Bài giảng giải tích 1 đh phạm văn đồng

1 UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng 7 2021 2 LỜI NÓI ĐẦU "Bài giảng Giải[.]

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng - 2021 LỜI NÓI ĐẦU "Bài giảng Giải tích 1" có nội dung bao gồm khái niệm tảng toán học như: Giới hạn cuả hàm số; Hàm số liên tục; Phép tính vi phân, tích phân hàm số biến; Hàm số nhiều biến số; Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Đây phần kiến thức tốn học cần thiết cho sinh ngành: Kinh tế, Kỹ thuật, trường Đại học Với mục đích ý nghĩa trên, biên soạn giới thiệu tài liệu: "Bài giảng tích 1" nhằm giúp cho sinh viên, giáo viên giảng dạy bạn yêu thích mơn Tốn làm tài liệu học tập tham khảo Tài liệu chia làm chương: Chương 1: Giới hạn tính liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân hàm số biến số Chương 3: Nguyên hàm tích phân bất định Chương 4: Tích phân xác định Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Chương Chúng tơi trình bày hàm số biến số thực; giới hạn hàm số hàm số liên tục Chương Chúng tơi trình bày đạo hàm vi phân hàm số biến; Đạo hàm vi phân cấp cao Khai triển Taylor; Sử dụng quy tắc L'Hơpital để tính giới hạn hàm số; Khảo sát hàm số, hàm số cho phương trình tham số phương trình cho hệ tọa độ cực Chương Chúng tơi trình bày nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định hàm số hữu tỉ; Tích phân hàm số lượng giác; Tích phân hàm số vơ tỉ Chương Chúng tơi trình bày Tích phân xác định; Các phương pháp tính tích phân xác định; Ứng dụng tích phân xác định Tích phân suy rộng Chương Chúng tơi trình bày Định nghĩa hàm số nhiều biến; Đạo hàm vi phân; Cực trị hàm số nhiều biến số Chương Chúng tơi trình bày Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng; Tiếp tuyến đường cong; Độ cong đường cong phẳng; Đường tròn khúc -Khúc tâm; Đường cong phụ thuộc tham số Đường túc bế, thân khai Hàm vectơ; Độ cong không gian; Mặt không gian Sau chương chúng tơi có giới thiệu hệ thống tập phù hợp với nội dung kiến thức vừa trình bày, nhằm giúp cho sinh viên luyện tập, củng cố khắc sâu kiến thức Chúng hy vọng rằng, tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên, nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Đây lần viết đầu tiên, chắn tài liệu cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc phương diện để nội dung tài liệu ngày tốt ThS Phan Bá Trình MỤC LỤC Lời nói đầu .2 Mục lục Chương 1.Giới hạn tính liên Bài Hàm số biến số Bài 2.Giới hạn hàm .17 Bài Hàm số liên tục 25 Bài tập chương 36 Chương Đạo hàm vi phân hàm số Bài Khái niệm đạo hàm 39 Bài Các quy tắc tính đạo hàm 45 Bài Vi phân 49 Bài Các định lý hàm khả vi 54 Bài Công thức Taylor 58 Bài Một số ứng dụng đạo hàm vi phân 63 Bài tập chương .90 Chương Nguyên hàm tích phân bất định Bài Nguyên hàm tích phân bất định 93 Bài 2.Các phương pháp tính tích phân bất định 96 Bài tập chương .108 Chương Tích phân xác định Bài Khái niệm tích phân xác định 109 Bài 2.Phương pháp tính tích phân xác định 117 Bài 3.Ứng dụng tính tích phân xác định .123 Bài 4.Tích phân suy rộng 131 Bài tập chương 139 Chương Hàm số nhiều biến số Bài Định nghĩa hàm số nhiều biến số 141 Bài Giới hạn liên tục hàm số nhiều biến số 147 Bài Đạo hàm riêng vi phân toàn phần 151 Bài Cực trị hàm số nhiều biến số 163 Bài tập chương .169 Chương Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học Bài Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học phẳng 171 Bài Ứng dụng phép tính vi phân vào hình học không gian 177 Tài liệu tham khảo .181 Bài giảng Giải tích Chương GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC Bài 1: HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ THỰC 1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1.1.1 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ 1.1.1.1 ĐỊNH NGHĨA Hàm số ánh xạ f từ tập D  R vào tập R Người ta thường viết gọn hàm số: f :DR x  y  f ( x) Trong đó: x gọi biến số (đối số) y  f (x) : gọi giá trị hàm số x D: gọi miền xác định hàm số f (x) (Tập tất giá trị x cho hàm số có nghĩa) f ( D)  y  R : x  D; y  f ( x)  R miền giá trị hàm số Nếu x  x0  D y0  f ( x0 ) gọi giá trị hàm số x0 Ví dụ 1.1 a Hàm số y  có miền xác định D  R \ 0 x b Hàm số y  x  3x  hàm bậc hai, có miền xác định D  R c Hàm số y   x có miền xác định   D  x  R :  x   x  R : 1  x  1 d Hàm số y  f ( x)  x hàm đồng nhất, thường ký hiệu: id(x) e Hàm số y  f ( x)  E ( x) hàm số phần nguyên x (nghĩa E(x) số nguyên lớn không lớn x Chẳng hạn: E (2,8)  3; E(0)  0; E(3)  3; E(2,4)  Ví dụ 1.2 Cho hàm số y  f ( x)   x  ln( x  3x  2) i Tìm miền xác định hàm số ii Tìm giá trị hàm số x  1; x  Giải i Hàm số xác định khi: 4  x    x    2  x    x  3x   ( x  1)  (x  2) ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Vậy miền xác định hàm số cho tập: D   2; 1 ii Tại x  1 , ta có y  f (1)   (1)  ln (1)  3(1)  2   ln Tại x  , ta có y  f (0)    ln 0  3.0     ln 1.1.1.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO HÀM SỐ (1) Phương pháp giải tích: Cho hàm số biểu thức giải tích a Cho biểu thức Ví dụ 1.3 i y  f ( x)  x  3x  ii y  f ( x)  sin x cos x y b Cho nhiều biểu thức Ví dụ 1.4  x  ; x  2 x  ; x  i y  f ( x)    ; x  ii y  f (x)   ; x   ; x   x -1 Hình 1.1 Đây hàm dấu x (Hình 1.1) Ký hiệu: sign x Đọc là: signum x (2) Phương pháp cho theo bảng: Phương pháp giải tích thường dùng nghiên cứu lý thuyết, nhiều khơng tiện lợi thực hành phải tính đủ phép tốn tính giá trị hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng sau Cho dãy giá trị tương ứng x dãy giá trị tương ứng y Ví dụ 1.5 Cho hàm số f(x) theo bảng giá trị sau: x f(x) 16 (3) Phương pháp đồ thị Đồ thị hàm số cho ta có hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất hàm số Vì thế, kinh tế kỹ thuật người ta cho hàm số cách cho đồ thị Nhược điểm phương pháp cho theo bảng phương pháp cho hàm số đồ thị thiếu xác 1.1.1.3 PHÉP TỐN TRÊN CÁC HÀM SỐ Cho hàm số y  f (x) có miền xác định D1 g  g (x) có miền xác định D2 Đặt D  D1  D2 , hàm số F xác định D gọi tổng (hiệu, tích, thương) hàm số f g với x  D ta có: ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích F ( x)  f ( x)  g ( x); ( f ( x)  g ( x); f ( x).g ( x); f ( x) với g ( x)  0) g ( x) 1.1.2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ Cho hàm số y  f (x) có miền xác định D Tập hợp điểm M ( x; y ) với x  D mặt phẳng Oxy thoả mãn đẳng thức y  f (x) gọi đồ thị hàm số y  f (x) Chú ý 1.1 Đồ thị hàm số tập điểm rời rạc hữu hạn vơ hạn, tập mảnh cung đứt đoạn cung liền Ví dụ 1.6 i Đồ thị hàm số y   x  đường thẳng (Hình 1.2) ii Đồ thị hàm số y  x  parabol (Hình 1.3) y y y  x  y  x 1 Hình 1.2 x 1 -1 Hình 1.3 x 1.2 HÀM SỐ HỢP - HÀM SỐ NGƯỢC 1.2.1 Hàm số hợp: Giả sử X  R; Y  f ( X )  R Z  R Cho hàm số f : X  Y g : Y  Z Xét hàm số h : X  Z xác định h( x)  g  f ( x); x  X Khi đó, h gọi hàm số hợp hai hàm số f g Ký hiệu: g f hay g f Vậy: h( x)   g f ( x)  g  f ( x) Ví dụ 1.7 Cho hai hàm số f ( x)  x g ( x)  cos x Khi đó: i g f ( x)  g  f ( x)  g (3 x )  cos x ii f g ( x)  f g ( x)  f (cos x)  3cos x iii g g ( x)  g g ( x)  g (cos x)  cos(cos x) 1.2.2 Hàm số ngược: Cho hàm số: f : X Y  R x  y  f (x) Nếu tồn hàm số: g :Y  X  R y  g ( y)  x hàm số g hàm số ngược hàm số f Ký hiệu: g  f 1 Ta có: g ( y )  f 1 ( y )  f 1  f ( x)   x ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích Đồ thị hàm số ngược f 1 đối xứng với đồ thị hàm số f qua đường phân giác thứ Ví dụ 1.8 i Cho hàm số f : R  R x  y  f ( x)  x f có hàm số ngược là: f 1 : R  R y  x  f 1 ( y )  y (Thường viết lại là: y  f 1 ( x)  x ) ii Cho hàm số: f : R \ 1  R x  y  f ( x)  Ta có: y  f ( x)  y  3x x 1 3x y x ; ( y  3) x 1 y 3 Vậy hàm ngược là: y  f 1 ( x)  x , có miền xác định là: R \ 3 x3 iii Cho hàm số: y  a x ; (a  0; a  1) Khi đó, hàm số là: y  log a x Vì f 1 ( y )  log a (a x )  x 1.3 CÁC LOẠI HÀM ĐẶC BIỆT 1.3.1 Hàm số bị chặn (hàm giới nội) a Hàm số y  f (x) gọi bị chặn (dưới) tập X  D (D miền xác định), tồn k  R cho x  X , ta có: f ( x)  k ;  f ( x)  k  b Hàm số y  f (x) gọi bị chặn tập X vừa bị chặn trên, vừa bị chặn Nghĩa là: tồn k  cho f ( x)  k ; x  X Ví dụ 1.9 Hàm số y  sin x; y  cos x hàm số bị chặn R Vì sin x  1; cos x  1; x  R 1.3.2 Hàm số đơn điệu (tăng: đồng biến; giảm: nghịch biến) a Hàm số y  f (x) gọi đơn điệu tăng (giảm) miền xác định D, x1 ; x2  D : x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 );  f ( x1 )  f ( x2 )  b Hàm số y  f (x) gọi tăng nghiêm ngặt (giảm nghiêm ngặt) miền xác định D, x1 ; x  D : x1  x f ( x1 )  f ( x );  f ( x1 )  f ( x )  Ví dụ 1.10 i Hàm số y  đơn điệu giảm khoảng (;0) ; (0;) x ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích ii Hàm số y  x giảm khoảng (;0) tăng khoảng (0;) iii Hàm số y  ax  b đơn điệu tăng với a  ; đơn điệu giảm với a  số với a  1.3.3 Hàm số chẵn, lẻ Cho hàm số y  f (x) xác định tập D đối xứng, nghĩa  x, x  D , x  D a Hàm số y  f (x) gọi hàm số chẵn tập D đối xứng nếu: f ( x)  f ( x) , x  D b Hàm số y  f (x) gọi hàm số lẻ tập D đối xứng nếu: f ( x)   f ( x) , x  D Nhận xét 1.2 i Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng ii Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ví dụ 1.11 i Hàm số y  f ( x)  x  hàm số chẵn R Vì x  R ta có:  x  R f ( x)  ( x)   x   f ( x) ii Hàm số y  f ( x)  x hàm số lẻ R Vì x  R ta có:  x  R f ( x)  2( x)  2 x   f ( x) Tính chất hàm chẵn, lẻ i Tổng, hiệu hai hàm số chẵn (lẻ) hàm số chẵn (lẻ) ii Tích hai hàm số chẵn (hoặc lẻ) hàm số chẵn iii Tích hàm số lẻ với hàm số chẵn hàm số lẻ iv Mọi hàm số f(x) biểu diễn dạng tổng hàm số chẵn hàm số lẻ Cụ thể: f ( x)  f ( x)  f ( x) f ( x)  f ( x)  2 1.3.4 Hàm số tuần hoàn a Định nghĩa Cho hàm số y  f (x) xác định tập D Hàm số y  f (x) gọi hàm số tuần hoàn, x  D;  L  cho x  L  D f ( x  L)  f ( x) b Chu kỳ hàm tuần hoàn Giả sử y  f (x) hàm số tuần hoàn Nếu tồn số dương T nhỏ cho: f ( x  kT )  f ( x); x  X ; k  Z gọi chu kỳ hàm tuần hoàn y  f (x) Ví dụ 1.12 i Hàm số y  f ( x)  sin x hàm số tuần hoàn với chu kỳ T  2 ii Hàm số y  f ( x)  x  x  x (phần thập phân x), gọi hàm số tuần hoàn với chu kỳ T=1 Đồ thị hàm số y  f ( x)  x  x  x (Hình 1.4) 10 ThS Phan Bá Trình - Trường Đại học Phạm Văn Đồng Bài giảng Giải tích y -4 -3 -2 -1 (Hình 1.4) x 1.4 CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN 1.4.1 Hàm số Hàm số có dạng y  f ( x)  C ; (C số) x  R Đồ thị hàm số y  f ( x)  C đường thẳng song song với trục Ox cắt trục Oy điểm (0; C) 1.4.2 Hàm số luỹ thừa Hàm số có dạng y  f ( x)  x  ;   R;  Miền xác định hàm số lũy thừa phụ thuộc vào   Đồ thị hàm số y  x qua điểm (1;1) qua gốc toạ độ O(0;0) Các công thức hàm lũy thừa: i x   x ; ii  x   x   ; iii x  x   x    ; iv ( x  )   x   1.4.3 Hàm số mũ Hàm số có dạng y  f ( x)  a x ; (0  a  1; a  R ) y Hàm số mũ có miền xác định D  (;)  R có miền giá trị V  (0;) 01 x 01 x 0