VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 28-32; 49 VẬN DỤNG QUY TRÌNH MƠ HÌNH HĨA TRONG DẠY HỌC MƠN TỐN Ở TIỂU HỌC Lê Thị Thu Hương, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Đinh Thị Hồng Liên - Trường Cao đẳng Sư phạm Thái Nguyên Ngày nhận bài: 04/03/2019; ngày sửa chữa: 10/03/2019; ngày duyệt đăng: 29/03/2019 Abstract: In the context of fundamental and comprehensive innovation of Vietnamese education today, one of the essential competencies of primary teachers in teaching Mathematics is the competency of designing and organizing teaching situations of mathematical modeling The mathematical modeling activities given by teachers can create problematic situations to help students form and develop the problem-solving skills for primary students From there, it can be connected mathematical elements and applying maths in real situations Based on the introduction of mathematical modeling process, this article will illustrate some situations of teaching specific Maths contents at primary schools according to the given process Keywords: Modeling, teaching Mathematics, primary, mathematical modeling Mở đầu Giáo dục tiểu học cấp học quan trọng phát triển, hình thành phẩm chất lực trẻ Cùng với mơn Tiếng Việt, mơn Tốn có vai trị quan trọng chương trình giáo dục tiểu học Thơng qua dạy học mơn Tốn, học sinh (HS) trang bị tri thức bản, tảng mạch nội dung số học, đại lượng đo đại lượng, giải tốn có lời văn hình học Đồng thời, giúp em rèn luyện thao tác tư phân tích, tổng hợp, so sánh, khái qt hóa, trừu tượng hóa, V.Upenski rõ: tốn học đưa mơ hình tổng qt rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn Mơ hình tốn học điểm xuất phát yếu tố quan trọng để thực tốn học hóa tình thực tiễn [1] Một lực toán học HS tiểu học quy định Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn lực mơ hình hóa tốn học [2] Thơng qua mơ hình hóa tốn học, giáo viên (GV) giúp HS lựa chọn phép tốn, cơng thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng tình xuất phát toán thực tiễn; giải toán xuất từ lựa chọn nêu câu trả lời cho tình xuất tốn thực tiễn [1] Do đó, tăng cường mối liên hệ thực tiễn với toán học coi định hướng xuyên suốt toàn q trình dạy học mơn Tốn tiểu học Điều thực hiệu thông qua việc vận dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mơn Tốn tiểu học Nội dung nghiên cứu 2.1 Mơ hình hóa dạy học mơn Tốn tiểu học 28 2.1.1 Quan niệm mơ hình hóa dạy học mơn Tốn Có nhiều quan niệm khác mơ hình, hiểu cách chung mơ hình dùng để mơ tả tình thực tiễn nhằm hướng tới mục tiêu định Mơ hình tốn học mơ hình trừu tượng, sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hệ thống Mơ hình tốn học sử dụng nhiều ngành khoa học tự nhiên, chuyên ngành kĩ thuật khoa học xã hội Mơ hình sử dụng dạy học Tốn hình vẽ, bảng biểu, đồ thị, phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng mơ hình ảo máy tính điện tử, Mơ hình hóa q trình tạo mơ hình nhằm hướng tới giải vấn đề coi q trình khép kín, kết dùng để giải thích tình thực tiễn Theo chúng tơi: mơ hình hóa dạy học Tốn phương pháp giúp HS tìm hiểu, khám phá tình xuất phát từ thực tiễn cơng cụ ngơn ngữ tốn học, từ vận dụng kiến thức, kĩ tốn học để giải tốn đặt Mơ hình hóa tốn học giúp HS phát triển thơng hiểu khái niệm q trình tốn học [3]; phát triển kĩ hợp tác nhận thức mức độ cao [1] Do vậy, GV cần đưa loại tập gắn với hoạt động mô hình hóa như: tập dạng điều tra số liệu, khảo sát thực tế vấn đề nảy sinh địa phương, phân tích tin tức báo chí, số liệu sách giáo khoa mạng Internet, 2.1.2 Quy trình mơ hình hóa Mơ hình hóa tình thực tế dạy học Tốn sử dụng cơng cụ ngơn ngữ tốn học phổ biến VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 28-32; 49 công thức, thuật tốn, phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu, Theo [2], mơ hình hóa theo quy trình gồm giai đoạn sau: Giai đoạn 1: Quan sát tượng thực tiễn, phác thảo tình phát yếu tố có tác động đến vấn đề Giai đoạn 2: Lập giả thuyết mối quan hệ yếu tố thơng qua ngơn ngữ tốn học Từ đó, phác họa mơ hình tốn học tương ứng Giai đoạn 3: Áp dụng phương pháp cơng cụ tốn học phù hợp để mơ hình hóa tốn phân tích mơ hình Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn đưa kết luận Quy trình coi khép kín dùng để giải thích, mơ tả tình nảy sinh từ thực tiễn, kết lại dùng để giải thích cải thiện vấn đề thực tiễn Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trình dạy học mơn Tốn tiểu học, theo chúng tơi, GV thiết kế tổ chức hoạt động mơ hình hóa tốn theo bước sau đây: Bước (tốn học hóa): Phân tích vấn đề thực tiễn, đơn giản hóa vấn đề cách loại bỏ yếu tố không chất để mô tả diễn đạt lại vấn đề công cụ ngơn ngữ tốn học (nêu tốn) Bước (giải tốn): Sử dụng cơng cụ tốn học phương pháp giải toán phù hợp để giải vấn đề hay toán toán học hóa Bước (hiểu thơng dịch): Hiểu trình bày ý nghĩa lời giải toán tình thực tiễn (bài tốn ban đầu) Bước (đối chiếu thực tế): Xem xét lại vấn đề toán nêu bước lời giải tốn, xem lại cơng cụ phương pháp toán học sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mơ hình (bài tốn vấn đề) xây dựng Như vậy, để tuân theo quy trình bước cụ thể trên, HS cần xuất phát từ tình thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn lời (lập giả thuyết, công thức, phương trình, ); sau đó, sử dụng cơng cụ tốn học để giải toán hiểu ý nghĩa lời giải toán thực tiễn; cuối cùng, HS xem xét lại mơ hình (hoặc chấp nhận mơ hình), diễn đạt lại tốn ban đầu (hoặc thơng báo kết quả), tìm hiểu hạn chế khó khăn gặp áp dụng kết tốn vào tình thực tiễn Dưới đây, chúng tơi minh họa quy trình thơng qua số ví dụ cụ thể dạy học mơn Tốn tiểu học: 2.2 Một số ví dụ minh họa việc vận dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mơn Tốn tiểu học Để thiết kế tình sử dụng mơ hình hóa q trình dạy học mơn Tốn, GV cần lưu ý số ngun tắc như: đảm bảo tính khoa học, làm rõ tính ứng dụng toán học thực tiễn, trọng rèn luyện kĩ giải vấn đề, đảm bảo tính khả thi tính vừa sức HS 2.2.1 Vận dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mạch nội dung Số học Bài toán (Toán 4, tr 148): Một người bán 280 cam quýt, số cam số quýt Tìm số cam, số quýt bán Bước (tốn học hóa): GV hướng dẫn HS xác định tổng số cam quýt 280 quả, tỉ số số cam số quýt HS nhận toán thuộc dạng tìm hai số biết tổng tỉ số hai số Dựa vào tỉ số số cam số quýt, HS biểu diễn số cam phần nhau, số quýt phần Bước (giải toán): GV yêu cầu HS vẽ sơ đồ biểu diễn số cam, số quýt theo yêu cầu toán (xem sơ đồ 1) Sau vẽ sơ đồ, HS tiến hành tìm số loại Theo sơ đồ, tổng số phần là: + = (phần) Số cam bán là: 280 : × = 80 (quả) Số quýt bán là: 280 - 80 = 200 (quả) ? Cam 280 Quýt ? 29 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 28-32; 49 Đáp số: Cam: 80 quả; Quýt: 200 Bước (hiểu thông dịch): sau giải xong toán, HS cần nắm rằng, coi số cam phần số quýt phần tổng số cam, quýt tương ứng với tổng số phần nhau, nghĩa 280 cam, quýt tương ứng với phần Giá trị phần 280 : = 40 (quả) Số cam số phần nhân với phần Số quýt số phần nhân với phần Bước (đối chiếu thực tế): thực tế, có nhiều tốn có liên quan đến tìm hai số biết tổng tỉ số hai số đó, GV khai thác số tốn có dạng tương tự, u cầu HS thành lập biểu diễn mơ hình tốn học nhằm làm sáng tỏ toán gắn với thực tiễn Bài toán (Toán 4, tr 122): Mai ăn ăn bánh, Hoa bánh Hỏi ăn nhiều hơn? Bước (tốn học hóa): để biết bạn ăn nhiều bánh hơn, GV hướng dẫn HS đưa toán dạng so sánh hai phân số khác mẫu số Bước (giải toán): GV yêu cầu HS vẽ mơ hình biểu diễn bánh bạn Mai ăn bánh bạn Hoa ăn (xem sơ đồ 2) Sơ đồ Mơ hình biểu diễn bánh sau ăn Nhìn vào mơ hình biểu diễn, HS kết luận bạn ăn nhiều bánh Để làm sáng tỏ kết luận này, GV yêu cầu HS thực quy đồng mẫu số hai phân số : Bạn Mai ăn Bạn Hoa ăn 2 16 bánh nghĩa ăn 5 40 bánh Tiếp theo, GV yêu cầu HS tiến hành so sánh xem bạn ăn nhiều bánh 15 16 Vì nên bạn Hoa ăn nhiều bánh bạn Mai 40 40 Bước (hiểu thông dịch): HS thực quy đồng hai phân số có mẫu số chung 40 Sau đó, HS 15 16 so sánh hai phân số có mẫu số để biết 40 40 bạn Hoa ăn nhiều bánh bạn Lan Bước (đối chiếu thực tế): Ngoài việc so sánh bạn Hoa hay bạn Mai ăn nhiều bánh hơn, HS giải tình tương tự thực tiễn Thơng qua hoạt động mơ hình hóa trên, GV cần phân tích làm rõ vai trị việc xây dựng mơ hình tốn học phương tiện minh họa cho hoạt động tư để đến việc vận dụng tri thức toán học giải vấn đề thực tiễn 2.2.2 Vận dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mạch nội dung Hình học Bài tốn (Tốn 5; tr 100): Miệng giếng nước hình trịn có bán kính 0,7m Người ta xây thành giếng rộng 0,3m bao quanh miệng giếng Tính diện tích thành giếng Bước (tốn học hóa): GV hướng dẫn HS xác định bán kính miệng giếng nước (hình trịn nhỏ) 0,7m; bán kính thành giếng 0,3m Từ đó, HS cần biểu diễn mơ hình giếng nước hai hình trịn đồng tâm có bán kính r 0,7m r 1m , biết vận dụng cơng thức tính diện tích hình trịn để giải vấn đề đặt thực tiễn Bước (giải toán): GV hướng dẫn HS vẽ mơ hình biểu diễn giếng nước (xem sơ đồ 3) r = 0,3m r = 0,7m 15 bánh, nghĩa ăn 40 Sơ đồ Mơ hình giếng nước bánh 30 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 28-32; 49 Sau vẽ mơ hình giếng nước, HS tiến hành tính diện tích thành giếng Diện tích hình trịn nhỏ (miệng giếng) là: 0,7 × 0,7 × 3,14 = 1,5386 (m2) Bán kính hình trịn lớn là: 0,7 + 0,3 = (m) Diện tích hình trịn lớn là: × × 3,14 = 3,14 (m2) Diện tích thành giếng (phần gạch chéo) là: 3,14 - 1,5386 = 1,6014 (m2) Đáp số: 1,6014m2 Bước (hiểu thơng dịch): sau giải tốn, HS nắm diện tích thành giếng (phần gạch chéo) hiệu diện tích hình trịn lớn hình trịn nhỏ (miệng giếng) Diện tích hình trịn nhỏ (miệng giếng) 3,14 nhân với hai lần bán kính r = 0,7m Diện tích hình trịn lớn 3,14 nhân với hai lần bán kính nó, bán kính hình trịn lớn tính tổng bán kính hình trịn nhỏ (miệng giếng) r = 0,7m thành giếng r = 0,3m Bước (đối chiếu thực tế): tình thực tiễn này, HS vận dụng cơng thức tính diện tích hình trịn để tính diện tích thành giếng Ngồi ra, HS cịn rèn khả mơ hình hóa để biểu diễn vật có dạng hình trịn, liên tưởng tới kiến thức tốn học biết để từ tìm cách giải nhằm thỏa mãn nhu cầu thân Bài toán (Tốn 5, tr 128): Một bể kính ni cá dạng hình hộp chữ nhật, có chiều dài 1m, chiều rộng 50cm, chiều cao 60cm a) Tính diện tích kính dùng làm bể cá (bể khơng có nắp) b) Tính thể tích bể cá chiều cao bể Tính thể tích nước bể (độ dày kính khơng đáng kể) Bước (tốn học hóa): GV hướng dẫn HS đưa độ dài cạnh bể cá hình hộp chữ nhật đơn vị đo với chiều dài a 1m 10dm ; chiều rộng b 50cm 5dm ; chiều cao c 60cm 6dm HS cần áp dụng cơng thức tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần thể tích hình hộp chữ nhật để giải yêu cầu toán Bước (giải tốn): GV hướng dẫn HS biểu diễn mơ hình bể cá (xem sơ đồ 4): c) Mức nước bể cao 31 1m 60cm 50cm Sơ đồ Mơ hình bể cá Quan sát mơ hình bể cá, HS thực tính diện tích kính dùng làm bể cá (bể khơng có nắp) a) Diện tích xung quanh bể kính là: (10 + 5) × × = 180(dm2) Diện tích đáy bể kính là: 10 × = 50 (dm2) Diện tích kính dùng để làm bể cá là: 180 + 50 = 230 (dm2) Tiếp theo, HS thực tính thể tích bể cá b) Thể tích bể cá là: 10 × × = 300 (dm3) Cuối cùng, HS tính thể tích nước bể (độ dày kính khơng đáng kể) c) Thể tích nước bể là: 300 : × = 225 (dm3) Đáp số: a) 230dm2; b) 300dm3; c) 225dm3 Bước (hiểu thơng dịch): Sau giải xong tốn, HS nắm diện tích kính dùng làm bể cá (bể khơng có nắp) tổng diện tích xung quanh bể kính với diện tích đáy bể kính Mức nước bể cao 3 chiều cao bể, tức thể tích nước 4 thể tích bể cá Bước (đối chiếu thực tế): ngồi việc HS tính diện tích kính dùng làm bể cá, thể tích bể cá thể tích nước bể, GV u cầu em nhà đo kích thước bể cá nhà tính thể tích bể cá Từ đó, HS chọn lồi cá có kích thước phù hợp với bể cá nhà 2.2.3 Sử dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mạch nội dung Đại lượng đo đại lượng Bài toán (Toán 5; tr 144): Quãng đường AB dài 180km Một ô tô từ A đến B với vận tốc 54km/giờ, lúc xe máy từ B đến A với vận tốc 36km/giờ Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau ô tô gặp xe máy? Bước (tốn học hóa): GV hướng dẫn HS xác định tốn có hai chuyển động ngược chiều thời gian, độ dài quãng đường AB 180km, vận tốc ô tô 54km/giờ, vận tốc xe máy 36km/giờ VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 28-32; 49 Bước (giải toán): GV yêu cầu HS vẽ mơ hình biểu diễn chuyển động ô tô xe máy theo yêu cầu tốn (xem sơ đồ 5) Ơ tơ Gặp A Xe máy B 180km Sơ đồ Mơ hình biểu diễn chuyển động ô tô xe máy Tiếp theo, HS thực tìm thời gian để tô xe máy gặp Sau giờ, ô tô xe máy quãng đường là: 54 + 36 = 90 (km) Thời gian để ô tô xe máy gặp là: 180 : 90 = (giờ) Đáp số: Bước (hiểu thơng dịch): sau giải xong tốn, HS cần nắm ô tô gặp xe máy tơ xe máy hết quãng đường 180km từ hai chiều ngược Bước (đối chiếu thực tế): thực tế có nhiều tình yêu cầu tìm thời gian gặp hai chuyển động ngược chiều, GV đưa số tình tương tự, yêu cầu HS sử dụng mơ hình tốn học để mơ tả tình Bài tốn (Tốn 5; tr 94): ruộng hình thang có đáy lớn 120m, đáy bé đáy lớn Đáy bé dài chiều cao 5m Trung bình 100m2 thu hoạch 64,5kg thóc Tính số ki-lơ-gam thóc thu hoạch ruộng Bước (tốn học hóa): GV hướng dẫn HS xác định kích thước ruộng hình thang có đáy lớn a 120 m, đáy bé b a , chiều cao h b HS cần áp dụng công thức tính diện tích hình thang S (a b) h : để tính diện tích ruộng Từ đó, HS tính số ki-lơ-gam thóc thu hoạch ruộng Bước (giải tốn): GV hướng dẫn HS vẽ mơ hình biểu diễn ruộng hình thang (xem sơ đồ 6) 120m Sơ đồ Mơ hình biểu diễn ruộng hình thang Trước tiên, HS thực tính diện tích hình ruộng Đáy bé ruộng hình thang là: 120 : 80 (m) Chiều cao ruộng hình thang là: 80 - = 75 (m) Diện tích ruộng hình thang là: (120 80) 75 : 7500 (m2) Tiếp theo, HS tính số ki-lơ-gam thóc thu ruộng có diện tích 7500m2 Khối lượng thóc thu hoạch ruộng là: 7500 :100 64,5 4837,5 (kg) Đáp số: 4837,5 (kg) Bước (hiểu thông dịch): HS hiểu rằng, chia đáy lớn thành phần đáy bé tương ứng với phần Độ dài đáy bé giá trị phần 40m nhân với phần Đáy bé dài chiều cao 5m, nghĩa đáy bé trừ 5m chiều cao ruộng Khi đó, ta tính ruộng hình thang có diện tích 7500m2 Để tính khối lượng ki-lơ-gam thóc thu từ ruộng đó, ta phải chia 7500m2 thành 75 phần, phần có diện tích 100m2 phần thu hoạch 64,5 ki-lơ-gam thóc Bước (đối chiếu thực tế): Ngồi việc tính khối lượng thóc thu hoạch ruộng hình thang có kích thước tốn cho, ta tính khối lượng khóc thu hoạch ruộng hình thang với kích thước Qua đó, ta theo dõi khối lượng thóc thu có biện pháp để tăng suất thu hoạch thóc Kết luận Mục tiêu q trình dạy học Tốn khơng hình thành cho HS kiến thức tốn học, kĩ tính tốn, mà cịn bồi dưỡng cho em khả giải tình đa dạng học tập sống Mơ hình hóa tốn học hoạt động bản, tham gia vào tất q trình học tập mơn Tốn HS, có hoạt động giải tốn Q trình coi phương tiện, đồng thời sản phẩm tư giúp HS định hướng tìm cách giải tốn cách nhanh chóng xác Do vậy, việc hình thành, phát triển lực mơ hình hóa vận dụng quy trình mơ hình hóa dạy học mơn Tốn tiểu học cần thiết nhằm nâng cao chất lượng dạy học yêu cầu trọng tâm chiến lược phát triển giáo dục (Xem tiếp trang 49) 32 VJE Tạp chí Giáo dục, Số 453 (Kì - 5/2019), tr 46-49 người biết mơ hướng giải khác vấn đề mắc phải tạo công cụ làm thứ tốt hơn, dễ dàng hơn, nhanh thông minh Khả cân mong muốn dài hạn hay ngắn hạn họ tốt Khi đặt họ tình nào, họ suy nghĩ mục tiêu ngắn hạn dài hạn để có định sáng suốt Những nhà cải cách vĩ đại nhanh chóng thay đổi quan điểm họ Nói cách khác, thời đại ngày địi hỏi bạn phải có tư phân tích tư mềm dẻo để giải vấn đề rút kết luận sáng suốt Chính triết học, đặc biệt triết học Mác - Lênin có khả cung cấp cho người học tư linh hoạt, mềm dẻo cung cấp cho người học giới quan vật biện chứng Tiếp tục truyền thống vật, biện chứng nhiều kỉ, giới quan vật biện chứng khẳng định chất thay đổi giới có tư người, khơng có tồn vĩnh viễn Thế giới vật chất tư người vận động theo quy luật vốn có quy luật lượng chất, quy luật mâu thuẫn, quy luật phủ định phủ định, Ngoài ra, giới quan vật biện chứng khẳng định vai trò định vật chất, sản xuất, kinh tế đồng thời đề cao vai trò ý thức người, tức vai trị tích cực, sáng tạo người Thế giới quan vật biện chứng đề cao sức mạnh người; muốn phát triển, người phải dựa vào khơng thể ỷ lại hay nương tựa vào lực lượng thần linh, thượng đế có sẵn bên ngồi người, bên giới Kết luận Rèn luyện KNTD cho SV, đặc biệt KNTD lí luận, tư logic, KNTD phản biện, KNTD mềm dẻo vấn đề quan trọng việc chuẩn bị hành trang cho nguồn nhân lực chất lượng cao Bởi vậy, đổi phương pháp dạy học, đánh giá kết học tập SV việc làm cần thiết để Triết học không môn học trang bị giới quan phương pháp luận cách mạng mà rèn luyện KNTD cần thiết cho SV bối cảnh Cách mạng công nghiệp 4.0 Tài liệu tham khảo [1] Ted Honderich (2005) The Oxford Companion to Philosophy Oxford University Press [2] C Mác - Ph Ăngghen (1994) Toàn tập (tập 20) NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [3] Trần Nguyên Việt (2007) Triết học với tư cách lịch sử triết học (Hội nghị bàn tròn sách V V Xôcôlốp - “Nhập môn lịch sử triết học”) Tạp chí Triết học, số (188), tr 45-51 49 [4] Bộ GD-ĐT (2006) Giáo trình Triết học Mác Lênin NXB Chính trị Quốc gia - Sự thật [5] Martha C Nussbaum (2010) Vơ vị lợi - Vì dân chủ cần môn học nhân văn (Người dịch: Bùi Thanh Châu) NXB Hồng Đức [6] E E Nexmeyanov (chủ biên, 2004) Triết học Hỏi đáp (Người dịch: Trần Nguyên Việt) NXB Đà Nẵng [7] Trần Sỹ Phán (2017) Tư lí luận Tạp chí Lí luận trị, số 1, tr 110-112 [8] Nguyễn Thị Bạch Vân (2014) Nâng cao trình độ tư lí luận cho sinh viên thơng qua giảng dạy triết học Tạp chí Khoa học xã hội Việt Nam, số (82), tr 27-33 [9] Vũ Văn Ban - Bùi Ngọc Quân (2017) Rèn luyện khả tư phản biện cho sinh viên trình dạy học bậc đại học Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh, số 14, tr 125-132 VẬN DỤNG QUY TRÌNH MƠ HÌNH HĨA (Tiếp theo trang 32) Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Danh Nam (2016) Phương pháp mơ hình hóa dạy học mơn Tốn trường phổ thơng NXB Đại học Thái Nguyên [2] Bộ GD-ĐT (2018) Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn [3] Lesh, R - Galbraith, P - Haines, C - Hurford, A (2016) Modeling Students’ Mathematical Modeling Competences Springer [4] Trần Trung (2011) Vận dụng mơ hình hóa vào dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, số 06, tr 104-108 [5] Hồng Tụy (1996) Tốn học phát triển Tạp chí Thơng tin khoa học giáo dục, số 53, tr 5-6 [6] Berinderjeet Kaur - Jaguthsing Dindyal (2010) Matheematical Applications and Modeling World Scientific Puclishing, Singapore [7] Blum, Niss (1991) Applied Mathematical Problem Solving, Modeling, Applications and links to Other Subjects Educations Studies in Mathematical, Vol 22 (1), pp 36-38 [8] Lesh, R - Galbraith, P - Haines, C - Hurford, A (2016) Modeling Students’ Mathematical Modeling Competences Springer [9] Jonathan Borwein - Keith Devlin (2009) Experimentelle Mathematik Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg