Về mộ số tính chất của một lớp đại số banach và ứng dụng

Năm 1969 Harris, Sibuya và Weinberg [4] giới thiệumột lớp đại số Banach Hr các hàm phức một biến là tổng của chuỗi lũythừa hội tụ tuyệt đối trên đường tròn tâm tại gốc bán kính r > 0.. S

M¢ sè: 60 46 01 02

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS KI—U PH×ÌNG CHI

Ngh» An - 2015

MỤC LỤC

Mở đầu 2

1 Mở đầu về đại số Banach 4 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.2 Một số kết quả về đại số Banach 7

2 Đại số Banach Hr và một vài ứng dụng 15 2.1 Đại số Banach Hr 15

2.2 Một vài ứng dụng của đại số Banach Hr 22

Kết luận 27

Tài liệu tham khảo 28

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về đại số Banach là lĩnh vực quan trọng của toán giải tích

Nó có rất nhiều ứng dụng sâu sắc trong nhiều chuyên ngành của toánhọc, đặc biệt là ứng dụng trong nghiên cứu giải tích phức, đại số đều,

lý thuyết toán tử, Năm 1969 Harris, Sibuya và Weinberg [4] giới thiệumột lớp đại số Banach Hr các hàm phức một biến là tổng của chuỗi lũythừa hội tụ tuyệt đối trên đường tròn tâm tại gốc bán kính r > 0 Sau

đó, người ta đã phát hiện được khá nhiều ứng dụng thú vị của lớp đại sốBanach này trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phươngtrình vi phân, định lý chuẩn bị Weierstrass, định lý hàm ẩn,

Nhằm tìm hiểu cấu trúc của đại số Banach Hr và đặc biệt là một sốứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là: Vềmột số tính chất của một lớp đại số Banach và ứng dụng

Nội dung của luận văn sẽ trình bày một số kết quả mở đầu về đại sốBanach, đại số Banach giao hoán và đại số Banach Hr Ngoài việc trìnhbày những kết quả đã có, chúng tôi đề xuất và chứng minh các kết quảmới về cấu trúc của không gian các ideal cực đại và biên Shilov của đại

số Hr Sau cùng, chúng tôi trình bày một vài ứng dụng của đại số Hrtrong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên và định lýhàm ẩn Các nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương:Chương 1 Mở đầu về đại số Banach

Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả kiến thức chuẩn

bị cần dùng về sau và những kết quả mở đầu về đại số Banach, đại sốBanach giao hoán

Chương 2 Đại số Banach Hr và một số ứng dụng

Chương này nghiên cứu một lớp đại số Banach các hàm được đề xuấtHarris và các cộng sự năm 1969 (xem [4]) và được nghiên cứu sâu hơnbởi Walter năm 1992 (xem [5]) Ngoài việc chứng minh chi tiết lại nhữngkết quả trong [5], chúng tôi đề xuất các kết quả về cấu trúc không giancác ideal cực đại, biên Shilov của đại số Banach Hr Sau đó, chúng tôitrình bày một vài ứng dụng của đại số Hr trong chứng minh sự tồn tạinghiệm của bài toán giá trị biên và định lý hàm ẩn

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh, mặc dù đã cónhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, thiếusót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy,

cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn Nhân dịp này, tácgiả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Kiều Phương Chi,người đã hướng dẫn tác giả tận tình trong suốt quá trình hoàn thànhluận văn Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô giáo trongKhoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh đã nhiệt tình giảng dạy

và giúp đỡ tác giả trong quãng thời gian học tập

Nghệ An, tháng 10 năm 2015

Hoàng Danh Đạt

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU VỀ ĐẠI SỐ BANACH

Chương này nhằm mục đích trình bày các kết quả kiến thức chuẩn bị cầndùng về sau và những kết quả mở đầu về đại số Banach, đại số Banachgiao hoán

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này chúng tôi trình bày một số kết quả mở đầu về giải tích phức

về giải và đại số cần dùng về sau Các kết quả được trích ra từ [1] Cho

Ω là tập mở trong C Ta ký hiệu H(Ω) là tập hợp tất cả các hàm chỉnhhình trên Ω Với mỗi tập X ⊂ C ta ký hiệu C(X) là tập hợp các hàmliên tục trên X Các kết quả đặc sắc sau thuộc lý thuyết Cauchy về hàmchỉnh hình một biến

1.1.1 Định lý Nếu Ω là miền đơn liên trong C và f ∈ H(Ω) thì

Z

γ

f (z)dz = 0,với mọi đường cong Jordan đóng, trơn từng khúc γ ⊂ Ω

Kết quả trên vẫn còn đúng cho trường hợp miền đa liên, thậm chítrong thực hành chúng ta còn dùng ở mức độ tổng quát hơn

1.1.2 Định lý Nếu Ω ⊂ C là miền bị chặn sao cho ∂Ω (biên của miền Ω)

là hợp hữu hạn các đường cong Jordan trơn từng khúc và f ∈ H(Ω)∩C(Ω)thì

Z

∂Ω

f (z)dz = 0

Sau đây là công thức tích phân Cauchy

1.1.3 Định lý Cho D ⊂ C là miền đơn liên bị chặn sao cho ∂D làđường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) thì

Chú ý rằng công thức tích phân Cauchy vẫn đúng cho miền đa liên

Cụ thể hơn, nếu biên ∂D của D có dạng

∂D = γ0 ∪ γ1− ∪ ∪ γn−thì

Z

γ n

f (t)

t − zdt,với mọi z ∈ D

Công thức thức tích phân Cauchy còn có dạng biểu diễn cho đạo hàmhạng cao

1.1.4 Định lý Cho D ⊂ C là miền đơn liên bị chặn sao cho ∂D làđường cong Jordan trơn hoặc trơn từng khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) thì

1.1.5 Định nghĩa Cho Ω ⊂ Cn Dãy hàm {fn} ⊂ C(Ω) được gọi là hội

tụ đều trên các tập compact tới hàm f ∈ C(Ω) nếu với mỗi tập compact

K ⊂ Ω

supz∈K

|fn(z) − f (z)| → 0khi n → ∞

Kết quả sau là định lý Weierstrass về dãy hàm chỉnh hình.

1.1.6 Định lý Nếu {fn} ⊂ H(Ω) và {fn} hội tụ đều trên các tập pact của Ω tới hàm f thì f ∈ H(Ω)

com-Định lý sau đây là kết quả nổi tiếng của Runge về xấp xỉ hàm chỉnhhình

1.1.7 Định lý Nếu f ∈ H(Ω) thì f xấp xỉ đều trên các tập compact của

Ω bởi dãy các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài Ω Đặc biệt, nếu C \ Ω liênthông thì f xấp xỉ đều trên các tập compact của Ω bởi dãy các đa thức.1.1.8 Định nghĩa Một đại số phức A là một không gian véctơ A trêntrường C cùng với một phép nhân trong trên A thoả mãn các điều kiện:1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A;

2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A

3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C

Trong mục này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùng

về sau

1.1.9 Định nghĩa Cho X là một tập khác rỗng Hàm d : X × X → Rđược gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau

1) d(x, y) > 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X

3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) được gọi là một không gian mêtric

1.1.10 Định nghĩa Cho (X, d) là không gian mêtric

1) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu d(xm, xn) → 0 khi

m, n → ∞

2) Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của

nó đều hội tụ trong X

1.1.11 Định nghĩa Cho (X, d) là một không gian mêtric ánh xạ f :

X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ (0, 1) sao cho

d f x, f y
6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X

1.1.12 Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric và f X → X làánh xạ Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f a = a.Định lý sau là nguyên lý điểm bất động của Banach

1.1.13 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vàochính nó luôn có duy nhất một điểm bất động

Sau đây là một số kết quả quen thuộc trong tô pô

1.1.14 Định lý Nếu X, Y là các không gian Hausdorff compact và f :

X → Y là song ánh liên tục thì f là đồng phôi

1.2 Một số kết quả về đại số Banach

Mục này trình bày những khái niệm và tính chất mở đầu của Đại sốBanach giao hoán Các kết quả được trích ra từ [2]

1.2.1 Định nghĩa Một đại số Banach A là một đại số phức thoả mãncác điều kiện

1) A là một không gian Banach với chuẩn k.k nào đó cho trước.2) kxyk 6 kxkkyk, với mọi x, y ∈ A

3) Tồn tại e ∈ A sao cho ex = xe = x, ∀x ∈ A

khi đó x−1 được gọi là phần tử nghịch đảo của x Dễ dàng kiểm tra đượcphần tử khả nghịch của x nếu tồn tại thì đó là phần tử duy nhất Kýhiệu G(A) là tập các phần tử nghịch đảo của A.

1.2.2 Nhận xét 1) Phần tử đơn vị của đại số Banach là duy nhất.2) Phép nhân trong là liên tục phải và liên tục trái Thật vậy, giả sửdãy {xn} ⊂ A và xn → x ∈ A khi n → ∞ Khi đó, với mỗi y ∈ A ta có

06 kxny − xyk 6 kxn − xkkyk → 0khi n → ∞ Nghĩa là xny → xy, hay phép nhân là liên tục trái Hoàntoàn tương tự phép nhân liên tục phải

1.2.3 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach Không gian con đóng

B ⊂ A chứa đơn vị của A, khép kín với phép nhân trong của A được gọi

là một đại số con của A

1.2.4 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức và chuẩn Euclidethông thường là đại số Banach giao hoán có đơn vị là phần tử 1

2) Cho E là không gian Banach và B(E) ={Toán tử tuyến tính bịchặn từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân trong

(f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X

4) Cho K là tập compact trong Cn Ký hiệu P (K), R(K) và A(K)theo thứ tự là tập hợp các hàm f ∈ C(K) được xấp xỉ đều trên K bởicác đa thức, các hàm hữu tỷ cực điểm ngoài K và các hàm chỉnh hìnhtrên phần trong của K và liên tục trên K Khi đó, với các phép toáncảm sinh từ C(K) thì P (K), R(K) và A(K) là các đại số Banach concủa C(K) Hơn nữa, ta luôn có bao hàm thức

P (K) ⊂ R(K) ⊂ A(K) ⊂ C(K)

1.2.5 Định nghĩa Cho A, B là các đại số Banach

1)ánh xạ tuyến tính h : A → B được gọi là một đồng cấu, nếuh(xy) = h(x)h(y) với mọi x, y ∈ A

2) Phiếm hàm tuyến tính ϕ : A → C không đồng nhất bằng 0 đượcgọi là một đồng cấu phức trên A nếu

ϕ(x, y) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ A

Mệnh đề sau trình bày những tính chất đặc trưng của đồng cấu phức.1.2.6 Mệnh đề Giả sử ϕ là một đồng cấu phức trên đại số phức A cóđơn vị e Khi đó

1.2.8 Nhận xét Mọi đồng cấu phức ϕ trên đại số Banach A đều làphiếm hàm tuyến tính liên tục và kϕk = 1 Thật vậy, từ Định lý 1.1.9 tacó

1.2.9 Mệnh đề Tập các phần tử nghịch đảo G(A) của đại số Banach

A là một nhóm với phép nhân trong A Hơn nữa, G(A) là tập mở của A

và ánh xạ x → x−1 là phép đồng phôi từ G(A) lên chính nó

1.2.10 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach

Phổ của x ∈ A được ký hiệu là σ(x), là tập hợp tất cả λ ∈ C sao cho

λe − x khả nghịch trong A, tức là λe − x ∈ G(A)

Tập hợp C\ σ(x) được gọi là giải ( giải thức) của x ∈ A

Số thực ρ(x) = sup{|λ| : λ ∈ σ(x)} được gọi là bán kính phổ của x.1.2.11 Định lý Giả sử A là một đại số Banach và x ∈ A Khi đó1) Phổ σ(x) của x là tập compact khác rỗng của C

2) Bán kính phổ được xác định bởi công thức

ρ(x) = lim

n→∞kxnkn1 = inf

n > 1kxnkn1

Từ định lý trên chúng ta thu được một kết quả quan trọng

1.2.12 Hệ quả (Gelfand-Mazur) Nếu đại số Banach A mà mọi phần

tử khác 0 đều khả nghịch thì nó đẳng cấu, đẳng cự với C

1.2.13 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán Tập con

J ⊂ A được gọi là một ideal nếu J là một không gian con của A và

f g ∈ J với mọi f ∈ J và với mọi g ∈ A

Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J 6= A và J không nằmtrong bất kỳ một ideal thực sự nào của A

1.2.14 Bổ đề ([2]) i) Mỗi ideal thực sự của A được chứa trong một idealcực đại của A.

ii) Ideal J là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường

1.2.15 Định lý 1) Mỗi ideal cực đại là một tập đóng

2) Nếu J là một ideal cực đại thì không gian thương A/J đẳng cấu,đẳng cự với trường số phức C

Cho A là một đại số Banach giao hoán Ta ký hiệu ∆A là tập hợp tất

cả các đồng cấu phức trên A, MA là tập hợp các ideal cực đại của A.Với mỗi đồng cấu phức ϕ ta ký hiệu kerφ là hạt nhân của φ Khi đó ta

có kết quả quan trọng sau

1.2.16 Định lý ánh xạ f : ∆A → MA xác định bởi

f (φ) = kerφ, ∀ϕ ∈ ∆A

là một song ánh

1.2.17 Nhận xét Từ Nhận xét 1.2.8 và Định lý 1.2.16 ta có thể đồngnhất MA với một tập con của hình cầu đơn vị trong không gian liên hợp

A∗ của A Trên MA ta xét tôpô yếu sao cảm sinh từ tôpô yếu sao trên

A∗ Cụ thể hơn, cơ sở lân cận của ψ ∈ MA là họ tập có dạng

U (ψ, f1, f2, , fn, ε)

= {ϕ ∈ MA : |ϕ(fi) − ψ(fi)| < ε, fi ∈ A, i = 1, 2, , n, ε > 0, n ∈ N∗}.Dãy (suy rộng) ϕn ⊂ MA hội tụ ϕ nào đó nếu và chỉ nếu

ϕn(f ) → ϕ(f ), ∀f ∈ A

1.2.18 Định lý Không gian các ideal cực đại MA của đại số Banachgiao hoán A là Hausdorff compact

1.2.19 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán , MA làkhông gian các ideal cực đại của A và f ∈ A Phép biến đổi Gelfand của

f là hàm nhận giá trị phức ˆf : MA →C được xác định bởi

ˆ

f (φ) = φ(f ), ∀φ ∈ MA.Mệnh đề sau trình bày một số tính chất đơn giản của phép biến đổiGelfand

1.2.20 Mệnh đề Giả sử A là đại số Banach giao hoán Khi đó

1) ab = ˆb aˆb với mọi a, b ∈ A;

2) Nếu a ∈ A khả nghịch thì da−1 = 1

ˆ.Đặt ˆA = { ˆf : f ∈ A} Khi đó ˆA là đại số con của đại số BanachC(MA), các hàm số phức liên tục trên MA

1.2.21 Định lý Đại số ˆA chứa hằng, tách các điểm của MA Phép biếnđổi Gelfand f 7→ ˆf là đồng cấu của A lên ˆA và

k ˆf kMA 6 kf k, ∀f ∈ A

Ta nhận được kết quả cơ bản sau

1.2.22 Định lý Giả sử A là đại số Banach giáo hoán và f ∈ A Khi đó

σ(f ) = ˆf (MA)

1.2.23 Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán và f ∈ A Khiđó

ρ(f ) = kf kMA.1.2.24 Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán Phép biến đổiGelfand G : f 7→ ˆf là đẳng cự khi và chỉ khi kf2k = kf k2, ∀f ∈ A.1.2.25 Định nghĩa Cho A là đại số Banach giao hoán Giao tất cả cácideal cực đại của A được gọi là căn của đại số A và ký hiệu là radA Đại

số Banach A được gọi là nửa đơn nếu radA = {0}

1.2.26 Định nghĩa Cho A là đại số Banach Phần tử a ∈ A được gọi

là lũy linh tổng quát nếu bán kính phổ của nó bằng 0

1.2.27 Nhận xét Phần tử x ∈ radA nếu và chỉ nếu ρ(x) = limn→∞kxnkn1 =0

Chứng minh Giả sử limn→∞kxnkn1 = 0 Khi đó

1.2.29 Định lý (Shilov) Giao tất cả các biên của một đại số Banach Acũng là một biên của nó

1.2.30 Định nghĩa Giao tất cả các biên của A là S(A), được gọi làbiên Shilov của A

1.2.31 Ví dụ Cho ∆ = {z ∈ C : |z| 6 1} là đĩa đóng đơn vị trongmặt phẳng phức và A = P (∆) là đại số các hàm được xấp xỉ đều bởi đa

thức trên ∆ Ta đã biết MA = ∆ Trong trường hợp này S(A) = ∂∆.Nói cách khác biên Shilov trùng với biên tôpô Thật vậy, từ nguyên lýmôđun cực đại suy ra ∂∆ là biên của P (∆) Vì vậy S(P (∆)) ⊂ ∂∆ Bâygiờ, giả sử λ ∈ ∂∆ = {z ∈ C : |z| = 1} Khi đó hàm p(z) = 1 + λz chỉđạt môđun cực đại tại duy nhất một điểm z = λ Từ đó suy ra ∂∆ đượcchứa trong mọi biên của P (∆), tức là ∂∆ ⊂ S(P (∆)) Ta được điều cầnchứng minh Tuy nhiên không phải lúc nào biên Shilov cũng chính làbiên tôpô.

Xét ∆2 = {(z1, z2) ∈ C2 : |z1| 6 1, |z2| 6 1} và A = P (∆2) Hiểnnhiên

∂∆2 = {(z1, z2) ∈ ∆2 : |z1| = 1} ∪ {(z1, z2) : |z2| = 1}

Trong trường hợp này

S(P (∆2)) = Γ := {(z1, z2) ∈ ∆2 : |z1| = 1, |z2| = 1}

Thật vậy, giả sử f ∈ P (∆2) và đạt môđun cực đại tại (a1, a2) ∈ ∆2 Khi

đó f (z1, a2) phải đạt cực đại tại a1 Theo nguyên lý môđun cực đại ta

có |a1| = 1 Tương tự |a2| = 1 Từ đó suy ra (a1, a2) ∈ Γ Vì vậy Γ làbiên của P (∆2) Do đó S(P (∆2)) ⊂ Γ Ngược lại, với mỗi (a1, a2) ∈ Γxét hàm

p(z1, z2) = (1 + a1z1)(1 + a2z2), (z1, z2) ∈ C2

Rõ ràng p ∈ P (∆2) Dễ dàng kiểm tra được p đạt môđun cực đại trên

∆2 tại duy nhất một điểm (a1, a2) Từ đó suy ra Γ chứa mọi biên của

P (∆2) Do đó Γ ⊂ S(P (∆2)) Ta được điều cần chứng minh

CHƯƠNG 2ĐẠI SỐ BANACH HR VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG

Chương này nghiên cứu một lớp đại số Banach các hàm được đề xuất

bởi Harris và các cộng sự năm 1969 (xem [4]) và được nghiên cứu sâu

hơn bởi Walter năm 1992 (xem [5]) Ngoài việc chứng minh chi tiết lại

những kết quả trong [5], chúng tôi đề xuất các kết quả về cấu trúc không

gian các ideal cực đại, biên Shilov của đại số Banach Hr Sau đó, chúng

tôi trình bày một vài ứng dụng của đại số Hr trong chứng minh sự tồn

tại nghiệm của bài toán giá trị biên và định lý hàm ẩn

và nhân hai hàm theo điểm thông thường Khi đó, ta có mệnh đề sau

2.1.1 Mệnh đề ([5]) Hr là đại số phức giao hoán có đơn vị e(z) = 1

với mọi z ∈ C

Chứng minh Nhờ định lý Weierstrass về dấu hiệu hội tụ đều ta có

P∞

k=0ckzk hội tụ đều trên đĩa đóng Dr = {|z| 6 r} Suy ra Hr là

tập con của đại số phức các hàm liên tục trên C(Dr) Ta chỉ cần chỉ ra

Hr khép kín với các phép toán trên C(Dr)