Nhóm lie và trường vectơ bất biến trái trên nhóm lie

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRầN vĂN THắNG NHóM LIE Và TRƯờNG VecTƠ BấT BIếN TRáI TRÊN NHóM LIE Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-íng dÉn khoa häc: PGS TS Ngun H÷u Quang Vinh - 2011 LỜI NĨI ĐẦU Trong Tơpơ nói riêng Tốn học nói chung lí thuyết nhóm Lie đóng vai trị quan trọng Nhóm Lie cấu trúc hữu hiệu sử dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học đại (Hình học, Đại số, lí thuyết số, Tơpơ,…) Khơng vậy, nhóm Lie cịn có nhiều ứng dụng Vật lí (đặc biệt lí thuyết hạt), Hóa học, … Trong Tốn học, nhóm Lie, đặt tên theo nhà Toán học người Na Uy Sophus Lie, nhóm, đa tạp trơn, với tính chất tốn tử nhóm tương thích với cấu trúc khả vi Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển lí thuyết đối xứng liên tục cấu trúc Toán học Điều làm cho nhóm Lie cơng cụ cho gần tất nghành Toán học đại Vật lý lý thuyết đại, đặc biệt Vật lý hạt Bởi nhóm Lie đa tạp, chúng nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân, tương phản với trường hợp nhóm tơpơ tổng qt Một ý tưởng lý thuyết nhóm Lie, đề Sophus Lie, thay cấu trúc toàn cục, nhóm, với phiên mang tính địa phương hay cịn gọi phiên làm tuyến tính hóa, mà Lie gọi nhóm cực nhỏ mà biết đến đại số Lie Nhóm Lie cung cấp phương tiện tự nhiên để phân tích đối xứng liên tục phương trình vi phân, cách thức nhóm hốn vị sử dụng lý thuyết Galois để phân tích đối xứng rời rạc phương trình đại số Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất nhóm Lie trường vectơ bất biến trái nhóm Lie Do đó, luận văn mang tên: Nhóm Lie trƣờng vectơ bất biến trái nhóm Lie Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng 1: Đa tạp khả vi Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân đa tạp ánh xạ đối tiếp xúc đa tạp Chương xem phần sở cho việc trình bày chương Chƣơng 2: Nhóm Lie trƣờng vectơ bất biến trái nhóm Lie Chương nội dung luận văn Ở chúng tơi trình bày cách có hệ thống nhóm Lie, nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với hướng dẫn tận tình Thầy Nhân dịp hồn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, giáo tổ mơn Hình học - Tơpơ, thầy giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THCS Đa Phúc, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác gi Ch-ơng đa tạp khả vi Trong chng này, chúng tơi trình bày khái niệm đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc, 1-dạng vi phân đa tạp M ánh xạ đối tiếp xúc đa tạp I ®a tạp khả vi 1.1 nh ngha (xem ) Gi sử M T2 không gian với sở đếm được, U tập mở M, U tập mở R Ánh xạ  : U  U đồng phơi (U;  ) gọi n đồ M Chú ý: Với p  U  p’ =  (p)  IR n  p’( x1 , , xn ) Ta nói ( x1 , , xn ) tọa độ p  (U;  ) gọi hệ tọa độ địa phương Một điểm p thuộc nhiều đồ, p có nhiều tọa độ khác 1.2 Ví dụ Trong R2 ta xét M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1} Khi đó, với U1 = {(x;y)  S1| y > 0}, U1 tập mở S1 U = (-1;1), U tập mở R Ta ý tới ánh xạ: φ1: U1  U (x;y) Khi đó, (U1;φ1) đồ S1 x Chứng minh : * φ1 song ánh: Với A; B  U1, A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ), A  B ta có:  x12  y12  Vì A  U1    y1   x2  y2  B  U1    y2   A( x1 ;  x12 )  B( x2 ;  x2 ) Vì A  B  x1  x2  φ1(A)  φ1(B) Vậy : φ1 dơn ánh .Với x  U 1, ln tồn A( x ;  x )  U1 cho φ1(A) = x Vậy φ1 tồn ánh * φ1 liên tục: Vì φ1(x;y) = x  φ1 phép chiếu thứ  φ1 liên tục * φ-11 liên tục: Ta có: φ-11: U  U x  x;  x2  φ-11  x  = (  1;  2)  x  với   x  = x ,   x  =  x với x (-1;1)  phép đồng nên  liên tục   x  =  x hàm sơ cấp có tập xác định  1;1 nên  liên tục (-1;1) Do đó: φ-11 liên tục Vậy: φ1 đồng phôi  (U1;φ1) đồ S1 1.3 Định nghĩa (xem 5 ) Giả sử (U1;φ1) (U2;φ2) hai đồ M cho W = U1  U2   Khi (U1;φ1) (U2;φ2) gọi phù hợp ánh xạ φ2  φ1-1 vi phôi Chú ý: + Ta đặt W1 = φ1(W), W2 = φ2(W) Khi (U1;φ1) (U2;φ2) gọi phù hợp ánh xạ: φ2  φ1-1 : W1  W2 vi phôi + Ta quy ước U1  U2   (U1;φ1) (U2;φ2) phù hợp 1.4 Ví dụ Trong R2, ta xét M = S1 ={(x;y) | x2 + y2 = 1} Khi đó, với U1 = {(x;y)  S1 | y > 0}, U1 tập mở S1 U = (-1;1) tập mở R Ánh xạ: φ1: U1  U (x;y) x (U1 ; φ1) đồ S1(đã chứng minh trên) Xét U2 = {(x;y)  S1| x > 0} tập mở S1 U = (-1;1) tập mở R Ánh xạ: φ2: U2  U (x;y) y Chứng minh tương tự ta (U2 ; φ2) đồ S1 Ta chứng minh (U1 ; φ1) (U2 ; φ2) phù hợp S1 Thật vậy: Đặt W = U1  U2 = {(x;y)  S1| x > 0, y> 0} W1 = φ1(W) = (0;1) W2 = φ2(W) = (0;1) Ánh xạ: f = φ2.φ1-1: W1  W2 t 1 t2 * f song ánh: Với t1 ; t2  W1; t1  t2   t12   t2  f( t1 )  f( t2 ) Vậy f đơn ánh Với y  W2 tồn x =  y  W1 cho f(x) = y Vậy f toàn ánh * f hàm khả vi: Vì f hàm sơ cấp biến, f có đạo hàm liên tục (0;1) nên f hàm khả vi * f-1 hàm khả vi: Với t  (0;1), ta có: f-1( t ) = (φ2.φ1-1)-1( t ) = (φ1.φ2-1)( t ) = φ1.(φ2-1( t )) = φ1(x; t ) = x =  t -1 -1  f = f  f hàm khả vi Vậy f vi phôi Do (U1 ; φ1) (U2 ; φ2) phù hợp S1 1.5 Cấu trúc khả vi Giả sử M T2 không gian i, Một hệ đồ U ;  thỏa mãn + +  U     U ;  ; U  ;  phù hợp, với    gọi cấu trúc khả vi M ii, Tập M với cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi n-chiều 1.6 Ví dụ Trở lại với ví dụ 1.4 Ta xét:   U3 = {(x; y )  S1| x  0} = {   y ; y | y  (1;1) } tập mở S1 U = (-1;1) tập mở R Ánh xạ: φ3: U3  U  1 y ; y y = {( x ; y )  S | y  0} = {  x;   x  | x  (1;1) } tập mở S U4 U = (-1;1) tập mở R Ánh xạ: φ4: U4  U  x;   x  x Tương tự ta chứng minh (U3 ; φ3) (U4 ; φ4) hai đồ M U   (Ui ; φi), (UJ ; φJ) phù hợp với i  J, i,J = 1; Dễ thấy   Do đó: U ;  cấu trúc khả vi M Vậy: M = S1 đa tạp khả vi 1-chiều II Vectơ tiếp xúc đa tạp Gi s M đa tạp khả vi m-chiều với cấu khả vi U ;  Ta kí hiệu ₣p = { f : M  | f khả vi lân cận Up chứa p} 1.7 Định nghĩa (xem 5 ) Vectơ tiếp xúc với đường cong  (t) điểm p, ánh xạ: v: ₣p  f v( f ) = d f  (t ) dt t  t0 Trong  (t) đường cong qua p,  (t0) = p Nếu v tiếp xúc với đường cong  (t) p ta nói v vectơ tiếp xúc với M p 1.8 Ví dụ a, Ví dụ giả sử (p1;p2;…;pm) toạ độ p đồ (U;φ) Ta xét ánh xạ:  : (a,b)  M p(p1;p2;…;pm) t Khi vectơ  tiếp xúc với đường cong  (t) p vectơ Thật vậy: ( f ) = d f ( p1; p2; ; pm ) t t = 0, f  ₣p dt Do đó:  = b, Ví dụ Xét ánh xạ: i : U  X(x1;x2;…;xm) ; với (U;φ) đồ M xi với X  Up ánh xạ :  : (a,b)  U t (x1(t);x2(t);…;xm(t)) Giả sử v vectơ tiếp xúc với đường cong  (t) p Khi đó: v( i ) = = d i dt  (t ) t t = dxi (t ) dt t t0 d  i ( x1 (t ); x2 (t ); ; xm (t )) dt = xi  t0  1.9 Tính chất (xem 5 ) 9.1 Định lí Giả sử v vec tơ tiếp xúc với M p Khi đó: i, v ánh xạ tuyến tính ii, v( fg )  g ( p)v( f )  f ( p)v( g ) , với f , g  ₣p t t0 Chứng minh: i, Với f , g  ₣p , với  ,   , ta có: v( f   g )  d ( f   g )  (t ) dt = t t0 d ( f  (t )   g  (t )) dt = d (f dt  (t ) t t0  t t0 d g  (t ) dt t t0 =  v ( f )   v( g ) Vậy: v ánh xạ tuyến tính ii, Với f , g  ₣p, ta có: v( fg )  =  d (( fg )  (t ) dt d ( f dt d f dt t t0  (t ))( g  (t )) t t  (t ) t t g  (t ) t t 0  f  (t ) t t0 d g  (t ) dt t t0 = v( f ) g ( p)  f ( p)v( g ) 1.9.2 Định lí Giả sử TpM = {v | v tiếp xúc với M p} Khi TpM với hai phép tốn: 1, ( v 1+ v 2)( f ) = v 1( f ) + v 2( f ), v1 , v2  TpM,  f  ₣p 2, (  v )( f ) =  v ( f )   , v TpM,  f  ₣p làm thành không gian véc tơ, gọi không gian vectơ tiếp xúc với M p Chứng minh: * Phép cộng có tính chất giao hốn Với  v1; v2  TpM ,  f  ₣p ta có:  v1  v2  f   v1  f   v2  f   v2  f   v1  f   v2  v1  f   v1  v2  v2  v1 30 U3 = a  bi  S a0 = a  bi  a  b 1; a0  =   b2  bi b   1;1 U3* = (-1;1) Xét ánh xạ: U3 → U3* φ3:   b2  bi U4 = a  bi  S b0 =  b a  bi a  b 1; b0  = a   a i a   1;1 U4* = (-1;1) Xét ánh xạ: φ4: U4 → U4* a   a2 i a Chứng minh tương tự ta (U2;φ2), (U3;φ3), (U4;φ4) đồ S1 Ta chứng minh (U1;φ1) (U2;φ2) phù hợp S1 Thật vậy: với W = U1 ∩ U2 = a  bi  S  a 0; b W1 = φ1(W) = (0;1) W2 = φ2(W) = (0;1) Đặt: -1 f  φ2.φ1 : W1  W2 t 1 t2 Khi : + f song ánh Thật : Với t1; t2  W1 , t1  t2   t12   t2  f  t1   f  t2  Vậy : f đơn ánh Với y  W2 tồn x   y  W1 cho f ( x)  y 31 Vậy: f tồn ánh + f hàm khả vi Vì f hàm sơ cấp biến, f có đạo hàm liên tục (0;1) Do f khả vi + f 1 hàm khả vi Với t 0;1 ta có f 1  t  = (φ2.φ1-1)-1  t  = (φ1.φ2-1)  t   = φ1(φ2-1  t  ) = φ1 t   t i  = 1 t2  f 1  f  f 1 hàm khả vi Vậy: f vi phơi Do (U1;φ1) (U2;φ2) phù hợp S1 Tương tự ta chứng minh (U3;φ3) (U4;φ4) phù hợp S1 1 U i  S Do {(Ui;φi)} cấu trúc S Dễ thấy i I Vậy: S1 đa tạp khả vi iii Kiểm tra hai phép toán S1 khả vi Ánh xạ: 1 : S  S  (x,y) S1 x.y Với x = a + bi  S1; y = c + di  S1, ta có : x.y = (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i hàm khả vi Ánh xạ: : S y với y 1   S1 y 1 c  di 2 2   c  di  S , c + (-d) = c + d = 1,  hàm c  di c  d khả vi Vậy: S1 phép nhân số phức có mođun lập thành nhóm Lie 32 2.3 Mệnh đề (xem  4 ) Giả sử a phần tử cố định nhóm Lie G Các ánh xạ sau vi phôi: i, phép tịnh tiến trái theo a: La: G  G ax, x  G x ii, phép tịnh tiến phải theo a: a: G  G xa, x  G x iii, phép lấy nghịch đảo: : G  G x-1, x  G x Chứng minh: i, Ta cần chứng minh La vi phôi, việc chứng minh a vi phôi ta làm tương tự +, La song ánh Với x, y  G La (x) = La (y) ax = ay  a-1ax = a-1ay  x = y Vậy La đơn ánh Với y  G tồn a-1y  G cho La (a-1y ) = aa-1y = y Vậy La tồn ánh Do : La song ánh Ánh xạ La khả vi Xét ánh xạ: h: G  G G x (a;x) ánh xạ: g: GG  G (a;x) a.x, với a cố định G x  G 33 Khi đó: La = g h: G  G ax, x  G x Do G nhóm Lie nên ánh xạ g, h khả vi  g h khả vi Vậy La khả vi Ánh xạ La -1 khả vi Ta có : La -1 : G  G x a-1.x, với a cố định G x  G Chứng minh tương tự ánh xạ La ta La -1 khả vi Vậy: La vi phôi ii,  vi phôi + Dễ thấy  sonh ánh + Xét ánh xạ : : G  G x  1 : x-1, với x  G G  G x x-1, với x  G   =  1 Theo định nghĩa nhóm Lie G   1 khả vi Vậy:  vi phôi Hệ a, Giả sử F đóng G a cố định G Khi đó: aF, Fa, F-1 tập đóng G b, Giả sử U mở G p tập tùy ý G Khi đó: P.U = { p.u | p  P; u U} U.P = { u.p | u  U; p  P } U-1 = { u-1 | u  U } tập mở G 34 Chứng minh: a, xét ánh xạ :  La: F ax, với a cố định G x  F x a: aF  F Fa xa, với a cố định G x  F x  : F  F-1 x-1 với x  F x Theo mệnh đề 2.3 ánh xạ La, Ra,  vi phôi, mà F tập đóng G -1  aF, Fa, F tập đóng G b, Ta có PU = p.U , UP = pP pP U p Cũng ánh xạ Lp, Rp,  vi phôi, mà U tập mở nên PU, UP, U-1 tập mở G Hệ Đối với hai phần tử p, q thuộc nhóm Lie G tồn phần tử a G cho qua phép tịnh tiến phải a p biến thành q Chứng minh: Đặt a = p-1q, Khi đó: a  : G G xa = x(p-1q) , x  G x Do đó: a(p) = p(p-1q) = q Mặt khác, tồn a để a(p) = q, có pa1 = q Từ đó, suy a1 = p-1q =a 2.4 Định lí (xem  4 ) Tích Descarter hai nhóm Lie nhóm Lie Chứng minh: Thật vậy: Giả sử G, G’ nhóm Lie Ta có: +) G  G’ nhóm với phép tốn: a1 (p) = q thì: 35 (a, b)(a’, b’) = (aa’, bb’);  (a, b), (a’, b’)  G  G’ Phần tử nghịch đảo (a, b) (a 1 , b 1 ), a 1 , b 1 phần tử nghịch đảo a, b G, G’ +) G  G’ đa tạp khả vi với tập đồ là: {(U   V ,    )} I ,J    Trong đó, {U  ,  )} I tập đồ G {V  ,   )} J tập đồ G’ +) Phép toán:  : (G  G’)  (G  G’)  G  G’ ((a, a’), (b, b’))  (ab, a’b’) ánh xạ khả vi (Vì ánh xạ: (a, b)  ab; (a’, b’)  a’b’ ánh xạ khả vi)  : G  G’  G  G’ (a, b)  (a 1 , b 1 ) ánh xạ khả vi (Vì ánh xạ: a  a 1 ; b  b 1 ánh xạ khả vi)  G  G’ nhóm Lie II NHĨM LIE CON 2.5 Định nghĩa (xem  4 ) Một tập H nhóm Lie G gọi nhóm Lie G H thỏa mãn: i, H nhóm G (theo nghĩa đại số) ii, H đa tạp đóng G với cấu trúc khả vi cảm sinh từ G 2.6 Ví dụ Ta có nhóm Lie với phép cộng thơng thường Khi X = { z.x | x  ; z } nhóm Lie Chứng minh: i, X nhóm 36 Ta có = z.0, z   0 X  X   Với z.x1; z.x2  X, ta có: z.x1 + z.x2 = z.(x1 + x2)  X Ta có: -(z.x) = z(-x)  X, với x  X, z  Vậy: X nhóm ii, Xét hàm số: f:  X z.x x f đơn ánh với z.x; z.y  X mà f (z.x) = f (z.y)  x = y  z.x = z.y f tồn ánh với x  , tồn z.x  X cho f (z.x) = x Vậy: f song ánh Dễ thấy f khả vi f -1 X : x z.x khả vi Vậy : f vi phôi Mà đa tạp khả vi  X đa tạp khả vi Vậy: X nhóm Lie 2.7 Định lí (xem  4 ) Giả sử H nhóm G H mở G Khi H đóng G Chứng minh: Giả sử H nhóm G H mở G Kí hiệu: G/H = { xH | x  G } lớp ghép G theo nhóm H Vì H tập mở G  xH tập mở G  G/H = xG xH  x  e  tập mở G  H đóng G Hệ a, H nhóm Lie G, H mở H đóng G b, Nếu G nhóm Lie biến thơng, V lân cận mở điểm đơn vị e  G Khi G = Ve  V 37 III TRƢỜNG VECTƠ BẤT BIẾN TRÁI TRÊN NHÓM LIE 2.8 Định nghĩa (xem  4 ) Trường vectơ X khả vi nhóm Lie G gọi trường vectơ bất biến   Nghĩa là:   La   p   X p   trái La  X  X ; a  G X ap ; p  G 2.9 Ví dụ Lấy G = n , với a  n n , La :  p n a+p (tức phép tịnh tiến: (x1, x2,…, xn) (a1 + x1, a2 +x2,…, an + xn) Khi đó:  JL a 1      0        1  Giả sử X trường vectơ bất biến trái    X1  a  p      =       X a  p    n  X1  a  p   X1  p         Xn a  p  X n  p n  X1  p             X p   n   1             1   ; p   p  X p   thì: La X a p (trong X(X1,…,Xn)) n  X1,…,Xn hàm  X trường vectơ song song n Vậy : X trường vectơ bất biến trái song song n n X trường vectơ 38 2.10.Nhận xét i, Mỗi trường vectơ bất biến trái hoàn tồn xác định giá trị đơn vị Thật vậy, X trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G, a  G , ta có: Xa  X ea  La  e X e  ii, Ta kí hiệu: g = {X    G  / X bất biến trái G}; g khơng gian vectơ thực 2.11 Mệnh đề (xem  4 ) Tích Lie hai trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G trường vectơ bất biến trái Chứng minh Với X, Y  g , a  G , ta có:  La p  X ,Y  p   f  =  La    X ,Y   Y  f La  , f , p La    Y  X  f La   p = X = X p   La Y  f   Y = X p Y  f    X  f  = Suy  X ,Y  p  f p  Y p p  La X  f   X , Y  p  f  , f , p  X ,Y  Hệ quả: Tập g trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G đại số Lie g gọi đại số Lie nhóm Lie G 2.12 Mệnh đề (xem  4 ) Nếu  : G  H đồng cấu (đại số) từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H, thì:  La  L  a  39 Chứng minh:  Ta có: La  p    La  p   =   ap  =  a   p = L  a     p     =  L  a     p  ;   Vậy:  La  L  a p  G  2.13 Mệnh đề (xem  4 ) Cho  : G  H đồng cấu nhóm Lie, kí hiệu g, h theo thứ tự đại số Lie G đại số Lie H, X  g, Y  h Nếu  e X e  a X a   Ye ' Y  a  ; a  G (e’ đơn vị Y) Chứng minh: Với X  g, Y  h, theo định nghĩa ta có:  La  e X e Theo giả thiết, ta có: Y  a  = = =  L    e Ye  a  L    L     a  (1) a ' e  a   X      Xe    e  a   (2)    Xe   e   Mặt khác:    a  X a  =  a   La  e  X e     40   La  e  X e   =   a  =  = L    La  e  X e   a  e  Xe  (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra:  a  X  = Y  a  ; a  G Hệ quả: Giả sử  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G X, Y trường vectơ bất biến trái G cho  e X e  Ye  X = Y 2.14 Mệnh đề (xem  4 ) Giả sử  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G X trường vectơ bất biến trái G Khi   X  trường vectơ bất biến trái G Chứng minh: Giả sử X  g, ta phải chứng minh   X   g Ta có:  La  L  a   , Đặt a = a  G  1  b  , b  G Khi đó:   a   b , suy  L  1 b    L a = L  a   = Lb  Do đó:  Lb    X  =  Lb    X  ; a  G 41 =  Lb   X  =     L 1 b    X    =   L =   X    X 1 b         ( X  g) Vậy:   X  trường vectơ bất biến trái G Hệ quả: Nếu  : G  G tự đẳng cấu nhóm Lie G  tự đẳng cấu đại số Lie g G 2.15 Mệnh đề (xem  4 ): Cho X  g, ta có:  X  g  số Chứng minh: *) Điều kiện cần Do  X  g, nên ta có:  L  a  * p  X  ap =  X  ap =   p X p Do X  g nên  La * p X  ap   = Xp    ap   La    Từ (*) suy * p X      p ; a, p  G (*)   ap  =   p  ; a, p  G Vậy:  số *) Điều kiện đủ Giả sử  số nên Xét:  La * p  X  p =   ap  =   p  ; a  G  La * p   p  X p  42   Suy La    X  = =   p   La  =   ap  X ap =  X   * p   X  nên X p    a p ; a  G  X  trường vectơ bất biến trái 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau:  Hệ thống khái niệm đa tạp khả vi  Chứng minh chi tiết mệnh đề vectơ tiếp xúc đa tạp( định lí 1.9.1, định lí 1.9.2, định lí 1.9.3, định lí 1.9.4), ánh xạ tiếp xúc đa tạp (định lí 1.12, định lí 1.14, định lí 1.15,định lí 1.16  Hệ thống khái niệm 1-dạng vi phân đa tạp M, ánh xạ đối tiếp xúc chứng minh chi tiết số tính chất chúng  Trình bày khái niệm nhóm Lie, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie chứng minh chi tiết số tính chất trường vectơ bất biến trái, số ví dụ 2.2; 2.3; 2.4; 2.9 Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu dạng vi phân bất biến trái nhóm Lie ứng dụng 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học – Tơpơ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hồng Phương (2004), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào vật lý lượng tử, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [6] Thái Viết Thảo (2005), Về đại số Lie lũy linh đại số Lie giải được, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications ... 2: Nhóm Lie trƣờng vectơ bất biến trái nhóm Lie Chương nội dung luận văn Ở chúng tơi trình bày cách có hệ thống nhóm Lie, nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie Luận văn hoàn thành vào... 26 Ch-ơng nhóm lie tr-ờng vectơ bất biến tráI nhóm lie Trong chng ny, chỳng tơi trình bày khái niệm số tính chất nhóm Lie, nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie I NHĨM LIE 2.1 Định...  Hệ quả: Tập g trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G đại số Lie g gọi đại số Lie nhóm Lie G 2.12 Mệnh đề (xem  4 ) Nếu  : G  H đồng cấu (đại số) từ nhóm Lie G vào nhóm Lie H, thì:  La