Một số tính chất hình học của nhóm lie

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHĨM LIE LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THẢO MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHĨM LIE CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đa tạp khả vi 1.1 Liên thơng tuyến tính 12 Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHĨM LIE 17 2.1 Nhóm Lie 17 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 23 2.3 Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính nhóm Lie 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NĨI ĐẦU Nhóm Lie đối tượng tốn học đại, kết hợp ngành giải tích, hình học đại số Do đó, nhóm Lie có nhiều ứng dụng tốn học, vật lý ngành khoa học kỹ thuật Lý thuyết nhóm Lie trình bày nhiều tài liệu tham khảo (chẳng hạn [4], [6],…) nhà tốn học ngồi nước Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất nhóm Lie Luận văn mang tên: Một số tính chất hình học nhóm Lie Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng 1: Kiến thức sở Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất cấu trúc khả vi, trường vectơ tiếp xúc liên thơng tuyến tính đa tạp Chương xem phần sở cho việc trình bày chương Chương chia thành mục: 1.1 Đa tạp khả vi 1.2 Liên thơng tuyến tính Chƣơng 2: Một số tính chất hình học nhóm Lie Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie, đạo hàm liên thơng tuyến tính nhóm Lie nhóm Lie tác động đa tạp Chương trình bày mục: 2.1 Nhóm Lie 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 2.3 Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính nhóm Lie Luận văn hồn thành vào tháng 10 năm 2014 khoa Toán, trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với hướng dẫn tận tình thầy Nhân dịp hoàn thành luận văn này, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo mơn Hình học – Tơpơ, thầy giáo khoa Toán, khoa sau đại học Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy, tạo điều kiện cho tác giả suốt trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường THPT Tân Kỳ 3, bạn bè, đồng nghiệp gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Chƣơng KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức sở đa tạp khả vi, bao gồm định nghĩa ví dụ đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, trường vectơ đa tạp số tính chất liên thơng tuyến tính đa tạp khả vi 1.1 Đa tạp khả vi Trong suốt luận văn này, ta giả thiết M không gian tôpô Hausdoff với sở đếm Như ta biết (xem [3]), đồ M ( hệ tọa độ địa phương M) cặp (U ,  ) ; U tập mở M  phép đồng phôi từ U  V ; V tập mở n  Hai đồ (U1 , 1 ) (U , 2 ) M gọi phù hợp ánh xạ 211 vi phôi ( trường hợp U1 U   , ta quy ước (U1 , 1 ) (U , 2 ) phù hợp)  Một họ đồ U ,  họ phù hợp  I I gọi alat M hai đồ U  M 1.1.1 Định nghĩa + Một atlat cực đại M gọi cấu trúc khả vi M + M gọi đa tạp khả vi n-chiều M trang bị cấu trúc khả vi 1.1.2 Chú ý + Một atlat cực đại M atlat không bị chứa atlat + Hai atlat M gọi phù hợp đồ atlat phù hợp với đồ atlat Rõ ràng hợp hai atlat phù hợp atlat M Do theo nguyên lý cực đại M ln tồn cấu trúc khả vi + Từ tính chất phù hợp đồ atlat nên thực hành cần cấu trúc khả vi M, ta thường atlat có số đồ + Trên M ta trang bị cấu trúc khả vi khác để tạo thành đa tạp khả vi khác 1.1.3 Ví dụ Ta xét M = S   A( x, y, z )  ( x  y  z  1 Khi S đa tạp khả vi 2-chiều với cấu trúc khả vi sau đây: U1  {A( x, y, z )  S | z  0} U  {A( x, y, z )  S | z    V1  {A '( x, y )  | x  y  V2  {A '( x, y )  | x  y  ;   : U  V  1 2 : U  V2  A( x, y, z )  A( x, y , z ) A '( x, y ) A '( x , y )   U  {A( x, y, z )  S | y  0}  V3  {A '( x, z )  | x  z  1} ;  3 : U  V3  A( x, y, z ) A '( x, z )  U  {A( x, y, z )  S | y  0}  V4  {A '( x, z )  | x  z  1}  4 : U  V4  A( x, y , z ) A '( x , z )  U  {A( x, y, z )  S | x  0}  V5  {A '( y, z )  | y  z  1} ;   : U  V  5  A( x, y, z ) A '( y, z )  U  {A( x, y, z )  S | x  0}  V6  {A '( y, z )  | y  z  1}  6 : U  V6  A( x, y , z ) A '( y , z )  Thật vậy: +) U1 , 1  đồ S  Giả sử A( x1 , y1 ,  x12  y12 ) ; B( x2 , y2 ,  x22  y22 ) U1 1 ( A)  1 ( B) :  x1  x2  A  B y  y  1 ( x1 , y1 ,  x12  y12 )  2 ( x2 , y2 ,  x22  y22 )   (1)  Với ( x, y) V1 ta 1 ( X )  1 ( x, y,  x  y )  ( x, y) X ( x, y,  x  y ) V1 có (2) Từ (1) (2) ta suy 1 song ánh  1 phép chiếu từ U1 lên V1 nên 1 ánh xạ liên tục (3)  Ta có 11 : V1  U1 , ( x, y ) ( x, y,  x  y ) liên tục hàm tọa độ liên tục (4) Từ (3) (4) ta thấy 1 phép đồng phôi từ U1  V1 , U1 , 1  đồ S Chứng minh tương tự ta có U i ,Vi  đồ S , i  2,6 +) U1 , 1  U , 3  phù hợp  Thật vậy, ta U1 , 1  U , 3  đồ S Ta đặt W  U1 U3   A( x, y, z )  S | z  0, y  0   W1  1 (W)   A( x, y)  | x2  y  1, y  0 W3  3 (W)   A( x, y)  | x  z  1, z  0 13  3 11 : W1  W3 , ( x, y ) 13 ( x, y ) 13 ( x, y)  (3 11 )( x, y)  3 (11 ( x, y))  3 ( x, y,  x  y )  ( x,  x  y ) Ta nhận thấy 13 song ánh  Ta đặt 13  ( f1 , f ) cho f1 : W1  ( x, y ) , x f : W3  ( x, y ) 2 ,  x2  y  Vì f1 , f khả vi nên 13 khả vi  Ta có 131 : W3  W1 , ( x, z ) ( x,  x  z ) Khi 131 khả vi Chứng minh tương tự ta thu cặp lại: U i , i  U j ,  j  phù hợp i, j 1,6 +) Rõ ràng Ui  S i 1 Bây ta xét đa tạp khả vi M với cấu trúc khả vi U ,  I đa tạp N với cấu trúc khả vi U  ,    J Ánh xạ liên tục f : M  N ; p f ( p) , gọi khả vi p  M   f 1 khả vi  ( p) ; với  U chứa p U  chứa f ( p) Ánh xạ f gọi khả vi M f khả vi p  M 1.1.3 Định nghĩa +) Giả sử  : J  M ; t  (t ) cung khả vi ( J khoảng mở  (t0 )  p ) Ánh xạ v : ( p)  ; f v( f )  d f  (t ) | t t0 gọi véctơ tiếp xúc với dt  p (ở ( p) tập hợp tất hàm số khả vi p) +) Mỗi véc tơ v tiếp xúc với cung  điểm p ta củng nói v tiếp xúc với M p Ta kí hiệu: Tp (M )  {v | v tiếp xúc với M p } Nhận xét: +) Trong đồ U ,   M, p U  ( p)  ( p1 , , pn )  ( p1 , , pn ) tọa độ p (U ,  ) n Ta nói Như vậy, đồ U ,   đường cong  (t ) qua điểm p cho  (t )  ( x1 (t ), , xn (t )) , với ( x1 (t0 ), , xn (t0 ))  p +) Với i 1, , n  | p  Tp ( M ) xi Thật vậy: Ta xét i : t vj ( f )  Từ vi  ( p1 , , pi  t , , pn ), i (t  0)  p , đó: d d f i f |t 0  f ( p1 , , pi  t , , pn ) |t 0  |t 0 ; f  ( M ) dt dt xi  |p xi Ta đưa vào Tp M hai phép toán : (v1  v2 )( f )  v1 ( f )  v2 ( f ) (v)( f )   (v( f ));   , f ( p) 1.1.4 Mệnh đề (xem [3]) Tp ( M ) với hai phép toán lập thành không gian vectơ n-chiều Chứng minh: +) Ta thấy với hai phép toán Tp (M ) n    không gian vectơ Ở đây, ta chứng minh ei  | p  sở Tp (M ) xi i 1  Thật vậy:  ei  Tp M ; i  1, , n (vì ei vectơ tiếp xúc với đường cong i : t ( p1 , , pi  t , , pn ) p   (t  0); t  J  (a, b)  0)  n  e i i i 0 n n i 1 i 1    i ei (x j )    i  | p ( x j )    j  0; j  1, , n ; xi Ở xj : M  R, x (x1,…,xn) xj n    Vậy  | p  độc lập tuyến tính  xi i 1 (1)  Ta xét v  Tp (M ) , giả sử v tiếp xúc với  (t ) p   (t0 ) ta có: 21 Ta ký hiệu: Với xG, S x : g G gx  x Sx gọi nhóm ổn định x  Gx   gx g G Gx gọi quỹ đạo x Ví dụ: Ta lấy G  G (n, R), M  R n : G  M  M; A.x Khi  ánh xạ khả vi ( A, x)   A : Rn  Rn , x Ax; A vi phơi (vì A phép biến đổi tuyến tính có ma trận A; mà |A|  0)  Ta lấy A =I, I ma trận đơn vị Khi Ix = x; xM  A(Bx) = (A.B)(x) (vì phép nhân ma trận có tính chất kết hợp) Như vậy, G (n, R) tác động lên Rn 2.1.9 Mệnh đề (xem [4]) Giả sử G tác động lên M Khi Sx nhóm đóng G Chứng minh:  Trước hết ta chứng minh Sx nhóm G + Với g1, g2 S x  g1.g2 ( x)  g1 ( g2 ( x))  g1 ( x)  x  g1 g2 S x + e( x)  x  eS x Ta tiếp tục chứng minh Sx đóng G Thật vậy, ta đặt H  G \ S x , ta cần chứng minh H mở G Ta lấy g H  g S x  g ( x)  x  g ( x)M \ {x} Do M T2 - khơng gian nên {x} đóng M Do M \{x} mở M 22 Ta đặt U  M \{x} Như U tập mở M chứa g(x) Do  ánh xạ khả vi từ G × M vào M (theo định nghĩa 2.9) nên tồn hai tập mở V W tương ứng g x cho (V W )  U  V W  U  V H  H mở  Sx đóng 2.1.10 Mệnh đề Nếu G tác động lên M, tập N  {h  G | h  id M }  {h  G | h  x  x với x  M } ước chuẩn đóng G Chứng minh: + Trước hết ta chứng minh N ước chuẩn G Thật vậy: Ta nhận thấy ex  x; x  M  e  N Ta xét: h  N , g  G, ta có: ghg1(x) = g(h(g1(x))) = g(g1(x)) = (g.g1)(x) = ex = x; x  M  ghg 1  N Vậy N ước chuẩn G + Bây ta chứng minh N đóng Ta xét g  G \ N  g  idM  y  M , g y  y Do M T2-khơng gian, nên {y} đóng M Do U  M \{y} mở M Như U lân cận mở chứa g ( y) 23 Do  ánh xạ khả vi từ G  M  M , nên có lân cận mở V g lân cận mở W y, cho  (V , W)  U Như vậy: h V ,h ( y)  h  y U  h  y  y (vì U  M \{y} )  h  N  V  G \ N  G \ N mở G  N đóng G 2.2 Trƣờng vectơ bất biến trái nhóm Lie 2.2.1 Định nghĩa Cho G nhóm Lie Khi trường vectơ X  B(G) gọi trường vectơ bất biến trái G nếu:   ( La )* X  X ; a  G ; (nghĩa ( La )* p )( X p )  X ap ; a  G 2.2.2 Ví dụ  G = Rn, với a  Rn; đó: La : R n  R n p a  p; p  R n với p(x1, , xn) a(a1, , an) La(p) = (a1 + x1, , an + xn) Ta có Jacơbi La p là:   J La | p :   ; a  R n     Khi  x1 ( p)   ( La )* p X p  J L   a p   xn ( p)  24 Nếu X(X1, , Xn) trường vectơ bất biến trái Rn với a  n , ta có:  X (a  p)     X ( p)               X n (a  p)     X n ( p)   X (a  p)  X ( p )  ;   X (a  p)  X ( p) n  n   X1, , Xn hàm  X trường vectơ song song Rn  Ngược lại, trường vectơ song song Rn trường vectơ bất biến trái Như vậy, X trường vectơ bất biến trái Rn X trường vectơ song song Rn 2.2.3 Mệnh đề (xem [6]) Ta ký hiệu G = {X | X trường vectơ bất biến trái G} Khi G đại số Lie trường số thực Chứng minh:  Giả sử X, Y  G Ta có: La* ( X  Y )  La* X  La*Y  X  Y  X + Y  G  La* (X )  La* X   X ;  X  X  G  La* [X , Y ]  [La* X , La*Y ]  [X , Y ]  [X, Y]  G Đại số Lie G gọi đại số Lie nhóm Lie G 25 Bây ta ý tới đẳng cấu Lie  từ nhóm Lie G vào nhóm Lie G’ Giả sử e đơn vị G e’ đơn vị G’ Ta có mệnh đề sau: 2.2.4 Mệnh đề (xem [1]) Cho X, X’ tương ứng hai trường vectơ bất biến trái G G’ (* )e X e  X 'e ' Khi  * X = X’ Chứng minh: Ta có: ( * )aXa = ( * )a((La * )eXe) = (( * )a (La * )e)Xe = ( = (L(a) La) * e (Xe) ) * e (Xe), (do nhận xét 2.1.7) = (L(a)) * ( e ) ( * ) e Xe) (do  (e)  e ' ) = (L(a)) * e’ (X’e’), = X’(a) ; a  G   * X = X’ 2.2.5 Mệnh đề Giả sử  đẳng cấu Lie từ G  G ' Khi đó:  * đẳng cấu Lie từ G  G’ Chứng minh:  Do  đẳng cấu Lie từ G  G ' nên  * có ánh xạ ngược (1) * Vậy  * song ánh  Giả sử X  G (a) = a với a  G , ta có: (La) * ( * X) = (La’ ) * X = (L(a) ) * X = ( La) * X =  * ((La) * X) = * X 26 Do  * X  G’  X, Y  G; ta có:  * (X + Y) =  * X +  * Y  G’  * (X) = (X)  G’;   R  * [X, Y] = [ * X,  * Y]  G’ 2.2.6 Mệnh đề (xem [3]) Giả sử ánh xạ : G  TeG; X X e (với e đơn vị G) Khi  đẳng cấu tuyến tính Chứng minh:  Ta chứng minh  đồng cấu: X, Y  G ,   R, ta có: (X  Y )  (X  Y )e  X e  Ye = ( X )  (Y ) Vậy  ánh xạ tuyến tính  Bây ta chứng minh  song ánh: - Với X, Y  G giả sử (X) = (Y), ta suy Xe = Ye Mặt khác, a  G ta có: Xa = La * Xe = La * Ye = Ya Do Xa = Ya, a  G Vậy X = Y - Với v  TeG Ta xét trường vectơ X G xác định Xe = v; Xa = La * Xe; a  G Khi X  G Thật vậy, với b  G; (Lb) * a Xa = (Lb) *a (La) *e Xe = (Lba) *e Xe = Xba  (Lb) * X = X; b  G Do X  G Hơn (X) = v Từ ta có  tồn ánh 27 2.2.7 Nhận xét Từ mệnh đề trên, ta nhận thấy rằng: 1) dimG = dimTeG = dimG = n 2) Để mô tả đại số Lie G G ta thường mơ tả khơng gian TeG 2.2.8 Ví dụ G  G (n, R)   A(aij ) | A |  0 G nhóm Lie với phép nhân ma trận đơn vị 1  eI   0   Giả sử (t )  I  A(t );  (0)  I  , A(t )  G (n, R); t  J ( J khoảng mở ) Khi đó: d (t ) dA(t )   A '(t0 )  M n ( R) dt t 0 dt t 0  Ngược lại, với X  Mn(R), ta xét đường cong x(t) = I + t.X, với t đủ nhỏ (và | tX | < 1) Khi x(t )  G (n, R); t Và ta có: dx(t )  X dt t 0 Vậy ta có đại số Lie nhóm Lie G (n, R) G= Mn(R) 2.3 Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính nhóm Lie Trong mục này, ta giả thiết  liên thông tuyến tính đại số Lie G B(G), G tương ứng tập hợp trường vectơ, tập hợp trường vectơ bất biến trái G 28 2.3.1 Định nghĩa Giả sử  liên thơng tuyến tính G Đạo hàm Lie  theo trường vectơ X  B(G), ký hiệu LX xác định sau: ( LX )(Y , Z )  [X , Y Z ]  [X,Y ]Z  Y [X , Z ]; Y, Z  B(G) 2.3.2 Ví dụ G = R2, X(x, xy), Y(1, x), Z(y, 1),  = D Tính LXD(Y, Z) Giải: Áp dụng cơng thức  = D, xY = DxY, [X, Y] = DxY DYX DXY = (X[Y1], X[Y2]) ta có: LXD(Y, Z) = [X, DYZ]  D[X, Y]Z  DY[X, Z] đó:  y y 1 1   DY Z  (Y [ y ],Y [1])  1  x ;1  x   ( x, 0) y x y   x  [ X , DY Z ]  DX ( DY Z )  D( DY Z ) X , với:  y x 0 0   DX ( DY Z )  ( X [ x], X [0])   x  xy , x  xy   ( x, 0) y x y   x  x x xy xy   D( DY Z ) X  ( DY Z [ x], DY Z [ xy])   x  , x    ( x, xy) y x y   x   [X, DYZ] = (0, xy) (1)  1 1 x x  DX Y  ( X [1], X [ x])   x  xy , x  xy   (0, x) y x y   x  x x ( xy ) ( xy)   DY X  (Y [ x],Y [ xy ])  1  x ,  x   (1, yx ) y x y   x 29  [ X ,Y ]  (1, x  y  x2 )  D[ X ,Y ]Z  ([ X ,Y ][ y], [ X ,Y ][1])  y y 1 1    1  ( x  y  x ) ; 1  ( x  y  x )  x y x y    ( x  y  x , 0) (2)  y y 1 1  DX Z   X [ y ], X [1]   x  xy ; x  xy   ( xy, 0) y x y   x   x x ( xy) ( xy)  DZ Z   Z [ x], Z [ xy]   y  , y 1   ( y, y  x) y x y   x  [ X , Z ]  ( xy  y,  x  y )  DY [ X , Z ]  Y [ xy  y], Y [ x  y ]  ( xy  y ) ( xy  y) ( x  y )  ( x  y )   1  x ;  x   x  y  x y    ( y  x2  x;  1 xy) (3) Từ (1), (2) (3) , ta có: ( LX D)(Y , Z )  (0, xy 1) 2.3.3 Mệnh đề a) Với ,   R X,Y  B(G) LX Y   LX LY  b) Giả sử  vi phôi từ G  G Khi đó:     * ( LX )  *1 (Y ), *1 ( Z )   L* X (*) (Y , Z ); Y , Z  B(G) Chứng minh: a) ( LX Y )(Z , H )  [ X Y , Z H ] [X Y , Z ] H Z [X Y , H ]  [ X , Z H ]  [Y ,  Z H ] [ X , Z ]H [Y , Z ] H 30 Z [ X , H ] Z [Y , H ]   [ X ,  Z H ] [ X , Z ] H  Z [ X , H ]   [Y ,  Z H ] [Y , Z ] H  Z [Y , H ]   LX   LY   (Z , H ) b) Như ta biết, §/n (*)Y Z  (*)*Y (*Z )  * (Y Z ) Y  *Y , Z  *Z với:  ( G  G; p  * : B(G)  B(G) p' X X ) Khi ta có: L* X (*)(Y , Z )  [* X , *(Y , Z )]  (*)[* X ,Y ] Z  (*)Y [* X , Z ]  [* X , * (Y Z )]  (*)[* X , *Y ] Z  (*)Y [* X , *Z ]  *[ X , Y Z )]  (*)* [X ,Y ] *Z  (*)*Y (*[ X , Z ])  *[ X , Y Z ] * ([ X ,Y ]Z ) * (Y [ X , Z ])  * ([ X , Y Z ] [ X ,Y ]Z Y [ X , Z ])  * (( LX )(Y , Z ))     * LX  *1 (Y ), *1 ( Z ) , Y , Z  L* X (*)  * ( LX ) 2.3.4 Hệ Giả sử X bất biến trái G Khi LX La*  La* LX ; a  G Thật vậy, ta áp dụng mệnh đề cho  = La, ta có:   L( La )* X ( La * )  LX ( La ) *   ( La ) * ( LX ) Trong trường hợp này, ta nói La* giao hốn với LX 31 2.3.5 Định lý (xem [7]) LX: B(G) × B(G)  B(G), (Y, Z) Ánh xạ LX(Y, Z); ánh xạ song tuyến tính Để chứng minh định lý trên, ta cần bổ đề sau: 2.3.6 Bổ đề Với X , Z  B(G), ta có: [X, Z] = X[].Z + [X, Z];   F(G) Chứng minh:  f  F(G), ta có: [ X , Z ]( f )  X  (.Z )( f )   (Z )  X ( f )   X  .Z ( f )   .Z  X ( f )   X [].Z ( f )   X  Z ( f )   .Z  X ( f )   X [].Z ( f )    X  Z ( f )    Z  X ( f )    X [].Z  .[ X , Z ] ( f )  [ X , Z ]  X [].Z  [ X , Z ] Ta trở lại chứng minh Định lý 2.3.5 Trước hết, ta chứng minh LX tuyến tính biến Y  ( LX )(Y1  Y2 , Z )  [ X , Y1 Y2 Z ]  [ X ,Y1 Y2 ]Z  Y1 Y2 [ X , Z ]  [ X , Y1 Z Y2 Z ] [ X ,Y1 ]Z [ X ,Y2 ]Z Y1 [ X , Z ] Y2 [ X , Z ] = [X,Y Z ]  [X , Y Z ]  [X ,Y ]Z  [X ,Y ]Z  Y [X,Z]  Y [X , Z ] 2  ([ X , Y1 Z ] [ X ,Y1 ]Z Y1 [ X , Z ])  ([ X , Y2 Z ] [ X ,Y2 ]Z Y2 [ X , Z ])  ( LX )(Y1, Z )  ( LX )(Y2 , Z )  LX (Y , Z )  [X , Y Z ]  [X ,Y ]Z  Y [X , Z ]  [X , Y Z ]   X [ ]Y [X,Y] Z   Y [X , Z ] , (theo bổ đề 2.3.6) 32 = X [].Y Z [ X , Y Z ]  X [].Y Z [ X ,Y ]Z Y [ X , Z ]  X [].Y Z [ X , Y Z ]  X [].Y Z .[ X ,Y ]Z .Y [ X , Z ]  ([ X , Y Z ] [ X ,Y ]Z Y [ X , Z ])  .LX (Y , Z ) Ta tiếp tục chứng minh LX tuyến tính với biến Z  ( LX )(Y , Z1  Z2 )  [ X , Y (Z1  Z2 )]  [ X , Y ] (Z1  Z2 )  Y [ X , Z1  Z2 ]  [ X , Y Z1 Y Z ] [ X ,Y ]Z1 [ X ,Y ]Z2 Y [ X , Z1 ] Y [ X , Z ]  [ X , Y Z1 ] [ X , Y Z ] [ X ,Y ]Z1 [ X ,Y ]Z2 Y [ X , Z1 ]  Y [ X , Z ]  ([ X , Y Z1 ] [ X ,Y ]Z1 Y [ X , Z1 ])  ([ X , Y Z2 ] [ X ,Y ]Z2 Y [ X , Z2 ])  ( LX )(Y , Z1 )  ( LX )(Y , Z )  ( LX )(Y , Z )  [ X , Y (Z )] [ X ,Y ] (Z ) Y ( X , Z )   X ,Y [].Z Y Z  [ X ,Y ][].Z [ X ,Y ]Z Y ( X [].Z [ X , Z ])  XY [].Z  Y [].[ X , Z ]  X [].Y Z [ X , Y Z ]  [ X ,Y ][].Z [ X ,Y ]Z  YX [].Z  X []Y Z  Y [].[ X , Z ]  Y [ X , Z ]  ([ X , Y Z [ X ,Y ]Z Y [ X , Z ])  ( XY [].Z YX [].Z [ X ,Y ][].Z )  ( LX )(Y , Z ) 2.3.7 Mệnh đề Giả sử G = Rn,  = D X trường vectơ bất biến trái Rn Khi LXD = Chứng minh: ( LX D) (Y , Z )  [ X , DY Z ]  D[ X ,Y ]Z  DY [ X , Z ]  DX ( DY Z )  DDY Z X  DDX Y DY Z Z  DY (DX Z  DZ X ) 33 Do X bất biến trái G = Rn, nên X = (a1, , an),  R (theo ví dụ 2.12) nên ta có: ( LX D) (Y , Z )  DX DY Z  DDX Y Z  DY ( DX Z ) (1) Mặt khác, ta có: R( X ,Y , Z )  0; X, Y, Z  B(Rn) ( Độ cong Rn )  DXDYZ  DYDXZ = D[X, Y]Z (2) Từ (1) (2) ta suy ra: (LXD) (Y, Z) = D[X, Y]Z  D D Y Z X = DDXYDYX Z  DDXY Z = DDXY Z  DDXY Z = 2.3.8 Ví dụ Cho G = R2,  = D, X = (1, 2), Y(Y, 1), Z(0, x) Khi ta có: (LXD) (Y, Z) = [X, DYZ]  D[X, Y]Z  DY[X, Z]   DY Z  (Y [0],Y [ x])  (0, y x x 1 )  (0, y) x y [X, DYZ] = DX(DYZ)  DDYZ X = DX(DYZ) = (X[0], X[y]) = (0, y y  )  (0, 2) x y (1)  [X, Y] = DXY  DYX = DXY = (X[y], X[1]) = (1  y y  , 0)  (2, 0) x y D[ X , Y ]Z  ([ X ,Y ][0],[ X ,Y ][ x])  (0, x x  )  (0, 2) x y (2)  [X, Y] = D X Z  DZX = DXZ = (X[0], X[x]) = (0,  x x  )  (0, 1) x y DY[X, Z] = (0, 0) Từ (1), (2), (3), ta suy (LXD) (Y, Z) = (3) 34 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kiện sau đây: Trình bày cách hệ thống chi tiết: a Một số định nghĩa, ví dụ tính chất đa tạp khả vi, vectơ tiếp xúc, trường vectơ đa tạp số tính chất liên thơng tuyến tính đa tạp khả vi b Một số định nghĩa tính chất nhóm Lie, trường vectơ bất biến trái đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính nhóm Lie; Một số tính chất nhóm Lie Phát biểu chứng minh tính chất ước chuẩn đóng (mệnh đề 2.1.10) Phát biểu chứng minh tính chất đẳng cấu * (mệnh đề 2.2.5) Phát biểu chứng minh tính giao hoán * LX (mệnh đề 2.3.3.b) Phát biểu chứng minh tính chất đạo hàm Lie D n (mệnh đề 2.3.7) Trong thời gian tới, tiếp tục khảo sát tính chất đạo hàm Lie độ cong độ xoắn nhóm Lie 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Bài giảng lớp cao học, Đại học Vinh [2] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, Nhà xuất Giáo dục [6] Trần Văn Thắng (2011), Nhóm Lie trường vectơ bất biến trái nhóm Lie, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh: [7] A Ya Sultanov (2010), Derivations of Linear Algebras and Lienear Connection, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3 ... tính 12 Chƣơng MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NHĨM LIE 17 2.1 Nhóm Lie 17 2.2 Trường vectơ bất biến trái nhóm Lie 23 2.3 Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính nhóm Lie. .. 2: Một số tính chất hình học nhóm Lie Chương nội dung luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất nhóm Lie con, trường vectơ bất biến trái nhóm Lie, đạo hàm liên thơng tuyến tính. .. (chẳng hạn [4], [6],…) nhà toán học nước Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất nhóm Lie Luận văn mang tên: Một số tính chất hình học nhóm Lie Luận văn trình bày hai chương: