Bài giảng giải tích 2 đh phạm văn đồng

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH Dành cho sinh viên ngành Kinh tế, Kỹ thuật Biên soạn: ThS PHAN BÁ TRÌNH Quảng Ngãi, Tháng - 2020 Quảng Ngãi, Tháng - 2020 MỤC LỤC Mục lục ……………………………………………………………… Lời nói đầu ………………………………………………………………… Chương TÍCH PHÂN BỘI…………………… …………………… Bài Tích phân hai lớp…………………………… …………………… Bài Tích phân ba lớp…………………………….……………………… 18 Bài tập chương 1…………………………………………… …………… 29 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT…….…… 31 Bài Tích phân đường loại I……………………………………………… 31 Bài Tích phân đường loại II…………………………………………… 35 Bài Tích phân mặt loại I………………………………………………… 44 Bài Tích phân mặt loại II……………………………………………… 48 Bài Ứng dụng tích phân mặt ……………………………………… 54 Bài tập chương 2…………………………………………………………… 58 Chương CHUỖI SỐ VÀ CHUỖI HÀM…………………………… 60 Bài Chuỗi số …………………………………………………………… 60 Bài Chuỗi hàm………………………………………………………… 69 Bài tập chương 3…………………………………………………………… 82 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ……………………………… 84 Bài Phương trình vi phân cấp 1………………………………………… 84 Bài Phương trình vi phân cấp 2………………………………………… 93 Bài tập chương 4…………………………………………………………… 101 Tài liệu tham khảo ………………………………………………………… 103 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích phần kiến thức tốn học tiếp nối chương trình Giải tích dành cho sinh viên đại học năm thứ ngành Kinh tế Kỹ thuật Nội dung chương mục giảng biên soạn theo chương trình Tốn cao cấp dành cho khối ngành phạm Trường Đại học Phạm Văn Đồng sở chương trình khung Bộ Giáo dục - Đào tạo năm gần “ Bài giảng Giải tích 2” gồm chương: Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường tích phân mặt Chương Chuỗi số chuỗi hàm Chương Phương trình vi phân Bài giảng trình bày nội dung của: Tích phân bội; Tích phân đường, tích phân mặt; Chuỗi số, chuỗi hàm Phương trình vi phân Đặc biệt, sau chương có phần tập phong phú để sinh viên củng cố kiến thức rèn luyện kỹ tính tốn Các kiến thức giảng có nhiều điểm sinh viên Do đó, sinh viên phải tập trung nỗ lực để tiếp thu khái niệm, định nghĩa nắm công thức, phương pháp nội dung để vận dụng tính tốn cách thành thạo, nhằm mang lại kết tốt Kinh nghiệm cho thấy, sinh viên không hiểu đầy đủ quy tắc suy luận logic, khơng nắm vững cơng thức tốn học gặp nhiều khó khăn tiếp thu học vận dụng vào việc giải tập Bài giảng giới thiệu ví dụ minh hoạ, tốn ứng dụng hình học, học giúp ích cho bạn sinh viên có cách nhìn đa dạng việc ứng dụng tốn học Trong q trình giảng dạy, tùy theo ngành cụ thể mà chương dành thời lượng thích hợp Chúng tơi hy vọng “Bài giảng Giải tích 2” tài liệu học tập bổ ích cho sinh viên nguồn tư liệu phong phú cho quý Thầy, Cô giáo tham khảo, nghiên cứu Là lần biên soạn, chắn giảng nhiều thiếu sót Chúng tơi chân thành cảm ơn góp ý, nhận xét bạn đọc nhiều phương diện để nội dung giảng ngày hoàn chỉnh Tác giả CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP HAY TÍCH PHÂN BỘI HAI) 1.1.1 KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1.1.1 Bài tốn dẫn đến tích phân hai lớp Xét vật thể hình trụ giới hạn mặt phẳng Oxy chứa miền đóng D, bị chặn biên L; mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa L; mặt cong z  f ( x, y ) f ( x, y ) hàm xác định, không âm, liên tục miền D (Miền D gọi đáy vật thể hình trụ này) Hãy tính thể tích V vật thể hình trụ Z=(x,y) z (xi,yi) Giải toán: + Chia miền D thành n phần nhỏ, đóng (khơng dẫm lên nhau) Gọi tên diện tích là: S1; S2; .; Sn Lấy miền nhỏ Si làm đáy dựng yi O vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có y đường sinh song song với Oz phía xi giới hạn mặt cong z  f ( x, y ) (Hình 1.1) Gọi thể tích n vật thể hình trụ nhỏ x Si Mi D : L Hình 1.1 V1; V2; .; Vn + Trong miền nhỏ Si chọn điểm Mi(xi, yi) tuỳ ý Vì (x,y) liên tục nên giá trị (x,y) sai khác bé Si Si bé Do đó: Vi  (xi,yi).Si , với i = 1, n Và miền Si (i = 1, n) bé thì: n V   f ( xi , yi ).S i i 1 + Gọi di đường kính Si Cho n cho maxdi0 thể tích vật thể hình trụ là: V  lim max d i  n  f ( x , y ).S i 1 i i i 1.1.1.2 Định nghĩa tích phân hai lớp Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Z = (x,y) bị chặn miền hữu hạn D + Chia miền D thành n phần nhỏ đóng (khơng dẫm lên nhau) có tên diện tích là: S1; S2; .; Sn + Trong miền nhỏ Si chọn tuỳ ý điểm Mi(xi, yi) lập tổng tích phân: n I n   f ( xi , yi ).Si i 1 Gọi di đường kính Si + Nếu n cho maxdi0 mà tồn giới hạn: I  lim I n max d i  không phụ thuộc vào cách chọn điểm (xi,yi) cách chia miền D, gọi tích phân hai lớp hàm (x, y) lấy miền D ký hiệu là: I   f ( x, y ).dS D Trong đó: - (x, y) hàm dấu tích phân - D miền lấy tích phân - dS yếu tố diện tích y Vậy: n  f ( xi , yi ).Si  f ( x, y).dS  maxlim d 0 D i (1) y Si i 1 x Nếu (x, y) có tích phân hai lớp miền D ta x nói (x,y) khả vi miền D Hình 1.2 Chú ý 1.1.1 i Vì giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào cách chia miền D nên chia D lưới đường song song với Ox, Oy (Hình 1.2) Khi đó, hầu hết miền Si hình chữ nhật với cạnh x, y Do đó, ta có dS = dx.dy Từ đó, tích phân hai lớp ký hiệu dạng:  f ( x, y)dxdy D ii Dựa vào định nghĩa tích phân hai lớp thể tích hình trụ tốn là: V   f ( x, y )dxdy D 1.1.1.3 Sự tồn tích phân hai lớp Định lý 1.1.2 Nếu hàm (x,y) liên tục miền đóng bị chặn D khả tích miền D 1.1.2 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP Dựa vào định nghĩa ta thấy tích phân hai lớp có tính chất tương tự tích phân xác định Chẳng hạn:  ( f  g )   f   g  c f  c  f D D D D D  f   f   f D D1 D2 (D1, D2 không dẫm lên nhau: D1D2=D; D1D2 = )  dxdy  S ( D) ; (S(D): diện tích miền D) D Nếu g(x,y)  (x,y); (x,y)D thì:  g ( x, y )dxdy   f ( x, y)dxdy D D Đặc biệt, (x,y)  ; (x,y)D thì:  f ( x, y)dxdy  D Nếu m M giá trị nhỏ lớn hàm (x,y) miền D ta có: m.S ( D)   f ( x, y )dxdy  M S ( D) D Định lý giá trị trung bình: Nếu (x,y) liên tục miền D tồn (,)D cho: f ( , )  f ( x, y )dxdy S ( D)  D Khi đó: f ( x, y )dxdy S ( D)  D gọi giá trị trung bình (x,y) D 1.1.3 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN LỚP TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES Giả sử cần tính tích phân: I =  f ( x, y )dxdy D với D miền hữu hạn (x,y) liên tục D 1.1.3.1 Trường hợp D hình thang cong loại D hình thang cong loại D phẳng giới hạn bởi: x1 = a; x2 = b; y1 = 1(x); y2 = 2(x) (a < b; 1(x)  2(x)) (Hình 1.3) Với 1,2 liên tục đơn trị [a;b] a Xét (x,y)  0; (x,y)D Ta thấy: y y1= 1(x) D y2= 2(x) O a Hình 1.3 b x  f ( x, y)dxdy D mặt trụ có đường sinh song song Oz; đáy D; giới hạn phía mặt z  f ( x, y ) (Hình 1.4) Cắt vật thể mặt phẳng vng góc với Ox x[a; b] Thiết diện thu có diện tích là: S ( x)   ( x)  f ( x, y)dy 1 ( x ) Khi thể tích vật thể là: V   D 2 ( x ) b  2 ( x )    f ( x, y )dxdy    f ( x, y )dy dx   dx  f ( x, y )dy (1)   a  1 ( x ) a 1 ( x )  b z Z = (x,y) y 2 S(x) 1 a x b Hinh 1.4 x b Xét (x,y)  ; (x,y)D: Cơng thức cịn Vậy: b  ( x) V   f ( x, y )dxdy   dx D a  f ( x, y )dy (2) 1 ( x ) 1.1.3.2 Trường hợp D hình thang cong loại D hình thang cong loại D phẳng giới hạn đường: y1 = c; y2 = d; x1 = 1(y); x2 = 2(y); (c < d; 1(y)  2(y)) Với 1(y); 2(y) hàm liên tục đơn trị [c;d] Tương tự trường hợp 1.3.1, ta có: d  ( y)  f ( x, y)dxdy   dy  f ( x, y)dx D c (3) 1 ( y ) Chú ý 1.1.2 1/ Nếu D hình chữ nhật giới hạn bởi: x1= a; x2 = b; y1 = c; y2 = d (a < b; c < d) thì: b d d b a c c a  f ( x, y)dxdy   dx  f ( x, y)dy   dy  f ( x, y)dx D Đặc biệt, (x, y) = 1(x).2(y) thì: b d a c  f ( x, y)dxdy   f1 ( x)dx  f ( y)dy D 2/ Các cơng thức (2), (3) chứa tích phân có dạng vế phải gọi tích y phân lặp 3/ Trường hợp D miền bất kỳ: D3 Nếu D miền ta chia D thành D4 D2 số hữu hạn miền phẳng khơng dẫm D1 lên có dạng hình thang cong loại loại Khi đó, tích phân lấy D tổng tích phân lấy miền O x chia (Hình 1.5) Hình 1.5 1.1.4 CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1.1.1 Tính: I   e x  y dxdy D Trong D hình giới hạn x= 0; x= 1; y= 0; y= Giải 1 I   dx  e 0 x y 1  dx   e dx  e dy    et dt   (e  1) 0 0  1 x y Ví dụ 1.1.2 Tính thể tích hình trụ có đáy hình vuông xác định 0 x  1; 0 y giới hạn mặt paraboloit: z  f ( x, y )  x  y (tròn xoay) Giải 1  y 1  V   ( x  y )dxdy   dx  ( x  y )dy    x y    dx  0 D 0   x3 x  1     x  dx      (đvtt) 3  3 0 Ta có: x Ví dụ 1.1.3 Thay đổi thứ tự lấy tích phân tích phân sau: I   dx  f ( x, y )dy Giải Ta thấy miền lấy tích phân D đường cong loại giới hạn đường thẳng y = x parabol y = x2 Nhưng xem đường cong loại giới hạn y = 0; y = 1; x = y (Hình 1.6) Do đó, tích phân viết lại: y y2 I   dx  f ( x, y )dy x y y=x O x Hình 1.6 Ví dụ 1.1.4 Tính  e x y dxdy Trong đó, D miền tam giác giới hạn đường D y = 0; y = x; x = Giải Miền lấy tích phân giới hạn  x 1;  y  1, nên: x  0xdx   (e  1) x.dx  (e  1) x2 10  e 2 I   dx  e x dy   x.e y 0 y x Ví dụ 1.1.5 Tính: I   ( x  y )dxdy y D Trong đó, D miền giới hạn bởi: y = -1; y = 1; x = y2; y = x + Giải Nếu xem D hình thang cong loại việc tính tích phân đơn giản xem hình thang loại Ta thấy D giới hạn bởi: -  y 1; y-1  x  y (Hình 1.7) Do đó: y2 -2 -1 O x D Hình 1.7 -1  x2  y2  y4 y2  I   dy  ( x  y )dx     xy  dy     y    dy   2 2 15  y 1 1 y 1 1  1  1 1.1.5 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HAI LỚP CÁCH TÍNH TRONG HỆ TOẠ ĐỘ CỰC 1.1.5.1 Trường hợp tổng quát Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x, y biểu diễn hàm hai biến u,v phương trình: x = x(u,v); y = y(u,v) (Hình 1.8a,b) Xem phương trình ánh xạ điểm từ mặt phẳng Iuv đến mặt phẳng Oxy Ta nói phép biến đổi (ánh y u= xạ) phép biến đổi - (song v= ánh) từ tập D’ mặt phẳng Iuv (u,v) đến tập D mặt phẳng Oxy (x,y) Nếu: i/ Mỗi điểm D’ có ảnh D D’ điểm D O x I u a) b) ii/ Mỗi điểm D có ảnh Hình 1.8 điểm D’ iii/ Các điểm khác D’ có điểm khác D Chú ý 1.1.3 Nếu x = x(u,v); y = y(u,v) phép biến đổi 1-1 từ D’ đến D giải u,v hàm x,y Phép biến đổi ngược lại: u = u(x,y) v = v(x,y) phép biến đổi 1-1 từ D đến D’ Định lý 1.1.2 Giả sử ta có phép biến đổi: x = x(u,v); y = y(u,v) Trong đó: i/ Đó phép biến đổi 1-1 từ miền D’  Iuv vào miền D  Oxy ii/ Các hàm x(u,v); y(u,v) liên tục đạo hàm riêng liên tục D’ iii/ Định thức hàm Jacobian: x  ( x, y ) J  u y  (u , v) u  Khi đó, ta có: D x / / v  xu xv  ; (u,v)D’ y yu/ yv/ v f ( x, y )dxdy   f [ x(u , v); y (u , v)] J du.dv D' Chứng minh y Ta tìm cách biểu diễn yếu tố diện tích: u u + du dS = dx.dy mp Oxy qua yếu tố diện tích mp Iuv Với u cố định (u = c) R v + dv phương trình: x = x(u,v); y = y(u,v) xác định đường cong theo v, ta gọi u - đường P Q v cong tương ứng với giá trị u = c O Tương tự, với v cố định phương x trình xác định đường cong theo u, ta Hình 1.9 gọi v - đường cong Xét yếu tố diện tích dS mp Oxy giới hạn u - đường cong gần có giá trị u, u + du đường cong v, v + dv Với du, dv bé, đường cong trơn nên yếu tố xấp xỉ với diện tích hình bình hành Do đó: dS  ( PQ, PR ) (Hình 1.9)   Ta có: PQ = dx i + dy j , đó: dx = xu' du + xv' dv ; dy = yu' du + yv' dv   Mà dv = dọc theo v - đường cong PQ nên: PQ = xu' du i + yu' du j   Tương tự: PR = xv' dv i + yv' dv j Do đó: i j k dS  x du x dv y du y dv ' u ' u  (Với J  ' v ' v  ( x, y ) du.dv  J du.dv  (u, v) D O  ( x, y ) ) (Hình 1.10 a,b)  (u , v) Vậy:  [x(u,v);y(u,v)] (x,y) f ( x, y )dx.dy   f [( x(u , v); y (u , v)] J du.dv x y D a) I v D’ b) u Hình 1.10 a,b D' Ví dụ 1.1.6 Tính I =  ( x  y)dx.dy , D miền giới hạn đường: D y = x - 3; y = x + 1; y = x  ; 3 y =  x  10 Giải Ta gặp khó khăn tính trực tiếp Tuy nhiên, đổi biến ta tính tốn dễ dàng Nếu ta đặt u = y - x; v = y + x Khi đó, đường thẳng: y = x - 3; y = x + 1; y =  x  ; y =  x  3 biến thành đường thẳng tương ứng: u = - 3; u = 1; v  ; v = Trong mp Iuv Ta có: 3   x   u  v  y  u  v  4 Suy ra: J xu' xv' yu' yv'  Do đó: I    u.du.dv D    dv  u.du  3 4  3 4 1.1.5.2 Đổi biến toạ độ cực Ta có cơng thức liên hệ toạ độ Descartes (x,y) toạ độ cực (r, ) điểm: x = rcos; y = rsin Nếu r  0;    2 (hoặc -     ) cơng thức xác định phép biến đổi 1-1 toạ độ Descartes (x,y) toạ độ cực (r, ) Ta có định thức Jacobian: J /  ( x, y ) x r  /  (r , ) y r x/ / y  cos   r sin  sin  r cos  r Do đó: r = r2()  f ( x, y)dx.dy   f (r.cos , r.sin  ).r.dr.d D' D (D’ miền (r, ) có ảnh D qua phép đổi biến) Nhận xét 1/Nếu D’ miền giới hạn đường: r = r1(); r = r2();  = ;  = ; O ( < ; r1()  r2()) (Hình 1.11) thì:  r2 ( )  r1 ( )  f ( x, y)dx.dy   d D  f (r cos  , r.sin  )r.dr S r = r1() = = x Hình 1.11 11 2/ Nếu D’ chứa gốc cực toạ độ cực bán kính cực cắt biên D’ điểm có bán kính véctơ r() (Hình 1.12a) thì: 2 r = r() r ( )  O  f ( x, y)dx.dy   d  f (r , ).r.dr x D 0 Hình 1.12a 3/ Nếu D’ hình trịn có tâm trùng với gốc cực bán kính a thì: 2 a 0  f ( x, y )dx.dy   d  f (r, ).r.dr D Ví dụ 1.1.7 Tính I    x  y dxdy , D nửa hình tròn: D x  12  y  y Giải Dùng công thức đổi biến: x = rcos; y = rsin Ta thấy miền D’ miền giới hạn đường: r = 0; r = 2cos;  = 0;  = Do đó:  r  cos  O (Hình 1.12b)  x Hình 1.12b  I   d  cos   r  r dr   cos  (4  r ) d  30  8 2   (1  sin  )d     30 3  Ví dụ 1.1.8 Thể tích vật thể nằm góc phần tám thứ nhất, phía hình trụ x  y  a , a  0 phía mặt phẳng z  y Giải Ta có: V   y.dxdy với D hình trịn x  y  a D Chuyển sang toạ độ cực miền D’ miền giới hạn bởi:  0   ;  r  a Khi đó:  a 0 V   d  r.sin  .r.dr  a 0   sin d  r dr  a (đvtt) Ví dụ 1.1.9 Tính I  ( x  e  y2 ) dxdy , D hình trịn x  y  a , a   D 12 Giải Chuyển sang toạ độ cực, ta có: 2 a 0 I   d  e  r r.dr   a  2   e  r     e  a  0       ea 1.1.6 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1.6.1 Thể tích vật thể Từ tốn mở đầu ta thấy: V =  f ( x, y ) dxdy D thể tích hình trụ đáy D giới hạn mặt z  f ( x, y ) mà mặt trụ có đường sinh song song với Oz; f ( x, y )  ; liên tục miền D Chú ý 1.1.4 Nếu f ( x, y )  V    f ( x, y )dxdy D Ví dụ 1.1.10 Tính thể tích vật thể giới hạn mặt : y= x; y= x; x+z=4; z = Giải Vật thể có hình chiếu D xuống mp Oxy xác z định bởi:  x  4; x  y  x tích (Hình 1.13): x x V   (4  x)dxdy   dx  (4  x)dy D O y D   (4  x) x dx  8 x y= x y=2 x 2  128  x   (đvtt) Hình 1.13 3  15   1.1.6.2 Diện tích hình phẳng Diện tích hình phẳng D cho cơng thức: S D    dxdy (theo tính chất D tích phân hai lớp) Ví dụ 1.1.11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x; y = - x2 Giải Cách 1: Sử dụng tích phân xác định S D    [(2  x )  x]dx 2 Cách 2: Vì D giới hạn bởi: -2  x 1; x  y  - x (Hình 1.14), nên: 13 2 x 2 x S D    dxdy   dx D  dy   (2  x  x)dx  2 y (đvdt ) y=x 1.1.6.3 Diện tích mặt cong -2 O Cho mặt (S): z = (x,y) giới hạn x đường cong kín, (x,y) liên tục đạo hàm riêng liên tục D hình y=2-x chiếu (S) xuống mặt phẳng Oxy Ta tìm diện tích mặt cong Hình 1.14 + Chia tuỳ ý miền D thành n phần nhỏ (không dẫm lên nhau) Gọi tên diện tích tương ứng là: S1; S2; .; Sn Trong miền nhỏ Si lấy tuỳ ý điểm Pi(xi, yi) mà ứng với ta có điểm Mi(xi,yi,zi)(S) Qua Mi dựng mặt phẳng tiếp xúc với (S), pháp vectơ tiết diện Mi n  f x' ( xi , yi ).i  f y' ( xi , yi ) j  k (Hình 1.15) Trong mặt phẳng này, lấy miền diện tích i cho hình chiếu xuống Oxy Si Xét tổng: n   i i i 1  n    S i  ;  max d ( S i )  0 i 1  (S diện tích mặt (S)) + Để tìm S, ta ý: góc tiếp diện Mi (chứa miền diện tích ) mp 0xy Suy i góc hai vectơ nên: + Ta gọi S  cos 1  n.k n k  S Mi(xi,yi,zi) O y  f x/ x i ; y i   f y/ x i ; y i  2 Pi Do đó: 1  Si  f x/ x i ; y i   f y/ x i ; y i  Suy ra: S z lim 2  n     f x/ x i ; y i   f y/ x i ; y i .S i  max d  Si 0  i 1  x Si D Hình 1.15 lim Vậy theo định nghĩa tích phân hai lớp, ta có diện tích mặt (S) là: S    f x/  x; y   f y/  x; y .dx.dy 2 D Ví dụ 1.1.12 Tính diện tích phần mặt hyperbolic paraboloit z  x  y giới hạn mặt trụ: x  y  a , a  0 Giải 14 Phương trình mặt cần tính diện tích là: z  x  y ; x; y   D  D hình trịn có tâm gốc tọa độ O (0; 0) bán kính: r = a Ta có: Z x/  x; Z y/  y; nên 2  Z x/  Z y/   x  y Do S    x  y dx.dy D x  r cos  Chuyển toạ độ cực  thì:  y  r sin  2 a 0 S   d   4r r.dr  2   a  1  r d  4r 0 1  4r  a    1  4a 3  1 (đvdt)   1.1.7 ỨNG DỤNG CƠ HỌC CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1.7.1 Khối lượng phẳng không đồng chất Xét phẳng không đồng chất chiếm miền (D) mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng ρ(x,y) điểm (x,y); ρ(x,y) hàm liên tục D Dựa vào cách xây dựng tích phân hai lớp, ta có: Khối lượng M phẳng (D) là: M    ( x; y )dxdy ( D) Ví dụ 1.1.13 Cho phẳng (D) hình tam giác có đỉnh: A(0, a), B(-a, 0), C(a, 0) Tìm khối lượng (D) khối lượng riêng ρ(x, y) = y (Hình 1.16) Giải Ta có: M  a a-y y -a   ( x; y )dxdy =  dy  y.dx  ( D) y-x = a B -a y a A O y+x = a C x a a Hình 1.16 1.1.7.2 Mơmen qn tính phẳng a Momen quán tính phẳng trục Ox Oy tương ứng là: I x   y  ( x; y )dxdy ; I y   x  ( x; y ) dxdy (D) (D) b Momen quán tính phẳng gốc tọa độ O là: I O   x  y  ( x; y ) dxdy  I x  I y (D) Ví dụ 1.1.14 Tính momen quán tính diện tích giới hạn đường: y = - x2; y = 0; trục Ox, mật độ diện tích ρ = (Hình 1.17) Giải 4 x  I x   y dxdy     y dy dx  (D) 2   2 15     x dx  30  64  48 x  12 x  x dx 0 y   y = - x2 2 12 x x   64 x  16 x    3 0 212 105 4096  105  -2 O Hình 1.17 x Ví dụ 1.1.15: Tính momen qn tính cực hình giới hạn đường thẳng: x + y =2; x = 0; y = 0; mật độ diện tích ρ = Giải Đường thẳng x + y = cắt trục Ox (2, 0) trục Oy (0, 2) Ta có hàm y = - x Momen qn tính hình cực (gốc) là: IO    (D) 2 x 2 x   y3  x  y dxdy     x  y dy dx    x y   dx 0 0 0   2         2  x  x  x  dx    x  3x  3x  dx 30    x4 3x    x3   x         3 0 1.1.7.3 Mômen tĩnh toạ độ trọng tâm phẳng a Momen tĩnh Mx My phẳng trục Ox Oy tương ứng là: M x   y. ( x; y ) dxdy ; M y   x. ( x; y )dxdy ( D) (D) b Tọa độ trọng tâm phẳng (D) là: x My M   x. ( x; y )dxdy (D) M ; M y x  M  y. ( x; y)dxdy (D) M Nếu phẳng đồng chất (ρ(x, y) khơng đổi) toạ độ trọng tâm là: x  x.dxdy (D) S ; Trong đó, S diện tích miền (D) Ví dụ 1.1.16 Cho phẳng (D) hình tam giác có đỉnh: A(0, a), B(-a, 0), C(a, 0) Tìm momen tĩnh Mx My phẳng trục Ox Oy tọa độ trọng tâm (D) khối lượng riêng ρ(x, y) = y (Hình 1.18) y  y.dxdy (D) S y-x = a B -a y a A y+x = a C x a O Hình 1.18 16 Giải Theo ví dụ 1.1.13 ta có khối lượng phẳng (D) là: M  a3 a Momen tĩnh Mx My phẳng trục Ox Oy Mx =  y. ( x; y)dxdy  (D) a a-y 2  y dxdy =  dy  y dx  (D) y -a a a-y y -a a4 My =  x. ( x; y )dxdy   x ydxdy =  dy  x ydx 0 ; (D) (D) b Tọa độ trọng tâm (D) là: x  My M  0; y  Mx a  M Chú ý 1.1.5 Nếu ρ(x,y) = ta cơng thức momen qn tính hình học hình phẳng === 17 BÀI 2: TÍCH PHÂN BA LỚP (TÍCH PHÂN BỘI BA) Trong phần ta mở rộng khái niệm tích phân hai lớp lấy miền phẳng D tích phân ba lớp lấy miền khơng gian  khơng gian Oxyz 1.2.1 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN BA LỚP Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm u = (x,y,z) xác định miền đóng bị chặn  khơng gian Oxyz - Chia tuỳ ý miền  thành n miền nhỏ (khơng dẫm lên nhau) có tên thể tích gọi chung là: V1, V2, ., Vn - Trong miền nhỏ Vi lấy điểm tuỳ ý Mi(xi ,yi , zi) lập tổng tích phân: In  n  i 1 f ( x i , y i , z i ). V i - Cho n   cho maxdi0 (di đường kính miền nhỏ Vi) Nếu tồn lim ( I n ) không phụ thuộc vào cách chia miền  cách chọn điểm Mi(xi, yi, zi) max d i  miền nhỏ Vi giới hạn gọi tích phân ba lớp hàm (x,y,z) lấy miền  ký hiệu là: I   f ( x , y , z ) dV  Trong đó: f x; y; z  hàm dấu tích phân  miền lấy tích phân dV yếu tố thể tích Vậy:   f ( x , y , z ) dV  lim n  max d i  i  f ( xi , yi , z i )  Vi - Nếu hàm u = (x, y, z) có tích phân ba lớp miền  ta nói: (x,y,z) khả tích miền  z V Chú ý 1.2.1 1/ Vì giá trị tích phân ba lớp không dz phụ thuộc vào cách chia miền  nên ta chia  mặt phẳng song song với mặt Oxy, Oyz, Ozx Khi đó, hầu dy hết miền nhỏ Vi hình hộp chữ O y nhật nên đơn vị dV  dx.dy.dz (Hình 2.1) Vậy tích phân lớp viết dx dạng: Hình 2.1 x f ( x , y , z ) dxdydz   2/ Dựa vào định nghĩa tích phân ba lớp, (x,y,z) = tích phân ba lớp  miền  biểu diễn thể tích V miền , nghĩa là: V ()   dxdydz  Định lý 1.2.1 Nếu hàm (x,y,z) liên tục miền  (x,y,z) khả tích  1.2.2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN LỚP TRONG HỆ TOẠ ĐỘ DESCARTES 18 Tính tích phân: I   f ( x , y , z ) dxdydz dựa vào dạng   z z=2(x,y) 1.2.2.1 Miền  thể hình trụ mở rộng  gọi thể hình trụ mở rộng vật thể giới hạn hai mặt cong z = 1(x,y); z = 2(x,y); (1  2 hai z=1(x,y) liên tục D) Mỗi đường thẳng song song với Oz cắt mặt 1 ,2 không O y điểm, giới hạn xung quanh mặt trụ D có đường sinh song song với trục Oz (D x hình chiếu  xuống mp Oxy) Hình 2.2 Trước hết, cách lấy tích phân theo hướng trục Oz, ta tính tích phân hàm (x,y,z)dọc theo đoạn thẳng song song với trục Oz Đoạn thẳng cắt D M(x,y) cho trước có giá trị x,y z biến thiên từ z = 1(x,y); đến z = 2(x,y) (Hình 2.2) Kết việc lấy tích phân ta biểu thức phụ thuộc M(x,y) là: F ( x, y )   ( x, y )  f ( x , y , z ) dz  ( x, y ) (x,y xem khơng đổi q trình lấy tích phân) Bây giờ, ta lấy tích phân hàm F(x,y) với điều kiện M(x,y) chạy khắp D giá trị tích phân cần tính là: F ( x , y ) dxdy  D Vì vậy, ta có: I   f ( x , y , z ) dxdydz    dxdy D  ( x, y )  f ( x , y , z ) dz  ( x, y ) Nếu miền D miền xác định x = a, x = b, y = 1(x), y = 2(x) (1  2) thì: I b  ( x )  ( x, y ) a 1 ( x)  ( x, y )  f ( x , y , z ) dxdydz   dx  dy   f ( x , y , z ) dz Vế phải gọi tích phân lặp bội ba 1.2.2.2 Miền  hình hộp chữ nhật Khi  hình hộp chữ nhật giới hạn mặt: x = a; x = b; y = c; y = d; z = e; z = f; (a < b; c < d; e < f) thì: b d f a c e  f ( x, y , z ) dxdydz   dx  dy  f ( x, y , z ) dz  Hơn nữa, (x,y,z) = 1(x) 2(y) 3(z) thì:   f ( x , y , z ) dxdydz  b  a f d f1 ( x ) dx  c f ( y ) dy  f ( z ) dz e 19 I  Ví dụ 1.2.1 Tính:  ( xy  z ) dxdydz  Trong  hình hộp chữ nhật:  x  1;  y  1;  z  Giải Ta có: I  1 0 1  dx  dy  ( xy  z ) dz  1   xy z  z  dy dx    0 0 2 1   dx (2xy  4)dy    xy3  y  dx 0 0 03  x2  13 2     x   dx    x     0 0 Ví dụ 1.2.2 Tính I   xyz dxdydz ,  miền giới hạn mặt  phẳng: x = 0; y = 0; z = x + y + z = z Giải Ta thấy  xác định  x  1;  y  - x;  z  - x - y (Hình 2.3), nên: I   dx  x 1 x  y  dy 1 x  1 x   xy z   x  y dy xyz dz  dx     2  0  1 x 0   dx  xy (1  x  y ) dy  Chú ý 1.2.2 Ta viết: I    1 x  24 (1  x ) Hình 2.3 dx  b f ( x , y , z ) dxdydz   dx a y  720 f ( x , y , z ) dydz S ( x) Trong đó, S(x) diện tích thiết diện miền  nằm vng góc với trục Ox x Ví dụ 1.2.3 Tính I   x  2 2 dxdydz  hình elipxoit x  y  z  a2 b2 c2 Giải a Ta có: a I   dx  x dydz   x S ( x)dx a a S ( x) 2 Trong đó, S(x) miền elip: y  z   x 2 b hay c a y2    b  x   a    z2   c  x  a2   x2  với x cố định, diện tích S ( x)  bc1    a      1 20 ... cho khối ngành phạm Trường Đại học Phạm Văn Đồng sở chương trình khung Bộ Giáo dục - Đào tạo năm gần “ Bài giảng Giải tích 2? ?? gồm chương: Chương Tích phân bội Chương Tích phân đường tích phân mặt... Chương TÍCH PHÂN BỘI…………………… …………………… Bài Tích phân hai lớp…………………………… …………………… Bài Tích phân ba lớp…………………………….……………………… 18 Bài tập chương 1…………………………………………… …………… 29 Chương TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH... nội dung giảng ngày hoàn chỉnh Tác giả CHƯƠNG TÍCH PHÂN BỘI BÀI 1: TÍCH PHÂN HAI LỚP (TÍCH PHÂN KÉP HAY TÍCH PHÂN BỘI HAI) 1.1.1 KHÁI NIỆM VỀ TÍCH PHÂN HAI LỚP 1.1.1.1 Bài tốn dẫn đến tích phân