Dựa trên các tài liệu nghiên cứu về phương pháp mô hình hóa trong giảng dạy toán, bài viết sẽ trình bày các bước cần thiết của hoạt động dạy học toán bằng mô hình hóa, thông qua các ví dụ minh họa có liên quan đến nội dung của học phần Đại số sơ cấp ngành Sư phạm Toán.
Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP MƠ HÌNH HĨA TRONG GIẢNG DẠY HỌC PHẦN ĐẠI SỐ SƠ CẤP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN Phạm Mỹ Hạnh Trần Thị Ngọc Giàu* Trường Đại học An Giang, Đại học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh * Tác giả liên hệ: ttngiau@agu.edu.vn Lịch sử báo Ngày nhận: 25/6/2020; Ngày nhận chỉnh sửa: 22/7/2020; Ngày duyệt đăng: 29/8/2020 Tóm tắt Tốn học từ lâu có mối quan hệ mật thiết với lĩnh vực đời sống xã hội, nên dạy học toán cần giúp người học hiểu rõ vận dụng toán học vào toán thực tế Một phương pháp hiệu đáp ứng mục tiêu sử dụng mơ hình hóa để nghiên cứu vật tượng hoạt động thực tiễn Dựa tài liệu nghiên cứu phương pháp mơ hình hóa giảng dạy tốn, viết trình bày bước cần thiết hoạt động dạy học toán mơ hình hóa, thơng qua ví dụ minh họa có liên quan đến nội dung học phần Đại số sơ cấp ngành Sư phạm Tốn Từ khóa: Giảng dạy Tốn, giáo dục, mơ hình hóa, phương pháp mơ hình hóa APPLYING MATHEMATICAL SIMULATIONS IN TEACHING ELEMENTARY ALGEBRA, MATHEMATICS EDUCATION MAJOR Pham My Hanh and Tran Thi Ngoc Giau* An Giang University, Ho Chi Minh City National University * Corresponding author: ttngiau@agu.edu.vn Article history Received: 25/6/2020; Received in revised form: 22/7/2020; Accepted:29/8/2020 Abstract Mathematics has an age-old close relationship with all aspects of life; thus mathematics instruction should help learners thoroughly understand and be able to apply mathematics in everyday situations One of the most efficient methods for that goal should be artifact simulations Based on the pertinent literature, this paper presents necessary steps in mathematical simulation-based instruction with illustrated examples related to some contents of the elementary algebra subject in Mathematics Education Major Keywords: Education, simulation, simulation approach, teaching mathematics 26 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021, 26-32 Đặt vấn đề Mặc dù tốn học mơn khoa học trừu tượng, có mối liên hệ chặt chẽ lĩnh vực đời sống xã hội Tác giả Blum Niss (1991) cho rằng, việc dạy toán bên cạnh cung cấp kiến thức, kỹ liên quan đến toán học khái niệm, định lý cần giúp người học kết nối kiến thức kỹ vào việc giải tình thực tế, mơ hình tốn học q trình mơ hình hóa tốn học cơng cụ cần thiết Hiện nay, có nhiều định nghĩa mơ hình q trình mơ hình hóa Tác giả Swetz & Hartzler (1991) nhận định, mơ hình mẫu, đại diện, minh họa thiết kế để mô tả cấu trúc, cách vận hành vật, tượng hay hệ thống Quá trình mơ hình hóa tốn học định nghĩa q trình nghiên cứu bao gồm công đoạn quan sát tượng tự nhiên, phân tích mối quan hệ yếu tố tượng, sử dụng cơng cụ tốn học để giải thích tượng phương trình, biến, đồ thị hàm số… từ đạt kết tốn vận dụng kết để giải thích lại tượng Tác giả Edward Hamson (2001) cho rằng, mơ hình hóa tốn học chuyển vấn đề thực tế sang vấn đề toán học, cách thiết lập giải mơ hình tốn học, thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế, cải tiến mơ hình cách giải khơng thể chấp nhận Để phát huy lực tốn học nói chung lực mơ hình hóa tốn học nói riêng, đồng thời củng cố mối quan hệ mật thiết toán học vấn đề thực tiễn, hai hoạt động mơ hình hóa áp dụng toán hai hoạt động quan trọng thường sử dụng trình dạy học Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) cho mơ hình hóa áp dụng toán hai hoạt động quan trọng dạy học toán, hai khái niệm sử dụng để biểu thị mối liên hệ giới thực tốn chúng có khác biệt Cụ thể, mơ hình hóa nhấn mạnh đến trình chuyển đổi từ tình thực tế đến tốn học, người học tìm kiếm kiến thức tốn phù hợp để giải tình huống, sau xem xét tính hữu ích mơ hình tốn sử dụng Như vậy, nghiên cứu mơ hình, người học lựa chọn nhiều cơng cụ tốn khác dựa q trình phân tích, nghiên cứu mơ hình Ngược lại, trước chủ đề toán học, người dạy đề số áp dụng thực tế khác nhau, hoạt động áp dụng tốn Ngồi ra, theo mục tiêu chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể năm 2018, mơn Tốn bậc trung học phổ thông cần giúp học sinh sử dụng mơ hình tốn học để mơ tả tình huống, từ đưa cách giải vấn đề tốn học đặt mơ hình thiết lập Tuy nhiên, q trình học tốn bậc đại học, sinh viên đặt nặng quan điểm trừu tượng tốn học mà khơng phát huy khả sử dụng mơ hình hóa tốn học, hay vận dụng toán học để giải tốn thực tế Tóm lại, dạy học tốn thơng qua phương pháp mơ hình hóa cần thiết khơng giúp người học nâng cao khả tư tốn học mà cịn góp phần nâng cao lực giải vấn đề thông qua việc tương tác với mơ hình tốn học xuất phát từ tình thực tế Mục tiêu việc giảng dạy toán mơ hình hóa giúp sinh viên hiểu mối quan hệ mật thiết toán học với thực tiễn thơng qua mơ hình tốn, đồng thời nâng cao khả sử dụng công nghệ thông tin phần mềm để giải vấn đề phong phú đa dạng tự nhiên Dựa nội dung học phần Đại số sơ cấp chương trình học sinh viên ngành Sư phạm Tốn, hàm số đồ thị hàm số; phương trình, hệ phương trình; bất phương trình, hệ bất phương trình… viết giới thiệu số tình thực tiễn sinh viên vận dụng kiến thức tốn học để chuyển tình thành mơ hình tốn học vận dụng kiến thức tốn để tìm lời giải hiệu chỉnh mơ hình lời giải khơng đáp ứng u cầu tình thực tế 27 Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn Cơ sở lý thuyết số hoạt động dạy học minh họa 2.1 Các quy trình hoạt động mơ hình hóa Theo tác giả Blum LeiB (2006), sơ đồ mơ hình hóa gồm bước sau: Bước 1: Hiểu tình đặt ra, xây dựng mơ hình cho tình đó; Bước 2: Đơn giản hóa tình đưa vào biến phù hợp để mơ hình thực tình huống; Bước 3: Chuyển từ mơ hình thực sang mơ hình tốn; Bước 4: Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm lời giải cho mơ hình tốn; Bước 5: Thể kết ngữ cảnh thực tế; Bước 6: Xem xét tính phù hợp kết quả, kết không phù hợp phải quay trở lại bước để xem xét mơ hình; Bước 7: Trình bày cách giải cho tình Theo tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012), bước thứ q trình mơ hình hóa xuất phát từ tình thực tế, tình phải thích hợp đối tượng người học phù hợp với kiến thức toán mà người học biết Sau đó, giảng viên cần cụ thể hóa tình huống, xây dựng mơ hình tốn thể rõ mối liên hệ tình thực tế tốn học, cụ thể biến, mối quan hệ biến nội dung tốn học cần thiết để tìm lời giải hợp lý cho mơ hình Tác giả Lê Thị Hồi Châu (2014) nhận định phương pháp dạy học mơ hình hóa tóm tắt qua bốn bước có mối quan hệ mật thiết với sau: Bước 1: Xây dựng mơ hình mơ thực tiễn vấn đề, xác định rõ liệu đầu vào kết đầu cần đạt Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét, nhiên nhiều trường hợp với vấn đề xem xét, xác định nhiều mơ hình khác 28 Bước 3: Sử dụng cơng cụ tốn học để giải tốn hình thành bước Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết đạt bước 3, kết khơng phù hợp phải thực lại quy trình Có thể nhận định phương pháp dạy học mơ hình hóa của tác giả Lê Thị Hoài Châu dạng rút gọn mơ hình bước tác giả Blum LeiB Tóm lại, q trình dạy học mơ hình hóa, hay viết ngắn gọn q trình mơ hình hóa, gồm bước thực sau: Bước 1: Nghiên cứu tình thực tế, xác định liệu đầu vào kết đầu cần đạt được; Bước 2: Chuyển vấn đề từ tình thực tế nghiên cứu thành mơ hình tốn; Bước 3: Sử dụng kiến thức tốn để tìm lời giải cho tình huống; Bước 4: Đánh giá lại kết đạt từ mơ hình hiệu chỉnh mơ hình cho phù hợp với yêu cầu đặt tình 2.2 Tổ chức hoạt động dạy học cụ thể Học phần Đại số sơ cấp cung cấp cho sinh viên năm hệ đại học kiến thức phương trình hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình, hàm số đồ thị hàm số Đây kiến thức gần với toán phổ thông, giúp sinh viên ôn tập hệ thống lại kiến thức đại số chương trình tốn bậc trung học phổ thông Mặc dù kiến thức toán sơ cấp chúng gần gũi với tình thực tiễn, đồng thời nguồn tư liệu phong phú để giảng viên vận dụng mơ hình tốn học tốn thực tế, giúp sinh viên hiểu rõ mối quan hệ mật thiết toán học hoạt động thực tiễn sống Ngồi ra, dựa mơ hình tốn học đơn giản, giảng viên với sinh viên xây dựng phát triển mơ hình phức tạp có liên quan Ví dụ Một nhà hàng bán thức ăn nhanh, mở cửa từ sáng đến 22 tối Người quản lý nhà hàng muốn thuê nhân viên phục vụ Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021, 26-32 theo ca, ca sáng trưa từ đến 15 ca chiều tối từ 15 đến 22 Tiền lương nhân viên phục vụ tính theo giờ, 20.000 đồng Do lượng khách đến nhà hàng vào chiều tối thường đông, nên nhân viên phục vụ từ 18 đến 22 tiền phụ cấp tăng thêm 10.000 đồng/giờ Theo tình hình thực tế, nhà hàng cần nhân viên không nhân viên phục vụ vào ca sáng trưa số nhân viên phục vụ vào ca chiều tối thường tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca sáng trưa không 16 nhân viên Ngoài ra, theo quy định nhà hàng tổng số nhân viên phục vụ ngày không 18 nhân viên Em giúp người quản lý nhà hàng tìm số lượng nhân viên phục vụ cần tuyển ca sáng trưa ca chiều tối để số tiền lương phải trả ngày Trong trường hợp số tiền lương phải trả cho nhân viên phục vụ ngày nhiều Giảng viên hướng dẫn sinh viên xây dựng mơ hình tốn học từ tình nêu theo bước sau: Bước Phân tích tình thực tế, xác định liệu đầu vào kết đầu cần đạt Dữ liệu đầu vào mối quan hệ số lượng nhân viên phục vụ ca với số nhân viên tối thiểu, tối đa ca tổng số nhân viên ngày mà nhà hàng sử dụng Khi d x d 6, x d y d 16, x + y d 18 với x, y số lượng nhân viên phục vụ mà nhà hàng sử dụng ca sáng trưa ca chiều tối Kết đầu cần có số tiền lương trả cho nhân viên phục vụ nhiều bao nhiêu? Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học dựa vào tình thực tế Tiền lương trả cho nhân viên phục vụ ca sáng trưa là: Q1 üüüüüüu u x x Tiền lương trả cho nhân viên phục vụ ca chiều tối là: 20000 u u y 30000 u u y 180000 y Tổng tiền lương trả cho nhân viên ngày là: Q1 Q üüüüüü x y Như vậy, sinh viên xây dựng mơ hình tốn đơn giản tìm max đại lượng Q 140000 x 180000 y với điều kiện d x d 6; x d y d 16; x + y d 18 Bước 3: Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm lời giải Đối với ví dụ này, sinh viên dùng nhiều cách để tìm lời giải cho toán Cách 1: Sử dụng kiến thức hàm số Sinh viên xem Q 140000 x 180000 y hàm số theo hai biến x, y hàm tuyến tính đồng biến theo hai biến x, y Vì Q đạt giá trị nhỏ x, y nhỏ Do đó, từ liệu mối quan hệ x, y suy với x = 4, y = tiền lương trả cho nhân viên phục vụ Q = 2000000 (đồng) Ngồi ra, sinh viên nhận xét tiền lương trả nhiều số nhân viên phục vụ mà nhà hàng thuê nhiều nhất, tương ứng với 18 người Khi đó, xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: x = 4, y = 14 Q = 3080000 (đồng); Trường hợp 2: x =5, y = 13 Q = 3040000 (đồng); Trường hợp 3: x = 6, y = 12 Q = 3000000 (đồng) Vậy trường hợp nhà hàng phải thuê nhân viên phục vụ ca sáng trưa 14 nhân viên phục vụ ca chiều tối phải trả tiền lương cao Bên cạnh việc sử dụng tính chất đồng biến hàm số, giảng viên gợi ý cho sinh viên sử dụng kiến thức tìm cực trị hàm số, từ xác định giá trị lớn nhỏ Q(x,y) Cách 2: Sử dụng kiến thức hệ bất phương 29 Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn trình bậc hai ẩn, tốn lớp 10 chương trình phổ thơng Với x,y số lượng nhân viên phục vụ mà nhà hàng sử dụng ca sáng trưa ca chiều tối Tập nghiệm tốn tình phải thỏa hệ bất phương trình bậc hai ẩn sau: Bảng Các trường hợp mà nhà hàng cần trả lương cho nhân viên phục vụ 4 d x d ° ®2 x d y d 16 °4 x y d 18 ¯ Dựa vào tập nghiệm hệ bất phương trình trên, sinh viên tìm giá trị max biểu thức Q(x,y) = 140000x + 180000y Sinh viên vẽ đường thẳng (d1): x = 4, (d2): x = 6; (d3): y = 2x; (d4): x + y = 18, xác định đỉnh tam giác A(4; 8); B(4; 14); C(6; 12) (Hình 1) Hình Giao điểm đường thẳng tạo nên miền tính tốn ứng với Ví dụ Sinh viên tính giá trị Q(x,y) = 140000x + 180000y đỉnh tìm giá trị lớn Q(x,y) = 3080000 (đồng) đạt đỉnh B(4; 14) giá trị nhỏ Giờ Mực nước (m) Lưu lượng (m3/s) 30 Q(x,y) = 2000000 (đồng) đạt đỉnh A(4; 8) Bước Kiểm tra lại tính phù hợp kết mơ hình tốn với tình thực tế cải tiến mơ hình Giảng viên cho sinh viên lập bảng tính tốn tất trường hợp mà nhà hàng cần trả lương cho nhân viên (Bảng 1) Tổng Lương Số nhân Lương lương Số nhân trả nhân viên ca trả nhân trả nhân viên ca viên ca sáng viên ca viên chiều tối sáng chiều tối trưa (người) trưa (người) (đồng) ngày (đồng) (đồng) 560000 1440000 2000000 560000 1620000 2180000 10 560000 1800000 2360000 11 560000 1980000 2540000 12 560000 2160000 2720000 13 560000 2340000 2900000 14 560000 2520000 3080000 10 700000 1800000 2500000 11 700000 1980000 2680000 12 700000 2160000 2860000 13 700000 2340000 3040000 12 840000 2160000 3000000 Như kết mơ hình tốn phù hợp với thực tế, giảng viên cho sinh viên vẽ đồ thị để thấy biến thiên hàm số Ngồi ra, giảng viên đưa thêm yếu tố khác chi phí, lợi nhuận, giá bán sản phẩm để phát triển thêm mơ hình đơn giản Ví dụ Một trạm thủy văn cung cấp liệu thực đo lưu lượng mực nước 12 theo số liệu sau: 10 11 12 1.86 1.89 1.90 1.89 1.88 1.86 1.83 1.82 1.82 1.83 1.88 1.96 6920 6970 6990 6970 6990 6960 6910 6890 6890 6870 6910 7030 Tạp chí Khoa học Đại học Đồng Tháp, Tập 10, Số 1, 2021, 26-32 Bạn sinh viên A nhận định giá trị mực nước lưu lượng 12 pha, tức tăng giảm có quan hệ tuyến tính Theo em, nhận định bạn sinh viên hay sai? Tại sao? Giảng viên hướng dẫn sinh viên tìm hiểu vấn đề qua bước sau: Bước Phân tích tình thực tế, xác định liệu đầu vào kết đầu cần đạt Dữ liệu đầu vào giá trị mực nước, lưu lượng 12 trạm thủy văn Dữ liệu đầu xác định mối quan hệ hai đại lượng lưu lượng tính (m3/s) mực nước tính (m) Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học dựa vào tình thực tế Sinh viên vẽ đồ thị lưu lượng mực nước 12 để quan sát Giảng viên cho sinh viên tính giá trị logarit tự nhiên ln(Q) với Q lưu lượng ln(H) với H mực nước làm tròn đến hai chữ số thập phân, mục tiêu làm giảm giá trị lưu lượng mực nước để dễ so sánh Để kiểm tra nhận định bạn sinh viên A hay sai, giảng viên yêu cầu sinh viên thử tìm mối liên hệ ln(Q) ln(H) theo dạng ln(Q) = a ln(H) + b với a, b số cần tìm Bước 3: Sử dụng cơng cụ tốn học để tìm lời giải Sinh viên dự đốn kết công cụ hồi quy Excel, R… sau áp dụng kiến thức hồi quy tuyến tính, có việc giải trực tiếp hệ phương trình bậc hai ẩn để tìm lại giá trị a, b thỏa ln(Q) = a ln(H) + b Bảng Mối quan hệ lưu lượng mực nước dựa số liệu đo đạc Giờ 10 11 12 H 1.86 1.89 1.9 1.89 1.88 1.86 1.83 1.82 1.82 1.83 1.88 1.96 Q 6920 6970 6990 6970 6990 6960 6910 6890 6890 6870 6910 7030 ln(H) 0.621 0.637 0.642 0.637 0.631 0.621 0.604 0.599 0.599 0.604 0.631 0.673 Từ Bảng 2, sinh viên nhận thấy ln(Q) | 0.2955 * ln( H ) 8.6606 Bước 4: Kiểm tra lại tính phù hợp kết mơ hình tốn với tình thực tế cải tiến mơ hình Sinh viên vẽ đồ thị thể mối quan hệ ln(Q) z làm tròn ba chữ số thập phân ln(Q) 8.842 8.849 8.852 8.849 8.852 8.848 8.841 8.838 8.838 8.835 8.841 8.858 z = 0.2955*ln(H) + 8.6606 8.844 8.849 8.850 8.849 8.847 8.844 8.839 8.838 8.838 8.839 8.847 8.859 Vậy nhận định sinh viên A giá trị ln(Q) z tính làm trịn đến ba chữ số thập phân gần với Biểu đồ so sánh giá trị hai đại lượng cho thấy pha chênh lệch giá trị không nhiều (Hình 2) Đây mơ hình tốn học đơn giản với số liệu đo đạc thực tế tương đối ít, giảng viên sinh 31 Chuyên san Khoa học Xã hội Nhân văn viên sử dụng phần mềm chuyên dụng để nghiên cứu trường hợp phức tạp với số liệu đo đạc nhiều tháng, năm Ngồi ra, sinh viên có phát triển mơ hình cách xây dựng cơng thức tính lưu lượng cụ thể biết mực nước thời điểm đó, xác định sai số kết dự báo kết thực tế 8.865 In (Q) _ z= 0.955* In(H)+8.6606 _ 8.86 8.855 8.85 8.845 8.84 8.835 8.83 10 12 14 Hour Hình So sánh giá trị ln(Q) giá trị z 12 Kết luận Tóm lại dạy học phương pháp mơ hình hóa khơng giúp sinh viên hiểu rõ mối quan hệ mật thiết toán học hoạt động thực tiễn sống mà giúp sinh viên nâng cao lực tư duy, phản biện khả giải vấn đề Ngoài ra, sử dụng thành thạo phương pháp mơ hình hóa góp phần đáng kể nghiên cứu vấn đề phức tạp tự nhiên hoạt động thực tiễn, góp phần quan trọng cơng tác dự báo Các kiến thức toán học sơ cấp nâng cao sử dụng linh hoạt trình nghiên cứu mơ hình tìm lời giải cho tốn thực tế Ngồi ra, xu hướng phát triển giáo dục nay, sinh viên sư phạm, với vai trò giáo viên tương lai cần trang bị đầy đủ kiến thức chuyên môn nghiệp vụ, có kỹ mơ hình hóa sử dụng kiến thức cơng nghệ thơng tin, phần mềm chuyên dụng 32 nghiên cứu mô hình Để phát triển hoạt động dạy học mơ hình hóa, giảng viên sinh viên phải tìm hiểu sâu tình có liên quan đến tốn học sống đồng thời phát triển mơ hình dạy học có sẵn./ Tài liệu tham khảo Blum, W and LeiB, D (2006) How students and teachers deal with modeling problem?, Mathematical modeling (ICTMA12): Education, Engineering and Economics Chichester: Horwood Publishing, 222- 231 Blum, W and Niss M (1991) Applied mathematical problem solving, modelling applications and links to other subjects - State, trend and issues in mathematics Educational studies in mathematics, (22), 33 - 68 Edwards, D., Hamson, M J (2001) Guide to mathematical modelling Second edition, London Palgrave Mathematical Guides Kai Velten (2009) Mathematical modelling and simulation Wiley - VCH Verlag, Weinhem Lê Thị Hoài Châu (2014) “Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm” Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (65), 8-15 Nguyễn Thị Tân An (2012) “Sự cần thiết mơ hình hóa dạy học Tốn” Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (37), 114-122 Swetz, F., Hartzler, J S (Eds) (1991) Mathematical modelling in the secondary school curriculum Reston, VA: National Council teacher of mathematics Weiner Blum and Peter L Galbraith (2007) Modelling and Application in mathematics educations The 14th ICMI Study, Springer ... khả sử dụng công nghệ thông tin phần mềm để giải vấn đề phong phú đa dạng tự nhiên Dựa nội dung học phần Đại số sơ cấp chương trình học sinh viên ngành Sư phạm Toán, hàm số đồ thị hàm số; phương. .. “Mơ hình hóa dạy học khái niệm đạo hàm” Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, (65), 8-15 Nguyễn Thị Tân An (2012) “Sự cần thiết mơ hình hóa dạy học Tốn” Tạp chí Khoa học Đại học. .. động dạy học cụ thể Học phần Đại số sơ cấp cung cấp cho sinh viên năm hệ đại học kiến thức phương trình hệ phương trình, bất phương trình hệ bất phương trình, hàm số đồ thị hàm số Đây kiến thức