Các tình huống điển hình trong dạy học môn toán CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Trong quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông việc dạy học những khái niệm và định nghĩa, những đị[.]
Các tình điển hình dạy học mơn tốn CÁC TÌNH HUỐNG ĐIỂN HÌNH TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Trong q trình dạy học mơn Tốn trường phổ thông việc dạy học khái niệm định nghĩa, định lý chứng minh, việc dạy giải tập toán lặp lặp lại nhiều lần, ta gọi tình điển hình dạy học mơn Tốn Dạy học khái niệm tốn học a) Vị trí u cầu Trong mơn Tốn, việc dạy học khái niệm tốn học có vị trí quan trọng hàng đầu Việc hình thành hệ thống khái niệm tảng tồn kiến thức tốn học học sinh, tiền đề hình thành khả vận dụng hiệu kiến thức học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển lực trí tuệ giới quan vật biện chứng cho người học Việc dạy học khái niệm toán học trường trung học sở phải làm cho học sinh đạt yêu cầu sau: Nắm đặc điểm đặc trưng cho khái niệm Biết nhận dạng khái niệm, tức biết phát xem đối tượng cho trước có thuộc khái niệm hay khơng, đồng thời biết thể khái niệm, nghĩa biết tạo (vẽ, gấp hình, nêu lời ) đối tượng minh hoạ cụ thể cho khái niệm cho trước Biết phát biểu rõ ràng, xác định nghĩa khái niệm Biết vận dụng khái niệm tình cụ thể hoạt động giải toán, ứng dụng thực tiễn Nắm hệ mối quan hệ khái niệm với khái niệm khác hệ thống khái niệm Các yêu cầu có quan hệ chặt chẽ với Song lý sư phạm, yêu cầu lúc đặt với mức độ khái niệm Ở trung học sở, có khái niệm hình thành tương đối xác cho học sinh, khái niệm số nguyên tố, khái niệm hình bình hành , có khái niệm giải thích, mơ tả, minh hoạ hình ảnh ví dụ cụ thể, giúp học sinh sử dụng khái niệm cách trực giác mà thôi, khái niệm phân số, khái niệm số nguyên, số đối Giáo viên cần hiểu rõ điều để có yêu cầu biện pháp sư phạm thích hợp Chẳng hạn, khái niệm “phân số” khơng thể u cầu học sinh nắm đặc điểm đặc trưng khái niệm khái niệm “hình bình hành” Ở trường phổ thơng, chưa thể đưa định nghĩa xác phân số mà diễn tả dựa vào kinh nghiệm sống trẻ (một bánh chia làm “bốn phần” nhau, em “một phần”; “nửa giờ” ) nhằm giải thích khái niệm phân số, từ biết làm phép tính phân số Vì khơng nên đặt cho học sinh câu hỏi: “phân số gì?” b) Các đường hình thành khái niệm Thứ đường quy nạp áp dụng cho phần lớn khái niệm Theo đường này, xuất phát từ số trường hợp cụ thể (như mơ hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể ), cách trừu tượng hoá khái quát hoá, ta dẫn dắt học sinh tìm dấu hiệu đặc trưng khái niệm thể trường hợp cụ thể đó, từ đến định nghĩa khái niệm Cần phải chọn lọc số lượng thích hợp hình ảnh, thí dụ cụ thể, điển hình dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm đọng lại ngun vẹn, cịn dấu hiệu khác thay đổi Chẳng hạn, để hình thành khái niệm “góc ngồi tam giác”, bước đầu vẽ ba sau (hình 30: a, b, c) a) b) c) H× nh 30 Trong hình này, dấu hiệu khơng chất khái niệm “góc ngồi tam giác” thay đổi, “một cạnh góc ngồi phần kéo dài cạnh đáy” có hình a) mà khơng có Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn hình b) c), “góc ngồi ln góc tù” có hình a) b) mà khơng có hình c), “đỉnh góc ngồi ln thuộc cạnh đáy” có hình a) b) mà khơng có hình c) v.v Quá trình hình thành khái niệm đường quy nạp chứa đựng khả phát triển nữhng lực trí tuệ so sánh, trừu tượng hố, khái qt hố Vì cần trọng khai thác khả Con đường thứ hai để hình thành khái niệm cho học sinh đường suy diễn, việc định nghĩa khái niệm xuất phát từ định nghĩa khái niệm cũ mà học sinh biết Chẳng hạn, học sinh giỏi “khái niệm đại lượng tỉ lệ thuận” lớp xây dựng cách dựa vào định nghĩa khái niệm mà học sinh biết số học lớp để đưa định nghĩa khái niệm mới, sau đưa ví dụ để minh hoạ Sau cho học sinh nhắc lại định nghĩa tính chất tương quan tỉ lệ thuận học lớp 6, ta lưu ý học sinh tương quan tỉ lệ thuận số học định nghĩa hai cách tương đương nhau: - Hai đại lượng gọi tỉ lệ thuận đại lượng tăng (giảm) lần đại lượng tăng (giảm) nhiêu lần (1) - Hai đại lượng gọi tỉ lệ thuận tỉ số giá trị đại lượng với giá trị tương ứng đại lượng số (hằng số gọi hệ số tỉ lệ) (2) Bây giờ, ta lấy (2) làm định nghĩa hai đại lượng tỉ lệ thuận đại số, hệ số tỉ lệ giá trị hai đại lượng số hữu tỉ, dương, âm Từ đó, với cách suy nghĩ tương tự, học sinh đến khái niệm “đại lượng tỉ lệ nghịch” mà khơng cần quy nạp từ ví dụ cụ thể (thay từ “thuận” từ “nghich”, thay “tỉ số” “tích số”) Trong hình học, sau học xong hình bình hành, học sinh dễ dàng định nghĩa khái niệm hẹp hình chữ nhật, hình vng, hình thoi Việc hình thành khái niệm đường suy diễn (sau lấy ví dụ cụ thể minh hoạ để chứng tỏ khái niệm định nghĩa tồn tại) tiềm tàng khả phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh học tập c) Dạy học định nghĩa khái niệm Các cách định nghĩa việc hình thành khái niệm thường kết thúc định nghĩa khái niệm Trong toán học giảng dạy tốn học có cách khác để định nghĩa khái niệm Ở trường trung học sở, định nghĩa thường có cấu trúc dạng: (đối tượng x có tính chất B có tính chất A tính chất C) Trong cấu trúc trên, tính chất A tính chất khái niệm bao trùm đối tượng x định nghĩa, C khác biệt đặc trưng đối tượng có tính chất B với đối tượng cịn lại mang tính chất A Ví dụ: - Hình chữ nhật: + hình bình hành, + có góc vng - Số ngun tố: + số lớn 1, + chia hết cho cho Định nghĩa tường minh, khái niệm định nghĩa (B(x)) khái niệm dùng để định nghĩa (A(x) C(x)) tách bạch với Điều cho phép ta thay định nghĩa dùng để định nghĩa hay ngược lại Sự thay hay sử dụng chứng minh định lý giải tốn Nhưng khơng phải tất khái niệm tốn học định nghĩa theo cấu trúc nêu Lần ngược lại q trình lơgíc định nghĩa khái niệm, tất phải đến khái niệm xuất phát không định nghĩa qua khái niệm khác hệ thống lí thuyết cho, hệ thống trước chúng khơng có khái niệm Nhưng điều khơng có nghĩa khái niệm không định nghĩa Thực ra, khái niệm xuất phát định nghĩa Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn cách khơng tường minh, gián tiếp mô tả để làm bật nội dung chúng (ở trình độ thấp) hay tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ) Chẳng hạn, khái niệm “điểm) lớp 6: Điểm hình đơn giản Một dấu chấm nhỏ trang giấy trắng hình ảnh điểm (Tốn 6, tập hai) Như vậy, nói khái niệm “điểm”, “đường thẳng”, “mặt phẳng” khái niệm xuất phát nên khơng định nghĩa cần phải hiểu “chúng không định nghĩa tường minh qua khái niệm khác” Tóm lại, dạy học trường phổ thơng có khái niệm khơng định nghĩa hai lí khác nhau: chúng khái niệm xuất phát khoa học toán học, lí sư phạm chúng định nghĩa khoa học toán học (người thầy giáo cần phân biệt hai trường hợp này) Đối với khái niệm cần mơ tả, giải thích thơng qua ví dụ cụ thể giúp học sinh hình dung hình ảnh, hiểu ý nghĩa khái niệm ấy, chẳng hạn khái niệm “điểm”, “đường thẳng” sách Toán 6, tập hai, khái niệm “trục số” sách Đại số Trong khái niệm tốn học, có khái niệm đối tượng có khái niệm quan hệ Khái niệm đơn thức định nghĩa sau khái niệm đối tượng: Một biểu thức đại số phép tốn thực biểu thức phép nhân luỹ thừa gọi đơn thức (Đại số 7) Để làm ví dụ cho khái niệm quan hệ, ta xét định nghĩa sau: - Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức, sau thu gọn, có phần biến giống (Đại số 7) - Hai điểm M M’ gọi đối xứng với qua đường thẳng d d đường trung trực đoạn thẳng MM’ (Hình học 8) Trong định nghĩa này, quan hệ (cái định nghĩa) xác định thơng qua quan hệ biết trước (cái dùng để định nghĩa) Chú ý, kí hiệu “có nghĩa theo định nghĩa” “được gọi là”, ta hiểu “khi theo định nghĩa” để tránh nhầm lẫn với kí hiệu mang ý nghĩa “điều kiện cần đủ” định lí Các yêu cầu định nghĩa Đối với định nghĩa, ta khơng thể nói nói hay sai Một định nghĩa hợp lí (chấp nhận được) hay khơng hợp lí (khơng chấp nhận được) phụ thuộc vào việc thoả mãn hay không thoả mãn yêu cầu tối thiểu định nghĩa Yêu cầu quan trọng định nghĩa không vòng quanh Việc vi phạm quy tắc thể chỗ định nghĩa lại chứa đựng (tường minh không tường minh) dùng để định nghĩa Điều minh hoạ qua định nghĩa sau: - “Góc gọi góc vng hai cạnh vng góc với nhau”; - “Hai đường thẳng gọi vng góc với chúng tạo thành góc vng” Sự vịng quanh thể chỗ: định nghĩa đầu, góc vng định nghĩa qua đường thẳng vng góc, cịn định nghĩa sau khái niệm lại định nghĩa qua khái niệm thứ Tương tự, học sinh mắc sai lầm định nghĩa vòng quanh trả lời “góc vng góc 900”, để trả lời cho câu hỏi “góc 10 gì?” lại nói “góc 10 góc vng” u cầu thứ hai nhằm đảm bảo đắn (chuẩn mực) định nghĩa, có định nghĩa phải có trị khơng đa trị Định nghĩa phải có trị nghĩa phải tồn đối tượng thoả mãn điều kiện nêu định nghĩa Định nghĩa không đa trị nghĩa để định nghĩa dùng thuật ngữ hay kí hiệu Sự vi phạm yêu cầu dẫn đến việc thuật ngữ hay kí hiệu lại xác định khái niệm khác nhau, tức vi phạm nguyên tắc sử dụng kí hiệu hay thuật ngữ dạng tên gọi Ví dụ vi phạm việc dùng kí hiệu “AB” để đối tượng sau: đường thẳng qua hai điểm AB, độ dài đoạn thẳng AB, tia với điểm gốc A chứa điểm B sách giáo khoa người ta phải đặt trước kí hiệu thuật ngữ loại đối tượng, ví dụ “đoạn thẳng AB”, “đường thẳng AB”, “tia AB” (Toán 6, tập 2) Những hoạt động củng cố định nghĩa Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Trong dạy học khái niệm, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức cách cho họ tập luyện hoạt động nhận dạng thể khái niệm, hoạt động ngôn ngữ hay số hoạt dộng khác - Nhận dạng thể khái niệm Một biểu chủ nghĩa hình thức học tập mơn Tốn số học sinh thuộc cách phát biểu định nghĩa lại không nhận biết đối tượng cụ thể có thoả mãn định nghĩa hay khơng, khơng tự tạo đối tượng thoả mãn định nghĩa Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành hoạt động “nhận dạng” “thể hiện” để khắc phục chủ nghĩa hình thức, để củng cố khái niệm Chẳng hạn, học tam giác cân (Hình học 7, tr.43), cho học sinh làm tập: Hãy tìm tam giác cân hai hình bên, trước hết đốn nhận mắt, sau đo trực tiếp để kiểm tra lại Khi học “hệ số đơn thức” (Đại số 7, tr.97) cho tập H× nh 31 lưu ý đến trường hợp hệ số Trong việc nhận dạng khái niệm, nên có số tập mà câu trả lời khơng phải “có khơng” mà “chưa rõ”, ví dụ như: “Hai góc O1 O2 có chung đỉnh O 600 Hai góc có đối đỉnh khơng?” Sau nêu lên định nghĩa khái niệm, cần yêu cầu học sinh biết thể khái niệm tức cụ thể hố khái niệm Chẳng hạn, sau định nghĩa góc ngồi tam giác, ta u cầu học sinh vẽ góc ngồi tam giác cho trước Khi cụ thể hoá khái niệm, ý hướng dẫn học sinh nêu lên thí dụ cách đa dạng, kể số trường hợp riêng, tránh đơn điệu Ví dụ, cụ thể hố khái niệm “đường cao hình tam giác”, gợi ý cho học sinh vẽ hình trường hợp chân đường cao cạnh, trùng với đỉnh, phần kéo dài cạnh - Hoạt động ngôn ngữ Để giúp học sinh củng cố khái niệm phát triển ngôn ngữ, cần ý hướng dẫn khuyến khích học sinh diễn đạt định nghĩa theo cách khác, lời lẽ thân Ví dụ, định nghĩa số nguyên tố, phát biểu “số nguyên tố số có hai ước” (tức “có hai có hai ước”) Sự ý phương diện ngôn ngữ dạy học khái niệm góp phần tích cực phát triển ngơn ngữ tốn học cho học sinh, bao gồm vốn từ ngữ kí hiệu tốn học, tạo sở phát triển lực nhận thức lực vận dụng toán học vào việc học tập môn khác, vào khoa học đời sống - Một số hoạt động củng cố khác Một số hoạt động cần rèn luyện cho học sinh dạy học khái niệm có điều kiện hệ thống hoá, tức biết nhận mối quan hệ khái niệm Sau truyền thụ khái niệm, cần tạo hội cho học sinh vận dụng khái niệm vào tốn, hoạt động khác đặc biệt toán chứng minh mơn tốn Điều có tác dụng củng cố, nắm vững khái niệm, lại vừa góp phần phát triển lực vận dụng Toán học vào thực tiễn d) Dạy học phân chia khái niệm hệ thống hoá khái niệm Dạy học phân chia khái niệm Khi ta định nghĩa khái niệm (dưới dạng tường minh khơng tường minh) nội dung khái niệm (tức tính chất đặc trưng) phạm vi khái niệm (tức tập hợp đối tượng thoả mãn định nghĩa) xác định Phạm vi khái niệm sáng tỏ nhờ phân chia khái niệm (vạch rõ phạm vi khái niệm) Biết phân chia khái niệm biểu việc nắm vững khái niệm toán học khái niệm thuộc môn học Chẳng hạn, học sinh nắm vững khái niệm số nguyên tố hơn, đồng thời với việc hiểu định nghĩa này, học sinh biết số nguyên tố chẵn, lẻ, có số chẵn số 2, cịn số nguyên tố lại lẻ Tương tự vậy, học sinh biết khái niệm số tự nhiên phân chia thành: số 1, số 0, số nguyên tố, hợp số Nhiều khi, học sinh cần phải nắm vững cách phân chia khái niệm để giải tốn xem xét vấn đề có liên quan Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Ví dụ, toán “Chứng minh p số nguyên tố lớn p + 10 p + 14 khơng số ngun tố”, học sinh cần phải biết phân loại số nguyên tố lớn thành hai loại 3k + 1, 3k + để chứng minh Hoặc như, việc giải số tốn có liên quan đến số hữu tỉ x, đòi hỏi phải xét ba trường hợp: x = 0, x > 0, x < Ta minh hoạ việc phân chia khái niệm qua hai ví dụ sau: Tam giác có ba góc nhọn Tam giác vng Hình bình hành Tam giác có góc tù Hình chữ nhật Hình vng Hình thoi Hình 32 Người ta diễn tả việc phân chia khái niệm sơ đồ Chẳng hạn, sơ đồ loại tứ giác Hình học sau: Hình 33 Sơ đồ hiểu là: tứ giác có loại đặc biệt hình thang, ngồi cịn có tứ giác khơng hình thang; hình thang có ba loại đặc biệt hình thang cân, hình thang vng hình bình hành, ngồi cịn có hình thang khác khơng hình thang cân, khơng hình thang vng mà khơng phải hình bình hành Cịn sơ đồ minh hoạ việc phân chia khái niệm hình tam giác chẳng hạn, lại phải hiểu là: Hình tam giác có ba loại tam giác có ba góc nhọn, tam giác vng tam giác có góc tù Do đó, giáo viên phải thận trọng giải thích kĩ cho học sinh vẽ sơ đồ Ta thường hay gặp cách phân chia khái niệm theo nhiều tầng mà tầng, tập hợp đối tượng chia thành hai lớp theo tính chất (gọi phép chia nhị phân) Ví dụ sau phép chia nhị phân khái niệm số thực Số thực Số hữu tỉ Số nguyên Số tự nhiên Số vô tỉ Số phân Số nguyên âm Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Chú ý: Trong sơ đồ trên, thuật ngữ “số phân” để số hữu tỉ khơng phải số ngun, cịn “số tự nhiên” bao gồm số Dạy học hệ thống khái niệm Trong việc dạy học khái niệm, nêu lên mối quan hệ khái niệm, đặt khái niệm vào hệ thống khái niệm có sẵn, tức sau phần, chương cần phải hệ thống hoá khái niệm Khi dạy học số học, đại số, có nhiều hội cho học sinh thấy đươc mở rộng khái niệm: mở rộng số (số tự nhiên - số nguyên - số hữu tỉ - số thực), khái niệm biểu thức, đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch v.v Cần lưu ý để học sinh nhận thức đặc điểm đặc trưng khái niệm mở rộng so với khái niệm cũ Trong chương I - Tứ giác, đa giác (Hình học 8), học sinh có hội thấy thu hẹp khái niệm: hình tứ giác – hình thang – hình bình hành – hình chữ nhật – hình vuông Trường hợp cần hướng dẫn học sinh nắm vững chuyển từ khái niệm sang khái niệm hẹp khái niệm hẹp khơng có tính chất khái niệm trước mà cịn có thêm tính chất riêng mà khái niệm trước nói chung khơng có, chẳng hạn hình vng có tính chất hình chữ nhật, đồng thời có tính chất riêng hai đường chéo vng góc với mà hình chữ nhật nói chung khơng có Những tính chất cần nắm vững để vận dụng có hiệu vào giải tốn ứng dụng vào tình khác Ý nghĩa hoạt động phân chia khái niệm, hệ thống hoá khái niệm (một dạng quan trọng hoạt động trí tuệ) vượt xa khỏi phạm vi việc nắm vững kiến thức tốn học, cần thiết cho lĩnh vực hoạt động người Vì tri thức kỹ mặt cần ý thích đáng mơn Tốn mơn học khác Dạy học định lí tốn học a) Vị trí u cầu Việc dạy định lí tốn học nhằm cung cấp cho học sinh vốn kiến thức mơn Đó hội thuận lợi để phát triển học sinh khả suy luận chứng minh, góp phần phát triển lực trí tuệ Việc dạy học định lí tốn học cần đạt u cầu sau: - Nắm nội dung định lí mối liên hệ chúng, từ có khả vận dụng định lí vào hoạt động giải toán vào ứng dụng khác; - Làm cho học sinh thấy cần thiết phải chứng minh chặt chẽ, suy luận xác (với mức độ thích hợp trường phổ thơng); - Phát triển lực chứng minh toán học b) Các đường dạy học định lí Việc dạy học định lí tốn học thực theo hai đường: đường suy diễn đường có khâu suy đoán Hai đường minh hoạ sơ đồ sau Tạo động Phát định lí Suy luận lơgíc dẫn tới định lí Chứng minh định lí Phát biểu định lí Củng cố định lí Việc theo đường tuỳ tiện mà tuỳ theo nội dung định lí tuỳ vào điều kiện cụ thể học sinh Trong dạy học hình học, việc phát định lí tiến hành thơng qua vẽ hình thơng qua hoạt động thực hành hướng dẫn giáo viên Chẳng hạn, dạy “Tính chất ba trung tuyến tam giác” (Hình học 6), trước hết, cho học sinh vẽ tam giác tuỳ ý, sau vẽ Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn ba đường trung tuyến nêu nhận xét hướng dẫn thầy giáo Trước dạy “Tổng ba góc tam giác” (Hình học 6), giao cho học sinh công việc thực hành nhà “cắt tam giác giấy, đo góc tam giác cộng kết lại”, sau đó, lên lớp giáo viên gợi ý học sinh phát định lí học Để minh hoạ cho đường suy diễn, đưa ví dụ dạy định lí bình phương hiệu “Những đẳng thức đáng nhớ” (Đại số 8): từ đẳng thức suy c) Dạy chứng minh định lí Trong dạy học định lí, khâu quan trọng phát triển học sinh lực chứng minh toán học Dựa vào tư tưởng chủ đạo quan điểm hoạt động, ta cần ý giải vấn đề sau: - Gợi động chứng minh, - Rèn luyện cho học sinh hoạt động thành phần chứng minh, - Truyền thụ tri thức phương pháp chứng minh, - Phân bậc hoạt động chứng minh Ta vào khâu Gợi động chứng minh Hình thành động chứng minh có vai trị quan trọng việc học tập định lí, phát huy tính tự giác tích cực học sinh học tập Ở toán chứng minh trường phổ thông sở, học sinh thường chưa thấy rõ cần thiết phải chứng minh mệnh đề tốn học, nhiều học sinh khơng hết băn khoăn lại phải tốn công sức chứng minh nhiều điều thấy hiển nhiên hình vẽ Để khắc phục tình hình này, cần tận dụng hội khác để gợi động cho hoạt động chứng minh định lí Cần cho học sinh thấy điều thấy hiển nhiên hình vẽ thật là hình vẽ, hay chịu khó thử số hữu hạn hình vẽ mà thơi Vấn đề đặt với mệnh đề tổng quát, ta thử trực tiếp vơ số trường hợp Vì cần phải chứng minh Một ví dụ liên quan đến định lí Pitago (Hình học lớp 8) sau: Khi làm nhà tre, gỗ, người thợ mộc đục lỗ A, B, C kèo AC, giang BC trụ chống AB theo cự li tỉ lệ với : : tức AB : BC : CA = : : (hình vẽ) lúc dựng lên tam giác vuông ABC vuông B (tức trụ chống thẳng góc với giang) Ta kiểm nghiệm kinh nghiệm số hữu hạn trường hợp, để đảm bảo đắn cho tất (vơ số) trường hợp phải chứng minh Như vậy, từ yêu cầu thực tế học sinh thấy cần thiết phải chứng minh Hình 34 Đơi khi, việc chọn ví dụ vẽ hình giúp học sinh thấy cần thiết phải chứng minh Chẳng hạn, với định lí “Mỗi góc ngồi tam giác lớn góc khơng kề với nó” (Hình học lớp 7), ta vẽ tam giác ABC có ba góc nhọn tức góc ngồi C góc tù (Hình 35.a) học sinh cho chẳng cần phải chứng minh góc tù lớn góc nhọn A B Nhưng vẽ hình có góc ngồi C góc nhọn (Hình 35.b) việc góc ngồi C lớn góc A góc B khơng phải điều hiển nhiên A A B C a) B C b) Hình 35 Rèn luyện cho học sinh hoạt động thành phần chứng minh Cần ý tập luyện cho học sinh hoạt động thành phần chứng minh phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Điều quan trọng thao tác kết luận lơgíc theo quy tắc thường không dạy tường minh trường phổ thông sử dụng dạng tắt Ví dụ, ta xem xét cách chứng minh cơng thức bình phương tổng (Đại số 8), sách giáo khoa: Các bước chứng minh đầy đủ trình bày bảng sau: Các bước (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = aa + ab + ba + bb = aa + ab + ab + bb = aa + 2ab + bb = a2 + 2ab + b2 Lập luận Theo định nghĩa luỹ thừa Theo tính chất phân phối phép nhân phép cộng (Như trên) Theo tính chất giao hoán phép nhân Theo định nghĩa hệ số Theo định nghĩa luỹ thừa Một ví dụ khác, ta xem xét cách chứng minh định lí “Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân” (Hình học lớp 8) Hình 36 Chứng minh sách giáo khoa Phân tích chứng minh Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt Theo tiên đề Ơclít địng lí chứng minh đường thẳng DC E (hình học 7, tr.30) BE = AC Theo tính chất chứng minh (hình học 7, tr 47) Theo 2, giả thiết tính chất đẳng thức BE = BD Theo định nghĩa tam giác cân (hình học 7, tr Tam giác BDE cân 43) 5 Theo định lí chứng minh (như dẫn) 6 Tính chất cặp góc đồng vị 7 Theo 5, tính chất đẳng thức Theo giả thiết định lí chứng minh (chứng minh hình học 7, tr 20) 9 Theo định nghĩa hai tam giác 10 ABCD hình thang cân 10 Theo định nghĩa hình thang cân Truyền thụ tri thức phương pháp liên đến đến chứng minh Trong trình dạy học chứng minh, cần phải truyền thụ tri thức liên quan đến chứng minh Đó trước hết tri thức quy tắc kết luận lơgíc mà trường phổ thơng chúng truyền thụ theo đường không tường minh Chẳng hạn, ví dụ vừa nêu trên, từ bước chuyển sang bước ta dùng quy tắc kết luận (gọi modus ponens) sau: - Trong tam giác cân, hai góc kề cạnh đáy - Tam giác BDE tam giác cân với cạnh đáy DE Vậy hai góc kề cạnh đáy Sơ đồ quy tắc kết luận là: Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Đó quy tắc thường dùng nhiều trường phổ thơng Trong ví dụ trên, bước 3, hay 7, 8, 9, ta ngầm sử dụng quy tắc kết luận Đồng thời, cần ý truyền thụ tri thức phương pháp suy luận, chứng minh suy ngược (suy ngược tiến, lùi), suy xuôi, phản chứng theo đường thông báo chúng nhân hội tiến hành phép chứng minh Đặc biệt, cần luyện tập dần để học sinh nắm tri thức sau (đương nhiên không phát biểu tường minh đây): - Phép suy xuôi có sơ đồ sau, A i định nghĩa, tiên đề mệnh đề đó, cịn B mệnh đề cần chứng minh: - Phép suy ngược có hai trường hợp: suy ngược tiến suy ngược lùi với sơ đồ sau: Các phép suy xuôi suy ngược lùi phép chứng minh suy ngược tiến có tính chất tìm đốn Ví dụ Cho tốn: “Chứng minh rằng: ” (Đại số lớp 8, tr 13) - Chứng minh phép suy xuôi: Từ đẳng thức (A0) suy (A1) (A2) (đpcm) (B) - Chứng minh phép suy ngược lùi: Muốn chứng minh (B) phải chứng minh (A2) hay phải chứng minh (A1) tức phải chứng minh (A0) Đẳng thức đẳng thức học Trong trình dạy học chứng minh định lí, ta cần truyền thụ cho học sinh tri thức phương pháp chiến lược chứng minh (có tính chất tìm đốn) theo đường tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức Chiến lược kết tinh học sinh phận kinh nghiệm mà họ tích luỹ trình học chứng minh định lí, giải tốn chứng minh Đương nhiên, kết tinh không nên diễn cách tự phát mà cần thực cách có chủ đích, có ý thức thầy giáo Chẳng hạn, thầy giáo luôn lặp lặp lại cách có dựng ý dẫn câu hỏi như: - Giả thiết nói ? Giả thiết cịn biến đổi ? - Hãy vẽ hình theo kiện tốn Những khả xảy - Từ giả thiết suy điều ? Những định lí có giả thiết giống gần giống với giả thiết ? - Kết luận nói ? Điều cịn phát biểu ? - Những định lí có kết luận giống gần giống với kết luận toán ? v.v Page of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Phân bậc hoạt động chứng minh Dựa vào tư tưởng chủ đạo quan điểm hoạt động, ta cần phân bậc hoạt động chứng minh để điều khiển trình học tập học sinh phương diện Bao quát phân bậc vào hoạt động độc lập học sinh: - hiểu chứng minh; - trình bày lại chứng minh; - độc lập tiến hành chứng minh Cần lưu ý mức độ khó khăn hoạt động chứng minh không phụ thuộc cách phân bậc mà quan hệ với nội dung tốn Hiểu chứng minh tốn khó khó khăn độc lập chứng minh toán dễ d) Dạy học củng cố định lí Trong dạy học định lí, ta cần giúp học sinh củng cố kiến thức cách cho họ luyện tập hoạt động sau: Nhận dạng thể Những hoạt động quan trọng để củng cố định lí “nhận dạng” “thể hiện” “Nhận dạng” xem xét tình cho trước có ăn khớp với nhận định hay khơng “Thể hiện” tạo tình phù hợp với định lí cho trước Chẳng hạn: - Một số trịn chục có chia hết cho khơng ? (nhận dạng – Tốn lớp 6) - Hãy vẽ hình bình hành có cạnh dài gấp đơi cạnh (thể – Hình học lớp 8) Hoạt động ngôn ngữ mặt ngôn ngữ lơgíc, cần trọng phân tích cấu trúc lơgíc phân tích nội dung định lí, khuyến khích học sinh thay đổi hình thức phát biểu định lí nhằm phát triển lực diễn đạt độc lập ý nghĩ Ví dụ, định lí dấu hiệu chia hết cho 3: “Những số mà tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số chia hết cho 3” (Tốn lớp 6, tr 57), học sinh phát biểu theo nhiều cách khác, như: - Nếu số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho ngược lại, chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 3; - Một số chia hết cho có tổng chữ số chia hết cho không chia hết cho có tổng chữ số khơng chia hết cho Một ví dụ khác sách Hình học lớp 8: - “Trong hình chữ nhật, hai đường chéo nhau”, “Hai đường chéo hình chữ nhật ln nhau”, “Nếu tứ giác hình chữ nhật hai đường chéo nhau” - Tính chất ba trung tuyến tam giác: “Ba trung tuyến tam giác qua điểm, điểm cách đỉnh khoảng trung tuyến qua đỉnh ấy” Các hoạt động củng cố khác Cùng với hoạt động cần tập luyện cho học sinh hoạt động củng cố khác đặc biệt hoá, khái quát hoá, hệ thống hoá vận dụng định lí giải tốn, đặc biệt chứng minh toán học Trong việc dạy học định lí tốn học, dạy học khái niệm, cần phải làm cho học sinh hiểu nắm vững hệ thống kiến thức Sau phần, chương cần tiến hành hệ thống hoá định lí, ý nêu rõ mối liên hệ chúng Mối liên hệ định lí mối quan hệ chung riêng: định lí trường hợp mở rộng hay đặc biệt định lí biết Chẳng hạn, Hình học lớp 7, có định lí: “Tổng số đo ba góc tam giác 1800” (tr 36) Từ đó, có trường hợp riêng định lí: - Trong tam giác vng, tổng số đo hai góc nhọn 900 (tr 37); - Trong tam giác đều, góc 600 (tr 44) Mối liên hệ định lí mối liên hệ suy diễn: định lí suy định lí Ví dụ, sách Hình học lớp 8, tr 78, định lí Pitago tam giác vng a = b2 + c2 suy từ định lí trước đó: b2 = ab’; c2 = ac’ Sau ví dụ cách hệ thống hố số định lí chương Hình học lớp Page 10 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Tính chất cạnh Tính chất góc Hình thang ABCD Hình thang ABCD + AB // CD (hoặc AD // BC) Hình thang ABCD H.b.hành, H.ch.nhật ABCD + AB // CD AD // BC + AB = CD AD = BC + AB // CD AB = CD H bình hành ABCD H thoi ABCD AB = BC = CD = DA H chữ nhật ABCD + + Dạy học quy tắc phương pháp Thực ra, quy tắc, phương pháp khơng hồn tồn độc lập với định nghĩa định lí Có quy tắc, phương pháp dựa vào định nghĩa hay định lí, chí có hình thức phát biểu khác định nghĩa hay định lí Tuy nhiên, việc dạy học loại hình thức có nét riêng, trình bày tách biệt mục a) Những quy tắc, phương pháp có tính chất thuật tốn Thuật tốn hiểu quy tắc mô tả dẫn rõ ràng xác để người (hay máy) thực loạt thao tác nhằm đạt mục đích đặt hay giải lớp toán định Đây chưa phải định nghĩa xác mà cách phát biểu giúp ta hình dung khái niệm thuật toán cách trực giác Ở trường phổ thơng, học sinh hoạt động với nhiều thuật tốn thuật toán cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên số hữu tỉ, thuật tốn tìm ước chung lớn hai số, bội chung nhỏ hai số, thuật tốn giải hệ phương trình bậc hai ẩn, thuật tốn giải phương trình bậc hai Người thầy giáo cần có ý thức thơng qua việc dạy học quy tắc mà rèn luyện cho học sinh loại hình tư quan trọng: tư thuật tốn, yếu tố học vấn phổ thơng người thời đại máy tính Phát triển tư thuật tốn nhà trường phổ thơng cần thiết lí sau đây: Thứ nhất, tư thuật tốn giúp học sinh hình dung việc tự động hoá lĩnh vực hoạt động khác người, góp phần khắc phục ngăn cách nhà trường xã hội tự động hoá Nó giúp học sinh thấy tảng việc tự động hoá, cụ thể nhận thức rõ đặc tính hình thức, t máy móc q trình thực thuật tốn, sở cho việc chuyển giao số chức người cho máy thực Thứ hai, tư thuật toán giúp học sinh làm quen với cách làm việc giải tốn máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật toán khâu việc lập trình Tư thuật tốn tạo điều kiện cho học sinh thực tốt khâu Thứ ba, tư thuật toán giúp học sinh học tập tốt môn học nhà trường phổ thông, rõ mơn tốn Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo học phép tính tập hợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai, Thứ tư, tư thuật tốn góp phần phát triển lực trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, khái qt hố hình thành phẩm chất người lao động tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán thói quen tự kiểm tra Tư thuật toán liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật tốn trình bày Do đó, phương thức tư thể khả sau đây: Thực thao tác theo trình tự xác định phù hợp với thuật tốn cho trước Phân tích hoạt động thành thao tác hoạt động thành phần thực theo trình tự xác định Page 11 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Mơ tả xác q trình tiến hành hoạt động Khái quát hoá hoạt động đối tượng riêng thành hoạt động lớp đối tượng So sánh thuật tốn khác thực cơng việc phát thuật toán tối ưu Thành phần đầu thể khả thực thuật toán Bốn thành phần sau thể khả xây dựng thuật toán Việc phát triển tư thuật tốn thực dạy trực tiếp nội dung Tin học lẫn dạy học lĩnh vực nội dung khác, kể nội dung truyền thống giáo dục phổ thông Mặt thứ rõ ràng tường minh có chủ trương đưa Tin học vào nhà trường phổ thông Mặt thứ hai - mặt phát triển tư thuật toán dạy học nội dung Tin học - dễ bị lãng qn bỏ qua Vì vậy, mục đích chủ yếu hướng vào mặt thứ hai mơn Tốn để tránh điều đáng tiếc Hiện nay, định nghĩa thuật tốn, tính chất hình thức biểu diễn thuật toán nghiên cứu để đưa vào dạy học tường minh nhà trường phổ thơng Điều tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển tư thuật toán, chuẩn bị cho việc học tập máy tính điện tử làm việc với cơng cụ Tuy nhiên, trường hợp khái niệm thuật toán chưa đưa cách tường minh vào chương trình, ta phát triển học sinh tư thuật toán theo phương hướng rèn luyện cho họ khả a) – e) liệt kê thành tố phương thức tư Để tập luyện cho học sinh thực thao tác theo trình tự xác định phù hợp với thuật tốn cho trước, phát biểu số quy tắc toán học thành thuật tốn dạng ngơn ngữ tự nhiên sơ đồ khối (nếu học sinh học phương tiện này) yêu cầu họ thực quy tắc ấy, thơng qua nhấn mạnh bước trình tự tiến hành bước quy tắc Điều vừa trình bày minh hoạ thuật tốn giải phương trình bậc hai (Đại số lớp 9, tr 82) Xác định a, b, c b 4ac >0 với giá trị x y”, mà có học sinh giải sau: “Từ x2 + 2xy + y2 + > suy (x + y)2 + > hay (x + y) > -1 Bất đẳng thức cuối đúng, bất đẳng thức phải chứng minh đúng” Lời giải sai coi phép suy ngược tiến phép chứng minh Trong giải tốn, học sinh cịn mắc sai lầm hấp tấp, cẩu thả, sơ suất tính tốn, không ghi chép xem xét kĩ đầu Lập luận phải có xác Yêu cầu đòi hỏi bước biến đổi lời giải phải có sở lí luận, phải dựa vào định nghĩa, định lí, quy tắc, cơng thức học, đặc biệt phải ý đảm bảo thoả mãn điều kiện nêu giả thiết định lí Ví dụ, với tốn “Giải phương trình ” (Đại số lớp 9, tr 35) có học sinh giải sau: Học sinh không nắm vững đẳng thức để từ phương trình cho suy |2x – 1| = 3, để nghiệm x = -1 Lời giải phải đầy đủ Điều có nghĩa khơng bỏ sót trường hợp, khả năng, chi tiết Nó có nghĩa lời giải vừa khơng thừa, vừa khơng thiếu Muốn vậy, cần ý tập cho học sinh q trình giải tốn phải ln ln suy nghĩ tự trả lời câu hỏi như: Ta phải xem xét ? Như đủ chưa ? Cịn trường hợp hay khơng ? Đã đủ trường hợp đặc biệt chưa ? Học sinh thường bộc lộ thiếu sót khơng xét đầy đủ trường hợp, khả xảy tình huống, tốn địi hỏi phải biện luận D A C O F E B y x Hình 37 Ví dụ, cho tốn sau: “Cho hình vng ABCD có cạnh a, tâm O, góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F Tính diện tích tứ giác OEBF” (Hình học lớp 8, tr 55) Có học sinh trình bày lời giải sau: “Giả sử tia Ox cắt AB trung điểm E, tia Oy cắt BC trung điểm F (hình vẽ) Hình bình hành OEBF có góc B O vng nên hình chữ nhật, ta lại có nên OEBF hình vng có cạnh Vậy diện tích OEBF là: Rõ ràng lời giải không đầy đủ (mặc dù đáp số đúng) xét trường hợp riêng mà khơng xét đến trường hợp tổng quát: E điểm cạnh AB Tuy nhiên, lời giải cho Page 15 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn trường hợp đặc biệt có tính chất gợi ý cho giả thuyết: dự đốn diện tích OEBF tức phần tư diện tích hình vng cho Ngồi ba u cầu nói trên, người giáo viên cịn cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng, hợp lí Tìm lời giải hay toán tức khai thác đặc điểm riêng tốn, điều làm cho học sinh “có thể biết quyến rũ sáng tạo niềm vui thắng lợi” (G Pôlya Sách dẫn) c) Dạy học phương pháp tìm tịi lời giải tốn Trong mơn Tốn trường phổ thơng có nhiều tốn chưa có khơng có thuật tốn để giải Đối với tốn ấy, hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tìm tịi lời giải Đây hội tốt để giáo viên trang bị dần cho học sinh số tri thức phương pháp – phương pháp giải toán phương pháp toán học hoá - nhằm rèn luyện phát triển họ lực tư khoa học Biết đặt cho học sinh mức, chỗ câu hỏi gợi ý sâu sắc, phù hợp với trình độ đối tượng chừng mực đó, sử dụng khéo léo linh hoạt bảng gợi ý G Pôlya (ở cuối mục này) thể kinh nghiệm lực sư phạm người giáo viên trình dạy giải tập tốn Đó lời khun người có kinh nghiệm giải tốn khơng phải bảng dẫn có tính chất thuật tốn Tiếp thu kinh nghiệm này, người thực khác nhau, cách thức lẫn thời gian, để đến kết quả, có người khơng đến kết Điều nói lên tính chất khó khăn phức tạp việc truyền đạt phương pháp kinh nghiệm giải tốn khơng phủ nhận vai trị quan trọng việc Khơng có thuật toán tổng quát để giải toán Chúng ta thơng qua dạy học giải số toán cụ thể mà truyền cho học sinh cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật việc suy nghĩ, tìm tịi lời giải tốn, “Tìm cách giải tốn điều phát minh” (G Pôlya – Sách dẫn) Phương pháp tìm tịi lời giải Pơlya thường tiến hành theo bốn bước: - Tìm hiểu nội dung tốn; - Xây dựng chương trình giải; - Thực chương trình giải; - Kiểm tra nghiên cứu lời giải Tìm hiểu nội dung tốn Để giải toán, trước hết phải hiểu đề bài, đồng thời cịn phải có hứng thú giải tốn Vì thế, người giáo viên cần ý gợi động cơ, khêu gợi trí tị mị, hứng thú học sinh giúp học sinh hiểu tốn phải giải Phải tìm hiểu tổng thể để bước đầu hiểu tồn tốn, tránh vội vàng vào chi tiết Tiếp theo, phải phân tích tốn: cho, chưa biết ? có mối quan hệ phải tìm với cho ? Ví dụ tốn: Giải phương trình (17 – 21) – = 17 – (x + 9) số học sinh tiến hành bỏ dấu ngoặc thực phép tính Nhưng biết nhìn tốn cách tổng thể, nhận đặc điểm phương trình có x = 21 Đối với tốn Số học có lời văn nhiều, trước hết phải phân tích để gạt bên khơng chất, giữ lại quan hệ tốn học tốn để nhận dạng toán Chẳng hạn, toán: “Hai người xe đạp khởi hành lúc từ hai địa điểm A B theo hai chiều ngược Vận tốc người từ A 12km/h Vận tốc người từ B 125% vận tốc người từ A Biết quãng đường AB dài 67,5km, hỏi sau hai người xe đạp gặp ?” có lời văn dài, quan hệ toán học thuộc dạng toán “chuyển động ngược chiều nhau” Từ đó, dựa vào cơng thức để giải Đối với tốn hình học, nói chung phải vẽ hình Cần phải đọc kĩ tồn tốn, từ tưởng tượng cách khái quát sơ hình phác thảo có chứa đựng kiện đề Thường sau vẽ hình, học sinh hiểu rõ toán Cần ý: - Hình vẽ phải mang tính tổng quat, khơng nên vẽ hình trường hợp đặc biệt - Hình vẽ phải rõ ràng, dễ nhìn thấy quan hệ tính chất hình học - Việc vẽ hình tay thước, compa dần giải cách thoả đáng Khi học sinh bắt đầu học hình học (ở lớp 6, lớp 7) nên yêu cầu học sinh vẽ hình thước compa, dần Page 16 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn dần tập cho em quen vẽ hình tay cho nhanh, vẽ thước compa phải làm viết cần vẽ tương đối xác để dễ đốn nhận tính chất hình Ln u cầu học sinh vẽ cẩn thận, thể gần quan hệ độ lớn góc đoạn thẳng cho tốn Việc chọn kí hiệu cần lưu ý “Thời gian dành để chonh kí hiệu trả công hậu thời gian tiết kiệm nhờ tránh khỏi dự lẫn lộn.” (G Pơlya – Sách dẫn) Một lí hiệu phải có nội dung, dễ nhớ, tránh hiểu nước đôi không nên cầu kì, thứ tự tương quan kí hiệu phải giúp liên tưởng đến thứ tự tương quan đối tượng tương ứng Chẳng hạn, hai tam giác hay đồng dạng, nên viết đỉnh theo thứ tự tương ứng Xây dựng chương trình giải Ở bước này, phải ý phân tích tốn cho thành nhiều toán đơn giản hơn, phải huy động kiến thức (định nghĩa, định lí, quy tắc, ) có liên quan đến khái niệm, quan hệ đề tốn, lựa chọn số kiến thức gần gũi với liệu toán, mị mẫm, dự đốn, thử xét vài khả năng, kể trường hợp đặc biệt, xét toán tương tự toán khái quát toán cho v.v Việc phân tích tốn thành phận hay thành toán đơn giản minh hoạ ví dụ sau Cho toán: “Vườn trường trồng 450 ăn quả, cam, 50% hồng xiêm, cịn lại bưởi Hỏi có bưởi ?” (Tốn lớp 6, tập 2, tr 102) Ta phân tích tốn thành ba tốn đơn giản hơn: (1) Vườn trường trồng 450 ăn quả, cam Tính số cam (180 cây) (2) Vườn trường trồng 450 ăn quả, 50% hồng xiêm Tính số hồng xiêm (225 cây) (3) Vườn trường trồng 450 ăn quả, có 180 cam, 225 hồng xiêm, cịn lại bưởi Tính số bưởi (45 cây) Cũng phân tích thành ba tốn đơn giản khác sau: (1a) Vườn trường trồng ăn quả, hồng xiêm cam, 50% hồng xiêm Tính số cam (2a) Vườn trường trồng ăn quả, bưởi cam hồng xiêm, cịn lại bưởi Tính số (3a) Vườn trường trồng 450 ăn quả, bưởi Tính số bưởi (45 cây) Việc giải nhiều tốn dựng hình địi hỏi phải phân tích thành số tốn phận Ta xét ví dụ sau: “Dựng tam giác ABC biết , tỉ số trung tuyến phát xuất từ đỉnh A có độ dài m cho trước” (Hình học lớp 8, tr 69) Có thể phân tích tốn thành hai: (1) Dựng tam giác AB’C’ biết (2) Dựng tam giác ABC đồng dạng với AB’C’, cạnh BC // B’C’ có trung tuyến phát xuất từ A độ dài m cho trước Mị mẫm, dự đốn cách thử số trường hợp co thể xảy ra, xét trường hợp đặc biệt toán, xét toán tương tự hay tổng quát Page 17 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn Hãy quay lại với tốn Hình học lớp 8, tr 55 sau: “Cho hình vng ABCD có cạnh a, tâm O Một góc vng xOy có tia Ox cắt cạnh AB E, tia Oy cắt cạnh BC F (h 38) Tính diện tích tứ giác OEBF” Ngồi cách xét trường hợp riêng nêu mục 2.c để dự đoán diện tích OEBF , ta xét trường hợp đặc biệt khác tia Ox qua A, tia Oy qua B, tức tứ giác OEBF thành tam giác AOB có diện tích diện tích hình vng cho Chính từ hình vẽ trường hợp đặc biệt lại gợi ý cho việc tìm lời giải trường hợp tổng quát E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh BC: tứ giác OEBF tam giác AOB có phần chung EOB, phần lại hai tam giác AOE BOF mà diện tích OEBF AOB Hình 38 diện tích hình vng Việc chứng minh hai tam giác AOE BOF khơng gặp nhiều khó khăn: OA = OB, góc có cạnh tương ứng vng góc với Kiểm tra nghiên cứu lời giải Cần phải luyện cho học sinh thói quen kiểm tra lại lời giải tốn, xét xem có sai lầm hay thiếu sót khơng, tốn có đặt điều kiện đòi hỏi biện luận Việc kiểm tra lại kết phải yêu cầu học sinh tiến hành thường xuyên Chẳng hạn giải phương trình, sau tìm nghiệm, học sinh thay vào phương trình cho để kiểm tra lại Đối với tốn giải cách đặt phương trình phải thay nghiệm tìm phương trình vào tốn cho ban đầu Ví dụ, cho tốn: “Trên ba giá sách có tất 50 Giá thứ chứa giá thứ hai 10 Nếu chuyển từ giá thứ sang giá thứ ba 26 số sách giá thứ hai thứ ba Hỏi ban đầu giá thứ chứa sách ?” Ta giải toán sau: gọi x số sách ban đầu giá thứ nhất, giá thứ hai chứa x – 10 cuốn, ta có phương trình: Nếu thay kết vào tốn giá thứ chứa 32 cuốn, giá thứ hai chứa 22 cuốn, giá thứ ba chứa -4 (!), x = 32 khơng thể đáp số tốn Cần phải nhìn lại xem xét đầy đủ trường hợp xảy toán hay chưa, tốn có liên quan đến đối tượng hay quan hệ có nhiều khả xảy Bằng cách luyện tập cho học sinh thói quen nhìn nhận vấn đề cách tồn diện, theo nhiều khía cạnh, tránh phiến diện hời hợt Ví dụ, với tốn: “Dựng hình bình hành có ba đỉnh ba điểm A, B, C cho trước”, nhiều học sinh dựng hình ABDC, số thấy thêm hình bình hành ABCE học sinh thấy đầy đủ ba hình 39 E A F B C D Hình 39 Trong trình giải tập, cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho toán Mỗi cách giải dựa vào số đặc điểm kiện, tìm nhiều cách giải luyện tập cho học sinh cách nhìn nhận vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau, điều bổ ích Page 18 of 19 Các tình điển hình dạy học mơn tốn cho việc phát triển lực tư Mặt khác, tìm nhiều cách giải chọn cách giải hay nhất, đẹp d) Bản gợi ý Pôlya Bản gợi ý Pơlya có ích cho giáo viên q trình dạy học giải tập toán Người giáo viên cần suy nghĩ, vận dụng linh hoạt bảng để xác định câu hỏi, việc làm lúc, chỗ phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, mang lại hiệu đạt mục đích việc dạy học giải tập (1) Hiểu rõ toán: - Đâu ẩn ? Đâu liệu ? Có thể thoả mãn điều kiện hay khơng ? Điều kiện có đủ để xác định ẩn hay không ? Hay chưa đủ ? Hay thừa ? Hay có mâu thuẫn ? - Vẽ hình Sử dụng kí hiệu thích hợp - Phân biệt thành phần khác điều kiện Có thể diễn tả điều kiện thành cơng thức khơng ? (2) Xây dựng chương trình giải: - Bạn gặp toán lần chưa ? Hay gặp toán dạng khác ? - Bạn có biết tốn có liên quan khơng ? định lí dùng không ? - Xét kĩ chưa biết (ẩn) thử nhớ lại toán quen thuộc có ẩn hay có ẩn tương tự - Đây tốn có liên quan mà bạn có lần giải Có thể sử dụng khơng ? Có thể sử dụng kết khơng ? Hãy sử dụng phương pháp ! Có cần phải đưa thêm số yếu tố phụ sử dụng khơng ? - Có thể phát biểu tốn cách khác khơng ? Một cách khác ? Quay định nghĩa - Nếu bạn chưa giải tốn đề thử giải tốn có liên quan Bạn nghĩ tốn có liên quan dễ khơng ? Một tốn tổng qt ? Một trường hợp riêng ? Một toán tương tự ? Bạn giải phần tốn không ? Hãy giữ lại phần điều kiện, bỏ qua phần Khi ẩn xác định đến chừng mực đó, biến đổi ? Bạn từ kiện rút số yếu tố có ích khơng ? Bạn nghĩ điều kiện khác giúp bạn xác định ẩn khơng ? Có thể thay đổi ẩn hay kiện hay hai cần thiết, cho ẩn kiện gần không ? - Bạn sử dụng kiện hay chưa ? Đã sử dụng toàn điều kiện hay chưa ? Đã để ý đến khái niệm chủ yếu tốn chưa ? (3) Thực chương trình giải: Khi thực chương trình, kiểm tra lại bước Bạn thấy rõ ràng bước chưa ? Bạn chứng minh không ? (4) Trở lại cách giải (nghiên cứu cách giải tìm ra) - Bạn kiểm tra lại kết ? Bạn kiểm tra lại tồn q trình giải tốn khơng ? - Có thể tìm kết cách khác khơng ? Có thể thấy trực tiếp kết khơng ? - Bạn sử dụng kết hay phương pháp cho tốn khác khơng ? Page 19 of 19 ... niệm Trong tốn học giảng dạy tốn học có cách khác để định nghĩa khái niệm Ở trường trung học sở, định nghĩa thường có cấu trúc dạng: (đối tượng x có tính chất B có tính chất A tính chất C) Trong. .. tình điển hình dạy học mơn tốn Chú ý: Trong sơ đồ trên, thuật ngữ “số phân” để số hữu tỉ số nguyên, “số tự nhiên” bao gồm số Dạy học hệ thống khái niệm Trong việc dạy học khái niệm, nêu lên... động ăn khớp với tri thức Chiến lược kết tinh học sinh phận kinh nghiệm mà họ tích luỹ q trình học chứng minh định lí, giải tốn chứng minh Đương nhiên, kết tinh không nên diễn cách tự phát mà cần