Đang tải... (xem toàn văn)
UBND HUYỆN QUẾ VÕ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN – LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Thời gian làm bài 120 phút Bài 1 (5,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử Bài 2 (3,0 điểm) Cho a) Rút gọn[.]
UBND HUYỆN QUẾ VÕ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN – LỚP NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm : 120 phút Bài (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x x 3x y xy y y b) x xy y c ) x 2019 x 2018 x 2019 x x y y2 x A : : y xy x xy x xy x y y Bài (3,0 điểm) Cho a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị biểu thức A biết x y xy x y 0 Bài (4,0 điểm) 1) Cho đa thức P x x 5 x 10 x 15 x 20 2016 Tìm số dư phép chia P x cho đa thức x 25 x 120 2) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn 18 x 3xy y 25 Bài (7,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông đỉnh ABC vuông đỉnh A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa điểm A bờ đường thẳng BC , vẽ hình vng AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G a) Chứng minh tứ giác ABGF hình vng b) Chứng minh tứ giác DEHG hình thang c) Chứng minh ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy 2) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M thuộc miền tam giác kẻ MI , MK , MH vng góc với AB, AC , BC I AB, K AC , H BC 2 Tìm vị trí điểm M thuộc miền tam giác để MI MH MK đạt giá trị nhỏ a b3 2 c 8d Bài (1,0 điểm) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn Chứng minh a b c d chia hết cho ĐÁP ÁN Bài (5,0 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a ) x x 3x y 3xy y y x3 3x y 3xy y x y x y x y ( x y ) x y 1 x y x y 1 ( x y 1) b) x xy y x xy y y x y y ( x y y )( x y y ) x y x y c ) x 2019 x 2018 x 2019 x x3 x x3 x x 2019 x 2019 x 2019 x x x 1 x x x 1 2019 x x 1 x x 1 x x 2019 x x y y2 x A : : y xy x xy x xy x y y Bài (3,0 điểm) Cho c) Rút gọn biểu thức A x x y y2 A : : x y y xy x xy x xy x x 0; y 0 y x y x x y y2 x : : 2 y x y x( x y ) x x y x y y x xy y x xy y x x xy y x x y x y y x y : : xy x y x x y x y y xy x y x xy y x x 2 d) Tính giá trị biểu thức A biết x y xy x y 0 x y xy x y 0 x y xy x y x x 0 2 x y 1 x 0 x y 1 0x, y 2 x y 1 x 0 x 0x, y Vì với x,y x y 0 x 2 ( 1) (tmdk ) A x y 2 Đẳng thức xảy Bài (4,0 điểm) 3) Cho đa thức P x x 5 x 10 x 15 x 20 2016 Tìm số dư phép chia P x cho đa thức x 25 x 120 P x x x 10 x 15 x 20 2016 P ( x) x x 20 x 10 x 15 2016 P ( x) x 25 x 100 x 25 x 150 2016 P ( x) x 25 x 120 20 x 25 x 120 30 2016 Đặt t x 25 x 120 P ( x) t 20 t 30 2016 t 10t 60 2016 t 10t 1956 P ( x ) chia cho x 25 x 120 có số dư 1956 4) Tìm số nguyên x; y thỏa mãn 18 x 3xy y 25 18 x xy y 25 18 x 50 xy y 25 50 x 25 y x 25 3x x y x 25 x x y 25 x x y 10 25 3x Z x U (25) x; y Z x y 10 Z x y 10 U (25) Vì 3x x y 10 25 x 10 y 71 tm 5 10 ktm 1 25 2 47 tm 25 ktm 5 5 tm 25 1 20 ktm Vậy x; y 10; 71 ; 2; 47 ; 0; Bài (7,0 điểm) 3) Cho tam giác ABC vuông đỉnh ABC vuông đỉnh A AB AC Kẻ đường cao AH Trong nửa mặt phẳng có chứa điểm A bờ đường thẳng BC , vẽ hình vuông AHDE (với D thuộc đoạn thẳng HC ) Gọi F giao điểm DE AC Đường thẳng qua F song song với AB cắt đường thẳng qua B song song với AC điểm G C D F G E I H A d) Chứng minh tứ giác ABGF hình vng Ta có BAH EAF (cùng phụ HAF ) ABH AFE BAH EAF AB AF AB AF AHB AEF 90 AF / / GB Tứ giác AFGB hình bình hành AB / / FG Hình bình hành AFGB có BAF 90 nên hình chữ nhật Hình chữ nhật AFGB có AB AF hình vng e) Chứng minh tứ giác DEHG hình thang Gọi AG giao với BF I IA IB IG IF (tính chất hình vng) B DI BF FDB vng tai D có DI đường trung tuyến nên DI AG ADG AG FB (tính chất hình vng) vng D nên AD DG Mà AD EH (tính chất hình vng) nên DG / / EH Tứ giác DEHG hình thang f) Chứng minh ba đường thẳng AG, BF , HE đồng quy DI IA AG I Ta có nằm đường trung trực AD H , E nằm đường trung trực AD ( EDHA hình vuông) H , I , E thẳng hàng nên ba đường thẳng AG; BF ; HE đồng quy 4) Cho tam giác ABC vuông A Từ điểm M thuộc miền tam giác kẻ MI , MK , MH vng góc với AB, AC , BC I AB, K AC , H BC Tìm vị trí điểm M thuộc miền tam 2 giác để MI MH MK đạt giá trị nhỏ C K A M I H B 2 Ta có MI MK KI mà KI AM (AKMI hình chữ nhật) MI MH MK AM MH AM MH AM MH AM MH AM MH max MI MH MK nhỏ 2 A; M ;H thang hang AM MH AM BC AH M nằm đường cao hạ từ đỉnh A ABC 1 Ta có AM MH 2 AM MH (Bất dẳng thức Cơ si) Vì M nằm đường cao hạ từ đỉnh A ABC AM MH không đổi AM MH lớn AM MH 2 Từ (1) (2) suy MI MH MK nhỏ M trung điểm đường cao hạ từ đỉnh A tam giác ABC Bài (1,0 điểm) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn Chứng minh a b c d chia hết cho a b3 2 c3 8d a b3 2 c 8d a b3 c d 3c 15d 3 a b 3ab a b c d 3cd c d 3c 15d 3 a b c d 3c 15d 3ab a b 3cd c d a b c d 3c3 15d 3ab a b 3cd c d a b c d a b c d a b c d 3 Mà số nguyên tố nên a b c d 3