Về phép đạo hàm trên đại số banach và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Mở đầu phép đạo hàm đại số đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Phép đạo hàm đại số 1.3 Một số kết đại số Banach 11 Tính liên tục đạo hàm đại số Banach giao hoán ứng dụng 18 2.1 Tính liên tục đạo hàm đại số Banach giao hoán 18 2.2 Một vài ứng dụng Kết luận 27 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Một ánh xạ D từ đại số A vào gọi phép đạo hàm D ánh xạ tuyến tính D(ab) = D(a)b + aD(b) với a, b ∈ A Phép đạo hàm đại số tổng qt có vai trị quan trọng việc nghiên cứu cấu trúc Lý thuyết đại số Banach lĩnh vực quan trọng Tốn giải tích Nó có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều chuyên ngành toán học, đặc biệt ứng dụng nghiên cứu giải tích phức, đại số đều, lý thuyết toán tử, Đại số Banach lớp đại số đặc biệt, có cấu trúc giải tích tương thích với cấu trúc đại số Một tự nhiên nghiên cứu phép đạo hàm đại số Banach Singer Wermer đề xuất vào năm 1955 (xem [8] ) Khi đó, tác giả chứng minh rằng: tập giá trị phép đạo hàm liên tục đại số Banach giao hốn ln nằm đại số Câu hỏi đặt liệu kết luận cịn bỏ tính liên tục phép đạo hàm? Năm 1988 Thomas cơng trình cơng bố tạp chí tiếng Annals of Mathematics (xem [6]) trả lời khẳng định cho câu hỏi trên, từ suy đạo hàm đại số Banach giao hốn nửa đơn ln liên tục Đối với đại số Banach khơng giao hốn đến có câu trả lời phận Nghiên cứu đạo hàm đại số Banach vấn đề thú vị cịn nhiều tốn mở liên quan Nhằm tìm hiểu phép đạo hàm đại số Banach, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về phép đạo hàm đại số Banach ứng dụng Nội dung luận văn nghiên cứu phép đạo hàm đại số phức, tính liên tục phép đạo hàm đại số Banach giao hoán vài ứng dụng Ngồi việc trình bày khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết kết có tài liệu, chúng tơi đề xuất số kết tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hốn dựa phép tính hàm biến đại số Banach giao hoán trình bày [3] Chúng tơi đưa số ví dụ minh họa cho kết Các nội dung luận văn trình bày chương: Chương Mở đầu phép đạo hàm đại số đại số Banach Nội dung chương trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích phức đại số cần dùng sau; khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất phép đạo hàm đại số phức; khái niệm, ví dụ kết đại số Banach giao hốn Chương Tính liên tục đạo hàm đại số Banach giao hoán ứng dụng Chương nghiên cứu tính liên tục phép đạo hàm đại số Banach giao hoán vài ứng dụng Đầu tiên, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết kết Wermer Singer tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hốn Sau đó, chúng tơi đề xuất chứng minh số tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hoán đa thức, phân thức hàm chỉnh hình phép tính hàm biến đại số Banach giao hốn Cuối cùng, chúng tơi trình bày hai ứng dụng phép đạo hàm liên tục chứng minh điều kiện đủ để phần tử đại số ánh xạ tuyến tính liên tục lũy linh tổng quát chứng minh kết tiếng Shilov không tồn chuẩn đại số hàm khả vi cấp đoạn để trở thành đại số Banach Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm Tốn học cảm ơn thầy, giáo Bộ mơn Giải tích, Khoa Sư phạm Tốn học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp Tổ Tốn Trường THPT Trần Hưng Đạo, Quận Gị Vấp, Thành phố Hồ Chí Minh giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hồn thành khóa học Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích Trường Đại học Sài gịn cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hồn thiện Nghệ An, tháng năm 2015 Vũ Hoàng Vũ CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN CÁC ĐẠI SỐ VÀ ĐẠI SỐ BANACH Trong chương này, mục đầu chúng tơi trình bày số kiến thức chuẩn bị giải tích phức đại số cần dùng sau Trong mục chúng tơi trình bày khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất phép đạo hàm đại số phức; khái niệm, ví dụ kết đại số Banach giao hoán 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục chúng tơi trình bày số kết mở đầu giải tích phức đại số cần dùng sau Các kết trích từ [2] Cho Ω tập mở C Ta ký hiệu H(Ω) tập hợp tất hàm chỉnh hình Ω Với tập X ⊂ C ta ký hiệu C(X) tập hợp hàm liên tục X Các kết đặc sắc sau thuộc lý thuyết Cauchy hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Định lý Nếu Ω miền đơn liên C f ∈ H(Ω) f (z)dz = 0, γ với đường cong Jordan đóng, trơn khúc γ ⊂ Ω Kết cho trường hợp miền đa liên, chí thực hành dùng mức độ tổng quát 1.1.2 Định lý Nếu Ω ⊂ C miền bị chặn cho ∂Ω (biên miền Ω) hợp hữu hạn đường cong Jordan trơn khúc f ∈ H(Ω) ∩ C(Ω) f (z)dz = ∂Ω Sau cơng thức tích phân Cauchy 1.1.3 Định lý Cho D ⊂ C miền đơn liên bị chặn cho ∂D đường cong Jordan trơn trơn khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) f (z) = 2πi ∂D f (t) dt, t−z với z ∈ D Chú ý cơng thức tích phân Cauchy cho miền đa liên Cụ thể hơn, biên ∂D D có dạng ∂D = γ0 ∪ γ1− ∪ ∪ γn− 2πi = 2πi f (z) = f (t) dt ∂D t − z f (t) dt − 2πi γ0 t − z γ1 f (t) dt − − t−z 2πi γn f (t) dt, t−z với z ∈ D Cơng thức thức tích phân Cauchy cịn có dạng biểu diễn cho đạo hàm hạng cao 1.1.4 Định lý Cho D ⊂ C miền đơn liên bị chặn cho ∂D đường cong Jordan trơn trơn khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) f (n) (z) = n! 2πi với z ∈ D n = 0, 1, 2, ∂D f (t) dt, (t − z)n+1 1.1.5 Định nghĩa Cho Ω ⊂ Cn Dãy hàm {fn } ⊂ C(Ω) gọi hội tụ tập compact tới hàm f ∈ C(Ω) với tập compact K⊂Ω sup |fn (z) − f (z)| → z∈K n → ∞ Kết sau định lý Weierstrass dãy hàm chỉnh hình 1.1.6 Định lý Nếu {fn } ⊂ H(Ω) {fn } hội tụ tập compact Ω tới hàm f f ∈ H(Ω) Định lý sau kết tiếng Runge xấp xỉ hàm chỉnh hình 1.1.7 Định lý Nếu f ∈ H(Ω) f xấp xỉ tập compact Ω dãy hàm hữu tỷ cực điểm Ω Đặc biệt, C \ Ω liên thơng f xấp xỉ tập compact Ω dãy đa thức 1.1.8 Định nghĩa Một đại số phức A không gian véctơ A trường C với phép nhân A thoả mãn điều kiện: 1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A; 3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C 1.2 Phép đạo hàm đại số Mục nghiên cứu khái niệm, ví dụ chứng minh chi tiết số tính chất phép đạo hàm đại số phức 1.2.1 Định nghĩa ([8]) Cho A đại số phức Phép đạo hàm D A ánh xạ tuyến tính D : A → A thỏa mãn D(ab) = D(a)b + aD(b) với a, b ∈ A Sau số ví dụ phép đạo hàm đại số 1.2.2 Ví dụ Cho giả sử A = P (R) đại số đa thức R, với phép toán cộng nhân đa thức thông thường Trên P (R) ta xác ánh xạ xác định D(p) = p p đạo hàm theo nghĩa thông thường đa thức p Khi đó, D phép đạo hàm P (R) Thật vậy, từ tính chất quen thuộc (p + q) (x) = p (x) + q (x), (λp) (x) = λp (x) (pq) (x) = p (x)q(x) + p(x)q (x) với x ∈ R, đạo hàm theo nghĩa thơng thường ta có D tuyến tính D(pq) = D(p)q + pD(q) với P (R) Tổng qt ta có ví dụ sau 1.2.3 Ví dụ Xét C ∞ ((a, b)) đại số hàm khả vi cấp (a, b) với phép tốn cộng, nhân vơ hướng nhân theo điểm thơng thường Khi đó, Trên C ∞ ((a, b)) ta xác ánh xạ xác định D(f ) = f f đạo hàm theo nghĩa thơng thường f Khi đó, D phép đạo hàm C ∞ ((a, b)) Sau ví dụ quen thuộc phép đạo hàm 1.2.4 Ví dụ Giả sử A đại số phức a ∈ A Xét ánh xạ Da (b) = ab − ba với b ∈ A Khi đó, D phép đạo hàm A Thật vậy, với b, c ∈ A λ ∈ C, từ tính chất phép tốn đại số phức ta có Da (b + c) = a(b + c) − (b + c)a = ab − ba + ac − ca = Da (b) + Da (c) Da (λb) = a(λb) − (λb)a = λ(ab) − λ(ba) = λ(ab − ba) = λDa (b) Suy Da tuyến tính Nhờ tính kết hợp phép nhân, ta có Da (bc) = a(bc) − bc(a) = (ab)c − b(ca) Da (b)c + bDa (c) = (ab − ba)c + b(ac − ca) = (ab)c − b(ca) Do Da (bc) = Da (b)c + bDa (c) Vì vậy, Da phép đạo hàm A Chú ý rằng, đại số A giao hoán Da với a ∈ A Sau trường hợp đặc biệt ví dụ vừa trình bày 1.2.5 Ví dụ Xét Mn (C) đại số ma trận vng cấp n × n với phần tử phức Với phép tốn cộng, nhân thơng thường ma trận Mn (C) đại số phức Khi đó, với A ∈ Mn (C) ánh xạ DA (B) = AB − BA với B ∈ Mn (C) phép đạo hàm Mn (C) Phép đạo hàm gọi đạo hàm Lie Mn (C) 1.2.6 Ví dụ Trong C3 ta xét tích Lie xác định bởi: với Z = (z1 , z2 , z3 ), W = (w1 , w2 , w3 ) ∈ C3 [Z, W ] = z1 z2 z2 z3 z3 z1 , , w w3 w3 w1 w1 w2 Khi C3 đại số phức với phép toán cộng, nhân số với véctơ thông thường phép nhân xác định Khi đó, với Z ∈ C3 ánh xạ DZ (W ) = [Z, W ] − [W, Z] 10 với Z ∈ C3 phép đạo hàm C3 Nó ví dụ quen thuộc phép đạo hàm đại số Lie Giả sử D phép đạo hàm đại số A với đơn vị e Ta ký hiệu D0 (a) = a Dn (a) = D(Dn−1 (a)) với n Ta có kết sau: 1.2.7 Mệnh đề Giả sử D phép đạo hàm đại số A Khi Dn (a + b) = Dn (a) + Dn (b) Dn (λa) = λDn (a) với a ∈ A λ ∈ C Chứng minh Vì D tuyến tính nên D2 (a + b) = D(D(a + b)) = D(D(a) + D(b)) = D(D(a)) + D(D(b)) = D2 (a) + D2 (b) với a, b ∈ A Vì vậy, kết luận dễ dàng suy từ phép quy nạp Sau kết tương tự công thức Leibnitz cổ điển 1.2.8 Định lý Nếu A đại số phức giao hốn n n Cnk Dn−k (a)Dk (b) D (ab) = k=0 Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Vì D phép đạo hàm nên kết luận cho n = Bây giờ, giả sử cho n = m, tức m m k m−k Cm D (a)Dk (b) D (ab) = k=0 17 1.3.25 Định nghĩa Cho A đại số Banach giao hoán Giao tất ideal cực đại A gọi đại số A ký hiệu radA Đại số Banach A gọi nửa đơn radA = {0} 1.3.26 Định nghĩa Cho A đại số Banach Phần tử a ∈ A gọi lũy linh tổng qt bán kính phổ 1.3.27 Nhận xét Phần tử x ∈ radA ρ(x) = lim xn n→∞ Chứng minh Giả sử lim xn n→∞ ρ(x) = lim xn n n→∞ n = Khi = sup{|ˆ x(ϕ)| : ϕ ∈ MA } = Suy xˆ(ϕ) = ϕ(x) = với ϕ ∈ MA Vậy x ∈ radA Ngược lại, x ∈ radA Khi đó, xˆ(ϕ) = ϕ(x) = với ϕ ∈ MA Do ρ(x) = lim xn n→∞ n = sup{|ˆ x(ϕ)| : ϕ ∈ MA } = n = 18 CHƯƠNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ BANACH GIAO HOÁN VÀ ỨNG DỤNG Chương nghiên cứu tính liên tục phép đạo hàm đại số Banach giao hoán vài ứng dụng Trong mục thứ nhất, chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết kết Wermer Singer tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hoán Sau đó, chúng tơi đề xuất chứng minh số tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hoán đa thức, phân thức hàm chỉnh hình phép tính hàm biến đại số Banach giao hốn Trong mục thứ hai, chúng tơi trình bày hai ứng dụng phép đạo hàm liên tục chứng minh điều kiện đủ để phần tử đại số ánh xạ tuyến tính liên tục lũy linh tổng quát chứng minh kết tiếng Shilov không tồn chuẩn đại số hàm khả vi cấp đoạn để trở thành đại số Banach 2.1 Tính liên tục đạo hàm đại số Banach giao hốn Mục trình bày kết Singer, Wermer tính liên tục phép đạo hàm đại số Banach 2.1.1 Định nghĩa ([8]) Cho D đạo hàm đại số Banach A Khi D gọi bị chặn sup D(a) = D < ∞ a =1 19 2.1.2 Định lý Nếu A đại số Banach giao hoán D đạo hàm bị chặn A Khi đó, D biến U vào Đặt biệt, A nửa đơn D = 2.1.3 Nhận xét Sau chứng minh kết Singer Wermer đề xuất giả thuyết kết bỏ giả thiết đạo hàm D bị chặn Năm 1988 Thomas (xem [6])chứng minh giả thuyết Singer Wermer cơng bố Tạp chí tốn học tiếng Annals of Mathematics Vì phép chứng minh công phu sử dụng nhiều kiến thức đại nên chúng tơi khơng thể trình bày khn khổ luận văn Để chứng minh định lý ta cần số kết bổ trợ Bổ đề sau dùng [8] bỏ qua chứng minh cụ thể 2.1.4 Bổ đề Nếu D toán tử bị chặn A eλD tốn tử bị chặn A với λ ∈ C eλD (ab) = eλD (a)eλD (b) với a, b ∈ A Chứng minh Nếu D toán tử bị chặn A eλD tốn tử bị chặn A kết quen thuộc lý thuyết toán tử (chứng minh chi tiết xem [7]) Nhờ công thức Leibnitz (Định lý 1.2.8) cho đạo hàm, ta có ∞ λD e (ab) = n=0 λn Dn (ab) n! n = lim n→∞ k=0 n = lim n→∞ k=1 λk Dk (ab) k! k! λk k! k Ckj Dk−j (a)Dj (b) j=1 20 n = lim n→∞ k=1 n = lim n→∞ ∞ = n=0 λD =e k=1 λDn n! (a)e λk k D (a) k! n l=1 λl l D (b) l! λk k D (a) lim n→∞ k! ∞ (a) n=0 λD n l=1 λl l D (b) l! λDn (b) n! (b) với a, b ∈ A 2.1.5 Bổ đề ([8]) Giả sử f đồng cấu phức A Khi đó, với λ ∈ C, ánh xạ ϕλ : A → C xác định ϕλ (a) = f eλD (a) với a ∈ A đồng cấu phức A Chứng minh Giả sử a, b ∈ A Khi đó, từ tính tuyến tính, liên tục 21 đồng cấu phức f Mệnh đề 1.2 ta có ϕλ (a + b) = f eλD (a + b) ∞ =f n=0 ∞ =f ∞ = n=0 λn n=0 ∞ = n=0 λn Dn (a + b) n! λn Dn (a) + Dn (b) n! f (Dn (a)) + f (Dn (b)) n! λn f Dn (a) + n! ∞ =f n=0 ∞ n=0 λn Dn (a) +f n! λn f Dn (a) n! ∞ n=0 λn Dn (b) n! = f eλD (a) + f eλD (a) = ϕλ (a) + ϕλ (b) với α ∈ C ϕλ (αa) = f eλD (a) ∞ =f n=0 ∞ =f n=0 ∞ = n=0 λn Dn (αa) n! λn α Dn (a) n! λn f (Dn (a)) α n! = αf eλD (a) + f eλD (a) = αϕλ (a) Vậy ϕλ ánh xạ tuyến tính Tiếp theo ta ϕλ (ab) = ϕλ (a)ϕλ (b) Đầu tiên, từ Định lý 1.2.8 ta 22 có Dn (ab) = n! i+j=n Di (a) Dj (b) i! j! Do đó, ∞ ϕλ (ab) = n=0 λn f (Dn (ab)) = n! ∞ n λ n=0 i+j=n Di (a) Dj (b) i! j! Mặt khác ∞ ϕλ (a)ϕλ (b) = i=0 λi f (Di (ab)) i! ∞ i=0 λj f (Dj (ab)) j! Do chuỗi vế phải hội tụ tuyệt đối ta nhận ϕλ (ab) = ϕλ (a)ϕλ (b) Chứng minh Định lý 2.1.2 Đầu tiên, nhờ Bổ đề 2.1.5 ta có ϕλ đồng cấu phức với λ nên ϕλ = |ϕλ (a)| a với a ∈ A Mặt khác, với a ∈ A, ∞ g(λ) = ϕλ (a) = n=0 λn f (Dn (a)) n! hàm nguyên theo biến λ Ta có |g(λ)| a với λ ∈ C Do đó, g(λ) bị chặn C Theo Định lý Louvile g hàm Suy f (Dn (a)) = với n Đặc biệt, f (D(a)) = Vì vậy, D(a) ∈ f −1 (0) với f đồng cấu phức Do đó, D(a) ∈ radA với a ∈ A Như vây, tập giá trị đạo hàm nằm A Đặc biệt, A nửa đơn radA = {0} Vì vậy, D = Định lý chứng minh 23 Cho A đại số Banach giao hoán Giả sử P (z) = n k k=0 αk z đa thức C Khi đó, với x ∈ A n αk xk ∈ A P (x) = k=0 Ta có khẳng định sau dùng tới [8] không chứng minh 2.1.6 Định lý Cho A đại số Banach giao hoán P (z) = n k k=0 αk z đa thức C, với đạo hàm P (z) = Giả sử D phép đạo hàm A Khi đó, D(P (a)) = P (a)D(a) với a ∈ A Chứng minh Với a ∈ A k ∈ N ta có D(a2 ) = D(aa) = D(a)a + aD(a) = 2aD(a) A giao hốn Do đó, phép quy nạp ta có D(ak ) = kak−1 D(a) Vì vậy, nhờ tính tuyến tính đạo hàm ta có n D P (a) = D n αk a k k=0 αk D(ak ) = k=0 n = αk kak−1 D(a) k=0 n kαk ak−1 D(a) = k=0 = P (a)D(a) Ta cần bổ đề sau cho kết n k−1 k=0 kαk z 24 2.1.7 Bổ đề Cho A đại số Banach giao hoán với đơn vị e a ∈ G(A) Khi đó, D phép đạo hàm A D(a−1 ) = −(a−1 )2 D(a) Chứng minh Ta có e2 = e Suy D(e) = D(e2 ) = D(e)e + eD(e) = 2D(e) Suy D(e) = Vì vậy, = D(e) = D(aa−1 ) = D(a)a−1 + aD(a−1 Suy D(a−1 ) = −(a−1 )2 D(a) Bổ đề sau cho điều kiện đủ để phép tính hàm đại số Banach đối P (z) với hàm hữu tỷ thực Sau đây, hàm hữu tỷ f (z) = , Q(z) P, Q đa thức biến phức 2.1.8 Bổ đề ([3]) Cho x ∈ A f (z) = P (z) hàm hữu tỷ cực Q(z) điểm σ(x) Khi đó, 1) f (x) = P (x) Q(x) −1 ∈ A f (x) = f (ˆ x); 2) σ(f (x)) = f (σ(x)) Ta thu kết sau đây: 2.1.9 Định lý Cho A đại số Banach giao hoán P (z) = n k k=0 αk z đa thức C, với đạo hàm P (z) = n k−1 k=0 kαk z Giả sử D phép đạo hàm A Khi đó, f (z) có cực điểm ngồi σ(a) D(f (a)) = P (a)Q(a) − Q (a)P (a) [Q−1 (a)]2 D(a) = f (a)D(a), với a ∈ A Chứng minh Từ Bổ đề 2.1.8 giả thiết f (z) có cực điểm ngồi σ(a) suy f (a) = P (a)[Q(a)]−1 25 xác định A Nhờ Bổ đề 2.1.7, ta có D(f (a)) = D P (a)[Q(a)]−1 = D P (a) [Q(a)]−1 + P (a)D [Q(a)]−1 = P (a)D(a)[Q(a)]−1 + P (a) ([Q(a)]−1 )−2 D Q(a) = P (a)[Q(a)]−1 D(a) + P (a) [Q(a)]−1 −2 Q (a)D(a) = P (a)Q(a) − Q (a)P (a) [Q−1 (a)]2 D(a) Bổ đề sau xây dựng từ định lý Cauchy cơng thức tích phân Cauchy hàm phức biến 2.1.10 Bổ đề [3] Cho A đại số Banach giao hoán x ∈ A Cho Ω tập mở chứa σ(x) Ω1 miền bị chặn cho σ(x) ⊂ Ω1 ⊂ Ω1 ⊂ Ω biên γ = ∂Ω1 Ω1 hợp hữu hạn đường cong Jordan trơn Nếu f hàm hữu tỷ cực điểm ngồi Ω f (x) = 2πi f (t)(t − x)−1 dt γ Cho Ω tập mở chứa σ(x) f ∈ H(Ω) Khi đó, theo định lý Runge tồn dãy {fn } hàm hữu tỷ cực điểm Ω cho {fn } hội tụ f theo tôpô hội tụ tập compact Với n = 1, 2, fn (x) ∈ A Ta có bổ đề sau 2.1.11 Bổ đề [3] lim fn (x) ∈ A tồn phụ thuộc vào x n→∞ f Từ phép đạo hàm D tuyến tính bị chặn ta suy bổ đề sau 2.1.12 Bổ đề Cho A đại số Banach giao hoán D phép đạo hàm A Giả sử (an ), (bn ) dãy hội tụ tới a (D(an )), (D(bn )) hội tụ tới D(a) 26 Với f ∈ H(Ω) Khi đó, ta đặt f (x) = lim fn (x) n→∞ với fn hàm hữu tỷ cực điểm Ω cho {fn } hội tụ f theo tôpô hội tụ tập compact (Giới hạn vế phải không phụ thuộc vào dãy hàm hữu tỷ cực điểm ngồi Ω) Nhờ bổ đề trên, ta đặt D(f (x)) = D lim fn (x) n→∞ giới hạn vế phải không phụ thuộc vào dãy hàm hữu tỷ (fn ) cực điểm Ω hội tụ tới f Ta cần kết cổ điển sau Định lý Weirestrass cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm hạng cao 2.1.13 Bổ đề Giả sử (fn ) dãy hàm chỉnh hình tập mở Ω (fn ) hội tụ tới f tập compact Ω Khi đó, f hàm chỉnh hình (fn ) hội tụ tập compact Ω Bây ta thiết lập công thức đạo hàm cho ánh xạ chỉnh hình 2.1.14 Định lý Cho A đại số Banach giao hoán a ∈ A Giả sử Ω tập mở chứa σ(a) f ∈ H(Ω) Khi đó, D f (a) = f (a)D(a) Chứng minh Theo định lý xấp xỉ Runge tồn (fn ) dãy hàm hàm hữu tỷ cực điểm Ω (fn ) hội tụ tới f tập compact Ω Với n = 1, 2, ta có D fn (a) = fn (a)D(a) với n Hơn nữa, từ Bổ đề 2.1.13 ta có (fn ) hội tụ tới f tập compact Ω Do đó, theo định nghĩa ta có f (a) = lim fn (a) n→∞ 27 Vì vây, theo định nghĩa tính liên tục đạo hàm ta có D(f (a)) = D lim fn (a) n→∞ = lim Dfn (a) = lim Dfn (a)D(a) = f (a)D(a) n→∞ n→∞ 2.2 Một vài ứng dụng Mục trình bày số ứng dụng tính liên tục đạo hàm đại số Banach đưa số ví dụ minh họa cho kết Giả sử E không gian Banach L(E) đại số Banach tốn tử tuyến tính bị chặn (liên tục) E Sau kết tiếng Wielandt lý thuyết toán tử, chứng minh đơn giản nhờ phép đạo hàm đại số Banach 2.2.1 Định lý ([8]) Cho E không gian Banach, a, b ∈ L(E) e đơn vị L(E) (tốn tử đồng nhất) Khi đó, ab − ba thuộc vào đại số đóng sinh a e ab − ba phần tử lũy linh tổng quát, tức phổ chứa điểm ∈ C Chứng minh Gọi A đại số Banach sinh a e Xét phép đạo hàm Db L(E) xác định Db (c) = bc − cb với c ∈ L(E) Ta có Db (c) bc + cb b với c ∈ L(E) Do đó, Db bị chặn Db c b 28 Bây giờ, A sinh e a nên với x ∈ A x giới hạn (theo chuẩn) dãy đa thức theo a Hơn nữa, A giao hoán Để ý rằng, với đa thức P (a) = n n i=0 αi a , theo Định lý 2.1.6 ta có Db P (a) = P (a)D(a) Suy Db (P (a)) ∈ A với đa thức P Do Db (x) = lim D Pn (a) ∈ n→∞ A với x ∈ A Vì vậy, Db phép đạo hàm A Theo Định lý 2.1.2 ta có Db (a) thuộc A, lim (Db (a))n n→∞ 1/n = 0, tức Db (a) = ab − ba phần tử lũy linh tổng quát Kết sau chứng minh độc lập Shilov Dựa vào tính liên tục đạo hàm đại số Banach giao hốn có chứng minh đơn giản 2.2.2 Định lý ([8]) Giả sử C ∞ đại số hàm (nhận giá trị phức) khả vi thực cấp [0, 1] Khi đó, khơng tồn chuẩn C ∞ để trở thành đại số Banach Chứng minh Giả sử tồn chuẩn C ∞ để trở thành đại số Banach Khi đó, C ∞ đại số Banach giao hốn Khi đó, xét phép đạo hàm D(f ) = f với f ∈ C ∞ Để chứng minh D liên tục (bị chặn) ta cần nhận xét sau: Với t0 ∈ [0, 1], ánh xạ ϕt0 : C ∞ → C ∞ tuyến tính liên tục Thật vậy, rõ ràng ϕ tuyến tính Bây giờ, với n = 1, 2, f → f (t0 + ) n ∞ đồng cấu phức C Vì chúng liên tục Rõ ràng, ánh xạ f → f (t0 ) đồng cấu phức Do đó, ánh xạ Ln : C∞ → C xác định Ln (f ) = f (t0 + 1/n) − f (t0 ) 1/n 29 tuyến tính liên tục với n = 1, 2, Ta có lim Ln (f ) = f (t0 ) = ϕt0 (f ) n→∞ với f ∈ C ∞ Vì vậy, theo Định lý Banach-Steinhaus ta có ϕt0 liên tục Nhận xét chứng minh, Bây giờ, ta chứng minh D liên tục Nhờ tình tuyến tính D tính Banach khơng gian C ∞ ta sử dụng định lý đồ thị đóng cho khẳng định Giả sử fn → f Dfn → g Ta cần Df = g Thật vậy, fn → f fn (t) → f (t) với t ∈ [0, 1] nhận xét Vì g(t) = lim Dn f (t) = lim fn (t) = f (t) = Df (t) n→∞ n→∞ với t ∈ [0, 1] Suy Df = g Tiếp theo, với t ∈ [0, 1] ϕt : C ∞ → C xác định ϕt (f ) = f (t) đồng cấu phức Vì thế, f ∈ radC ∞ ϕt (f ) = với t ∈ [0, 1], tức f (t) = với t ∈ [0, 1] Suy f = Vì vậy, C ∞ đại số Banach nửa đơn Do đó, áp dụng Định lý 2.1.2 ta có D = Ta nhận mâu thuẫn 30 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày cách hệ thống kiến thức sở giải tích phức, đại số Banach giao hốn mở đầu khái niệm, ví dụ tính chất phép đạo hàm đại số phức 2) Trình bày chứng minh chi tiết kết Wermer Singer tính chất phép đạo hàm liên tục đại số Banach giao hoán Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu bỏ qua chứng minh chứng minh vắn tắt như: Định lý 1.2.7, Định lý 1.2.8, Định lý 2.1.2, Bổ đề 2.1.4; Bổ đề 2.1.5, ; Đưa số ví dụ minh họa cho kết như: Ví dụ 1.2.2, Ví dụ 1.2.3, Ví dụ 1.2.4, Ví dụ 1.2.5, 3) Đưa số tính chất phép đạo hàm đa thức, phân thức hàm chỉnh hình phép tính hàm biến đại số Banach giao hoán thể Định lý 2.1.6, Bổ đề 2.1.7, Định lý 2.1.9, Định lý 2.1.14, 4) Trình bày hai ứng dụng phép đạo hàm liên tục chứng minh điều kiện đủ để phần tử đại số ánh xạ tuyến tính liên tục lũy linh tổng quát chứng minh kết tiếng Shilov không tồn chuẩn đại số hàm khả vi cấp đoạn để trở thành đại số Banach (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2) 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số đều, Nhà xuất ĐHSP-Hà nội [2] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải(2001), Hàm biến phức, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] H Alexander and J Wermer (1998), Several complex variables and Banach algebras, Third edition Graduate Texts in Mathematics, 35 Springer-Verlag, New York [4] R Arens and A.P.Calderon (1955), Analytic functions of several Banach algebra elements, Ann of Math (2) 62, 204-216 [5] E.K Blum (1954), A theory of analytic functions in Banach algebras, Trans Amer Math Soc 78, 343-370 [6] Thomas, M P (1988), The image of a derivation is contained in the radical, Ann of Math (2) 128 (1988), no 3, 435-460 [7] Rudin, W, Functional analysis(1973) , McGraw-Hill Series in Higher Mathematics [8] Singer, I M and Wermer, J (1955), Derivations on commutative normed algebras, Math Ann 129 260-264 ... phép đạo hàm đại số Banach, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về phép đạo hàm đại số Banach ứng dụng Nội dung luận văn nghiên cứu phép đạo hàm đại số phức, tính liên tục phép đạo hàm đại số. .. chất phép đạo hàm đại số Banach giao hốn Sau đó, chúng tơi đề xuất chứng minh số tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hoán đa thức, phân thức hàm chỉnh hình phép tính hàm biến đại số Banach. .. chất phép đạo hàm đại số Banach giao hốn Sau đó, chúng tơi đề xuất chứng minh số tính chất phép đạo hàm đại số Banach giao hoán đa thức, phân thức hàm chỉnh hình phép tính hàm biến đại số Banach