UBND HUYỆN QUẾ VÕ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 2023 Bài 1 (6,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử 2) Tìm hai số x, y thỏa mãn 3) Cho Chứng minh rằng Bài 2 (3,0 điể[.]
UBND HUYỆN QUẾ VÕ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN TỐN _ NĂM HỌC 2022-2023 Bài (6,0 điểm) 1) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x y xy xz yz b) x x x y xy y y 2) Tìm hai số x, y thỏa mãn x y x y 11 0 3 3) Cho x y z 0 Chứng minh x y z 3xyz Bài (3,0 điểm) 1 1) Cho x,y số thực thỏa mãn x y x y Tính giá trị biểu thức : M x3 y y x3 2) Xác định số a, b biết : 2x ax b chia cho x+1 dư 6, chia cho x-2 dư 21 Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tùy ý đường chéo BD, kẻ ME AB , MF AD a) Chứng minh DE CF b) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy c) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác AEMF lớn Cho tam giác ABC nhọn, O điểm nằm tam giác ABC cho ABO ACO Gọi D, E hình chiếu vng góc O AB, AC M, I trung điểm BC, DE Chứng minh MI vng góc với DE Bài (4,0 điểm) 1) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x xy 2020 x 2021y 6054 0 2 2) Cho a, b số thực thỏa mãn a b 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 4ab ĐÁP ÁN Bài (6,0 điểm) 4) Phân tích đa thức thành nhân tử : a ) x y xy xz yz x y z ( x y ) ( x y )( x y z ) b) x x x y xy y y x3 y 3x y 3xy x y ( x y )( x xy y xy 1) x y x xy y 1 ( x y )( x y 1)( x y 1) 5) Tìm hai số x, y thỏa mãn x y 3x y 11 0 x y x y 11 0 x y x y 11 0 2 x x y y 1 0 x y 1 0 x 0 2 Do x 3 0; y 1 0 y 0 x 3 y 1 3 6) Cho x y z 0 Chứng minh x y z 3xyz VT x3 y z x y z 3xy ( x y ) x y z x y ( x y ) z z 3xy ( z ) 0 3xyz 3xyz VP (dfcm) Bài (3,0 điểm) 1 3) Cho x,y số thực thỏa mãn x y x y Tính giá trị biểu thức : M x3 y y x3 1 x 0; y 0; y x Ta có : x y x y y x y x x y xy xy y x xy xy x y xy 0 x y 2 xy Do x 0; y 0 xy 0 y x x2 y 2 x y y x Vậy giá trị M 4 4) Xác định số a, b biết : 2x ax b chia cho x+1 dư 6, chia cho x-2 dư 21 Đặt f x 2 x ax b Ta có : f x Q x 1 f 1 a b a b 4 1 Ta có : f x P x 21 f 21 16 2a b 21 2a b 5 Từ (1) (2) suy a 3, b 1 Bài (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tùy ý đường chéo BD, kẻ ME AB , MF AD A F E B H M D d) Chứng minh DE CF AF ME Có tứ giác AEMF hình chữ nhật nên AE MF C FMD có MED 90 gt MDF 45 (Do DB phân giác) MDF vuông cân F MF FD nên FD AE FM AED DFC c.g c DE CF e) Chứng minh ba đường thẳng DE , BF , CM đồng quy Gọi CF giao DE Q Vì AED DFC (cmt ) ADE DCF (hai góc tương ứng) Mà ADE EDC 90 ADC 90 ECD EDC 90 hay DQC 90 DE CF Q Chứng minh tương tự ta CE BF Gọi EM giao DC K Có DC / / AB (Do DFMK hình vuông) mà ME AB( gt ) EM DC hay MKC 90 Chứng minh tứ giác DFMK hình chữ nhật (do có 03 góc vng) Mà DM phân giác FDK (Do DB phân giác góc ADC) nên tứ giác DFMK hình vng suy MK MF Chứng minh tứ giác EKCB hình chữ nhật nên KC EB AC DK EM KC EB Mà BEM vuông cân E EB EM nên MEF KCM (c.g.c) KMC EFM Goi CM giao EF H HME KMC (đối đỉnh) EFM HME Mà EMH HMF 90 (do tứ giác AEMF hình chữ nhật) EFM HMF 90 hay FHM 90 CH EF ED CF (cmt ); FB EC cmt DE , BF , CM Xét CEF có CM EF H (cmt); (đpcm) f) Xác định vị trí M để diện tích tứ giác AEMF lớn Có tứ giác MEAF hình chữ nhật Áp dụng BĐT Cơ si ta có : đồng quy S MEAF AE.EM AE.EB Do EB EM AE EB 2 AE.EM AB 2 AE.EB AE.EB AB AB S MEAF 4 Dấu xảy AE=EB hay AE=EM mà AEMF hình chữ nhật AEMF hình vng suy AM phân giác EAF Mà AC phân giác BAD ( E AB, F AD) M AC Vậy M giao điểm AC BD S AEMF lớn Cho tam giác ABC nhọn, O điểm nằm tam giác ABC cho ABO ACO Gọi D, E hình chiếu vng góc O AB, AC M, I trung điểm BC, DE Chứng minh MI vng góc với DE M D I E Q P B M C Gọi P, Q trung điểm OC OB Xét tam giác vuông EPC có P trung điểm CO nên trung tuyến tam giác vuông) EP CP PO CO (tính chất đường ECP CEP EPO 2ECP 1 Xét tam giác CPE có EP CP CPE cân P (tính chất góc ngồi tam giác) Tương tự ta có DQO 2DBQ Từ (1), (2) EPO DQO (do ABO=ACO theo giả thiết) Xét OBC có Q trung điểm OB M trung điểm BC => MQ đường trung bình OBC MQ / / CO 3 Tương tự PM//OB (4) (theo tính chất đường trung bình) Xét tứ giác POQM có MQ//CO PM//OB nên POQM hình bình hành nên OPM OQM Xét hai tam giác EPM & MQD có : EP=MQ (cùng PO), OPM OQM , PM DQ OQ EPM MQD(c.g c) EM DM (hai cạnh tương ứng) Xét EMD có EM DM EMD cân M Mặt khác I trung điểm ED nên MI đồng thời đường trung tuyến đường cao Suy MI ED Bài (4,0 điểm) 3) Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x xy 2020 x 2021y 6054 0 x xy 2020 x 2021y 6054 0 x x y 1 2021 x y 1 4033 x 2021 x y 1 4033 4033 1 109 37 37 109 1 4033 Ta xét trường hợp thu kết x; y 2012; 2010 , 1912; 1950 , 1984; 2094 ; 2020; 6054 ; 2022; 2010 2058;1950 ; 2130; 2094 ; 6054; 6054 2 4) Cho a, b số thực thỏa mãn a b 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b 4ab Xét : P a b 4ab a b 2a 2b 4ab 2 mà a b 4 P 16 2a 2b 4ab 16 a 2b 2ab 18 ab 1 2 Do a b 2ab 2ab ab 2 Có ab 2 ab 1 ab 1 1 ab 1 P 16 Dấu xảy ab 2 2 a a 0 2 a a b a 2; b Min P 16 a 2; b ... trường hợp thu kết x; y 2012; 2010 , 1912; 1950 , 1 984 ; 2094 ; 2020; 6054 ; 2 022; 2010 20 58; 1950 ; 2130; 2094 ; 6054; 6054 2 4) Cho a, b số thực... a b 4ab a b 2a 2b 4ab 2 mà a b 4 P 16 2a 2b 4ab 16 a 2b 2ab 18 ab 1 2 Do a b 2ab 2ab ab 2 Có ab 2 ab 1 ab 1 1 ab 1