Tạp chí Khoa học ĐHQGHN Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số 3 (2015) 1 10 1 NGHIÊN CỨU Quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán ở trường phổ thông Nguyễn Danh Nam* Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguy[.]
Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 NGHIÊN CỨU Quy trình mơ hình hóa dạy học Tốn trường phổ thơng Nguyễn Danh Nam* Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Số 20, Lương Ngọc Quyến, TP Thái Nguyên, Việt Nam Nhận ngày 12 tháng năm 2014 Chỉnh sửa ngày 28 tháng năm 2015; chấp nhận đăng ngày 25 tháng năm 2015 Tóm tắt: Bài báo trình bày quy trình vận dụng phương pháp mơ hình hóa dạy học Tốn trường phổ thơng Thơng qua hoạt động mơ hình hóa, học sinh hiểu sâu vấn đề liên quan Toán học thực tiễn Từ khuyến khích, tạo động cho học sinh tích cực vận dụng tri thức Toán học sách giáo khoa để giải toán thực tiễn Kết nghiên cứu khẳng định tính khả thi việc tổ chức hoạt động mơ hình hóa q trình dạy học nhằm bồi dưỡng cho học sinh lực sử dụng ngôn ngữ Toán học lực giải vấn đề Từ khóa: Mơ hình, mơ hình hóa, tốn học hóa, tốn thực tiễn Đặt vấn đề ∗ Mơ hình hóa (MHH) dạy học Tốn q trình giúp học sinh (HS) tìm hiểu, khám phá tình nảy sinh từ thực tiễn công cụ ngơn ngữ Tốn học với hỗ trợ cơng nghệ thơng tin Q trình địi hỏi HS cần có kĩ thao tác tư Tốn học phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổ thơng, MHH diễn tả mối quan hệ tượng tự nhiên xã hội với nội dung kiến thức Toán học sách giáo khoa thơng qua ngơn ngữ Tốn học kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, cơng thức, phương trình Từ thấy hoạt động MHH giúp HS phát triển thông hiểu khái niệm q trình Tốn học, hệ thống hóa khái niệm, ý tưởng Toán học nắm cách thức xây dựng mối quan hệ ý tưởng Cách tiếp cận giúp việc học Tốn Mơ hình mơ tả vật dùng thay mà qua ta thấy đặc điểm đặc trưng vật thể thực tế Thông qua mơ hình, ta thao tác khám phá thuộc tính đối tượng mà khơng cần đến vật thật Tuy nhiên điều phụ thuộc vào ý đồ người thiết kế mơ hình bối cảnh áp dụng mơ hình Mơ hình sử dụng dạy Tốn mơ hình trừu tượng sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hệ thống Nó hiểu hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng hay chí mơ hình ảo máy vi tính [1] _ ∗ ĐT.: 84-979446224 Email: danhnam.nguyen@dhsptn.edu.vn N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 HS trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động niềm say mê học Tốn [2] Tóm lại, nói mơ hình dùng để mơ tả tình thực tiễn đó, mơ hình Tốn học hiểu sử dụng cơng cụ Tốn học để thể dạng ngơn ngữ Tốn học, MHH q trình tạo mơ hình để giải vấn đề Tốn học liên quan đến tình thực tiễn [3] Do đó, với tri thức Tốn học, giáo viên (GV) sử dụng mơ hình để giải thích, giúp HS hiểu tượng thực tế sống tính ứng dụng thực tiễn Tốn học Trong dạy học Tốn, MHH thực thơng qua dự án học tập, GV chia HS thành nhóm nhỏ để tìm hiểu, khám phá giới phương tiện toán học với hướng dẫn GV [4] Do vậy, MHH sử dụng để hiểu giải vấn đề thực tiễn phương tiện để dạy học Tốn trường phổ thơng mơi trường để HS tìm hiểu, khám phá kiến thức Tốn học kiến thức liên mơn khác Nội dung nghiên cứu 2.1 Quy trình mơ hình hóa Q trình MHH tình thực tế dạy học Tốn sử dụng cơng cụ ngơn ngữ Tốn học phổ biến cơng thức, thuật tốn, phương trình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình MHH gồm giai đoạn chủ yếu sau [5, 6, 7]: * Giai đoạn 1: Quan sát tượng thực tiễn, phác thảo tình phát yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn * Giai đoạn 2: Lập giả thuyết mối quan hệ yếu tố tốn sử dụng ngơn ngữ Tốn học Từ thiết lập mơ hình Tốn học tương ứng * Giai đoạn 3: Áp dụng phương pháp công cụ Toán học phù hợp để MHH toán phân tích mơ hình * Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn đưa kết luận Quá trình giải vấn đề (GQVĐ) MHH có đặc điểm tương tự giúp rèn luyện cho HS kĩ toán học cần thiết Do đó, chúng hỗ trợ bổ sung cho Quy trình MHH xem khép kín dùng để mơ tả tình nảy sinh từ thực tiễn kết lại dùng để giải thích cải thiện vấn đề thực tiễn [6, tr.71] Sử dụng MHH trường phổ thông nhằm giúp HS giải vấn đề cách: (i) thu thập, hiểu phân tích thơng tin Tốn học; (ii) áp dụng Tốn học để mơ hình hóa tình thực tiễn Do vậy, q trình MHH cụ thể hóa theo sơ đồ (Hình 1): Tuy nhiên, thực tế dạy học, quy trình MHH ln tn theo chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu HS trường phổ thông [4] Cơ chế điều chỉnh thể mối liên hệ mật thiết Toán học với vấn đề thực tiễn (Hình 2): Từ chế điều chỉnh trình MHH, chúng tơi đề xuất bước tổ chức hoạt động MHH dạy học mơn Tốn sau: - Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số phạm vi vấn đề thực tế - Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giả thuyết khác đưa - Bước 3: Xây dựng toán cách lựa chọn sử dụng ngơn ngữ Tốn học mơ tả tình thực tế tính tốn đến độ phức tạp N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 r Hình 1: Quy trình MHH dạy học Tốn Hình 2: Cơ chế điều chỉnh trình MHH - Bước 4: Sử dụng cơng cụ Tốn học thích hợp để giải tốn phức tạp cao cho phù hợp với thực tiễn (Hình 3) - Bước 5: Hiểu lời giải tốn, ý nghĩa mơ hình Tốn học hoàn cảnh thực tế 2.2 Tổ chức hoạt động mơ hình hóa dạy học Tốn - Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình (ưu điểm hạn chế), kiểm tra tính hợp lí tối ưu mơ hình xây dựng - Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn, cải tiến mơ hình xây dựng mơ hình có độ Trong chương trình sách giáo khoa nhiều nước giới, hoạt động MHH đưa vào để phát triển thao tác tư kĩ GQVĐ khám phá tri thức Thông qua hoạt động MHH, HS biết cách xây dựng, N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 cải tiến mơ hình Tốn học để giải vấn đề thực tiễn sống Để làm điều này, HS cần phải xử lí số liệu thực tế, sử dụng phương pháp biểu diễn số liệu khác nhau, lựa chọn áp dụng công cụ phương pháp Toán học phù hợp để giải toán nảy sinh từ tình thực tiễn [6] Ví dụ (Bài tốn hồ Eyre) Có nhiều hồ nước Úc bị cạn phần lớn thời gian năm, có nước thời gian định sau trận mưa rào Hồ Eyre phía nam nước Úc ví dụ cho tượng Vấn đề đặt tính khoảng thời gian mà hồ bị cạn hồ chứa đầy nước? g Hình 3: Các bước tổ chức hoạt động MHH Để tổ chức hoạt động MHH toán này, GV thực theo quy trình gồm bước sau: * Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn Đây toán mở, điều kiện ban đầu toán chưa rõ ràng Do vậy, trước hết GV tổ chức cho HS suy nghĩ thảo luận số liệu cần thiết cần thu thập nhằm đơn giản hóa tốn GV hướng dẫn HS liệt kê từ khóa, diễn đạt lại vấn đề xác định đơn vị tính Các từ khóa đưa ra: độ sâu, thể tích, cạn, đầy Vấn đề diễn đạt lại sau: Khoảng ngày hồ bị cạn hết nước? * Bước 2: Lập giả thuyết Liệt kê yếu tố (tham số) có liên quan đến vấn đề nhằm thiết lập điều kiện ban đầu toán GV sử dụng kĩ thuật động não yêu cầu nhóm xác định tham số quan trọng loại bỏ tham số phụ Các tham số xuất toán nhóm đưa sau: kích thước, hình dáng, độ sâu, diện tích bề mặt, nhiệt độ, độ ẩm, tốc độ bay nước, thấm nước, lượng mưa, lượng nước ban đầu, hệ thực vật động vật, độ mặn nước, hệ thống thoát nước Sau thảo luận nghiên cứu kĩ lưỡng điều kiện tự nhiên hồ Eyre, GV hướng dẫn HS lựa chọn tham số ảnh hưởng nhiều đến khả bị cạn nước hồ, loại bỏ số tham số phụ như: nhiệt độ, độ ẩm, hệ thực vật động vật, độ mặn nước, hệ thống thoát nước, * Bước 3: Xây dựng toán Sau xác định tham số bản, GV định hướng cho HS thiết lập điều kiện ban đầu, N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 xây dựng cơng thức tính tốn, lập phương trình nhập số liệu vào bảng tính Excel Điều kiện ban đầu xác định sau: thể tích hồ Eyre (V = 1000.000 m3); tỉ số độ sâu (tỉ số độ sâu lớn bán kính lớn nhất, r = 0.0001); tốc độ bay ngày (e = 0.003 m3/ m2 diện tích bề mặt); tốc độ thấm nước ngày (p = 0.0008 m3/ m2 diện tích mặt đáy hồ); giá trị xấp xỉ số π (3.141592654) Sau đó, GV tổ chức cho HS thảo luận lựa chọn hình nón mơ hình biểu diễn tốt cho hồ nước Eyre Cuối cùng, GV hướng dẫn HS sử dụng cơng thức để tính đại lượng: bán kính hồ, độ sâu, diện tích bề mặt, diện tích mặt đáy hồ, thể tích bị nước bay thấm nước (Hình 4) * Bước 4: Giải toán Đây bước HS sử dụng số liệu, cơng thức tính thảo luận để tính khoảng thời gian mà thể tích hồ nhỏ khơng (theo đơn vị ngày) Trong q trình tính lượng nước bị mất, em phát cần phải sử dụng chu trình lặp để xác định số ngày hồ cạn nước (Hình 5) Như vậy, cơng thức tính xác định sau: bán kính hồ ( ( ); diện tích bề mặt ( ); độ sâu ); diện tích mặt đáy ( ); thể tích nước bị ( ) GV hướng dẫn HS sử dụng bảng tính Excel máy tính cầm tay để lập chu trình lặp đạt giá trị (Bảng 1) * Bước 5: Hiểu lời giải toán Từ kết ta thấy ngày thứ 51 GV hướng dẫn HS quay trở lại vấn đề để hiểu yêu cầu toán HS thảo luận kết thời điểm chu trình lặp cuối ngày Do vậy, kết thúc thảo luận, câu trả lời đưa phải sau 50 ngày hồ Eyre cạn (Hình 6) * Bước 6: Kiểm nghiệm mơ hình Thảo luận ưu điểm hạn chế mơ hình trên, kiến thức tốn học sử dụng q trình giải vấn đề GV định hướng trình thảo luận cho HS như: tìm hiểu thực tế để kiểm nghiệm lời giải toán, cải tiến mơ hình cách thay đổi hình dạng biểu diễn bổ sung thêm tham số khác (tốc độ bay hơi, nhiệt độ, độ ẩm, hệ động thực vật xung quanh, ) thực mô máy vi tính Kết thúc bước này, GV giới thiệu thêm cho HS kiến thức Toán học phức tạp như: hàm số nhiều biến, thể tích hình khối phức tạp, tác động mơi trường đến vấn đề biến đổi khí hậu,… (Hình 7) d Hình 4: HS phác họa mơ hình hồ Eyre 6 N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 Hình 5: Lập luận HS cách giải toán hồ Eyre Bảng Bảng tính chu trình lặp thể tích hồ Eyre Số ngày Thể tích … 50 51 1000.000 946265 … 123.4 -9.7 Bán kính 2122.6 2082.9 … 105.6 #NUM! Độ sâu 0.2122 0.2083 … 0.0106 #NUM! Diện tích bề mặt 14140894.6 13629713.1 … 35033 #NUM! Diện tích mặt đáy 14140894.7 13629713.1 … 35033 #NUM! Hình 6: Mơ hình biểu thị q trình cạn nước hồ Eyre Thể tích nước bị 53735.4 51792.9 … 133.1 #NUM! N.D Nam / Tạp chí Khoa học ĐHQGHN: Nghiên cứu Giáo dục, Tập 31, Số (2015) 1-10 Hình 7: HS đối chiếu với tốn thực tế * Bước 7: Thơng báo, giải thích, dự đốn Thơng báo nhóm đại diện nhóm trình bày nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm lực giải vấn đề nhóm Từ đó, GV hướng dẫn HS biết sử dụng ngôn ngữ công cụ Tốn học để mơ tả ý tưởng Toán học, biểu diễn vấn đề thực tiễn Ví dụ (Năng suất lao động) Các nhà quản lí cơng ti dệt may nhận suất lao động công nhân giảm dần theo số thời gian làm việc liên tiếp họ, có lẽ mệt mỏi công việc nhàm chán Hãy giúp nhà quản lí xác định cơng nhân nên nghỉ giải lao để họ làm tốt cơng việc Tương tự Ví dụ 1, tốn này, GV hướng dẫn HS thực q trình MHH thơng qua bước nói nhằm xác định yếu tố sau đây: - Hàm số biểu diễn suất lao động (tính theo cặp quần bị) cơng nhân Để làm điều này, HS phải thu thập số liệu thực tế nhóm đại diện cơng nhân để xác định hàm số biểu diễn tốt Kết suất lao động công nhân mô tả hàm số f(t) = 6,37.e- 0,04t, t số làm việc liên tiếp - Thảo luận ý tưởng Toán học cho việc tính suất lao động khoảng thời gian định (tính theo đơn vị giờ) Với hướng dẫn GV, nhóm HS vẽ đồ thị hàm số f(t) = 6,37.e- 0,04t sử dụng khái niệm tích phân xác định để tính tổng sản phẩm dệt may khoảng thời gian làm việc ngày (mỗi ngày làm việc tiếng) Để toán đơn giản hơn, GV hướng dẫn HS tính tổng sản phẩm dệt may khoảng thời gian làm việc liên tiếp, ý đến làm việc làm việc cuối Dưới làm HS nhóm thực nghiệm: d Hình 8: HS xây dựng định hướng giải toán ... tiện để dạy học Toán trường phổ thơng mơi trường để HS tìm hiểu, khám phá kiến thức Tốn học kiến thức liên môn khác Nội dung nghiên cứu 2.1 Quy trình mơ hình hóa Q trình MHH tình thực tế dạy học. .. hiểu phân tích thơng tin Tốn học; (ii) áp dụng Tốn học để mơ hình hóa tình thực tiễn Do vậy, q trình MHH cụ thể hóa theo sơ đồ (Hình 1): Tuy nhiên, thực tế dạy học, quy trình MHH ln tn theo chế điều... cơng cụ Tốn học để thể dạng ngơn ngữ Tốn học, MHH q trình tạo mơ hình để giải vấn đề Toán học liên quan đến tình thực tiễn [3] Do đó, với tri thức Tốn học, giáo viên (GV) sử dụng mơ hình để giải