SKKN khai thác ứng dụng một số tính chất hình học để giải quyết các bài toán tọa độ trong phẳng

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN KHAI THÁC ỨNG DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG Các tác giả: Nguyễn Trường Sơn Nguyễn Thị Bích Ngọc Nguyễn Thị Hiền Đinh Kim Thoa Bùi Mỹ Nương Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Văn Tụy Ninh bình, tháng năm 2014 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Sở khoa học cơng nghệ Tỉnh Ninh Bình Chúng tơi: STT Họ tên Nguyễn Trường Sơn Nguyễn Thị Bích Ngọc Bùi Mỹ Nương Nguyễn Thị Hiền Đinh Kim Thoa Là đồng tác giả đề nghị công nhận sáng kiến: KHAI THÁC ỨNG DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG  Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn Tốn trường THPT trường Đại học, cao đẳng sư phạm  Mô tả chất sáng kiến * Về nội dung sáng kiến:  Các bước thực giải pháp điều kiện áp dụng: + Giáo viên trực tiếp sử dụng sáng kiến để giảng dạy chuyên đề tọa độ mặt phẳng với mục đích ơn thi Đại học, cao đẳng, bồi dưỡng học sinh giỏi kì thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, quốc tế + Học sinh sau trang bị kiến thức lớp sử dụng tài liệu để tự học, tự nghiên cứu để bổ sung thêm kiến thức chuyên sâu  Hiện trạng trước áp dụng giải pháp mới: Trong đề thi Đại học- Cao đẳng từ trước tới nay, toán tọa độ mặt phẳng thường xuyên xuất với mức độ ngày khó phong phú Có thể nói câu hỏi liên quan tới toán thường câu để học sinh đạt 8, 9, 10 điểm Để giải dạng tốn học sinh cần có kiến thức hình học phẳng chắn Việc phát "nút thắt" toán điều quan trọng nhất, định tới thành công lời giải Giải toán Oxy giống giải cờ Tuy nhiên, em học sinh học tương đối yếu hình học phẳng nên việc phát tính chất hình học phẳng vơ khó khăn Điều làm cho em không tự tin điểm cách đáng tiếc Chương trình học chuyên đề lại nằm lớp 10, em học sinh cịn nhiều bỡ ngỡ, chưa ơn tập tìm hiểu sâu kiến thức liên quan Mặt khác, sách giáo khoa sách tập toán, phần tập lý thuyết dừng lại mức độ bản, dạng tập, kiến thức vận dụng Trong tài liệu tham khảo, tập tọa độ hình học phẳng mà có sử dụng kiến thức hình học phẳng nói chưa nhiều, chưa xây dựng theo hệ thống chi tiết thường đưa dạng tập ứng dụng vấn đề chung tốn viết phương trình đường thẳng, đường trịn, chưa có nhiều dạng tập nâng cao Thực tế, lớp có nhiều đối tượng học sinh với mức độ nhận thức khác nhau, địi hỏi phải có hệ thống tập phù hợp cho đối tượng Trong tài liệu hành ý đến việc phân loại học sinh chưa phong phú chưa sát thực Khi soạn giảng, giáo viên bắt buộc phải tham khảo nhiều tài liệu từ nhiều phương tiện, đối tượng học sinh luyện thi đại học học sinh giỏi cấp, nhiều thời gian, công sức, tốn nhiều tiền bạc Để đáp ứng yêu cầu nghiên cứu giảng dạy hình học tọa độ mặt phẳng học sinh cần phải có kiến thức kĩ tốt, khơng phân tích cách giải lời giải chi tiết người đọc khơng thể hiểu rõ chất tốn dẫn đến giải tốn cách máy móc, chí dễ mắc phải sai lầm  Những điểm giải pháp: +Về nội dung: Các tác giả xoay quanh tốn nhỏ, khai thác ứng dụng hình học tốn Các tập xếp từ đến phức tạp, từ dễ đến khó, phù hợp với trình độ nhận thức đối tượng học sinh, dành cho nhiều đối tượng học sinh từ người học đến học sinh dự thi học sinh giỏi cấp Đa số tốn sáng tạo nên thơng qua phần mềm toán học The Geometer’s Sketchpad, Cabri… Các kiến thức hình học tài liệu liên quan tới kiến thức THCS nên việc tiếp cận với chun đề khơng khó khăn Chun đề viết cách có hệ thống có phân tích lời bình để nút thắt toán nên học sinh dễ tìm hiểu mở rộng vấn đề Từ giúp em biết cách học, biết cách suy nghĩ, tìm tịi bước sáng tạo học toán +Về phương pháp: Xuất phát từ yêu cầu việc dạy học phần hình học tọa độ mặt phẳng, học sinh cần nắm vững hệ thống kiến thức ki cần thiết để giải thành thạo dạng tập từ dễ đến phức tạp Từ thực tế trường có nhiều đối tượng học sinh, từ học sinh chuyên, cận chuyên đến không chuyên Đề tài đúc rút thông qua trình giảng dạy thực tế số lớp đối tượng học sinh lớp, đặc biệt lớp ôn thi đại học Trong trình thực đề tài chúng tơi ln tham khảo, trao đổi với giáo viên khác tổ  Hiệu kinh tế hiệu xã hội đạt Hiệu kinh tế Qua ý kiến nhận xét học sinh, đồng nghiệp sử dụng sáng kiến làm tài liệu tham khảo học tập nghiên cứu, hiệu kinh tế mà sáng kiến mang lại lớn cụ thể: - Tiết kiệm nhiều thời gian cơng sức tìm tịi tài liệu giáo viên học sinh giảng dạy học tập mơn Tốn - Tiết kiệm nhiều chi phí mua tài liệu sưu tầm tài liệu gia Tiết kiệm tiền mời thầy tập huấn cho đội tuyển học sinh giỏi Quốc Hiệu xã hội Sáng kiến tác giả triển khai áp dụng vào giảng dạy lớp 10, 11, 12 từ năm học 2013 học sinh sử dụng hiệu Hiệu mà sáng kiến chuyên đề khác mang lại mặt giáo dục, xã hội trước hết kết thi đại học, học sinh giỏi cấp học sinh Kết thi đại học mơn Tốn học sinh chun Tốn – K52 cao, em đạt điểm trở lên, học sinh lớp khác chuyên Sinh, 12B1 năm học 2013 đạt điểm cao Đặc biệt, phần sáng kiến gửi lên tạp chí tốn học tuổi trẻ đăng tạp chí, bạn độc giả đón nhận - Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, sinh viên, học sinh nghiên cứu toán học Giúp cho việc học tập chuyên đề liên quan tới toán tọa độ phẳng dễ dàng, hiệu quả; không cần thời gian, sức lực, trí óc để tìm tổng hợp kiến thức - Giúp trình học tập, giảng dạy chuyên đề tọa độ phẳng dễ dàng hiệu Làm tảng cho việc tiếp tục nghiên cứu phát triển ứng dụng tọa độ không gian - Giúp học sinh rèn kỹ tự học tự nghiên cứu, rèn khả quan sát, tư hình học  Về khả áp dụng sáng kiến: - Đây cách thức phân loại tập theo hướng đổi tư cho người học người dạy, phù hợp với xu thế, yêu cầu đổi phương pháp dạy học toán - Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho đối tượng học sinh giáo viên học tập, nghiên cứu giảng dạy mơn Tốn - Q trình áp dụng sáng kiến trường THPT chuyên Lương Văn Tụy từ năm 2013 cho thấy sáng kiến dễ dàng áp dụng mang lại hiệu Để sử dụng hiệu sáng kiến, người học nên sử dụng thêm phần mềm vẽ hình chun dụng cho mơn tốn để giúp cho việc sáng tạo phát tính chất hình học cách dễ dàng - Giáo viên xây dựng thêm tập sở phân loại tập để làm phong phú thêm kiến thức, tăng cường thêm số lượng tập áp dụng  Những cá nhân đơn vị áp dụng sáng kiến: - Bùi Nghĩa Hải -giáo viên tốn trường THPT chun Lương Văn Tụy, trình độ thạc sĩ - Phạm Vân Hà- giáo viên toán trường THPT chuyên Lương Văn Tụy, trình độ thạc sĩ - Phạm Đức Tùng- giáo viên toán trường THPT chuyên Lương Văn Tụy, trình độ thạc sĩ - Tập thể lớp 10 chuyên toán ( năm học 2013-2014) - Tập thể lớp 10 B1 ( năm học 2013-2014) - Tập thể lớp 10 chuyên sinh ( năm học 2013-2014) Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Ninh Bình, ngày 22 tháng 05 năm 2014 Người nộp đơn Nguyễn Trường Sơn PHỤ LỤC I GIẢI TAM GIÁC Ta gọi chung toán: Xác định tọa độ đỉnh tam giác, yếu tố liên quan đến đường cao, trung tuyến, phân giác, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội, ngoại tiếp giải tam giác Muốn giải tốt dạng câu hỏi giải tam giác ta cần nắm tính chất sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (I), H trực tâm tam giác Gọi E, F chân đường cao hạ từ B,C M trung điểm cạnh BC G trọng tâm tam giác ABC Khi đó: Nhận xét AH IM 2AJ ( J trung điểm đoạn AH) Từ suy ra: GH 2GI Chứng minh + Với tam giác ABC vng hiển nhiên nhận xét +Với tam giác ABC không vuông Gọi D điểm đối xứng A qua I Suy D thuộc đường trịn (I) Ta có: Tương tự, ta chứng minh DB DC AC BH AC DC BH CH Khi đó, tứ giác BHCD hình bình hành Lại có, M trung điểm BC nên suy M trung điểm HD Khi : AH IM 2AJ ( đpcm) Ta có : GA 2GM đó: GH HA 2GI IM GH 2GI Thông qua nhận xét 1, học sinh nhận thấy điểm H, M, D thẳng hàng M trung điểm HD Nhận xét thường xuất đề thi Đại học – Cao đẳng Nhận xét JM IA, IA EF Chứng minh : Ta có: CFB CEB 90 Ta có : AFHE nội tiếp đường trịn tâm J Suy : JM Theo nhận xét 1, suy : IA EF JM Từ suy điều phải chứng minh Nhận xét Gọi P giao điểm thứ hai đường thẳng BH với đường tròn (I) Khi đó, P điểm đối xứng H qua đường thẳng AC Chứng minh: Ta có: ABP ( chắn cung AP) ACP ABE ( tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn) Suy ra: ABP ABE Như vậy, BA vừa đường phân giác vừa đường cao nên suy điều phải chứng minh Chú ý: Nếu P điểm đối xứng trực tâm H qua đường thẳng AC tam giác ABC P thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đối xứng với đường tròn ngoại tiếp tam giác HAC qua đường thẳng AC Nhận xét Gọi Q chân đường cao hạ từ đỉnh A tam giác nhọn ABC Khi H tâm nội tiếp tam giác EFQ Chứng minh: Tứ giác AFHQ nội tiếp đường tròn nên FBH FQH Tứ giác HQCE nội tiếp đường trịn nên ECH EQH Từ suy ra: FQH EQH ( ACP ABE ) Vậy QH đường phân giác góc Q Chứng minh tương tự ta có EH phân giác góc E, FH phân giác góc F Như H tâm nội tiếp tam giác ABC Nhận xét Gọi J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Khi đường thẳng AJ cắt đường trịn ngoại tiếp tam giác BAC điểm cung BC (khơng chứa A) Giả sử điểm U Khi dễ thấy: UJ=UB=UC Sau đây, chúng tơi xin đưa vài ví dụ áp dụng nhận xét Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C) : x y2 25 ngoại tiếp tam giác nhọn ABC có chân đường cao hạ từ B, C M(-1;-3), N(2;-3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm A có tung độ âm Phân tích lời giải Với kiến thức trang bị trên, em học sinh dễ dàng phán đoán đưa lời giải Học sinh nhận OA MN , để từ viết phương trình đường thẳng OA Khi tìm điểm A Mấu chốt tốn việc tìm tọa độ điểm A Lời giải Cách Đường trịn (C) có tâm O(0;0), bán kính R Theo nhận xét 2, ta có: OA Ta có: MN (3; 0) MN Khi đường thẳng OA qua O, nhận MN (3;0) làm vecto pháp tuyến có phương trình: x Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình: x x2 y2 25 Vì A có tung độ âm nên A(0;-5) Ta có: AM ( 1;2), AN (2;2)lần lượt vecto phương đường thẳng AC, AB Phương trình đường thẳng AC: x Phương trình đường thẳng AB: x y y Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình: 2x y x Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: y x y x Dễ thấy: AB AC 0, BC BA 0, CB.CA nên A(0; 5), B(5;0),C( 4;3) Cách Giả sử H ( a; b) Gọi P, Q giao điểm thứ hai đường thẳng CH, BH với đường tròn ( C) Theo nhận xét 3, P, Q điểm đối xứng H qua AB, AC Vậy P (4 a , b ),Q ( a; b) Ta có hệ: (4 a ) (2 a ) Với H (1; 2) Ta có: HM ( 2; 1), HN (1; 1) HM HN Với H (1; 10) Ta có: HM ( 2; 7), HN (1;7) HM HN 47 góc tù ( mâu thuẫn với giả thiết) Do H (1; 2) y Phương trình đường thẳng AC: x y Phương trình đường thẳng AB: x Gọi I trung điểm BC Từ AH 2OI suy BC là: x y A(0; 5), B (5; 0), C( 4;3) Từ suy điểm thỏa mãn u cầu tốn Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-2;-1), trực tâm H(2;1), BC Gọi E, F chân đường cao kẻ từ B, C tam giác ABC Lập phương trình đường thẳng BC, biết trung điểm M BC nằm đường thẳng d: x-2y-1=0 M có tung độ dương Lời giải M thuộc đường thẳng d nên M (2a 1;a )(a 0) Gọi I tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có AH (4; 2), AH M trung điểm BC nên IM BC Do : 1) a2 (2 a 5a 4a a a Do a>0 nên a=1 Suy M(3;1) 10 Thí dụ 11 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(0; 2), N(5; - 3), P(- 2; - 2), 41 Q(2; - 4) thuộc cạnh AB, BC, CD, DA hình vng ABCD Tính diện tích hình vng Lời giải Đường thẳng chứa cạnh AB: ax + b(y - 2) = Đường thẳng chứa cạnh BC: b(x - 5) - a(y + 3) = d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) a b ( 2) a2 b2 a 4b a 3b a 4b a 3b i) a = 7, b = - 1: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = dt(ABCD) = ii) a = 1, b = - 3: d(P; (AB)) = d(Q; (BC)) = 10 dt(ABCD) = 10 Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3;-3) đường thẳng d1 : x y vuông ABCD biết điểm C thuộc d2 , điểm B, M thuộc d1 với M trung điểm AD, điểm C có hồnh độ âm Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, biết phương trình đường thẳng BD : 3x-y-8=0, đường thẳng AB qua M(1;5), đường chéo AC qua P(2;3) Tìm tọa độ đỉnh hình vng cho Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường thẳng AB, AD qua M(2;3) N(-1; 2) Viết phương trình đường thẳng 53 BC CD biết tâm hình chữ nhật điểm I ( ; ) AC 26 Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vng góc Oxy, cho hình vng ABCD Gọi E,F điểm thuộc cạnh AB,AD Xác định tọa độ đỉnh C, biết E( 1; ) , phương trình đường thẳng CF:y=2x hình vng ABCD có chu vi gấp lần chu vi tam giác AEF Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(−1;1), điểm M thuộc cạnh BC cho MC=2MB, điểm N thuộc cạnh CD N có tung độ âm cho NAM 45 42 Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Điểm E(2;3) thuộc đoạn thẳng BD Các điểm H(−2;3) K(2;4) hình chiếu vng góc điểm E AB,AD Xác định tọa độ đỉnh hình vng Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có B(4;6), điểm M(3;3) nằm AC thoả mãn 2AM = MC Tìm toạ độ đỉnh hình vng ABCD biết AD nằm đường thẳng 3x+y+1=0 Bài tập Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5, 7) , điểm C thuộc vào đường thẳng có phương trình: x y Đường thẳng qua D trung điểm đoạn AB có phương trình: 3x y 23 Tìm tọa độ B C , biết điểm B có hồnh độ dương Bài tập Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C ) : x y 8x y 21 đường thẳng d:x+y−1=0 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD ngoại tiếp (C) biết A d Bài tập 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;3),B(5;2),C(8;6) đường thẳng d: y=x+5 Tìm d điểm D cho hình vng MNPQ có cạnh MN, NP, PQ, QM qua điểm A, B, C, D có diện tích đạt giá trị lớn III CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG TRỊN Một toán tương giao đường thẳng đường tròn quan trọng, thường xuyên xuất kì thi Đại học, cao đẳng Các kiến thức cần nhớ là: Cho đường trịn (C) có tâm I, bán kính R đường thẳng Nếu d ( I ; ) R: (C) khơng có điểm chung Khi đó: Từ điểm nằm đường thẳng kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Lấy điểm K đường trịn (C) Khi đó: d ( I ; ) R Nếu d ( I ; ) R: d(K;) d(I;) R tiếp tuyến đường trịn (C) Từ điểm M nằm ngồi đường trịn (C) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (C) ( A,B hai tiếp điểm) Khi đó: + AB + SMAIB MI , MI tia phân giác góc AMB 2SAIM Nếu d ( I ; ) AI.AM R: AH.IM cắt (C) hai điểm phân biệt C D Gọi H trung điểm đoạn CD Khi đó: 43 + Tam giác ICD cân I S ICD + I H CD , IH 2 R C D2 + Độ dài đoạn CD lớn đường thẳng CD qua tâm I đường trịn (C) Thí dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C : x y2 6x 2y điểm A(1;3) ; Một đường thẳng d qua A, gọi B, C giao điểm đường thẳng d với (C) Lập phương trình d cho AB AC nhỏ Lời giải Tâm đường tròn I (3; 1) , R 2; IA d ( I , A) R nên điểm A nằm (C) AB.AC = Ta có P A/(C ) Dấu “=” xảy AB = AC = Khi d tiếp tuyến (C), d có dạng Từ ta có d(I,d) Vậy phương trình d : x=1, 3x+4y-15=0 Thí dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): x y 2 x y điểm M (7;7) Chứng minh từ M kẻ đến (T) hai tiếp tuyến MA, MB với A, B tiếp điểm Tìm tọa độ tâm đường trịn nội tiếp tam giác MAB Lời giải (T ) ( x 1) ( y 2) 13 Ta có: IM (6;9) IM 117 I (1; 2); R 13 13 Suy điểm M nằm (T) Vậy từ M kẻ đến (T) tiếp tuyến Gọi K MI AmB Ta có MA MB, IA IB MI đường trung trực AB A I m K B Ta có AK1 AK2 Vậy K K1 , tức K(3;1) Thí dụ Trong hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d: y Gọi (C) đường tròn cắt d điểm B, C cho tiếp tuyến (C) B C cắt O Viết phương trình đường trịn (C), biết tam giác OBC Lời giải Gọi (C)có tâm I bán kính R OI cắt BC H H trung điểm BC OH vng góc BC =>H(0; )=>OH= Do tam giác OBC I BC B C nên OH= BC H O R IB2 IH HB2 Vậy phương trình đường trịn (C): x ( y ) Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M (2; 1) đường thẳng :x – y + = Viết phương trình đường trịn qua M cắt điểm A, B phân biệt cho MAB vuông M có diện tích Lời giải Đường trịn (C) tâm I(a, b) bán kính R có phương trình ( x a ) ( y b ) R2 MAB vng M nên AB đường kính suy S MAB Hạ MH AB có MH d( M , ) Vì đường trịn qua M nên (2 a ) (1 b) qua I đó: a - b + = (1) A BHI M 45 Ta có hệ a b (2 a ) (1 b)2 Giải hệ a = 1; b = Vậy (C) có phương trình ( x 1) ( y 2) 2 Thí dụ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: 2 x + y – x – 4y – = điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3) Tìm điểm M đường tròn (C ) cho P = MA2 + MB2 nhỏ Lời giải Đường trịn (C) có tâm I ( ; 2), R 2 Gọi H trung điểm đoạn AB => H(5; -4) Xét tam giác MAB có MH P nhỏ MH nhỏ hay M giao điểm OH với (C) x 3t mà IH : y 4t Với t = -1 M(2; 0), với t = -2 M(-1; 4) -Kiểm tra thấy M(2; 0) điểm cần tìm 2 Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x + y + 4x + 4y + = đường thẳng : x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường trịn (C) Tìm m để cắt (C) điểm phân biệt A B cho diện tích IAB lớn 2 Lời giải (C) : x + y + 4x + 4y + = có tâm I (-2; -2); R = Giả sử cắt (C) hai điểm phân biệt A, B Kẻ đường cao IH ABC, ta có S ABC = IA.IB sin AIB = sin AIB Do S IA ABC lớn sin AIB = AIB vuông I IH = (thỏa IH < R) 4m m2 1 46 m 15m – 8m m 15 Thí dụ Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường tròn (C): x y 2 x y điểm A(1;0) Gọi M, N hai điểm đường tròn (C) cho tam giác AMN vng cân A Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M, N Lời giải Tâm I(1;-2), IA (0;2) Tam giác AMN cân A IA MN Gọi d AI suy d có dạng y = - m Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x 2x m 4m (1) d cắt (C) hai điểm phân biệt M, N (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 m 4m (*) Khi theo định lý Viet ta có: x1 x2 x1 x m m Gọi M x1 ; m , N ( x ; m) Tam giác AMN vuông A AM AN x x ( x x ) m2 2m2 So với đk (*) có hai giá trị tham số m m = hay m = -3 Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) tâm I có hồnh độ dương thuộc đường thẳng d : x y điểm A(1; 2) nằm ngồi đường trịn Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (với B, C tiếp điểm), viết phương trình đường tròn (C) biết IA 2 đường thẳng BC qua điểm M(3; 1) Lời giải Do I a d I ( a; a 1); IA 2 , hồnh độ I dương nên a =3 a a 12 I (3;4) a 12 47 Gọi K trung điểm AI K 2;3 AB, AC tiếp tuyến với (C) nên tứ giác ABIC nội tiếp đường trịn C1 có tâm K bán kính R1 Ta có phương trình (C ) : x 2 y 2 R bán kính đường trịn (C) ta có pt (C ) : x y 42 R2 x 22 Do B, C = (C ) (C1 ) tọa độ B, C nghiệm hệ: x 32 Trừ theo vế pt hệ ta phương trình BC: x y R2 14 ( điều kiện R < AI) MàM(3;1) BC R2 32 Khi phương trình (C ) : x R2 y 42 Thí dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình (x 1)2 ( y 2)2 đường thẳng (d) có phương trình x - y + = Tìm (d) điểm M cho từ kẻ hai tiếp tuyến (C) MA, MB(A, B hai tiếp điểm) cho độ dài AB nhỏ Lời giải Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R = Gọi H giao điểm IM AB IM AB HA = HB d(I, d) = > R Suy qua M thuộc (d) kẻ tiếp tuyến (C) Tam giác AMI vuông M có:: Từ suy ra, AB nhỏ khi IM nhỏ , khi M hình chiếu I (d) M d có véc tơ phương a MI (d ) MI a ( d ) M ( x ; x 7) MI (1 x; x) , (1; 1) x x x M ( 2;5) Bài tập tự luyện Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : ( x 2) ( y 1) đường thẳng (d ) : x 3y Tìm điểm M thuộc d , tiếp cho qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) để độ dài AB nhỏ ( điểm) 48 Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình x y2 Viết phương trình tiếp tuyến d đường tròn (C) cho d cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B diện tích tam giác OAB nhỏ Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình (x 2)2 y2 đường thẳng d: x-y=0, d’: x-7y=0 Xác định tọa độ tâm K bán kính đường trịn (C’), biết đường tròn (C’) tiếp xúc với đường thẳng d, d’ có tâm K thuộc đường trịn (C) Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình x y 2 x y điểm M(-3;1) Gọi A, B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến đường tròn (C) Viết phương trình đường trịn (C) Bài tập Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình ( x 1) ( y 2) điểm A(2;1) Đường thẳng d thay đổi qua A cắt đường tròn (C) hai điểm B C Hai tiếp tuyến (C) B C cắt M Tìm quỹ tích điểm M 49 ... kiến: KHAI THÁC ỨNG DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ TRONG PHẲNG  Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán trường THPT trường Đại học, cao đẳng sư phạm  Mô tả chất. .. suy tọa độ điểm A + Biết tọa độ A I suy tọa độ J Biết tọa độ H J suy tọa độ K + Viết phương trình BC BC vng góc với AH qua K + Dễ dàng tìm tọa độ B C Thí dụ 13 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,... em học sinh học tương đối yếu hình học phẳng nên việc phát tính chất hình học phẳng vơ khó khăn Điều làm cho em không tự tin điểm cách đáng tiếc Chương trình học chuyên đề lại nằm lớp 10, em học