Một số tính chất hình học đặc trưng của không gian bânch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN THỊ DANH MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẶC TRƢNG CỦA KHƠNG GIAN BANACH CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang Mục lục Lời nói đầu §1 Không gian Banach lồi §2 Khơng gian Banach trơn 20 §3 Sự trực giao khơng gian Banach 26 §4 Đạo hàm Gateaux chuẩn 32 §5 Đạo hàm Frechet chuẩn 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 LỜI NĨI ĐẦU Các tính chất hình học tập hợp không gian Banach phụ thuộc vào cấu trúc khơng gian Banach Các tính chất hình học tập hợp như: tính lồi, tính trơn, tính trực giao tính khả vi phụ thuộc vào tính chất chuẩn trang bị cho khơng gian Banach Mục đích luận văn nghiên cứu, trình bày số tính chất hình học đặc trưng khơng gian Banach Với mục đích luận văn trình bày thành năm mục §1 Khơng gian Banach lồi Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất, ví dụ minh hoạ tính lồi đều, lồi chặt, lồi địa phương yếu khái niệm để sử dụng cho mục sau §2 Khơng gian Banach trơn Trong mục trình bày định nghĩa tính chất khơng gian Banach trơn, khơng gian Banach trơn Công thức đối ngẫu Lindestrauss, Định lý Smulian (1941) §3 Sự trực giao khơng gian Banach Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất ví dụ tính trực giao, tính trực giao trái, tính trực giao phải Mối liên hệ tính trơn, tính lồi tính trực giao §4 Đạo hàm Gateaux chuẩn Trong mục trình bày định nghĩa, tính chất đạo hàm Gateaux chuẩn Mối liên hệ tính trơn khả vi Gateaux §5 Đạo hàm Frechet chuẩn Trong mục trình bày định nghĩa tính chất đạo hàm Frechet chuẩn Mối liên hệ tính trơn đều, tính lồi khả vi Frechet Các kết trình bày luận văn khơng mới, chúng trình bày rải rác tài liệu tham khảo Trong luận văn này, chúng tơi trình bày vấn đề theo hệ thống Ngồi việc trình bày lại khái niệm, tính chất có, chúng tơi chứng minh chi tiết kết tài liệu tham khảo đưa ví dụ, phản ví dụ, nhận xét kết Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Phạm Ngọc Bội Trong trình nghiên cứu nhận quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo, bạn bè người thân Qua tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn, tới thầy tổ Hình học-Tơpơ, tới thầy khoa Tốn, khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh tất bạn bè gia đình giúp đỡ tơi nhiều q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn để luận văn hoàn thiện tốt Trân trọng cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả TRẦN THỊ DANH §1 KHƠNG GIAN BANACH LỒI Trong mục này, chúng tơi trình bày số định nghĩa tính chất không gian Banach lồi để sử dụng cho phần sau 1.1 Định nghĩa Tập X khác rỗng gọi không gian vectơ thực (hoặc -khơng gian vectơ) cho phép tốn cộng nhân vơ hướng cho thoả mãn điều kiện: 1) x + y = y + x, với x, y  X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), với x, y, z  X; 3) Tồn phần tử  X cho x + = + x = x, với x  X; 4) Với x  X, tồn phần tử đối –x  X cho x + (-x) = (-x) + x = 0; 5) (x) = (x) = ()x, với x  X, với ,   ℝ; 6) (x + y) = x + y, với x, y  X, với   ℝ; 7) ( + )x = x + x, với x  X, với ,   ℝ; 8) 1.x = x, với x  X Trong suốt luận văn ta xét -không gian vectơ, gọn ta gọi chúng không gian vectơ 1.2 Định nghĩa Giả sử X không gian vectơ Hàm p: E  ℝ thỏa mãn điều kiện: (N1) p  x   0,  x X p  x    x  ; (N2) p   x    p  x  ,  x  X ,    ; (N3) p  x  y   p  x   p  y  ,  x, y  X ; gọi chuẩn không gian vectơ X Số p x  gọi chuẩn vectơ x X Ta thường kí hiệu chuẩn x x Không gian vectơ X với chuẩn xác định gọi khơng gian định chuẩn 1.3 Ví dụ Xét khơng gian vectơ Với x   x1 , x2  đặt: x  x12  x22 , (1.1) x  max  x1 , x2  , (1.2) x3 x 1i 2 i (1.3) Các công thức (1.1), (1.2), (1.3) cho ta ba chuẩn khác Chuẩn (1.1) gọi chuẩn Euclide 1.4 Định nghĩa Một không gian định chuẩn không gian mêtric đầy đủ theo mêtric sinh chuẩn gọi khơng gian Banach Trên tập hợp, trang bị chuẩn khác ta có khơng gian Banach khác Chẳng hạn lấy không gian Banach  , x 1,  với chuẩn nói Ví dụ 1.3 ta có , x ,  , x  1.5 Ví dụ Ta trình bày số không gian Banach thường dùng (xem [1]) - c0   x  : x  n n  ,lim xn  , n c0 , ta xác định chuẩn || x ||c  max | x n |, với x   xn   c0 n p      - l p   xn  : xn  ,  xn    , lp, ta xác định chuẩn n 1       p || x || p    xn  , với x   xn   l p , p   n 1    l   xn  : xn  ,sup xn   , l, ta xác định chuẩn - n || x ||  sup | x n |, với x   xn   l n 1.6 Định nghĩa Cho không gian vectơ X -Đoạn thẳng  a, b tập hợp  a, b ={  a  1    b  X | ≤  ≤ 1} - Đoạn thẳng không tầm thường  a, b mà a  b Đoạn thẳng tầm thường  a, b mà a  b - Tập A không gian vectơ X gọi lồi có tính chất: hai vectơ a, b A đoạn thẳng  a, b nằm trọn A Cho X không gian định chuẩn, suốt luận văn sử dụng ký hiệu sau   - S(X) mặt cầu tâm 0, bán kính X, S(X) = x  X x  - B(X) hình cầu đóng tâm 0, bán kính X, B(X) =  x  X x  1 1.7 Định nghĩa Không gian Banach X gọi lồi ngặt (hay lồi chặt) với cặp điểm khác x, y S(X) thỏa mãn x y 1 (1.4) 1.8 Định lý Không gian Banach X lồi ngặt với x, y  X không cộng tuyến ta có x  y  x  y (1.5) Chứng minh a) Giả sử (1.5) thoả mãn với x, y  X không cộng tuyến, ta chứng minh X lồi ngặt Thật vậy, giả sử X khơng lồi ngặt, tồn cặp điểm khác x, yS(X) cho x y 1 Do điều kiện N3 định nghĩa nên x y  Vậy x y 2 (1.6) Nhưng theo (1.5) x  y  11  (1.7) Từ (1.6), (1.7) ta có mâu thuẫn Vậy X lồi ngặt b) Giả sử X lồi ngặt ta chứng minh x  y  x  y với x, y  X Vì ta ln có x  y  x  y , cần chứng minh khơng xảy đẳng thức x  y  x  y Giả sử ngược lại x  y  x  y Chúng ta giả thiết y  1, x  Đặt, 1  t   tx  y , 2  t   t x  y với t  Bằng việc tính trực tiếp ta thấy 1 lồi 1  t   2  t  với t  Ta có 1    2   , 1 1  2 1 Từ  hàm tuyến tính, 1  t   2  t  với t  Từ x  y  mâu thuẫn Suy điều phải chứng minh x 1.9 Chú ý Không gian Banach X lồi ngặt đường thẳng có khơng hai điểm có chuẩn Nói cách khác đường thẳng cắt mặt cầu không hai điểm Thật vậy, giả sử X có hai điểm x, y có chuẩn Khơng tính tổng qt ta giả sử x, y  S(X) Lấy z thuộc [x, y], khác x y; z = x + (1-)y, <  x  (1  ) y  z Vậy đoạn thẳng [x, y] hai điểm x y, tất điểm khác có chuẩn nhỏ Suy điều cần chứng minh 1.10 Ví dụ a) Không gian c0 l1 không gian lồi ngặt Thật vậy, gọi e1 = (1,0, 0, ), e2 = (0,1,0, ) Trong trường hợp c0, lấy x  e1  e2 , y  e1  e2 x  y  Trong trường hợp l1 lấy x  y  1, x  y  1; x  e1 , y  e2 x  y  Áp dụng Định lý 1.8 ta thấy không gian c0 l1 không gian lồi ngặt b) Lấy X= - Với chuẩn Euclide X lồi ngặt Thật vậy, với x, y  S  X  , x  y  x y trung điểm đoạn thẳng đường tròn S(X) suy  x, y  Do x y nằm x y  - Với chuẩn (nói Ví dụ 1.3) X khơng lồi ngặt Thật vậy, với x, y  S  X  , x  1,0  , y  1,1 , x  y  ,  x y  1 x y  1,    2  2 1.11 Định nghĩa Không gian Banach X gọi lồi với > tồn  =    cho với x, y  S ( X ) mà x  y   ta có 1 x y  (1.8) Ta gọi môđun lồi không gian Banach X hàm số X: [0; 2]  ℝ,  X() = inf 1   x y  : x, y  S ( X ),|| x  y ||    (1.9) Ta gọi đặc trưng lồi không gian Banach X số xác định 0  X   sup  0, 2 : X      (1.10) 1.12 Ví dụ Khơng gian Hilbert có số chiều khơng khơng gian lồi Mọi khơng gian Hilbert có số chiều lớn không gian lồi Thật vậy, khơng gian Hilbert X có dimX = Trên S(X) có điểm e1 e2  e1 Với x  e1 , y  e2 không tồn   cho   x y  x y  , x  y     Vậy X không gian lồi Giả sử X khơng gian Hilbert có dimX ≥2 Giả sử   0, 2 Với x, y S ( X ) x  y   Từ đẳng thức hình bình hành x y  x y x y 2 x 2 x 2 y  x y ta có x y  2 2 y   2 2 1  x y 2   1  x y 2     1 1       Từ đó, suy với   0, 2 đặt 2  1 1 0 (1.11) với x, y S ( X ) mà x  y   ta có  x y   Vậy X không gian Hilbert lồi 1.13 Nhận xét  X 0 0;   X 1;  X  không giảm theo  Cho    Thì u  v  x  y  x  y  1   x  1    y 2 u        1     1     Do với    ta u  v  u Nếu   nên    u  v  x  y  x  y  1   x  1    y  1  1   1   x  y       1 1  y    1   x                1   1   2 u     Vì vậy, u  u  v với  với đẳng thức cho   Đây điều phải chứng minh Bây ta khẳng định với   ta có u  v  v mâu thuẫn với tính trái tính trực giao v  0 Ta u  v  u  v  v với  Với   theo chứng minh ta có u  v  u  u     v  u  v  v , với  Đó đpcm 31 §4 ĐẠO HÀM GATEAUX CỦA CHUẨN Mục trình bày định nghĩa tính chất đạo hàm Gateaux chuẩn Mối liên hệ tính trơn tính khả vi Gateaux 4.1 Định nghĩa Một ánh xạ f : X \ 0  X * \ 0 ; x  f x gọi ánh xạ giá thoả mãn hai điều kiện sau: 1/ x  f x   f x x  ; 2/   f k  f k Cho x  f x ánh xạ giá Khi   với x, y  S  X  (mặt cầu tâm bán kính X ), ta có: f x  y  f x y  f x x    f x y    x x x     f x x   f x y   x x f x  x  y   x x x  y  x   f  x  y   x  x f x x  y  x x x  y  f x  y  x    x  y f x  y  x   y   f x   y  x   x  y   f x   y  y   f x  y  x   f x  y  x   x  y Do , cho   x, y  S  X  , ta có: f x  y  y  f x  y  x  y  x   x  x  y Ký hiệu X* tập hợp tất ánh xạ tuyến tính từ X vào R 32 (4.1) 4.2 Định nghĩa - Chuẩn không gian Banach X gọi khả vi Gateaux x0  S  X  tồn lim x0   y  x0   0 với y  S  X  Ký hiệu giới hạn  x  y  hay q '  x0 , y  - Nếu chuẩn X khả vi Gateaux điểm S(X) ta nói X có chuẩn khả vi Gateaux 4.3 Nhận xét a) Đặt   x0 , y, t   x0  ty  x0 t , t  0, q'  x0 , y   lim   x0 , y, t  đặt t 0 q'  x0 , y   lim   x0 , y, t  t 0 Khi tồn q'  x0 , y  , q'  x0 , y  chuẩn khả vi Gateax x q'  x0 , y  = q'  x0 , y  giới hạn chung q '  x0 , y  Ta chứng minh tồn q'  x0 , y  , tồn q'  x0 , y  chứng minh tương tự Muốn ta chứng minh   x0 , y, t  đơn điệu tăng bị chặn  0,   +)   x0 , y, t  đơn điệu tăng  0,   Thật vậy, với < t1 Ta có x0  ty  x0  x0  ty  x0  t y Suy x0  ty  x0 t  y hay   x0 , y, t   y , t  Mặt khác, ta có x0  ty  x0  x0  ty  x0 , suy x0  ty  x0 t  y hay   x0 , y, t    y , t  b) Chuẩn khả vi Gateaux x0 lim x0  ty  x0  ty  x0 t o t 0, (4.2) với y  X Chứng minh Thật vậy, chuẩn khả vi Gateaux x0 hiển nhiên ta có (4.2) Ta chứng minh chiều ngược lại Ta có lim t o x0  ty  x0  ty  x0 t  với y  X , 34 tức  x  ty  x0 x  ty  x0  lim     với y  X , t o t t   kết hợp với nhận xét a) nên  q'  x0 , y  , q'  x0 , y  , từ suy q'  x0 , y   q'  x0 , y  y  X Vậy chuẩn khả vi Gateaux x0 4.4 Định lý Nếu chuẩn khả vi Gateaux x0 x  y   q'  x0 , y  , tuyến tính, liên tục theo y Chứng minh Thật vậy, với   q'  x0 ,  y   q'  x0 ,  y   q'  x0 ,  y      q'  x0 , y     q'  x0 , y  Đặc biệt, với    q '  x0 ,0 y   q '  x0 ,0    0.q '  x0 , y  Do kết hợp với tính chất dương q'  x0 , y  theo y ta có: x   y    x  y  với   0 Với y1 , y2  X ta có: q '  x0 , y1  y2   q '  x0 , y1   q '  x0 , y2  Mặt khác: q '  x0 , y1  y2   q'  x0 , y1  y2   q'  x0 ,  y1  y2   q'  x0 ,  y1   q'  x0 ,  y2   q'  x0 , y1   q'  x0 , y2  = q '  x0 , y1   q '  x0 , y2  Do 35 q '  x0 , y1  y2   q '  x0 , y1   q '  x0 , y2  hay x  y1  y2   x  y1   x  y2  0 Vậy  x . tuyến tính X Ta có  x . liên tục 0 x  y   q '  x0 , y   lim   x0 , y, t   lim   x0 , y, t  t 0 t 0  lim y  y t 0 4.5 Định lý Nếu không gian X trơn chuẩn khả vi Gateaux x0  X , x0  Chứng minh X trơn  lim   0  X    , với x0  X , x0  , với  y  X , y  , ta có:    x0 y  x0   x0   y   x0     y x'   y '    x0 , y,   0  x0 y    y      x0 y  x0   x0   y   x0      y x'   y '  ,   x0 , y,   0  x0 y     y  với x0'  x0 y , y0'  Từ suy ra, với   thì: x0 y    x0   x0     x0 , y,     x0 , y,   y  y     y  x '   y '  x0'   y '  36   ' '  y  x0   y '  x0   y '   1        u  v  u  v  Sup   1; u, v  S X ;  x0' , y '  S X    y  2 y  X    Vậy ta có:    x0   x0   X      x0 , y,     x0 , y,    y y  y     Cho   0 ta có:  q'  x0 , y   q'  x0 , y    q'  x0 , y   q'  x0 , y  , với y  0, x0  4.6 Định lý Nếu giới hạn x0  ty  x0  ty  x0 lim t 0 t 0 (4.3) tập  x0 , y  : x0  y  R  0 (R số) X trơn Chứng minh Khơng tính tổng qt ta coi R  Với   , môđun trơn  X   thoả mãn  X    x0     y    x0     y    x0     Do đó: 0  X     x0     y    x0     y    x0    Bởi giả thiết lim t 0 x0  ty  x0  ty  x0 t 37 0  (4.4) tập  x0 , y  : x0  y  R  0 , nên   trên,     cho với    0,    với x0 , y  S X ta có: x0     y    x0     y    x0     Do với       từ (4.4) suy ra: 0  X           2   X   với         lim  0  X     X trơn  4.7 Định lý Cho x0  S  X  , mệnh đề sau tương đương: i) X trơn x0 ; ii) Mọi ánh xạ giá x  f x liên tục * yếu từ S(X) tới S X *  x0 ; iii) Tồn ánh xạ giá x  f x chuẩn liên tục * yếu từ S(X) tới   S X * x ; iv) Chuẩn X khả vi Gateaux x0 ; Chứng minh i)  ii): Chứng minh phản chứng Giả sử x  f x ánh xạ liên tục * yếu từ S(X) tới S X *  x0 Khi tồn dãy xn   S  X  cho xn  x0 mà f xn  không hội tụ * yếu tới f x0  Bằng cách sử dụng dãy (nếu cần thiết) ta tìm lân cận * yếu U f x0  cho f xn   U , n Theo định lý Alaoglu f xn  có điểm tụ f theo tô pô * yếu Nghĩa f  x    f  x   f xn  x n   f  x   f xn  x   f xn  x   f xn  x n   f  x   f xn  x n   x  x n 38 Ta kết luận f x0  =1 Mặt khác f  suy f  Vì x0 giả thiết điểm trơn S(X), nên f x  f Do f x điểm tụ f x , mâu 0 n thuẫn với f x không hội tụ n ii)  iii): hiển nhiên iii)  iv): suy từ bất đẳng thức (4.1) iv )  i): giả sử chuẩn X khả vi Gateaux x0  S  X  Cho y  SX  , f  S X *  cho f x0   Với lập luận tương tự chứng minh bất đẳng thức (4.1), ta có: f y  x  y  x  x  y  x     f  y   0, tồn  > cho fx, fy S(X*) thỏa mãn f x  f y   x  y   Vì X* lồi nên với  cho, có   cho với fx, fy S(X*), x, y  S  X  giả sử f x  f y    , ta có x  y   Thì f x  f y   Giả sử f x  f y  x  y        Do f x  f y    Suy f x  f y   , ánh xạ giá tồn v)  (i) hiển nhiên 43 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Trình bày chi tiết số vấn đề không gian Banach lồi, không gian Banach lồi ngặt, không gian Banach lồi đều, không gian lồi địa phương, không gian lồi địa phương yếu mối liên hệ chúng Đưa ví dụ khơng gian lồi ngặt, không gian không lồi ngặt, không gian lồi Trình bày chi tiết số vấn đề không gian Banach trơn, không gian Banach trơn mối liên hệ chúng Trình bày chi tiết Định lý Smulian (1941), Công thức đối ngẫu Lindestrauss bất đẳng thức Clarkson Trình bày chi tiết số vấn đề trực giao khơng gian Banach Trình bày chi tiết số vấn đề đạo hàm Gateaux, đạo hàm Frechet Trình bày số ví dụ mục nhằm minh hoạ cho phần lý thuyết tương ứng Các kết luận văn trình bày tài liệu tham khảo Tuy nhiên tài liệu tham khảo nhiều tính chất, định lý chứng minh vắn tắt nêu dạng nhận xét Tác giả tập hợp vấn đề theo hệ thống phù hợp với chủ đề chọn chứng minh chi tiết kết 44 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Đức Chính (1987), Giải tích hàm tập 1, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp [2] Phạm Thị Mừng (2007), Một số tính chất hình học khơng gian Banach tồn điểm bất động ánh xạ không giãn, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại học Vinh [3] Nguyễn Phương Nam (2004), Môđun lồi môđun trơn khơng gian Banach, Luận văn thạc sĩ tốn học, Trường Đại học Vinh [4] Nguyễn Duy Tiến (2003), Bài giảng Hình học Banach, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Bernard Beauzamy (1982), Introduction to Banach Spaces and their Geometry, North-Holland Publishing Company-Amsterdam New York Oxford [6] Joseph Diestel (1970), Geometry of Banach Spaces-Selected Topics, Springer-Verlag 45 ... không gian lồi không gian lồi Chứng minh - Rõ ràng không gian không gian lồi không gian lồi - Bây ta chứng minh không gian thương không gian lồi không gian lơì Cho F khơng gian thương không gian. .. Các tính chất hình học tập hợp không gian Banach phụ thuộc vào cấu trúc khơng gian Banach Các tính chất hình học tập hợp như: tính lồi, tính trơn, tính trực giao tính khả vi phụ thuộc vào tính chất. .. chi tiết số vấn đề không gian Banach lồi, không gian Banach lồi ngặt, không gian Banach lồi đều, không gian lồi địa phương, không gian lồi địa phương yếu mối liên hệ chúng Đưa ví dụ không gian lồi