Về mộ số tính chất của một lớp đại số banach và ứng dụng

❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ❍❖⑨◆● ❉❆◆❍ ✣❸❚ ❱➋ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ▼❐❚ ▲❰P ✣❸■ ❙➮ ❇❆◆❆❈❍ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✺ ❇❐ ●■⑩❖ ❉Ö❈ ❱⑨ ✣⑨❖ ❚❸❖ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❱■◆❍ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ❍❖⑨◆● ❉❆◆❍ ✣❸❚ ❱➋ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈Õ❆ ▼❐❚ ▲❰P ✣❸■ ❙➮ ❇❆◆❆❈❍ ❱⑨ Ù◆● ❉Ö◆● ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍ ▼➣ sè✿ ✻✵✳ ✹✻✳ ✵✶✳ ✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝✿ ❚❙✳ ❑■➋❯ P❍×❒◆● ❈❍■ ◆❣❤➺ ❆♥ ✲ ✷✵✶✺ MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Mở đầu đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số kết đại số Banach Đại số Banach Hr vài ứng dụng 15 2.1 Đại số Banach Hr 15 2.2 Một vài ứng dụng đại số Banach Hr Kết luận 22 27 Tài liệu tham khảo 28 MỞ ĐẦU Lý thuyết đại số Banach lĩnh vực quan trọng toán giải tích Nó có nhiều ứng dụng sâu sắc nhiều chuyên ngành toán học, đặc biệt ứng dụng nghiên cứu giải tích phức, đại số đều, lý thuyết toán tử, Năm 1969 Harris, Sibuya Weinberg [4] giới thiệu lớp đại số Banach Hr hàm phức biến tổng chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đối đường tròn tâm gốc bán kính r > Sau đó, người ta phát nhiều ứng dụng thú vị lớp đại số Banach chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình vi phân, định lý chuẩn bị Weierstrass, định lý hàm ẩn, Nhằm tìm hiểu cấu trúc đại số Banach Hr đặc biệt số ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về số tính chất lớp đại số Banach ứng dụng Nội dung luận văn trình bày số kết mở đầu đại số Banach, đại số Banach giao hoán đại số Banach Hr Ngoài việc trình bày kết có, đề xuất chứng minh kết cấu trúc không gian ideal cực đại biên Shilov đại số Hr Sau cùng, trình bày vài ứng dụng đại số Hr chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên định lý hàm ẩn Các nội dung luận văn trình bày chương: Chương Mở đầu đại số Banach Chương nhằm mục đích trình bày kết kiến thức chuẩn bị cần dùng sau kết mở đầu đại số Banach, đại số Banach giao hoán Chương Đại số Banach Hr số ứng dụng Chương nghiên cứu lớp đại số Banach hàm đề xuất Harris cộng năm 1969 (xem [4]) nghiên cứu sâu Walter năm 1992 (xem [5]) Ngoài việc chứng minh chi tiết lại kết [5], đề xuất kết cấu trúc không gian ideal cực đại, biên Shilov đại số Banach Hr Sau đó, trình bày vài ứng dụng đại số Hr chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên định lý hàm ẩn Luận văn thực Trường Đại học Vinh, có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Kiều Phương Chi, người hướng dẫn tác giả tận tình suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, cô giáo Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả quãng thời gian học tập Nghệ An, tháng 10 năm 2015 Hoàng Danh Đạt CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ ĐẠI SỐ BANACH Chương nhằm mục đích trình bày kết kiến thức chuẩn bị cần dùng sau kết mở đầu đại số Banach, đại số Banach giao hoán 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số kết mở đầu giải tích phức giải đại số cần dùng sau Các kết trích từ [1] Cho Ω tập mở C Ta ký hiệu H(Ω) tập hợp tất hàm chỉnh hình Ω Với tập X ⊂ C ta ký hiệu C(X) tập hợp hàm liên tục X Các kết đặc sắc sau thuộc lý thuyết Cauchy hàm chỉnh hình biến 1.1.1 Định lý Nếu Ω miền đơn liên C f ∈ H(Ω) f (z)dz = 0, γ với đường cong Jordan đóng, trơn khúc γ ⊂ Ω Kết cho trường hợp miền đa liên, chí thực hành dùng mức độ tổng quát 1.1.2 Định lý Nếu Ω ⊂ C miền bị chặn cho ∂Ω (biên miền Ω) hợp hữu hạn đường cong Jordan trơn khúc f ∈ H(Ω)∩C(Ω) f (z)dz = ∂Ω Sau công thức tích phân Cauchy 1.1.3 Định lý Cho D ⊂ C miền đơn liên bị chặn cho ∂D đường cong Jordan trơn trơn khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) f (z) = 2πi ∂D f (t) dt, t−z với z ∈ D Chú ý công thức tích phân Cauchy cho miền đa liên Cụ thể hơn, biên ∂D D có dạng ∂D = γ0 ∪ γ1− ∪ ∪ γn− 2πi = 2πi f (z) = f (t) dt t − z ∂D f (t) dt − 2πi γ0 t − z γ1 f (t) dt − − t−z 2πi γn f (t) dt, t−z với z ∈ D Công thức thức tích phân Cauchy có dạng biểu diễn cho đạo hàm hạng cao 1.1.4 Định lý Cho D ⊂ C miền đơn liên bị chặn cho ∂D đường cong Jordan trơn trơn khúc Nếu f ∈ H(D) ∩ C(D) f (n) (z) = n! 2πi ∂D f (t) dt, (t − z)n+1 với z ∈ D n = 0, 1, 2, 1.1.5 Định nghĩa Cho Ω ⊂ Cn Dãy hàm {fn } ⊂ C(Ω) gọi hội tụ tập compact tới hàm f ∈ C(Ω) với tập compact K⊂Ω sup |fn (z) − f (z)| → z∈K n → ∞ Kết sau định lý Weierstrass dãy hàm chỉnh hình 1.1.6 Định lý Nếu {fn } ⊂ H(Ω) {fn } hội tụ tập compact Ω tới hàm f f ∈ H(Ω) Định lý sau kết tiếng Runge xấp xỉ hàm chỉnh hình 1.1.7 Định lý Nếu f ∈ H(Ω) f xấp xỉ tập compact Ω dãy hàm hữu tỷ cực điểm Ω Đặc biệt, C \ Ω liên thông f xấp xỉ tập compact Ω dãy đa thức 1.1.8 Định nghĩa Một đại số phức A không gian véctơ A trường C với phép nhân A thoả mãn điều kiện: 1) x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ A; 2) x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, ∀x, y, z ∈ A 3) (αx)y = αxy, ∀x, y ∈ A, ∀α ∈ C Trong mục này, trình bày kiến thức sở cần dùng sau 1.1.9 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng Hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) với x, y ∈ X; d(x, y) = x = y 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.10 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric 1) Dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy d(xm , xn ) → m, n → ∞ 2) Không gian mêtric X gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ X 1.1.11 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ f : X → X gọi ánh xạ co tồn q ∈ (0, 1) cho d f x, f y qd(x, y), ∀x, y ∈ X 1.1.12 Định nghĩa Cho X không gian mêtric f X → X ánh xạ Điểm a ∈ X gọi điểm bất động f f a = a Định lý sau nguyên lý điểm bất động Banach 1.1.13 Định lý ([1]) Mọi ánh xạ co từ không gian mêtric đầy đủ X vào có điểm bất động Sau số kết quen thuộc tô pô 1.1.14 Định lý Nếu X, Y không gian Hausdorff compact f : X → Y song ánh liên tục f đồng phôi 1.2 Một số kết đại số Banach Mục trình bày khái niệm tính chất mở đầu Đại số Banach giao hoán Các kết trích từ [2] 1.2.1 Định nghĩa Một đại số Banach A đại số phức thoả mãn điều kiện 1) A không gian Banach với chuẩn cho trước 2) xy x y , với x, y ∈ A 3) Tồn e ∈ A cho ex = xe = x, ∀x ∈ A 4) e e = Phần tử e gọi đơn vị A Nếu phép nhân A giao hoán ta gọi A đại số Banach giao hoán Phần tử x ∈ A gọi khả nghịch A tồn y := x−1 ∈ A cho x−1 x = xx−1 = e, x−1 gọi phần tử nghịch đảo x Dễ dàng kiểm tra phần tử khả nghịch x tồn phần tử Ký hiệu G(A) tập phần tử nghịch đảo A 1.2.2 Nhận xét 1) Phần tử đơn vị đại số Banach 2) Phép nhân liên tục phải liên tục trái Thật vậy, giả sử dãy {xn } ⊂ A xn → x ∈ A n → ∞ Khi đó, với y ∈ A ta có xn y − xy xn − x y →0 n → ∞ Nghĩa xn y → xy, hay phép nhân liên tục trái Hoàn toàn tương tự phép nhân liên tục phải 1.2.3 Định nghĩa Cho A đại số Banach Không gian đóng B ⊂ A chứa đơn vị A, khép kín với phép nhân A gọi đại số A 1.2.4 Ví dụ 1) Đại số C với phép nhân hai số phức chuẩn Euclide thông thường đại số Banach giao hoán có đơn vị phần tử 2) Cho E không gian Banach B(E) ={Toán tử tuyến tính bị chặn từ E vào E}, Trên B(E) xác định phép nhân (f g)(x) = (f ◦ g)(x) = f (g(x)), ∀f, g ∈ B(E), ∀x ∈ E chuẩn f = sup |f (x)| , ∀f ∈ B(E) x∈E Khi đó, B(E) đại số Banach không giao hoán có đơn vị ánh xạ đồng E 3) Cho X không gian tôpô compact C(X) không gian Banach hàm phức liên tục với chuẩn hội tụ f = sup |f (x)| , ∀f ∈ x∈X C(X) Khi đó, C(X) đại số Banach giao hoán có đơn vị hàm đồng X, với phép nhân theo điểm, tức (f g)(x) = f (x)g(x), ∀x ∈ X 14 thức ∆ Ta biết MA = ∆ Trong trường hợp S(A) = ∂∆ Nói cách khác biên Shilov trùng với biên tôpô Thật vậy, từ nguyên lý môđun cực đại suy ∂∆ biên P (∆) Vì S(P (∆)) ⊂ ∂∆ Bây giờ, giả sử λ ∈ ∂∆ = {z ∈ C : |z| = 1} Khi hàm p(z) = + λz đạt môđun cực đại điểm z = λ Từ suy ∂∆ chứa biên P (∆), tức ∂∆ ⊂ S(P (∆)) Ta điều cần chứng minh Tuy nhiên lúc biên Shilov biên tôpô Xét ∆2 = {(z1 , z2 ) ∈ C2 : |z1 | 1, |z2 | 1} A = P (∆2 ) Hiển nhiên ∂∆2 = {(z1 , z2 ) ∈ ∆2 : |z1 | = 1} ∪ {(z1 , z2 ) : |z2 | = 1} Trong trường hợp S(P (∆2 )) = Γ := {(z1 , z2 ) ∈ ∆2 : |z1 | = 1, |z2 | = 1} Thật vậy, giả sử f ∈ P (∆2 ) đạt môđun cực đại (a1 , a2 ) ∈ ∆2 Khi f (z1 , a2 ) phải đạt cực đại a1 Theo nguyên lý môđun cực đại ta có |a1 | = Tương tự |a2 | = Từ suy (a1 , a2 ) ∈ Γ Vì Γ biên P (∆2 ) Do S(P (∆2 )) ⊂ Γ Ngược lại, với (a1 , a2 ) ∈ Γ xét hàm p(z1 , z2 ) = (1 + a1 z1 )(1 + a2 z2 ), (z1 , z2 ) ∈ C2 Rõ ràng p ∈ P (∆2 ) Dễ dàng kiểm tra p đạt môđun cực đại ∆2 điểm (a1 , a2 ) Từ suy Γ chứa biên P (∆2 ) Do Γ ⊂ S(P (∆2 )) Ta điều cần chứng minh 15 CHƯƠNG ĐẠI SỐ BANACH HR VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chương nghiên cứu lớp đại số Banach hàm đề xuất Harris cộng năm 1969 (xem [4]) nghiên cứu sâu Walter năm 1992 (xem [5]) Ngoài việc chứng minh chi tiết lại kết [5], đề xuất kết cấu trúc không gian ideal cực đại, biên Shilov đại số Banach Hr Sau đó, trình bày vài ứng dụng đại số Hr chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên định lý hàm ẩn 2.1 Đại số Banach Hr Cho r > ∞ ∞ k Hr = {u tổng chuỗi hàm ck z k hội tụ tuyệt đối z = r} ck z : k=0 k=0 (2.1) Trên Hr ta xét phép toán cộng hai hàm, nhân hàm với số nhân hai hàm theo điểm thông thường Khi đó, ta có mệnh đề sau 2.1.1 Mệnh đề ([5]) Hr đại số phức giao hoán có đơn vị e(z) = với z ∈ C Chứng minh Nhờ định lý Weierstrass dấu hiệu hội tụ ta có ∞ k k=0 ck z hội tụ đĩa đóng Dr = {|z| r} Suy Hr tập đại số phức hàm liên tục C(Dr ) Ta cần Hr khép kín với phép toán C(Dr ) 16 ∞ k k=0 ck z Thật vậy, giả sử u, v ∈ Hr Khi u(z) = ∞ k k=0 dk z , ∞ k k=0 |ck |r ∞ k k=0 |dk |r và v(z) = chuỗi hội tụ Từ ∞ (ck + dk )z k u(z) + v(z) = k=0 ∞ ∞ |ck + dk |r ∞ k k |dk |rk < ∞ |ck |r + k=0 k=0 k=0 suy u + v ∈ Hr Ta có ∞ u(z)v(z) = ∞ ck z k=1 ∞ k l ck dl z m dl z = m=0 k+l=m k=1 ∞ ∞ |ck dl |r m ∞ |ck |r m=0 k+l=m k k=0 |dl |rl < ∞ l=0 Vì uv ∈ Hr Đặc biệt λu ∈ Hr với λ ∈ C Do Hr đại số phức Dễ thấy, Hr đại số giao hoán 2.1.2 Định lý ([5]) Hr đại số Banach với chuẩn xác định ∞ |ck |rk u = (2.2) k=0 với u ∈ Hr Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh công thức (2.2) chuẩn Hr Thật vậy, với u ∈ Hr ta có ∞ |ck |rk u = k=0 u = ck = với k, tức u = Với λ ∈ C ta có ∞ ∞ k |ck |rk = |λ| u |λck |r = |λ| λu = k=0 k=0 17 Với u, v ∈ Hr ta có ∞ ∞ k u(z) = dk z k ck z v(z) = k=0 k=0 Khi ∞ ∞ |ck + dk |r u+v = k ∞ k |dk |rk = u + v |ck |r + k=0 k=0 k=0 Tiếp theo, ta chứng minh Hr không gian Banach Giả sử (un ) ⊂ Hr ∞ n k k=0 ck z , trog ∞ n m k u −u = |cnk − cm k |r k=0 ∞ k k=0 |ck |r dãy Cauchy Ta có un = hội tụ →0 (2.3) m, n → ∞ Kéo theo, với k = 1, 2, ta có k |cnk − cm k |r → m, n → ∞ Suy |cnk − cm k |→0 m, n → ∞ Do (cnk )∞ n=1 dãy Cauchy C Vì C đầy đủ nên lim cnk = dk ∈ C với k = 1, 2, Đặt v(z) = n→∞ ∞ k k=0 dk z Từ (2.3), với ε > tồn n0 cho l j |cnj − cm j |r um − un < ε j=0 với m, n n0 với l = 1, 2, Cố định m n0 cho n → ∞ ta nhận l j |cm j − dj |r < ε j=0 với m n0 với l = 1, 2, Suy ∞ k |cm k − dk |r < ε k=0 (2.4) 18 Mặt khác ta có ∞ k |cm k |r < ∞ Vì vậy, từ |dk | k=0 m |cm k − dk | + ck | với k ta có ∞ |dk |rk < ∞, k=0 tức v ∈ Hr Từ (2.4) ta nhận um − v < ε với m n0 Do um hội tụ tới v Suy Hr không gian Banach Bây giờ, ta chứng minh uv u v với u, v ∈ Hr Với u, v ∈ Hr ta có ∞ ∞ ck z k v(z) = u(z) = k=0 Khi dk z k k=0 ∞ |ck dl r| rm uv = m=0 k+l=m m |ck dl |rj lim m→∞ j=0 k+l=j m |ck |r lim m→∞ ∞ k=0 m |ck |r k=0 ∞ k |ck |r = |dl |rl k=0 m = lim m→∞ m k k=0 k |dl |rl lim m→∞ k=0 |dk |rk k=0 = u v Rõ ràng, với e(z) = với z ∈ C ta có e = 1r0 = Vì Hr đại số Banach giao hoán 19 Ta nhắc lại Dr = {z ∈ C : z r} 2.1.3 Mệnh đề Với z0 ∈ Dr ánh xạ ϕz0 : Hr → C xác định ∞ ck z0k = u(z0 ) ϕz0 (u) = k=0 đồng cấu phức Chứng minh Vì chuỗi ∞ k k=0 |ck |z ∞ k k=0 |ck |r hội tụ nên theo dấu hiệu so sánh hội tụ Dr , tức u(z0 ) tồn Do đó, ϕz0 xác định Với u, v ∈ Hr ta có ∞ ∞ k u(z) = dk z k ck z v(z) = k=0 k=0 Khi ϕz0 (u + v) = (u + v)(z0 ) = u(z0 ) + v(z0 ) = ϕz0 (u) + ϕz0 (v) Với λ ∈ C ta có ϕz0 (λu) = (λu)(z0 ) = λu(z0 ) = λϕz0 (u) Ta có Ta có ϕz0 (uv) = (uv)(z0 ) = u(z0 )v(z0 ) = ϕz0 (u)ϕz0 (v) Vậy ϕz0 đồng cấu phức Định lý sau mô tả cấu trúc không gian ideal cực đại Hr 2.1.4 Định lý Không gian ideal cực đại MHr Hr đồng phôi với Dr Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh đồng cấu phức Hr có dạng ϕz với z ∈ Dr Thật vậy, giả sử ϕ đồng cấu phức Hr Xét hàm u(z) = z Đặt z0 = ϕ(u) := ϕ(z) Giả sử |z0 | > r Khi đó, chuỗi ∞ k=0 rk k |ϕ(z)| 20 hội tụ Do ∞ zk ∈ Hr [ϕ(z)]k v(z) = k=0 Vì ϕ đồng cấu phức nên ∞ ϕ(v) = ϕ k=0 zk = [ϕ(z)]k ∞ k=0 ϕ(z k ) = [ϕ(z)]k Ta nhận mâu thuẫn Vậy |z0 | ∞ k=0 [ϕ(z)]k = [ϕ(z)]k ∞ = ∞ k=0 r Tiếp theo, ta ϕ = ϕz0 Thật vậy, với u ∈ Hr ta có ∞ ck z k u(z) = k=0 Do đó, từ tính chất đồng cấu phức ϕ suy ∞ ϕ(u) = ϕ ∞ ck z k ck ϕ(z k ) = k=0 k=0 ∞ ∞ ck [ϕ(z)]k = = k=0 ck z0k = u(z0 ) k=0 = ϕz Vì ϕ = ϕz0 Bây giờ, xét ánh xạ τ : Dr → MHr xác định τ (z) = ϕz Khi đó, từ chứng minh ta có τ song ánh Giả sử zn hội tụ tới z Dz Khi u(zn ) → u(z) với u ∈ Dr (do u hàm liên tục (chỉnh hình phần trong) Dr ) Suy ϕzn (u) → ϕz (u) tức ϕzn → ϕz 21 n → ∞ Ta nhận τ (zn ) → τ (z) Như vậy, τ liên tục Vì Dr MHr không gian Hausdorff compact nên ta nhận τ phép đồng phôi 2.1.5 Nhận xét 1) Phép biến đổi Gelfand uˆ u xác định uˆ(ϕ) = ϕ(u) = ϕz (u) = u(z) ˆ r đồng với Hr với z ∈ Dr Vì uˆ = u Do đó, H 2) Đại số Hr đại số nửa đơn Thật vậy, giả sử u ∈ ϕ∈MHr ϕ−1 (0) Khi ϕ(u) = ϕz (u) = u(z) với z ∈ Dr Do u = 0, ϕ∈MHr ϕ−1 (0) = {0}, tức đại số Hr nửa đơn Định lý sau mô tả cấu trúc biên Shilov Hr 2.1.6 Định lý Biên Shilov SHr Hr đường tròn Cr = {z ∈ C : |z| = r} ˆ r Khi uˆ = u Ta có u(z) = Chứng minh Giả sử uˆ ∈ H ∞ k k=0 ck z hàm chỉnh hình phần Dr liên tục biên Dr Vì vậy, theo nguyên lý mô đun cực đại u đạt cực đại biên Dr , tức |u| đạt cực đại đường tròn Cr = {z ∈ C : |z| = r} Do Cr biên Hr , nên Cr chứa biên Shilov Hr , tức SHr ⊂ Cr Bây giờ, giả sử λ ∈ Cr Khi đó, u(z) = r2 +λz ∈ Hr Đặt λ = reiθ , θ 2π Ta nhận u(z) = r(r + e−ßθ z) 22 Với z ∈ Dr Khi z = ρeiα , α 2π, ρ r Khi ρ |u(z)|2 = r2 |1 + ei(α−θ) |2 r ρ ρ = r2 + + cos(θ − α) r r r (1 + + 2) = 4r2 Dấu bất đẳng thức xẩy ρ = r α = θ Như u đạt cực đại điểm λ Vì vậy, E biên Hr Khi E phải chứa Cr Tức Cr chứa biên Hr Do Cr giao tất biên Hr Ta nhận Cr ⊂ SHr Vì Cr = SHr 2.2 Một vài ứng dụng đại số Banach Hr Mục ứng dụng đại số Hr chứng minh tồn nghiệm toán giá trị biên (giá trị ban đầu) dạng định lý hàm ẩn Xét phương trình vi phân phức w = f (z, w), với điều kiện biên w(z0 ) = w0 Bằng cách xét biến độc lập z − z0 w − w0 ta đưa toán tới trường hợp z0 = w0 = Do đó, ta cần xét toán w (z) = f (z, w(z)), w(0) = (2.5) Sau điều kiện đủ để toán (2.5) tồn nghiệm 23 aij z i wj , i, j 2.2.1 Định lý ([5]) Cho f (z, w) = Giả sử tồn r, b > thỏa mãn |aij |ri bj < ∞ L = M= ij |aij j|ri bj−1 < ∞ ij b r < phương trình (2.5) có nghiệm M L Khi đó, r Hr Ta cần kết bổ trợ cho chứng minh định lý Với u(z) = ∞ k k=0 ck z ta đặt ∞ (Iu)(z) = ck k=0 z k+1 k+1 (2.6) Khi đó, rõ ràng I : Hr → Hr Hơn nữa, ta có bổ đề sau 2.2.2 Bổ đề Toán tử I tuyến tính, liên tục I = r Chứng minh Dễ dàng kiểm tra I ánh xạ tuyến tính Ta có ∞ Iu = k=0 rk+1 =r |ck | k+1 ∞ k=0 Do I tuyến tính I ∞ rk |ck | k+1 |ck |rk r r u k=0 Bây giờ, u = u = Do I = sup I(v) I(1) = r v =1 Do I = r Chứng minh Định lý 2.2.1 Xét ánh xạ F xác định (F w)(z) = f (z, w(z)) Nghiệm phương trình (2.5) điểm bất động ánh xạ Ψ(w) = I ◦ F w 24 Đặt B = {u ∈ Hr : u b} Đầu tiên ta chứng minh I ◦ F (B) ⊂ B Thật vậy, giả sử u ∈ B Khi aij z i wj ∈ Hr vk = i+j=k |aij |ri |bj vk i+j=k Từ ∞ k=0 |aij |ri bj = M suy chuỗi vk ∞ k=0 vk hội tụ tuyệt đối, hội tụ đại số Banach Hr Do ∞ vk = F u ∈ Hr v= k=0 F u M Do đó, áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta có I ◦ Fu r Fu rM b Do I ◦ F (B) ⊂ B Tiếp theo, ta I ◦ F ánh xạ co B Giả sử u, v ∈ B Khi u , v b Khi đó, từ uj − v j = (u − v)(uj−1 + uj−2 v + + v j−1 ) ta có j−1 uj − v j uj−1−k u−v vk u − v jbj−1 k=0 Do Fu − Fv |aij | z i uj − v j |aij |ri jbj−1 u − v = L u − v Vì vậy, áp dụng Bổ đề 2.2.2 ta nhận I ◦ Fu − I ◦ Fv rL u − v 25 với rL < Như vậy, I ◦ F ánh xạ co B Vì B tập đóng đại số Banach hr nên không gian mêtric đầy đủ với mêtric cảm sinh Theo nguyên lý ánh xạ co Banach I ◦ F có điểm bất động w ∈ B, tức w = I ◦ F w Định lý chứng minh Tiếp theo, ta ứng dụng đại số Hr để chứng minh dạng định lý hàm ẩn Để ý rằng, z = x ∈ R đại số Hr đại số Banach thực Cho ∞ aij xi y j , f (0, 0) = a00 = 0, fy (0, 0) = a01 = 0, f (x, y) = (2.7) i,j=0 aij , x, y ∈ R 2.2.3 Định lý ([5]) Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện (2.7) chuỗi ∞ i j i,j=0 aij x y hội tụ tuyệt |x| tồn tai số dương r a |y b(a, b > 0) Khi đó, b w ∈ Hr cho a, s f (x, w(x)) = với |x| r |w(x)| s and f (x, y) = với (x, y) ∈ [−r, r] × [−s, s] mà (x, y) = (x, w(x)) Chứng minh Phương trình f (x, y) = tương đương với ∞ bij xi y j =: g(x, y), y= i,j=0 aij với i, j lại Sử dụng ký hiệu a01 Gw(x) = g(x, w(x)), phép chứng minh quy tồn điểm b00 = b01 = bij = bất động ánh xạ G Hr Chọn số r, s thỏa mãn |bi0 |ri K= i s L = |bij |ri sj−1 i,j 26 Tương tự phép chứng minh Định lý 2.2.1, với u , v Gu − Gv L u−v s u−v Hơn nữa, từ K = G(0) G(u) với u ∈ Hr u G(0) + G(u) − G(0) s +L u s Do đó, G ánh xạ hình cầu u s s vào Vì vậy, áp dụng nguyên lý ánh xạ co Banach ta có G có điểm bất động w Hr Định lý chứng minh 27 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày số kết mở đầu đại số Banach, đại số Banach giao hoán Chứng minh chi tiết kết Walter cấu trúc đại số Banach cho đại số Hr (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2) 2) Đưa mô tả cấu trúc không gian ideal cực đại (Định lý 2.1.4), cấu trúc biên Shilov (Định lý 2.1.6) đại số Hr 3) Trình bày hai ứng dụng đại số Hr chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi phân phức (Định lý 2.2.1) dạng định lý hàm ẩn (Định lý 2.2.3) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số đều, Nhà xuất ĐHSP-Hà nội [3] H Alexander and J Wermer (1998), Several complex variables and Banach algebras, Third edition Graduate Texts in Mathematics, 35 Springer-Verlag, New York [4] W A Harris, Y Sibuya and L Weinberg(1969),Holomorphic solutions of linear differential systems at singular points Arch Rational Mech Anal 35 245-248 [5] W Walter(1992), A useful Banach algebra, Elem Math 47, no 1, 27-32 [...]... nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán Tập con J ⊂ A được gọi là một ideal nếu J là một không gian con của A và f g ∈ J với mọi f ∈ J và với mọi g ∈ A Ideal J của A được gọi là ideal cực đại nếu J = A và J không nằm trong bất kỳ một ideal thực sự nào của A 11 1.2.14 Bổ đề ([2]) i) Mỗi ideal thực sự của A được chứa trong một ideal cực đại của A ii) Ideal J là cực đại khi và chỉ khi A/J là một trường... Giả sử A là đại số Banach giáo hoán và f ∈ A Khi đó σ(f ) = fˆ(MA ) 1.2.23 Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán và f ∈ A Khi đó ρ(f ) = f MA 1.2.24 Hệ quả Cho A là một đại số Banach giao hoán Phép biến đổi Gelfand G : f → fˆ là đẳng cự khi và chỉ khi f 2 = f 2 , ∀f ∈ A 1.2.25 Định nghĩa Cho A là đại số Banach giao hoán Giao tất cả các ideal cực đại của A được gọi là căn của đại số A và ký hiệu... điều cần chứng minh 15 CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ BANACH HR VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chương này nghiên cứu một lớp đại số Banach các hàm được đề xuất bởi Harris và các cộng sự năm 1969 (xem [4]) và được nghiên cứu sâu hơn bởi Walter năm 1992 (xem [5]) Ngoài việc chứng minh chi tiết lại những kết quả trong [5], chúng tôi đề xuất các kết quả về cấu trúc không gian các ideal cực đại, biên Shilov của đại số Banach Hr... bày một vài ứng dụng của đại số Hr trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị biên và định lý hàm ẩn 2.1 Đại số Banach Hr Cho r > 0 và ∞ ∞ k Hr = {u là tổng của chuỗi hàm ck z k hội tụ tuyệt đối tại z = r} ck z : k=0 k=0 (2.1) Trên Hr ta xét các phép toán cộng hai hàm, nhân một hàm với một số và nhân hai hàm theo điểm thông thường Khi đó, ta có mệnh đề sau 2.1.1 Mệnh đề ([5]) Hr là đại số. .. lý ánh xạ co Banach ta có G có duy nhất điểm bất động w trên Hr Định lý được chứng minh 27 kết luận Luận văn đã thu được các kết quả sau: 1) Trình bày một số kết quả mở đầu về đại số Banach, đại số Banach giao hoán Chứng minh chi tiết kết quả của Walter về cấu trúc đại số Banach cho đại số Hr (Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2) 2) Đưa ra các mô tả về cấu trúc của không gian các ideal cực đại (Định lý... trúc của biên Shilov (Định lý 2.1.6) của đại số Hr 3) Trình bày hai ứng dụng của đại số Hr trong chứng minh sự tồn tại nghiệm của một lớp phương trình vi phân phức (Định lý 2.2.1) và một dạng của định lý hàm ẩn (Định lý 2.2.3) 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, Tập I và Tập II, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Quang Diệu (2010), Nhập môn đại số. .. nếu và chỉ nếu ϕn (f ) → ϕ(f ), ∀f ∈ A 1.2.18 Định lý Không gian các ideal cực đại MA của đại số Banach giao hoán A là Hausdorff compact 12 1.2.19 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán , MA là không gian các ideal cực đại của A và f ∈ A Phép biến đổi Gelfand của f là hàm nhận giá trị phức fˆ : MA → C được xác định bởi fˆ(φ) = φ(f ), ∀φ ∈ MA Mệnh đề sau trình bày một số tính chất đơn giản của. .. duy nhất tại điểm λ Vì vậy, nếu E là biên của Hr Khi đó E phải chứa Cr Tức là Cr được chứa trong mọi biên của Hr Do đó Cr ở trong giao tất cả các biên của Hr Ta nhận được Cr ⊂ SHr Vì vậy Cr = SHr 2.2 Một vài ứng dụng của đại số Banach Hr Mục này ứng dụng đại số Hr trong chứng minh sự tồn tại nghiệm bài toán giá trị biên (giá trị ban đầu) và một dạng của định lý hàm ẩn Xét bài phương trình vi... = 0 1.2.28 Định nghĩa Cho A là một đại số Banach giao hoán Tập con đóng E ⊂ MA được gọi là một biên của A nếu |fˆ(x)| fˆ E, ∀f ∈ A, x ∈ MA Hiển nhiên chúng ta chỉ quan tâm tới các biên nhỏ nhất của A 1.2.29 Định lý (Shilov) Giao tất cả các biên của một đại số Banach A cũng là một biên của nó 1.2.30 Định nghĩa Giao tất cả các biên của A là S(A), được gọi là biên Shilov của A 1.2.31 Ví dụ Cho ∆ = {z... là ánh xạ co trên B Vì B là tập con đóng của đại số Banach hr nên nó là không gian mêtric đầy đủ với mêtric cảm sinh Theo nguyên lý ánh xạ co Banach I ◦ F có điểm bất động duy nhất trong w ∈ B, tức là w = I ◦ F w Định lý được chứng minh Tiếp theo, ta ứng dụng đại số Hr để chứng minh một dạng của định lý hàm ẩn Để ý rằng, nếu z = x ∈ R thì đại số Hr là đại số Banach thực Cho ∞ aij xi y j , f (0, 0) = ... Mở đầu đại số Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số kết đại số Banach Đại số Banach Hr vài ứng dụng 15 2.1 Đại số Banach Hr ... văn là: Về số tính chất lớp đại số Banach ứng dụng Nội dung luận văn trình bày số kết mở đầu đại số Banach, đại số Banach giao hoán đại số Banach Hr Ngoài việc trình bày kết có, đề xuất chứng minh... tục f đồng phôi 1.2 Một số kết đại số Banach Mục trình bày khái niệm tính chất mở đầu Đại số Banach giao hoán Các kết trích từ [2] 1.2.1 Định nghĩa Một đại số Banach A đại số phức thoả mãn điều