Nhóm galois và trường con bất động

1 B GIO DC V O TO Tr-ờng đại học Vinh ĐÀO VĂN CHI NHÓM GALOIS VÀ TRƢỜNG CON BẤT NG Luận văn thạc sĩ toán học NGHệ AN 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN CHI NHÓM GALOIS VÀ TRƢỜNG CON BẤT ĐỘNG CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mó s: 60.46.05 Luận văn thạc sĩ toán học Ngi hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Thành Quang NGHÖ AN - 2012 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƢỜNG 1.1 Trường mở rộng 1.2 Trường nghiệm đa thức 1.3 Mở rộng tách mở rộng chuẩn tắc CHƢƠNG NHÓM GALOIS VÀ TRƢỜNG CON BẤT ĐỘNG 10 16 2.1 Nhóm Galois 16 2.2 Trường bất động 18 2.3 Mở rộng Galois 22 2.4 Mở rộng xyclic mở rộng 29 2.5 Tính giải nhóm Galois mở rộng 31 2.6 Tiêu chuẩn giải thức phương trình đại số 33 2.7 Ứng dụng Lý thuyết Galois vào toán dựng hình thước kẻ compa 40 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois lý thuyết đẹp đẽ toán học, tập hợp nhiều kiến thức phương pháp ngành toán học khác nhau, nhằm giải toán cổ điển vấn đề quan trọng khác Toán học đại Một ứng dụng chủ yếu Lý thuyết Galois giải tốn tìm nghiệm thức phương trình đa thức Mặt khác, Lý thuyết Galois cho phép xác định đa giác n cạnh dựng thước kẻ compa Bên cạnh đó, nhận Lý thuyết Galois lời giải cho toán dựng hình cổ điển Lý thuyết Galois tạo bước tiến quan trọng phương pháp sử dụng, để kỷ rưỡi sau đó, A Wiles chứng minh Định lý cuối Fermat Nguồn gốc Lý thuyết Galois vấn đề giải phương trình đại số thức, mà thực chất mở rộng trường cách ghép thêm liên tiếp thức Thành tựu Galois (1811-1832) chuyển vấn đề giải phương trình thành nội dung lý thuyết nhóm Ý tưởng Galois cho tương ứng phương trình đại số với nhóm hữu hạn, sau gọi nhóm Galois phương trình Tính chất giải nhóm Galois xác định tính giải thức phương trình Trường bất động mở rộng F trường K khái niệm đối ngẫu với khái niệm nhóm K - tự đẳng cấu, đóng vai trò quan trọng lý thuyết Galois Với lý trình bày trên, luận văn tập trung tìm hiểu nhóm Galois trường bất động tác động nhóm Galois với ứng dụng phương diện hình học Nội dung luận văn gồm chương Chương Trình bày kiến thức sở mở rộng trường: mở rộng đơn, mở rộng lặp, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, trường nghiệm đa thức, mở rộng tách được, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng xyclic, mở rộng Luận văn trình bày biểu đồ liên hệ lớp mở rộng trường Đối với mở rộng bậc hữu hạn, luận văn tìm hiểu số tiêu chuẩn sau: 1) Mở rộng chuẩn tắc  Trường nghiệm đa thức 2) Mở rộng đại số  Mở rộng tách Chương Giới thiệu khái niệm kết sở Lý thuyết Galois: Mở rộng Galois; Một số đặc trưng quan trọng mở rộng Galois; Định lý Lý thuyết Galois; Nhóm Galois tính giải nhóm Galois đa thức; Trình bày chi tiết chứng minh trường nghiệm đa thức tách trường bất động nhóm Galois đa thức đó; Giới thiệu số ứng dụng Lý thuyết Galois số tốn dựng hình Luận văn hoàn thành hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn khoa học, người dành cho tác giả hướng dẫn chu đáo nghiêm túc trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo Bộ môn Đại số, Khoa Tốn học, Phịng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Ban Giám hiệu tập thể giáo viên Trường THPT Mai Kính, Sở Giáo dục Đào tạo Hà Tĩnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập Mặc dù cố gắng hết sức, song luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp TÁC GIẢ CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƢỜNG 1.1 Trƣờng mở rộng 1.1.1 Định nghĩa Nếu K trường trường E , ta gọi E trường mở rộng (hay nói gọn mở rộng) trường K Mở rộng E trường K ký hiệu E / K Giả sử E mở rộng trường K , ta xem E không gian vectơ K Nếu E không gian vectơ hữu hạn chiều trường K , ta nói E mở rộng bậc hữu hạn trường K Số chiều n không gian vectơ E K gọi bậc mở rộng E K Ta ký hiệu  E : K  bậc mở rộng E K Như vậy, ta có  E : K   dimK E  n Mỗi hệ sinh sở không gian vectơ E K gọi h sinh sở mở rộng E K 1.1.2 Định lí Với đa thức f ( x) bất khả quy trường K , tồn trường mở rộng N K f ( x) có nghi m Chứng minh Xét vành thương N  K  x / I vành K  x  iđêan I sinh f ( x) Vì K  x  vành giao hốn nên N vành giao hốn có đơn vị   I Rõ ràng ta có  , ta chứng minh N trường Thật vậy, giả sử g  x = g  x  I phần tử khác khơng N Vì g  x   nên g  x   I , hay g  x  không chia hết cho f ( x) Do f ( x) bất khả quy K , nên f ( x) g ( x) nguyên tố K Vì vậy, tồn đa thức r  x  , s  x   K  x cho ta có: f  x  r  x   g  x  s  x   Chuyển sang lớp được: f  x .r  x   g  x .s  x   Do f  x   , nên g  x .s  x   Điều chứng tỏ g  x  khả nghịch vành N, hay N trường Thiết lập ánh xạ  : K  N , a a  I  a Rõ ràng,  đơn cấu trường Vậy tập hợp phần tử a N , với a  K lập thành trường đẳng cấu với K Nếu đồng K với  ( K ) , cách đồng a  a, a  K , ta xem K trường trường N Ngoài ra, f  x   a0  a1 x    f  x   a0  a1 x   an x n ,  K ta có  an x n  a0  a1 x  n   an x  f x Vậy phần tử x  x  I  N nghiệm đa thức f ( x) ▄ 1.1.3 Định nghĩa Giả sử K trường trường E, u  E Ta ký hiệu K (u ) trường bé E chứa K u Ta gọi K (u ) mở rộng đơn trường K sinh u hay ghép thêm phần tử u 1.1.4 Định lý (xem [4]) Giả sử K trường, E mở rộng trường K , u  E , đó: i) Nếu u phần tử siêu vi t K mở rộng đơn K (u ) đẳng cấu với trường phân thức hữu tỉ K ( x) qua đẳng cấu trường:  : K ( x)  K (u) cho  ( x)  u,  (a)  a; a  K ii) Nếu u phần tử đại số trường K mở rộng đơn K (u ) đẳng cấu với trường K  x / (q) qua đẳng cấu trường:  : K  x / (q)  K (u) cho  ( x  (q))  u  (a  (q))  a, a  K , q  q( x) đa thức cực tiểu phần tử u K (q) iđêan sinh đa thức q vành đa thức K  x  1.1.5 Định nghĩa Giả sử E mở rộng K u1 , u2 , , us  E Ta ký hiệu K (u1 , u2 , , us ) trường nhỏ E chứa K chứa phần tử u1 , u2 , , us Mở rộng K (u1 , u2 , , us ) trường K gọi mở rộng lặp hay mở rộng bội trường K ghép thêm (hoặc sinh bởi) phần tử u1 , u2 , , us Ví dụ ¤   a, b ¤  ● Do a , b Ô a b ,a,b Ô  a , b ● Ngược lại, ta cần chứng minh: a b Từ suy ra: a Vớ d Ô a b Ô    b  Thật vậy: a, b a , b Ô a a b Ô a b  a b a b a b ; 2 , 11, 13 Ô   b  a  ( a  b ) Ô a b 11  13 Trước hết, ta có  11 13 Ô , 11, 13   11  13  Do đó, ta cần chứng minh , 11, 13  K Ô Ta cú ( 11  13 )(  11  13 )  (  11 )2  ( 13 )2 Từ suy (  11  13 )2 (  11  13 )2  [(  11 )2  ( 13 )2 ]  ( 2 11 )2  88  K Do (  11  13 )2  K Từ (  11  13 )2  (  11  13 )2  52  22  K , 10 hay 22  K Do (  11 )2  13  22  K Vì vậy:  11  13  ((  11 )2  13 ) K  11  13 Bây ta có 13  [(  11  13 )  (  11  13 )]  K Vì  11  (  11  13 )  13  K Từ  11  Suy  11  K  11  11  11  K, 2 2 11   (  11 )  K Vậy , 11, 13  K  ¤    11  13 ▄ 1.2 Trƣờng nghiệm đa thức 1.2.1 Định nghĩa Cho đa thức f ( x)  K[ x] với bậc n  trường K Trường mở rộng F trường K gọi trường nghi m (hay gọi trường phân rã) đa thức f ( x)  K[ x] K f ( x) phân rã thành tích nhân tử tuyến tính F : f ( x)  an ( x  u1 )( x  u2 ) ( x  un ), an  K , ui  F Nhận xét F  K (u1 , u2 , , un ) mở rộng lặp trường K ghép thêm tất nghi m ui đa thức f ( x) 1.2.2 Mệnh đề Mọi đa thức trường tùy ý có trường nghi m Chứng minh Giả sử f ( x)  K[ x] đa thức có bậc n  Ta chứng minh tồn trường nghiệm f ( x) quy nạp theo bậc f ( x) 39 G xyclic cấp m Xét mở rộng đơn F  F ( )  nguyên thủy bậc m đơn vị Dễ thấy F chuẩn tắc K Khi tương ứng   '  | F cho ta đẳng cấu nhóm Galois G( F ( ) / K ( )) với nhóm nhóm Galois G( F / K ) Theo giả thiết G( F / K ) xyclic nên nhóm G( F ( ) / K ( )) xyclic cấp n, ước m Mọi nguyên thủy bậc n lũy thừa  ,do thuộc vào K (  ) Bởi áp dụng Định lý 2.4.2 ta F mở rộng đơn K (  ), F mở rộng chuẩn tắc K Trường hợp s  Giả sử nhóm G f ( x)  K[ x] có dãy giải (1) với độ dài s Gọi K1 trường với nhóm G1 K  K1  F G1  F Do G1 chuẩn tắc G  G0 nên K1 chuẩn tắc K nhóm Galois G( K1 / K ) đẳng cấu với nhóm thương nhóm G xyclic Bởi theo trường hợp trên, K1 mở rộng chuẩn tắc K  K1 ( ) , với  nguyên thủy bậc m Đặt F '  F ( ) Khi F ' chuẩn tắc K1 nhóm Galois G( F ( ) / K1 ( )) đẳng cấu với nhóm G( F / K1 )  G1 , có dãy giải với độ dài  s  Bởi theo giả thiết quy nạp mở rộng F ( ) K1 ( ) chứa mở rộng chuẩn tắc F Từ suy F mở rộng K Vậy phương trình f ( x) giải ▄ 40 Ví dụ Xét đa thức bất khả quy x4    x Trong trường nghiệm F đa thức có nghiệm   3,  , i , i Từ F  Q( ,  , i , i )  Q( , i) Trong F có dãy mở rộng trường Q  Q( )  F Và ta có hạng tử mở rộng nói K0  Q, K1  K0 (1 ), K2  K1 (2 )  F với 14  3,22  1 Bây ta áp dụng kết để chứng minh tính khơng giải thức phương trình đại số tổng quát bậc n  2.6.4 Định nghĩa Cho F mở rộng trường K Các phần tử u1 , u2 , , un  F gọi độc lập đại số K không tồn đa thức khác không p  K[ x1 , , xn ] cho p(u1 , u2 , , un )  2.6.5 Định nghĩa (phương trình tổng quát bậc n ) Cho A trường tất đại số u1 , u2 , , un n số thực độc lập đại số A Khi phương trình f  x  x  u1  x  u2   x  un   gọi phương trình tổng quát bậc n A 2.6.6 Định lý Với số nguyên n  phương trình tổng qt bậc n có nhóm Gals nhóm đối xứng Sn Chứng minh Gọi A trường tất đại số Lấy n số thực độc lập đại số A : u1 , u2 , , un , xét mở rộng F  A(u1 , u2 , , un ) Xét đa thức 41 f ( x)  ( x  u1 )( x  u2 ) ( x  un )  xn  1xn1   xx2   (1) n  n 1  u1  u2   un   u1u2  u1u3   un1un ……………  n  u1u2 un K  A(1 ,  , ,  n ), Đặt K  F , f ( x)  K[ x] F trường nghiệm f ( x) Bây ta chứng tỏ G( F / K )  Sn , nhóm đối xứng S n nhóm tất song ánh từ tập hợp gồm n phần tử tới Do f ( x) đa thức tách nên tự đẳng cấu thuộc G cho ta phép tập nghiệm xi tức phần tử S n Ngược lại, phép nghiệm xi giữ bất động  i , i  1, 2, , n i giữ bất động phần tử thuộc K Bởi tự đẳng cấu F cảm sinh phép K - tự đẳng cấu, tức tự đẳng cấu thuộc G ▄ 2.6.7 Định lý Nhóm đối xứng S n giải n  Chứng minh - Với n  S nhóm giải với dãy giải S2  {e} - Với n  S n nhóm giải với dãy giải S3  A3  {e} A3 nhóm thay phiên tức nhóm phép chẵn cấp (nhóm thay phiên An ) - Với n  S có dãy giải S4  A4  B4  C  {e} A4 nhóm thay phiên, cịn B4  {e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)} 42 C nhóm có cấp B4 Do nhóm A4 có số nhóm S nên thương dãy nhóm xyclic có cấp tương ứng 2, 3, 2, - Với n  ta giả sử S n nhóm giải với dãy giải G  H  H1   H S  {e} Ta chứng minh quy nạp theo s H s chứa moi vịng xích Trước hết ta có nhận xét  ,  H s 1     1 1  H S Thật vậy, gọi H 's 1 nhóm H 's 1 sinh tất giao hoán tử dạng  1 1 với  ,  H s 1 Do thương H s 1 / H s nhóm abel nên H s' 1 / H s có nhận xét Do n  nên với 3- dòng xích (ijk ) tìm hai số tự nhiên  r  m  n khác với i, j, k Sau đặt   (ijk ),  (mki) ta  1 1  (ijr )(ikm)(rji)(mki)  (ijk ) Theo giả thiết quy nạp 3-vòng xích   (rji),  (mki) thuộc vào H s 1 theo nhận xét (ijk) (ijk )  H s Bây hiển nhiên Hs chứa - vịng xích H s  {e} Điều mâu thuẫn chứng tỏ S n khơng nhóm giải ▄ Hai định lý vừa chứng minh cho ta hệ quan trọng, câu trả lời cho tốn tính giải phương trình đại số 2.6.8 Hệ (Định lý Aben) Với số tự nhiên n  tồn phương trình đại số thực bậc n không giải thức Chứng minh Theo Định lý 2.6.6 tồn phương trình đại số thực f ( x)  có nhóm Galois nhóm đối xứng S n Nhóm khơng giải thức ▄ 43 2.6.9 Ví dụ đa thức không giải đƣợc thức Đa thức f ( x)  x5 10 x  không giải thức Chứng minh Gọi N trường nghiệm đa thức f ( x)  x5  10 x  giả sử G  G( N , ) nhóm Galois Ta có f ( x) bất khả quy theo tiêu chuẩn Eisentein Bằng cách xét dấu đạo hàm f '( x) ta kết luận f ( x) có ba nghiệm thực phân biệt hai nghiệm phức liên hợp a, b Phép lấy số phức liên hợp cảm sinh - tự đẳng cấu  N, hoán đổi hai nghiệm a, b giữ cố định ba nghiệm thực lại Như  ứng với phép chuyển trí nhóm đối xứng S5 Ta lại có |G| = [ N : ]= [N : (a)][ (a) : ] =5 [ N : (a)] Cấp G chia hết ta chứng minh G tồn phần tử cấp Suy nhóm G đồng với nhóm S5 chứa 5- vịng xích phép chuyển trí Điều dẫn đến G S5 f ( x) khơng giải thức ▄ 2.7 Ứng dụng Lý thuyết Galois vào tốn dựng hình thƣớc kẻ compa Bài tốn dựng hình thước kẻ compa có vị trí đáng ý lịch sử toán học Ngay nguyên lý Euclid nhà toán học Hy Lạp quan tâm đến phép dựng ([2], [3], [9], [10]) Có thể liệt kê số toán sau Bài toán gấp đơi hình lập phương: Dựng hình lập phương tích gấp hai lần thể tích hình lập phương cho trước Bài toán chia ba góc 44 Cầu phương đường trịn: Dựng hình vng có diện tích diện tích hình trịn số hữu hạn bước phép dựng sau: (1) Dựng đường thẳng nối hai điểm xác định (2) Dựng đường tròn với tâm xác định qua điểm biết (3) Xác định giao điểm hai đường (đường thẳng đường tròn) dựng Những phép dựng thực chất dựng số điểm số đoạn thẳng Ta biết mặt phẳng tọa độ phương trình đường thẳng phương trình bậc nhất, phương trình đường trịn có bậc nên mõi điểm cần dựng có hồnh độ nghiệm phương trình hệ phương trình có bậc khơng vượt Như biểu thức đại số (một số) dựng thước kẻ compa biểu thức (số đó) kết việc giải phương trình có bậc khơng vượt 2.7.1 Định nghĩa Mở rộng F trường K gọi mở rộng bậc hai (hay mở rộng Pytago) nếu: F  K (u1, u2 , , un ) u12  K ui2  K (u1, u2 , , ui 1 ), i  2, , n Với định nghĩa vừa nêu thấy số  , nghiệm đa thức bất khả quy p( x) trường K , dựng thước compa chứa mở rộng bậc hai K Trước đưa tiêu chuẩn dựng thước compa ta chứng minh số tính chất mở rộng bậc hai 2.7.2 Mệnh đề Bậc  F : K  mở rộng bậc hai lũy thừa 2, tức 2n 45 Chứng minh Thật vậy, u  E u  E u nghiệm đa thức bất khả quy x2  a  E[ x]  E (u) : E   Từ F mở rộng bậc hai K đẳng thức  F : K   2n thu dễ dàng phép quy nạp ▄ Đối với mở rộng chuẩn tắc xảy hai mệnh đề ngược lại 2.7.3 Mệnh đề Giả sử F mở rộng chuẩn tắc K có bậc  F : K   2n , F mở rộng bậc hai K Chứng minh Vì nhóm Galois G  G( F / K ) có cấp 2n (lũy thừa số nguyên tố) nên G nhóm giải được, với dãy giải được: G  H  H1   H n  {e} tất thương Hi 1 / Hi nhóm xyclic cấp Giả sử K  K0  Ki   Kn  F trường tương ứng trường F , ta có:  Ki : Ki 1   Ki  Ki 1 (ui ), với ui nghiệm đa thức x  a  Ki 1  x Điều chứng tỏ F mở rộng bậc hai K ▄ 2.7.4 Mệnh đề Mọi mở rộng bậc hai F K chứa mở rộng bậc hai chuẩn tắc Chứng minh Giả sử F mở rộng bậc hai K Khi theo mệnh đề 3.7.1 ta có  F : K   2n Bây ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo n Với n  F  K (u) với u2  K Rõ ràng F trường nghiệm đa thức x2  a  K  x nên F chuẩn tắc K Với n  , giả sử F  K (u1 , u2 , , un ) , với u12  K ui2  K (u1 , u2 , , ui 1 ), i  1, 2,3, , n 46 Khi ta đặt u  un ta có F  E (u), E  K (u1 , u2 , , un1 ), u  E Theo giả thiết quy nạp, E chứa mở rộng bậc hai chuẩn tắc E Xét đa thức tối thiểu f ( x) u trường K Do u  E E chuẩn tắc K nên E có phân tích: f ( x)  ( x  c1 )( x  c2 ) ( x  cm ) Trong ci  u Đặt g ( x)  f ( x2 ) , g (u)  Gọi F trường nghiệm g ( x) E Do g ( x)  K  x nên theo bổ đề ta có F chuẩn tắc K Ngồi F  F (vì F  E (u) ) Sau ta có F  E ( , ,  i 1 ) Như vậy, F mở rộng bậc hai E mở rộng bậc hai K ▄ Từ kết mở rộng bậc hai nêu ta có 2.7.5 Định lý Nghi m đa thức p( x) , bất khả quy trường K , dựng thước compa bậc cuả trường nghi m E đa thức p( x) K lũy thừa Chứng minh Thật vậy, nghiệm x0 p( x) dựng thước compa chứa mở rộng bậc hai F K chứa mở rộng bậc hai chuẩn tắc F Vì trường nghiệm E chứa F  F : K   2n nên  E : K   2m Điều ngược lại hiển nhiên ▄ 2.7.6 Bài tốn (gấp đơi hình lập phương) Dựng cạnh hình lập phương tích lớn gấp đơi thể tích hình lập phương đơn vị 47 Chứng minh Gọi a cạnh hình lập phương cần dựng Thế a nghiệm đa thức x3  Đa thức bất khả quy Gọi  nghiệm đa thức ta có dãy mở rộng trường  ( )  F Từ [ F : ]  [F: ( )][ ( ) : ] Bởi [ ( ) : ]  nên [ F : ]  2m Điều chứng tỏ tốn khơng giải ▄ 2.7.7 Bài tốn (chia ba góc) Hãy dựng góc Đặt a  cos u  cos x3  3x  a Đặt x=   biết góc  ta có u nghiệm phương trình z ta đưa phương trình dạng f ( x)  z  3z  2a  , a  cos Tồn giá trị  để f ( z ) bất khả quy (a) Chẳng hạn với    a  đa thức f ( z )  z  3z  bất khả quy (a) Gọi v nghiệm f ( z ) F trường nghiệm ta có dãy mở rộng trường (a)  (a, v)  F Từ F : (a)   F : (a, v) (a, v) : (a) Bởi  (a)(v) : (a)  nên  F : (a)  2m 48 cos  không dựng được, nghĩa  khơng dựng 2.7.8 Bài tốn Chia đường tròn thành n phần Để giải toán trước hết ta chứng minh bổ đề sau: 2.7.9 Bổ đề Nếu n  pq p, q ngun tố đường trịn chia thành n phần chia thành p q phần Chứng minh Giả sử chia đường tròn thành n phần nhau, tức dựng cung 2 R Khi đó, ta viết n 1 1  q  p q p n n cung 2 R 2 R , dựng p q Giả sử đường tròn chia p, q phần Do p q nguyên tố nên tồn số nguyên u, v cho up  vq  Từ ta chia hai vế đẳng thức cho n ta 1 u v n p p Điều chứng tỏ cung 2 R dựng ▄ n Trở lại toán, khơng làm tính tổng qt ta giả sử đường trịn có bán kính R  Để chia đường tròn thành n phần ta cần dựng cos 2 2 thay cho góc Gọi  nguyên thủy bậc n đơn vị có n n mệnh đề sau 2.7.10 Bổ đề Điều ki n cần đủ để dựng góc 2 [ ( ) : ]  2m n 49 Chứng minh Thật   cos 2 2  isin n n  1  cos 2 2  i sin n n Từ cos 2  (   1 )  Q(   1 )  Q0 n Bởi theo Định lý 3.6 cos Mặt khác ta có 2 dựng [ n : ]  2r [ ( ) : ((   1 ))]   ;  1 nghiệm đa thức (   1 ) : x2  (   1 ) x  Do [ ( ) : ]  2[ ( ) : ] Do nhận định vừa nêu ta thấy đẳng thức [ ( ) : ]  2m điều kiện cần đủ để dựng Với khảo sát trên, ta chứng minh 2.7.11 Định lý Một đường trịn chia thành n phần thước kẻ compa n có dạng n  2k q1 qs , k số tự nhiên, cịn qi số nguyên tố Fermat có dạng 22  r Chứng minh Theo Bổ đề ta xét trường hợp n  q k Xét đường tròn Rn  ( ),  n  , ta có [ ( ) : ]   (n)  q k 1 (q 1) Mặt khác theo bổ đề, toán giải qk 1 (q  1)  2m Nếu q  đẳng thức xảy k  q  2m  Nếu m  ab, b lẻ q  (2a )b   (2a  1).M , M  Điều trái với giả thiết q nguyên tố Với m  2r q  22  ▄ r Ví dụ Dựng đa giác năm cạnh 50 Bài tốn có nghĩa chia đường trịn thành phần Để làm điều ta cần dựng đoạn thẳng có độ dài cos 2 thay cho góc 2 Gọi  nguyên thủy bậc đơn vị ta có:   cos 2 2 2  (   1 )  i sin , i  1 cos 5 Ta cần tìm đa thức cực tiểu cos trường: 2 Xét dãy mở rộng  (   1 )  ( )  R5 Đa thức xác định  F5 ( x)  x  x3  x  x  Từ [ ( ) : ]  [ (   1 ) : ]  Như    1 có đa thức xác định bậc hai, ta tìm đa thức Bởi  thỏa mãn phương trình F5 ( x)   1   nên (   1 )2       (1     )    (   1 ) Từ suy    1 nghiệm phương trình x2  x   Vậy ta có biểu thức cần tìm 2cos 2 1      1  Biểu thức cho phép ta dựng cos 2 sau: Trước hết, dựng đường tròn (O; R  1) tiếp tục thực phép dựng: Dựng 1 5   ( )2 : lấy C ( ,5) , CB  2 2 51 Đường tròn (C, BC ) cắt Ox K Khi đó, OK  OI  2cos 2 Cung AB cung cần dựng 1  Chia đôi OK ta 52 KẾT LUẬN Luận văn gồm nội dung sau đây: Trình bày kiến thức sở mở rộng trường: mở rộng đơn, mở rộng lặp, mở rộng đại số, mở rộng bậc hữu hạn, trường nghiệm đa thức, mở rộng tách được, mở rộng chuẩn tắc, mở rộng xyclic, mở rộng Chỉ rõ mối liên hệ lớp mở rộng trường Giới thiệu khái niệm kết sở Lý thuyết Galois: Mở rộng Galois; Một số đặc trưng quan trọng mở rộng Galois; Định lý Lý thuyết Galois; Nhóm Galois tính giải nhóm Galois đa thức Trình bày chi tiết chứng minh trường nghiệm đa thức tách trường bất động nhóm Galois đa thức đó; Giới thiệu số ứng dụng Lý thuyết Galois số tốn dựng hình 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Tiến Quang (2007), Cơ sở lý thuyết trường lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hi n đại, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Thành Quang (2011), Lý thuyết trường ứng dụng, Nhà [5] xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois, Nhà xuất Đại học [6] Quốc gia Hà Nội Nguyễn Chánh Tú (2006), Mở rộng trường Lý thuyết Galois, Nhà xuất Giáo dục, Đà Nẵng TIẾNG ANH [7] H.M Edwards (1984), Galois Theory, Springer, New York [8] J S Milne (2011), Fields and Galois Theory, Sabre Peak, Moraine Creek, New Zealand [9] P Morandi (1996), Field and Galois Theory, Springer - Verlag, New York, Inc [10] I Stewart (1989), Galois Theory, Chapman & Hall.` ... gọi trường bất động trường F tác động nhóm H G 2.2.2 Mệnh đề Giả sử F mở rộng bậc hữu hạn trường K H nhóm hữu hạn cấp n nhóm K - tự đẳng trường F Khi đó, n   F : F H  với F H trường bất động. .. NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ SỞ CỦA MỞ RỘNG TRƢỜNG 1.1 Trường mở rộng 1.2 Trường nghiệm đa thức 1.3 Mở rộng tách mở rộng chuẩn tắc CHƢƠNG NHÓM GALOIS VÀ TRƢỜNG CON BẤT ĐỘNG 10 16 2.1 Nhóm Galois 16 2.2 Trường. .. x) đa thức tách ▄ 19 CHƢƠNG NHÓM GALOIS VÀ TRƢỜNG CON BẤT ĐỘNG 2.1 Nhóm Galois Trong phần nghiên cứu nhóm tự đẳng cấu trường mở rộng, mang tên nhà toán học Pháp E Galois, có liên quan trực tiếp