Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 136 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
MỤC LỤC I ĐẠI SỐ CHỦ ĐỀ RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN Dạng RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ A Loại 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG B Loại 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG C Loại 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC D CĂN THỨC, QUY ĐỒNG Loại KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN Dạng RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ 11 E Một số toán nâng cao đặc biệt 37 F Bài tập làm thêm 40 CHỦ ĐỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT, HÀM SỐ BẬC 51 HÀM SỐ BẬC NHẤT 51 A Kiến thức phương pháp 51 B Bài tốn minh họa 52 Dạng Vị trí khoảng cách 52 Dạng Ứng dụng hàm số bậc chứng minh bất đẳng thức tìm GTLN, GTNN 56 HÀM SỐ BẬC HAI 58 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 58 B BÀI TOÁN MINH HỌA 58 Dạng Vẽ - qua - liên quan hoành, tung khoảng cách (Cơ bản) 58 Dạng Vẽ - qua - liên quan hoành, tung khoảng cách (Nâng cao) 60 N h´ om LATEX Dự án CĐ Lớp Nhóm LATEX Dạng PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÝ VIET 62 C KIẾN THỨC CẦN NHỚ 62 D PHƯƠNG PHÁP 62 Dạng VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN E 67 Bài toán minh họa 68 Dạng ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC 70 F Kiến thức cần nhớ 71 G Bài toán minh họa 72 Dạng 10 CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG THẲNG VÀ PARABOL H 82 BÀI TẬP RÈN LUYỆN PHẢN XẠ 86 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 98 A Lý thuyết 98 B Các ví dụ tập tự luyện 99 Dạng 11 Giải phương trình bậc 99 Dạng 12 Giải phương trình bậc hai 100 Dạng 13 Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước 102 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 106 KIẾN THỨC CƠ BẢN 106 A Ứng dụng hệ thức Vi-ét 106 B Các hệ thức thường gặp 106 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 107 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Phần I ĐẠI SỐ N h´ om LATEX CHỦ ĐỀ RÚT GỌN VÀ LIÊN QUAN { DẠNG RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA SỐ A LOẠI 1: ĐA THỨC ĐƠN GIẢN CHỨA CĂN, DỄ DÀNG ĐẶT THỪA SỐ CHUNG CÂU Rút gọn M = ú Lời giải √ 45 + √ √ 245 − 80 √ √ √ √ √ √ 45 + 245 − 80 = 32 · + 72 · − 42 · M = √ √ √ √ = + − = √ √ CÂU Khơng sử dụng máy tính Tính giá trị biểu thức: A = 2015 + 36 − 25 ú Lời giải.√ √ A = 2015 + 36 − 25 = 2015 + − = 2016 √ √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: A = + 50 − 18 ú Lời giải √ √ √ √ √ √ A = + 50 − 18 = · 2 + − · √ √ √ √ √ = 10 + − = (10 + − 6) = √ √ √ 27 − 12 − 75 CÂU Rút gọn biểu thức: A = ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ A = 27 − 27 − 75 = 3 − − = −6 √ √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: A = 12 + 27 − 48 ú Lời √ giải.√ √ √ √ √ √ A = 12 + 27 − 48 = + 3 − = √ √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: B = + 27 − 300 ú Lời√giải √ √ √ √ √ √ √ √ √ B = + 27 − 300 = + 32 · − 102 · = + · · − 10 = √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: A = + 18 ú Lời√giải √ √ √ √ A = + 9.2 = + 12 = 15 √ √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: A = − 27 + 48 ú Lời√giải √ √ √ √ √ √ A = − 27 + 48 = − 12 + 20 = 10 √ √ √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: M = (3 50 − 18 + 8) ú Lời giải √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ M = (3 50 − 18 + 8) = (15 − 15 + 2) = · = 12 √ √ √ √ CÂU 10 Rút gọn biểu thức: A = (2 − 27 + 12) : ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 − 27 + 12) : = (2 − 5.3 + 4.2 3) : = −5 : = −5 N h´ om LATEX Dự án CĐ Lớp Nhóm LATEX √ √ √ √ CÂU 11 Rút gọn biểu thức: A = 125 − 45 + 20 − 80 ú Lời√giải √ √ √ √ A = 5 − 12 + − = −5 √ √ √ CÂU 12 Rút gọn biểu thức: A = + 25 − ú Lời√giải.√ √ A = + 25 − = + − 10 = √ √ √ √ CÂU 13 Rút gọn biểu thức: A = 32 − 27 − + 75 ú Lời giải √ √ √ √ A = 32 − 27 − + 75 √ √ √ √ = 42 · − 32 · − 22 · + 52 · √ √ √ √ = − 15 − + 15 = √ √ √ CÂU 14 Rút gọn biểu thức: A = · 52 − 3 · 22 + · 32 ú Lời giải √ √ √ √ √ √ √ A = · · − · · + 3 = 10 − + 3 = √ √ √ CÂU 15 Rút gọn biểu thức: A = + 45 − 500 ú Lời√giải √ √ √ √ √ √ A = + 45 − 500 = + · − 10 = √ √ √ √ CÂU 16 Rút gọn biểu thức: M = (3 50 + 18 + 8) ú Lời giải √ √ √ √ √ √ M = (15 + 15 + 2) = 36 · = 72 √ √ √ √ CÂU 17 Rút gọn biểu thức: A = (2 − 27 + 12) : ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 − 27 + 12) : = (2 − · 3 + · 3) : = −5 : = −5 √ √ √ √ CÂU 18 Rút gọn biểu thức: A = (2 − 27 + 12) : ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ √ √ √ A = (2 − 27 + 12) : = (2 − · 3 + · 3) : = −5 : = −5 √ √ √ CÂU 19 Rút gọn biểu thức: A = − 12 + 27 ú Lời √ √ √ √ √ √ √ giải A = − 22 · + 32 · = − + 3 = √ √ √ CÂU 20 Rút gọn biểu thức: B = 20 − 45 + ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ B = 22 · − 32 · + = − + = √ √ √ CÂU 21 Rút gọn biểu thức: A = 3( 27 + 3) ú Lời √ giải √ √ √ √ A = 3( 27 + 3) = 81 + = + · = 21 B LOẠI 2: ĐA THỨC CHỨA CĂN CÓ ẨN HẰNG ĐẲNG THỨC BÊN TRONG » √ √ CÂU Tính: B = (2 − 3)2 + ú Lời giải √ √ √ √ √ B = |2 − 3| + = − + = (Do > 3) » » √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: N = + − − ú Lời giải » » » » √ √ √ √ N = 6+2 5− 6−2 5= 5+2 5+1− 5−2 5+1 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp q √ q √ ( 5+ − ( − 1)2 √ √ √ √ = | + 1| − | − 1| = + − + = = 1)2 CÂU Rút gọn biểu thức: A = ú Lời giải » √ √ 1√ − 10 + 20 + q √ √ √ √ √ 1√ √ − 10 + 20 + = ( − 2)2 + + · 2 √ √ √ √ √2 √ √ √ √ √ = | − 2| + + = − + + (Do − > 0) √ = A = » √ √ » √ CÂU Rút gọn biểu thức: B = (3 + 6) − 3 ú Lời giải √ √ » √ √ » √ √ √ √ √ B = (3 + 6) − 3 = (3 + 3) 12 − = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = − = » √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: B = ( − 1) + ú Lời giải » » √ √ √ √ √ √ √ √ B = ( − 1) + = ( − 1) ( + 1)2 = ( − 1)| + 1| = ( − 1)( + 1) = − = » √ √ 1√ CÂU Rút gọn biểu thức: A = + 10 + 20 − ú Lời giải q √ √ √ √ √ 1√ √ + 10 + 20 − = ( + 2)2 + − · 2 √ √ √ √2 √ √ √ √ √ = | + 2| + − = + + − = A = » √ » √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: B = (3 + 6) − 3 ú Lời giải √ √ » √ √ » √ √ √ √ √ B = (3 + 6) − 3 = (3 + 3) 12 − = (3 + 3)|3 − 3| = (3 + 3)(3 − 3) = − = » √ 4−2 √ CÂU Rút gọn biểu thức: P = 1− ú Lời » giải.√ » √ √ 4−2 ( − 1)2 | − 1| √ √ √ = −1 P = = = 1− 1− 1− s s √ √ 2+ 2− CÂU Rút gọn biểu thức: A = − 2 ú Lời giải s s s s √ √ √ √ 2+ 2− 4+2 4−2 A = − = + 2 4 Åq √ ã q √ = ( + 1)2 − ( − 1)2 √ √ ä 1Ä√ √ = | + 1| − | − 1| = ( + − + 1) = 2 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp CÂU 10 Rút gọn biểu thức: B = 21 » 2+ » » » √ √ 2 √ √ 2 3+ 6−2 −6 2− 3+ 3+ ú Lời giải Å» » » √ √ ã2 √ √ ã2 √ 21 Å» 4+2 3+ 6−2 −3 − + + − 15 15 √ √ √ ä2 Ä√ ä2 21 Ä√ = + + − − 3 − + + − 15 15 √ √ 15 √ = ( + 5)2 − 15 15 = 60 B = C LOẠI 3: PHÂN THỨC CHỨA MẪU TIẾN HÀNH NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP, TRỤC CĂN THỨC, QUY ĐỒNG u PHƯƠNG PHÁP QUY ĐỒNG √ √ 1 2− √ CÂU Rút gọn biểu thức: A = √ +√ + 3+1 3−1 ú Lời√giải √ √ √ √ √ √ √ 3−1+ 3+1 2(2 − 3) √ √ + − = + − = + = A= √ 3−1 ( + 1)( − 1) CÂU Rút gọn biểu thức: B = 1 √ + √ 3+ 3− ú Lời giải 1 6 √ + √ = = B= √ = 9−7 3+ 3− 32 − √ √ CÂU Rút gọn biểu thức: P = √ − 5−2 ú Lời √ giải √ √ √ √ √ √ √ √ 5 − 5( − 2) − 10 + 5 − 10 5( − 2) √ √ P =√ −2 = = = √ = √ = 5−2 5−2 5−2 5−2 5−2 1 CÂU Rút gọn biểu thức: P = √ +√ 5−2 5+2 ú Lời √ giải √ √ P = + + − = 1 √ +√ √ CÂU Rút gọn biểu thức: B = √ 3− 3+ ú Lời giải √ √ √ √ √ √ √ √ 1 3+ 3− √ √ +√ √ = B=√ + = − + − = 3−2 3−2 3− 3+ u PHƯƠNG PHÁP ĐẶT THỪA SỐ CHUNG √ √ 3+ CÂU Rút gọn biểu thức P = ( − 1) √ ú Lời giải N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp √ √ 3+ P = ( − 1) √ √ √ √ 3( + 1) √ = ( − 1) √ √ ( − 1)( + 1) 3−1 = = = 2 √ + · 18 CÂU Tính Q = √ 2+2 ú Lời giải √ Q =√ + · 18 2+2 √ √ 9·2 √ + = 1+ √ √ √ 2( − 1) + = − √ √ √ √ 2−2 = + = − + = −1 u PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP VÀ ĐẶT THỪA SỐ CHUNG √ √ √ − 28 + 54 CÂU Rút gọn biểu thức A = √ 7− ú Lời giải √ √ √ − 28 + 54 7− √ √ √ √ 2( + 6) √ √ √ − 7·4+ 9·6 = √ ( − 6)( + 6) √ √ √ √ 7+2 = −2 7+3 √ − 6√ √ √ √ = + − + = A =√ √ √ − 10 √ CÂU Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức B = √ − 2+1 2− ú Lời giải √ √ − 10 √ A =√ − 2+1 2− √ √ √ 2−1 2(2 − 5) √ = − 2− √ √ = − − = −1 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Dự án CĐ Lớp Nhóm LATEX √ √ A − 1; B = + Tính giá trị biểu thức A + B; A · B; ; A2 + B B cách rút gọn biến đổi thích hợp ú Lời giải √ √ √ A + B = ( − 1) + ( + 1) = √ √ √ A · B = ( − 1)( + 1) = ( 3)2 − 12 = − = √ √ √ √ A 3−1 ( − 1)2 4−2 √ =√ = √ = = − B 3+1 ( + 1)( − 1) √ A2 + B = (A + B)2 − 2AB = (2 3)2 − 2.2 = 12 − = CÂU Cho A = √ CÂU Rút gọn biểu thức P = √ − 27 + √ 3−1 ú Lời giải ä Ä√ √ √ 3+1 ä Ä√ ä −3 3+ P = Ä√ 3−1 3+1 Ä√ ä √ 3+1 = −2 √ √ 3−1 √ = + − = − √ √ √ − 28 + 54 CÂU Rút gọn biểu thức B = √ 7− ú Lời giải √ √ √ − 28 + 54 B =√ 7− √ √ √ √ 2( + 6) √ √ √ − 7·4+ 9·6 = √ ( − 6)( + 6) √ √ √ √ 7+2 = −2 7+3 √ − 6√ √ √ √ = + − + = √ √ √ 5+ 5 √ +√ − CÂU Rút gọn biểu thức sau C = √ 5+2 5−1 3+ ú Lời giải √ √ √ 5+ 5 √ C =√ +√ − 5+2 5−1 3+ √ √ √ √ √ √ (5 + 5)( − 2) 5( + 1) 5(3 − 5) √ √ √ √ = √ + √ − ( − 2)( + 2) ( − 1)( + 1) (3 + 5)(3 − 5) √ √ √ + − 15 =3 5−5+ − 4√ √ √ + − + 15 =3 5−5+ √ √ 4√ = − + − = N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp D LOẠI KẾT HỢP LIÊN HỢP VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC TRONG CĂN CÂU Cho biểu thức M = » √ √ √ + (2 − 3)2 − 75 Rút gọn M 2− ú Lời giải √ √ √ + |2 − 3| − 75 2− √ √ √ = 6(2 + 3) + − − = 14 M = √ + 2− CÂU Rút gọn biểu thức A = √ − » ú Lời giải A = = = = = √ 2− √ 2− √ 2− √ 2− √ 2+ + + + » √ 7−4 » √ 4−4 3+3 q (2 − √ 3)2 √ +2− 3= +2− √ √ √ 2+ √ √ +2− (2 − 3)(2 + 3) = √ √ √ 7−4 CÂU Khơng dùng máy tính, rút gọn biểu thức B = ( − 2)( + 2) − √ 3−2 ú Lời giải » √ √ (2 − 3)2 B = ( 5) − − √ 3−2 √ 2− =5−4− √ 3−2 = − (−1) = » 2− CÂU Thu gọn biểu thức C = 1+ √ √ 2+ » √ + √ 4+2 1− 4−2 » ú Lời giải 2− √ √ » √ + √ 1+ 4+2 1− 4−2 √ √ 2− 2+ » » = + √ √ 1+ 3+2·1· 3+1 1− 3−2·1· 3+1 √ √ 2− 2+ » √ » √ = + + ( + 1)2 − ( − 1)2 √ √ 2+ 2− √ √ = + 1+ 3+1 1− 3+1 C = 2+ » N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp VÍ DỤ Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + 2b + 3c = Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm 4x2 −4 (2a + 1) x+4a2 +192abc+1 = 4x2 − (2b + 1) x + 4b2 + 96abc + = Cho số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh ba phương trình sau có nghiệm: x2 + ax + = 0; x2 + bx + = 0; x2 + cx + = Chứng minh ba phương trình sau có phương trình có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1); bx2 + 2cx + a = (2); cx2 + 2ax + b = (3) ú Lời giải Hai phương trình có ∆0 = 16a (1 − 48bc) , ∆0 = 16b (1 − 24ac) Vì a, b số dương nên ∆0 , ∆0 dấu với − 48bc − 24ac Mặt khác ta lại có − 48bc + − 24ac = − 24c (a + 2b) = − 24c (1 − 3c) = 2(6c − 1)2 ≥ 0 Dẫn đến ∆1 + ∆2 ≥ Vậy có hai phương trình có nghiệm Ba phương trình cho có ∆1 = a2 − 4; ∆2 = b2 − 4; ∆3 = c2 − Do ∆1 + ∆2 + ∆3 = a2 + b2 + c2 − 12 Lại có (a2 + b2 + c2 ) = (a + b + c)2 + (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ (a + b + c)2 62 (a + b + c)2 = = 12 Do a2 + b2 + c2 − 12 ≥ hay ∆1 + ∆2 + ∆3 ≥ Suy a2 + b2 + c2 ≥ 3 Vậy có ba phương trình cho có nghiệm Nếu ba số a, b, c có số 0, chẳng hạn a = ⇒ (2) có nghiệm x = Ta xét a, b, c số thực khác 0, ba phương trình cho ba phương trình bậc hai có: ∆0 = b2 − ac; ∆0 = c2 − ab; ∆0 = a2 − bc Xét tổng ∆1 + ∆2 + ∆3 ta có: ∆0 + ∆0 + ∆0 = a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = ó 1ỵ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ≥ Suy ba số ∆01 ; ∆02 ; ∆03 có số khơng âm hay ba phương trình cho có phương trình có nghiệm VÍ DỤ Cho tam thức bậc hai f (x) = x2 + bx + c b, c số nguyên Chứng minh rằng, tồn số nguyên k để f (k) = f (2015) · f (2016) Cho tam thức bậc hai f (x) = x2 + bx + c Giả sử phương trình f (x) = x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh phương trình f (f (x)) = x có nghiệm (b + 1)2 > 4(b + c + 1) ú Lời giải Đây tốn khó: Để chứng minh tồn số k ta cần tính chất: Với đa thức bậc dạng f (x) = x2 + bx + c, ta ln có f (f (x) + x) = f (x) · f (x + 1) với x Thật ta có f (f (x) + x) = [f (x) + x]2 + b [f (x) + x] + c = f (x) + 2f (x) · x + x2 + b · f (x) + bx + c = f (x) + 2f (x) · x + b · f (x) + x2 + bx + c = f (x) + 2f (x) · x + b · f (x) + f (x) ỵ ó = f (x) [f (x) + 2x + b + 1] = f (x) x2 + 2x + + b(x + 1) + c = f (x) · f (x + 1) Trở lại tốn chọn x = 2015 ta có f (f (2015) + 2015) = f (2015) · f (2016) Ta suy số k cần tìm k = f (2015) + 2015 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 65 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp Ta có f (f (x)) − x = f (x) + bf (x) + c − x = f (x) [f (x) − x] + x [f (x) − x] + b [f (x) − x] + x2 + bx + c ỵ ó = [f (x) − x] · [f (x) + x + b + 1] = [f (x) − x] · x2 + (b + 1)x + b + c + Để ý phương trình x2 + (b + 1)x + b + c + = có ∆ = (b + 1)2 − 4(b + c + 1) > f (x) − x = có hai nghiệm phân biệt nên suy f (f (x)) = x có nghiệm phân biệt Chú ý: Để chứng minh n số a1 , a2 , , an có số không âm (hoặc số dương) ta cần chứng minh tổng k1 a1 + k2 a2 + · · · + kn an k1 , k2 , , kn ≥ VÍ DỤ Cho a, b, c số thực có tổng khác Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm a(x − b)(x − c) + b(x − c)(x − a) + c(x − a)(x − b) = (1) ú Lời giải Cách : (1) ⇔ (a + b + c)x2 − 2(ab + bc + ca)x + 3abc = (2) Vì a + b + c 6= nên (2) phương trình bậc hai, để chứng minh phương trình có nghiệm ta cần chứng minh ∆0 ≥ Ta có ∆0 = (ab + bc + ca)2 − 3abc(a + b + c) = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 − abc(a + b + c) ó 1ỵ (ab − bc)2 + (bc − ca)2 + (ca − ab)2 ≥ = Vậy phương trình cho ln có nghiệm Cách : Gọi f (x) vế trái phương trình (1) Ta có f (0) = 3abc, f (a) = a(a − b)(a − c), f (b) = b(b − a)(b − c), f (c) = c(c − a)(c − b) ⇒ f (0) · f (a) · f (b) · f (c) = −3 [abc(a − b)(b − c)(c − a)]2 ≤ Suy bốn số f (0), f (a), f (b), f (c) tồn hai số có tích khơng dương Dẫn đến phương trình cho ln có nghiệm VÍ DỤ Cho a, b, c thỏa mãn 3a + 4b + 6c = Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm f (x) = ax2 + bx + c = ú Lời giải Cách : Ç 2 * Nếu a = ⇒ 4b + 6c = ⇒ c = − b ⇒ f (x) = b x − 3 Ç * Nếu a 6= ta có ∆ = b2 − 4ac = (3a + 6c)2 − 4ac = 16 å ⇒ f (x) có nghiệm 14 128 3a − c + c > ⇒ f (x) = có 16 å nghiệm Ç å Ç å 1 Cách : Ta có 2f (1) + 4f = 2(a + b + c) + a + b + c = 3a + 4b + 6c = 2Ç å Ç å Ç å 1 ⇒ f (1) = −2f ⇒ f (1) · f =− f ≤ ⇒ f (x) = có nghiệm 2 2 Ç å 9a + 12b + 16c 3(3a + 4b + 6c) − 2c c Cách : Ta có f (0) = c, f = a+ b+c= = =− 16 16 16 Ç å c2 ⇒ f (0) · f = − ≤ 0, suy phương trình ln có nghiệm Nhận xét: N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 66 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp Ç å = 2Ç å Ç å 1 Tại ta xét f (1), f nhân thêm hệ số Vậy hai giá trị f (1), f ta 2 Ç å cịn có giá trị khác khơng? Câu trả lời có, chẳng hạn ta xét f (1), f , f (0) Ta Ç å cần xác định hệ số m, n, p > cho mf (1) + nf + pf (0) = 3a + 4b + 6c m + n = m = 9 Đồng hệ số ta có hệ phương trình m + n = ⇔ n = p = m + n + p = Ç å Ç å 2 Vậy ta có 2f (1) + 9f + f (0) = ⇒ ba số f (1), f , f (0) tồn số không âm 3 số không dương, dẫn đến tích hai số khơng dương hay phương trình có nghiệm Với cách giải thứ hai việc khó phải chứng minh đẳng thức 2f (1) + 4f Ç å Điều hoàn toàn tự nhiên ta cần tạo tỷ lệ 3a : 4b để tận dụng giả thiết 3a + 4b + 6c = Với cách giải thứ ba ta f Ta xét toán tổng quát sau: a b c + + = Chứng m n p (1) có nghiệm x ∈ (0; 1) VÍ DỤ Cho số thực dương m, n, p thỏa mãn n < m, mp < n2 minh phương trình f (x) = ax2 + bx + c = ú Lời giải Để chứng minh (1) có nghiệm x ∈ (0; 1), ta số thực α, β ∈ (0; 1) cho f (α) · f (β) < Å ã n n n2 n Vì α, β ∈ (0; 1) có giả thiết n < m ⇔ < nên dẫn đến ta xét f = a + b + c m m m m å Ç Ç å a b c m n m n2 Mặt khác từ + + =0⇒ a +b +c +c − = m n p n m m p n2 Å ã Å ã n n2 − pm n pm − n2 pm − n2 m +c· = ⇔ f = c = f (0) ⇔ ·f n m pn2 m pm pm * Xét c = • Nếu a = ⇒ b = ⇒ f (x) đa thức khơng, f (x) có nghiệm (0; 1) b n b • Nếu a 6= 0, từ giả thiết ⇒ − = < f (x) = x(ax + b) = ⇔ x = − ∈ (0; 1) a m a Å nã pm − n2 nã * Xét c 6= ta có f · f (0) = · f (0) < ⇒ f (x) có nghiệm x ∈ 0; ⊂ (0; 1) m pm m Å { DẠNG VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC GTLN,GTNN N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 67 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp u PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ HÀM SỐ Bài tốn 1: Tìm GTLN, GTNN biểu thức y = ax2 + bx + c với mx2 + nx + p > 0, ∀x mx2 + nx + p Phương pháp: Gọi y0 giá trị biểu thức Khi y0 = ax2 + bx + c ⇔ (y0 m − a)x2 + (y0 n − b)x + y0 p − c mx + nx + p (∗) Ta xét trường hợp a Nếu y0 m − a = ⇔ y0 = , thay vào (∗) ta tìm x m a giá trị biểu thức Suy y0 = m a Nếu y0 m − a 6= ⇔ y0 6= (∗) phương trình bậc hai ẩn x Điều kiện để phương m trình có nghiệm ∆ ≥ Từ ta suy điều kiện y0 Trên sở ta tìm GTLN, GTNN (nếu có) biểu thức Ngồi "trình chứng minh #bất đẳng thức ta cần nắm kết sau: Ç Ç å2 å2 b b ∆ ∆ Ta có a · f (x) = a2 x + − = a2 x + − 2a 4a 2a Từ suy ra: Nếu ∆ ≤ a · f (x) ≥ ⇔ a, f (x) dấu Một kết thường xuyên sử dụng giải toán “Nếu tam thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c có a > 0, ∆ ≤ ⇒ f (x) ≥ 0, ∀x” E BÀI TOÁN MINH HỌA Cơ VÍ DỤ Tìm GTLN,GTNN biểu thức: y = x2 x2 − 5x + P = x2 − 8x + x2 + A = 2x2 − 2xy + 9y với y 6= x2 + 2xy + 5y A = 2x2 + 12xy biết x2 + y = 1 + 2xy + 2y ú Lời giải Ç Do x − 5x + = x − å2 > 0, ∀x suy biểu thức y xác định với x x2 Gọi y0 giá trị biếu thức ta có y0 = ⇔ (y0 − 1) x2 −5y0 x+7y0 = (*) LTEX x − 5x + + N h´ om A Tháng 2-2020 Trang 68 Dự án CĐ Lớp Nhóm LATEX điều có nghĩa y0 = giá trị biểu thức + Nếu y0 6= (*) phương trình bậc có ∆ = (5y0 )2 − · (y0 − 1) · 7y0 = y0 (28 − 3y0 ) 28 Để ý với giá trị Phương trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ ≤ y0 ≤ 28 y0 = y0 = ∆ = nên: 5y0 GTNN y x = = (y0 − 1) 28 5· 28 5y0 14 GTLN y x = = Ç å= 28 (y0 − 1) −1 + Nếu y0 = ⇒ −5x + = ⇔ x = ĐKXĐ: x ∈ R x2 − 8x + ⇔ (P − 1)x2 + 8x + (P − 7) = (1) Ta có P = x +1 Gọi (1) phương trình bậc hai ẩn x Trường hợp 1: P − = ⇔ P = x = (*) Trường hợp 2: P − 6= ⇔ P 6= phương trình (1) có nghiệm khi: ∆0 ≥ ⇔ P − 8P − ≤ ⇔ (P + 1)(P − 9) ≤ ⇔ −1 ≤ P ≤ (**) −4 −4 Kết hợp (*) (**) ta có P = −1 x = = 2; max P = x = =− P −1 P −1 2x2 − 2xy + 9y Biểu thức A có dạng đẳng cấp bậc x2 + 2xy + 5y x 2t2 − 2t + Ta chia tử mẫu cho y đặt y = A = y t + 2t + Ta có t2 + 2t + = (t + 1)2 + > 0, ∀t Gọi A0 giá trị biểu thức ta có: 2t2 − 2t + ⇔ (A0 − 2) t2 + (2A0 + 2) t + 5A0 − = (*) A0 = t + 2t + + Nếu A0 = t = − suy A0 = giá trị biểu thức nhận + Nếu A = (*) phương trình bậc có ∆0 = (A0 + 1)2 − (A0 − 2) · (5A0 − 9) = −4A20 + 21A0 − 17 Điều kiện để phương trình có nghiệm là: 17 ∆0 ≥ ⇔ −4A20 + 21A0 − 17 ≥ ⇔ (1 − A0 ) (4A0 − 17) ≥ ⇔ ≤ A0 ≤ A0 + Từ ta có GTNN A t = − = ⇔ x = 2y A0 − 17 A0 + 7 GTLN A t = − = − ⇔ x = − y A0 − 3 A = Nếu y = x2 = ⇒ P = 2x2 = 2x2 + 12xy 2x2 + 12xy (t2 + 6t) Xét y 6= đặt x = ty A = = = Giải tương tự câu + 2xy + 2y x2 + 2xy + 3y t2 + 2t + ta có −6 ≤ A ≤ 3 −2 Suy GTNN A −6 đạt x = √ ; y = √ x = − √ ; y = √ 13 13 13 13 3 GTLN A đạt x = √ ; y = √ x = − √ ; y = − √ 10 10 10 10 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 69 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp Nâng cao ( VÍ DỤ Cho số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = Tìm GTLN, GTNN x+y+z =5 x ú Lời giải ( ( yz = − x(y + z) yz = − x(5 − x) Ta viết lại hệ phương trình dạng hay y+z =5−x y+z =5−x Vì x, y, z số thực thỏa mãn (*) nên suy y, z hai nghiệm thỏa mãn phương trình t2 − (5 − x)t + − 5x − x2 = Điều kiện để phương trình (**) có nghiệm là: ∆ = (5 − x)2 − (8 − 5x + x2 ) = −3x2 + 10x − ≥ ⇔ (7 − 3x)(1 − x) ≥ hay ≤ x ≤ Khi x = ⇒ t = ⇒ y = z = nên GTNN x 4 Khi x = ⇒ t = ⇒ y = z = nên GTLN x = 3 3 (*) (**) VÍ DỤ Cho số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTLN biểu thức P = 9xy + 10yz + 11zx ú Lời giải Thay z = − x − y vào P ta có: P = 9xy + z(10y + 11x) = 9xy + (1 − x − y)(10y + 11x) = −11x2 + (11 − 12y)x − 10y + 10y Hay 11x2 + (12y − 11)x + 10y − 10y + P = Phương trình có nghiệm khi:∆ ≥ ⇔ (12y − 11)2 − · 11 (10y − 10y + P ) ≥ Ç å Ç å 121 495 22 74 11 495 74 2 + ≤ −y + y − =− y− Hay −296y + 176y + 121 − 44P ≥ ⇔ P ≤ − 11 37 296 11 27 148 148 495 25 11 27 Do GTLN P đạt x = ; y = ; z = 148 74 37 74 VÍ DỤ Cho số thực dương a, b, c cho a+b+c = Chứng minh a+ab+2abc ≤ ú Lời giải Từ giả thiết ta suy b = − a − c Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành: 9 a + a(3 − a − c) + 2ac(3 − a − c) − ≤ ⇔ (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4) a + ≥ 2 Coi hàm số bậc hai a Xét f (a) = (2c + 1)a2 + (2c2 − 5c − 4) a + ta có hệ số a2 2 2c+1 > ta có: ∆ = (2c2 − 5c − 4) −18(2c+1) = (2c−1)2 (c2 − 4c − 2) = (2c−1)2 [c(c−3)−c−2] ≤ Do < c < Suy f (a) ≥ 0, dấu xảy a = , b = 1, c = 2 { DẠNG ĐỊNH LÝ VIET VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 70 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp F KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí (Định lí Viet) Nếu x1 , x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0, (a 6= 0) (∗) thì: x b a c = a + x2 = − x1 x2 sử dụng định lí Viet, cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa ! Trước kiểm tra ∆ ≥ u PHƯƠNG PHÁP MỘT SỐ ỨNG DỤNG CƠ BẢN CỦA ĐỊNH LÝ VIET 1) Nhẩm nghiệm phương trình bậc c Nếu a + b + c = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1, x2 = a −c Nếu a − b + c = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = −1, x2 = a 2) Tính giá trị biểu thức g(x1 , x2 ) g(x1 , x2 ) biểu thức đối xứng hai nghiệm x1 , x2 phương trình (∗): Bước 1: Kiểm tra điều kiện ∆ ≥ 0, sau áp dụng định lý Viet Bước 2: Biểu diễn biểu thức g(x1 , x2 ) theo S = x1 + x2 , P = x1 x2 từ tính g(x1 , x2 ) N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 71 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp u PHƯƠNG PHÁP MỘT SỐ BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA HAI NGHIỆM THƯỜNG GẶP x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = S − 2P x31 + x32 = (x1 + x2 )3 − 3x1 x2 (x1 + x2 ) = S − 3SP x41 + x42 = (x»21 + x22 ) − 2x21 x»22 = (S − 2P ) − 2P = S − 4S P + 2P √ |x1 − x2 | = (x1 − x2 )2 = (x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = S − 4P , 1) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x1 , x2 cho trước: Bước 1: Tính S = x1 + x2 , P = x1 x2 Bước 2: Phương trình bậc hai có nghiệm x1 , x2 X − SX + P = 2) Tìm điều kiện để phương trình bậc ax2 + bx + c = (∗) (a, b, c phụ thuộc vào tham số m), có nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện cho trước h(x1 , x2 ) = (1) Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình (∗) có nghiệm, nghĩa ∆ ≥ Sau áp dụng định lý Viet để tính S = x1 + x2 (2) P = x1 x2 (3) theo m Bước 2: Giải hệ phương trình (1), (2), (3) ( thường sử dụng phương pháp thế) để tìm m, sau kiểm tra m xem có thỏa mãn điều kiện Bước hay khơng 3) Phân tích đa thức bậc thành nhân tử Nếu phương trình ax2 + bx + c = (∗) có nghiệm x1 , x2 ax2 + bx + c = a(x − x1 ) · (x − x2 ) 4) Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai ta cần ý đến điều kiện ràng buộc sau: Nếu: x1 ≤ m ≤ x2 ⇔ ( (x1 − m) (x2 − m) ≤ x1 + x2 ≥ 2m Nếu: m ≤ x1 ≤ x2 ⇔ (x − m) (x2 − m) ≥ ( x1 + x2 ≤ 2m Nếu: x1 ≤ x2 ≤ m ⇔ (x1 − m) (x2 − m) ≥ G BÀI TỐN MINH HỌA Cơ VÍ DỤ Khơng giải phương trình cho biết dấu nghiệm a) x2 − 13x + 20 = b) 3x2 + 5x − = c) 5x2 + 7x + = ú Lời giải c = 20 > a a) Ta có b S = x1 + x2 = − = 13 > a Vì P > nên nghiệm x1 , x2 dấu S > nên nghiệm mang dấu dương P = x1 x2 = c = − < nên nghiệm phân biệt x1 , x2 trái dấu a c = x1 x2 = = > a −b −7 = nên nghiệm x1 , x2 dấu S < nên nghiệm x1 , x2 mang dấu âm VÍ DỤ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) f (x) = 3x2 − 5x + b) g(x) = −x4 + 5x2 − c) P (x, y) = 6x2 − 11xy + 3y d) Q(x; y) = 2x2 − 2y − 3xy + x − 2y ú Lời giải a) Phương trình 3x2 − 5x + = có nghiệm x1 = x2 = å Ç 2 = (3x + 2)(x − 1) Do f (x) = 3x − 5x + = 3(x − 1) x + " x =1 x =4 2 Do g(x) = −x + 5x − = −(x − 1)(x − 4) = −(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) 2 2 b) Phương trình −x + 5x − = ⇔ −(x ) + 5(x ) − = ⇔ c) Ta coi 6x2 − 11xy + 3y = phương trình bậc hai ẩn x Ta có ∆x = (11y)2 − · · 3y = 49y ≥ Suy phương trình có nghiệm là: 11y ± 7y y 3y x1,2 = , hay x1 = x2 = 12 2Å Ç å 3y yã 2 · x− Do P (x, y) = 6x − 11xy + 3y = x − d) Ta có 2x2 − 2y − 3xy + x − 2y = ⇔ 2x2 + (1 − 3y)x − 2y − 2y = Ta coi phương trình bậc hai ẩn x, suy ∆x = (1 − 3y)2 − (−2y − 2y) = 25y + 10y + = (5y + 1)2 ≥ Suy phương trình có nghiệm là: 3y − ± (5y + 1) −y − x1,2 = , hay x1 = 2y x2 = Ç å −y − Do Q(x; y) = 2(x − 2y) x − = (x − 2y)(2x + y + 1) Nâng cao VÍ DỤ Phân tích đa thức f (x) = x4 − 2mx2 − x + m2 − m thành tích hai tam thức bậc hai ẩn x ú Lời giải Ta có x4 − 2mx2 − x + m2 − m = ⇔ m2 − (2x2 + 1) m + x4 − x = Ta coi phương trình bậc hai ẩn m có: ∆m = (2x2 + 1) − (x4 − x) = 4x2 + 4x + = (2x + 1)2 ≥ 2x2 + + 2x + 2x2 + − 2x − Suy f (x) = ⇔ m = = x2 + x + m = = x2 − x 2 Do f (x) = (m − x2 − x − 1) (m − x2 + x) VÍ DỤ a) Cho phương trình 2x2 − mx + = 0, với m la tham số Biết phương trình có nghiệm 2, tìm m tìm nghiệm cịn lại b) Cho phương trình x2 − (m + 1) x + m2 − = 0, với m tham số Tìm m để phương trình N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 73 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp có hai nghiệm dương c) Cho phương trình x2 − 4x = |x − 2| − m − 5, với m tham số Xác định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt ú Lời giải Vì x = nghiệm phương trình nên thay x = vào phương trình ta được: − 2m + = ⇔ m = 13 5 mà x1 = nên x2 = 13 Vậy m = nghiệm lại 2 Theo hệ thức Viet ta có: x1 x2 = m ≥ −1 = 2m + ≥ Phương trình có hai nghiệm dương S = 2m + > ⇔ m > − ⇔m>1 p=m −1 m>1∨m thỏa mã tốn VÍ DỤ a) Tìm m để phương trình 3x2 + (m − 1) x + m2 − 4m + = có hai nghiệm phân 1 biệt x1 , x2 thỏa mãn: + = (x1 + x2 ) x1 x2 b) Chứng minh phương trình: ax2 +bx+c = (a 6= 0) (1) có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp k (k 6= −1) lần nghiệm (1 + k)2 ac = kb2 c) Tìm giá trị m để phương trình x2 − mx + m2 − m − = có hai nghiệm x1 , x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vuông ABC, biết độ dài cạnh huyền BC = ú Lời giải a) Trước hết phương trình phải có hai nghiệm khác nên: ∆ ( = m2 + 4m + > m + 4m + > ⇔ (∗) Khi theo định lý Viet ta có: c m − 4m + m2 + 4m + 6= = 6= a (1 − m) m2 − 4m + S = x1 + x2 = ; P = x1 x = 3 1 x1 + x2 + = (x1 + x2 ) ⇔ = (x1 + x2 ) x1 x 2 x1 x2 ⇔ (x1 + x2 ) (x1 x2 − 2) = (do x1 x2 6= 0) " " x1 + x = m=1 ⇔ ⇔ ⇔ m = 1; m = −1; m = x1 x − = m2 − 4m − = Thay vào (*) ta thấy m = −1 không thỏa mãn Vậy m = 1; m = giá trị cần tìm b) Giả sử (1) có hai nghiệm x1 , x2 nghiệm gấp k lần nghiệm ta có: " " x1 = kx2 x1 − kx2 = ⇔ ⇔ (x1 − kx2 ) (x2 − kx1 ) = x2 = kx1 x2 − kx1 = N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 74 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp c ⇔ (1 + k ) − k a "Ç b − a å2 # c − = ⇔ (1 + k ) ac = k (b2 − 2ac) ⇔ (1 + k)2 ac = kb2 a Giả sử (1 + k)2 ac = kb2 ta cần chứng minh (1) có nghiệm 4k 2 (k − 1) Ta có: ∆ = b − 4ac = b − b =b ≥ Vậy ta có điều phải chứng minh (k + 1)2 (k + 1)2 2 c) Vì độ dài cạnh tam giác vuông số dương nên x1 , x2 > ( Theo định lý Viet, ta có: x1 + x2 = m > x1 x2 = m2 − m − > (1) Điều kiện để phương trình có nghiệm là: ∆ = m2 − (m2 − m − 3) ≥ ⇔ 3m2 − 4m − 12 ≤ (2) Từ giả thiết suy x1 + x2 = ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = Do m2 − (m2 − m − 3) = ⇔ m2 − 2m − = ⇔ m = ± √ √ Thay m = ± vào (1) (2) ta thấy m = + √ Vậy giá trị cần tìm m = + √ VÍ DỤ Cho phương trình x4 − mx3 + (m + 1) x2 − m (m + 1) x + (m + 1)2 = a) Giải phương trình m = −2 b) Tìm tất giá trị tham số m cho phương trình có bốn nghiệm đôi phân biệt ú Lời giải a) Khi m = −2, ta có phương trình: x4 + 2x3 − x2 − 2x + = Kiểm tra ta thấy x = không nghiệm phương trình Ç å 1 2 Chia hai vế phương trình cho x ta được: x + + − − = x x Đặt t = x − x1 , suy x2 + x2 = t2 + Thay vào phương trình ta được: t2 + 2t − = ⇔ t = −1 −1 ± Với t = −1 ta x − = −1 ⇔ x2 + x − = ⇔ x = x √ −1 ± Vậy với m = −2 phương tình có nghiệm x = √ b) Nếu x = phương trình cho thành: (m + 1)2 = Khi m 6= −1 phương trình vơ nghiệm Khi m = −1 x ( = nghiệm phương trình cho phương trình cho có x=0 dạng x4 + x3 = x = −1 Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm nên khơng thỏa mãn u cầu tốn Do x 6= m 6= −1 Chia hai vế phương trình cho x2 6= đặt t = x + ( t = −1 phương trình: t − mt − (m + 1) = ⇔ t=m+1 (m+1) x Ta thu Với t = −1 ta x2 + x + (m + 1) = (1) Với t = m + ta x − (m + 1) x + (m + 1) = N h´ om (2) LATEX Tháng 2-2020 Trang 75 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp Phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt phương trình (1) (2) có hai nghiệm phân biệt, đồng thời chúng khơng có nghiệm chung Để (1) (2) có hai nghiệm phân biệt khi: VÍ DỤ Tìm tất giá trị m để phương trình mx2 − 2(m − 1)x + 3(m − 2) = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = x2 − (2m + 1)x + m2 + = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 3x1 x2 − (x1 + x2 ) + = x2 − 3x − m = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 (1 − x2 ) + x22 (1 − x1 ) = 19 3x2 + 4(m − 1)x + m2 − 4m + = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn 1 + = (x1 + x2 ) x1 x2 ú Lời giải Nếu m = phương trình cho thành 2x − = ⇔ x = (không thỏa mãn) Nếu m = Ta có ∆0 = (m − 1)2 − m · 3(m − 2) = −2m2 +√4m + √ 2+ 2− ≤m≤ (∗) Với điều kiện Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ ⇔ 2 (∗) giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + x = 2(m − 1) 2−m ⇒ x2 = Từ yêu cầu tốn áp dụng Viet ta có m m x1 + 2x2 = 2−m Thay x = vào phương trình ta (m − 2)(6m − 4) = ⇔ m = m = Đối chiếu m điều kiện ta m = m = thỏa mãn u cầu tốn Ta có ∆ = (2m + 1)2 − 4(m2 + 2) = 4m − 7 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ ⇔ m ≥ ( x1 x2 = m2 + Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2m + Thay vào hệ thức 3x1 x2 − 5(x1 + x2 ) + = 0, ta 3m2 − 10m + = ⇔ m = m = Đối chiếu điều kiện ta m = thỏa mãn u cầu tốn Ta có ∆ = − · 1(−m) = + 4m Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ∆ ≥ ⇔ m ≥ − ( x1 + x2 = Theo định lý Viet ta có x1 x2 = −m Ta có x21 (1 − x2 ) + x22 (1 − x1 ) = 19 ⇔ x21 x21 x2 + x22 − x1 x22 = 19 ⇔ x21 + x22 − x21 x2 − x1 x22 = 19 ⇔ (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 − x1 x2 (x1 + x2 ) = 19 ⇔ 32 − 2(−m) − m(−m) · = 19 ⇔ 5m = 10 ⇔ m = Đối chiếu điều kiện ta m = thỏa mãn u cầu tốn Ta có ∆0 = 4(m − 1)2 − 3(m2 − 4m + 1) = m2 + 4m + √ √ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ∆0 > ⇔ m < −1 − m > −2 + N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 76 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp −4(m − 1) Theo định lý Viet ta có: −(m − 4m + 1) x1 x2 = Ta có x1 + x2 = 1 x1 + x2 x1 + x + = (x1 + x2 ) ⇔ = x1 x2 x1 x2 4(m − 1) 4(m − 1) ⇔− · =− m − 4m + 2(m − 1)(m2 − 4m − 5) =0 ⇔ 3(m2 − 4m + 1) ( 2(m − 1)(m2 − 4m − 5) = ⇔ m2 − 4m + 6= m ⇔ = −1 ∨ m = ∨ m = √ m 6= ± Đối chiếu điều kiện ta m = m = thỏa mãn yêu cầu tốn VÍ DỤ Cho phương trình x2 − (m − 1)x − m2 + 2m − = 0, với m tham số Chứng minh phương trình cho có hai nghiệm trái dấu với m Ç Gọi hai nghiệm phương trình cho x1 , x2 Tìm m để biểu thức A = x1 x2 å3 Ç x2 − x1 å3 đạt giá trị lớn ú Lời giải Ç 1 Xét ac = −m + m − = − m − trái dấu với m å2 − < 0, ∀m ∈ R Vậy phương trình ln có hai nghiệm Gọi hai nghiệm phương trình cho x1 , x2 Theo câu a) x1 x2 6= 0, A xác định với x1 , x2 Ç å3 Ç å3 x1 x2 Do x1 , x2 trái dấu nên = −t với t > 0, suy < 0, suy A < x x Ç å3 Ç å3 x2 x1 = −t, với t > 0, suy =− Đặt x2 x1 t Khi A = −t − mang giá trị âm A đạt giá trị lớn −A có giá trị nhỏ t 1 Ta có −A = t + ≥ 2, suy A ≤ −2 Đẳng thức xảy t = ⇔ t2 = ⇒ t = t t Với t = 1, ta có Ç x1 x3 å3 = −1 ⇔ x1 = −1 ⇔ x1 = −x2 ⇔ x1 + x2 = ⇔ −(m − 1) = ⇔ m = x2 Vậy với m = biểu thức A đạt giá trị lớn −2 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang 77 Nhóm LATEX Dự án CĐ Lớp VÍ DỤ Cho phương trình 2x2 + 2mx + m2 − = 0, với m tham số Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A = x21 2x1 x2 + + x22 + 2(x1 x2 + 1) ú Lời giải Ta có ∆ = m2 − 4(m − 1) = (m − 2)2 ≥ 0, với m Do phương trình ln có nghiệm với giá trị m Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = m x1 x2 = m − Từ ta có hệ thức liên hệ x1 , x2 không phụ thuộc vào m x1 x2 = x1 + x2 − Ta có x21 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = m2 − 2(m − 1) = m2 − 2m + 2m + 2x1 x2 + = Suy A = 2 x1 + x2 + 2(x1 x2 + 1) m +2 2m + 2m + − m2 − (m − 1)2 Vì A − = −1= = − ≤ 0, ∀m ∈ R m +2 m2 + m2 + Suy A ≤ 1, ∀m ∈ R Dấu “=” xảy m = 2m + 1 2(2m + 1) + m2 + (m + 2)2 + = = ≥ 0, ∀m ∈ R Ta lại có A + = 2 m +2 m2 + m2 + Suy A ≥ − , ∀m ∈ R Dấu “=” xảy m = −2 Vậy GTLN A m = GTNN A − m = −2 VÍ DỤ 10 Cho phương trình x2 − 2(m − 1)x + 2m2 − 3m + = 0, với m tham số Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Chứng minh rằng: |x1 + x2 + x1 x2 | ≤ ú Lời giải Ta có ∆0 = (m − 1)2 − (2m2 − 3m + = −m2 + m = m(1 − m) Để phương trình có hai nghiệm ∆0 ≥ ⇔ ≤ m ≤ Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m − 1) x1 x2 = 2m2 − 3m + Ta có |x1 + x2 + x1 x2 | = |2(m − 1) + 2m2 − 3m + 1| = |2m2 − m − 1| Ç ... trình bậc hai 100 Dạng 13 Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm phương trình bậc hai cho trước 102 CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 106 KIẾN THỨC CƠ BẢN 106 A Ứng dụng... TRÌNH CHỨA THAM SỐ 106 KIẾN THỨC CƠ BẢN 106 A Ứng dụng hệ thức Vi-ét 106 B Các hệ thức thường gặp 106 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 107 N h´ om LATEX Tháng 2-2020 Trang Phần I ĐẠI SỐ N h´ om LATEX CHỦ ĐỀ... 2 x + 2x − x − 5x − 10 x Rút gọn A ú Lời giải Ta có: √ √ å x−7 5x − 10 x √ A = √ + √ − √ · √ x − 2 x + ( x − 2) (2 x + 1) x+3 √ √ √ √ (2 x + 1) + ( x − 2) − (5 x − 7) 5x − 10 x √ √ = · √ ( x −