  N   a, b   N  1  a, b.m  b.a, m  0, m  N  Mà [a,m] =0 , m  N    a, b.m    a, b  N   Từ (1) , (2) N  N   ta suy  N , N    4) Do G  N  N  nên với g  G Khi đó: y  I thì g  g1  g2 ; g1  N , g2  N   y, g    y, g1  g2    y, g1    y, g   Do I  N   y, g2   0, g  N  y, g1   I ( Vì I Iđêan N )   y, g   I , g  G  I Iđêan G 2.2.11 Nhận xét (Xem [2]) Mọi đại số Lie nửa đơn G phân tích thành tổng trực tiếp đại số Lie đơn trực giao đôi ( trực giao theo dạng Killing ) phân tích Chứng minh +) Nếu G đại số Lie đơn G   A ; A đại số Lie đơn  ( xem [4] ) 33 +) Nếu G không đơn , giả sử N Iđêan khác G , theo định lý 2.2.10 ta có G  N  N  N N  Iđêan G  N , N    0; N N   Ta thấy N N  nửa đơn   Thật : giả sử N không nửa dơn ta suy N chứa Iđêan giao hoán M khác  M Iđêan giao hoán G  vô lý Nếu N N  chưa đơn ta tiếp tục q trình phân tích ta đựoc : G  N1  N   N k ,  Ni , N j   0, i, j  1, k Ni N j  0, i  j  Chứng minh phân tích Gỉa sử M1  M   M s phân tích khác G thành Iđêan đơn Nếu M t khác N i (i= 1, ,k) :  M t , Ni   M t  Ni  nghĩa M t thuộc tâm G nên M t =0 ( G nửa đơn ) k Vậy G   Ni i 1 KẾT LUẬN Trong luận văn đạt số kết sau: - Hệ thống khái niệm đại số Lie nửa đơn , đại số Lie đơn , ánh xạ ad - Phát biểu chứng minh hệ 1.3.6; 1.3.7 bổ đề 1.1.3 - Chứng minh chi tiết mệnh đề đại số Lie nửa đơn ( mệnh đề 1.1.7; mệnh đề 1.1.8 - Hệ thống tính chất dạng Killing 34 - Chứng minh chi tiết mệnh đề 2.2.3 ; định lý 2.2.4; định lý 2.2.8; mệnh đề 2.2.9 - Phát biểu chứng minh chi tiếtcác mệnh đề 2.2.5;mệnh đề 2.2.7; mệnh đề 2.2.10 Trong thời gian tới dự kiến tiếp tục nghiên cứu dạng Killing đại số Cartan TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng cao học , Tài liệu lưu hành Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng(1995), Đaị số Lie , Bài giảng chuyên đề cao học chun ngành hình học –Tơpơ, Đại học Vinh [3] Trần Huy Hưng , Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ tốn học , chun ngành Hình học-Tơpơ, năm 2006, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005) , Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh 35 [5] Alexey Bolsinov (2007) , Semisimple Lie algebras, Loughborough University [6] Arthur A.Sagle and Ralph E.Walde (1973) , Introduction to Lie groups and Lie algebras, New york [7] Brian C.Hall (2004); Lie groups ,Lie algebras and representations: an elementary introduction; Notre Dame , USA [8] Nathan Jacobson, (1962), Lie algebras, 180 varick street, New York [9] Serre (1965), Lie Algebras and Lie groups, Benjamin, Newyork ... Chƣơng Đại số Lie nửa đơn I Đại số Lie nửa đơn II Đại số Lie đơn 11 III Ánh xạ ad 13 Chƣơng Dạng Killing đại số Lie nửa đơn I Vết ánh xạ tuyến tính 18 II Dạng Killing. .. I Đại số Lie nửa đơn II Đại số Lie đơn III Ánh xạ ad Chƣơng 2: Dạng Killing đại số Lie nửa đơn Chương nội dung luận văn với việc trình bày khái niệm tính chất dạng Killing đại số Lie nửa đơn. .. là: Dạng Killing đại số Lie nửa đơn Nội dung luận văn trình bày hai chương : Chƣơng 1: Đại số Lie nửa đơn Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất đại số Lie nửa đơn, đại số Lie đơn