Chuyên đề Đại số 9 Tính giá trị của biểu thức đại số với điều kiện cho trước47206

Chuyên đề đại số tính giá trị biểu thức đại số với điều kiện cho trước Người viết : tạ phạm hải Giáo viên trường THCS thị trấn Hưng hà A Đặt vấn đề Bài tập tính giá trị biểu thức đại số có hai loại : - Tính giá trị biểu thức điều kiện dàng buộc biến số - Tính giá trị biểu thức giá trị biến số lại bị dàng buộc nhiều điều kiện Ví dụ 1: Các tập sau loại tính giá trị điều kiện 1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 2) Cho biÓu thøc :   x3  x(1  x )   x3 : x x     A =  x   x x     Tính giá trị A x = 2007 Ví dụ : Các tập sau loại tính giá trị có điều liện 1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc vµ abc   a b c Tính giá trị biểu thøc B = 1  b 1  c 1  a      2) Cho a + b + c = vµ a2+ b2+ c2 = 14 Tính giá trị biểu thức : C = a4+b4+ c4 3) Gi¶ sư m , n tho¶ mÃn mn = hai nghiệm phân biệt phương trình : x4 + a.x3 + b.x2 + a.x + = Tính giá trị biểu thức Q = 9a2 – 48b + 2007 ViÖc luyÖn tập cho HSG có cách nhìn tổng quát loại tập tính giá trị biểu thức đại số nói chung tính giá trị biểu thức có diều kiện nói riêng quan trọng Nó giúp HS có tư toán học chặt chẽ , xác , rèn luyện phép biến đổi đại số linh hoạt để HS tự tin gặp loại toán này.Tuy nhiên chuyên đề bàn tập trung vào loại tính giá trị với điều kiện cho trước Loại tính giá trị điều kiện đà dược bàn tới nhiều sách giáo khoa sách tập DeThiMau.vn B Nội dung chuyên đề Loại : Không tính giá trị cụ thể c¸c biÕn sè VÝ dơ : Cho x+y = Tính giá trị biểu thức A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + Víi lo¹i ta cần biến đổi A thành gồm toàn nhãm x + y råi thay vµo : A = ( x + y)2- 4( x + y)+ = 32- 4.3 + = - VÝ dô : Cho a3+b3+c3= 3abc  TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc :  a  b  c  B = 1  b 1  c 1  a      Râ rµng ta đánh giá quan hệ a, b, c từ giả thiết tính cụ thể a , b , c.Để thuận lợi biến đổi biểu thức A dạng dễ đánh giá B=  a  b  b  c  a  c  abc Tõ gi¶ thiÕt: ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc =  ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) =  ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc ca ) = Vậy ta a + b + c = , hc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = * Víi a + b + c = , ta ®­ỵc a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b  abc Khi ®ã B = = -1 abc * Víi a2+ b2+ c2- ab – bc – ca =  2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca =  ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = VËy a = b = c 2b.2c.2a Khi ®ã B = bca = VÝ dô : Cho sè dương x , y , z thoả mÃn điều kiện xy + yz + zx = Tính giá trị cđa biĨu thøc 1  y 1  z   y 1  z 1  x   z 1  x 1  y  A= x 2 2  x2 1 y2 1 z2 Ta thÊy sè ®iỊu kiện đà cho biểu thiức có liên quan víi nhau, h·y tÝnh riªng tõng bé phËn : + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z ) + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z ) DeThiMau.vn + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z ) Thay vµo A råi rút gọn , ta : A = 2( xy + yz + zx ) = 2.1 =2 Lo¹i : tính giá trị biến số Ví dụ : Tính giá trị biểu thức M=  x  5 y  1 x  x  5 BiÕt : x2+ 9y2 = 6xy - x Ta cần giải phương trình x2+ 9y2 = 6xy - x để tìm giá trị cña x , y nh­ sau Ta cã x2+ 9y2 = 6xy - x tương đương với phương tr×nh ( x – 3y)2+ x  = Từ tính x = , y = chØ viƯc thay vµo biĨu thøc M råi tÝnh to¸n VÝ dơ : Cho c¸c sè x , y , z tho¶ m·n hƯ x  y  z   2  x y z Tính giá trị biÓu thøc Q = x  y  z  x3  y  z Ta cần giải hệ phương trình ®· cho ®Ĩ t×m x , y , z Ta cã 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mµ x3+ y3+ z3 = V× vËy : ( x + y)( y + z)( z + x) = Nên x = - y , hc y = - z , hc z = - x NÕu x = - y th× x+ y = vµ tõ x + y + z = ta cã z = nªn z2 = vµ x2+ y2 = suy x = y = ®ã Q = 04+ 05 + 16 = Hoàn toàn tương tự cho trường hợp lại ta Q = Tóm lại Q = 3 vÝ dô : Cho x = 20  14 20 14 Tính giá trị cđa biĨu thøc : P = x3 – 6x + 1993 Ta cã : x3  20  14  20  14  3x 202  2.142  x  40 VËy x3 6x = 40 Ta giải phương trình x3 6x 40 = để tìm x, việc lại không cần thiết cÊu tróc cđa biĨu thøc P Tõ ®ã P = x3 – 6x + 1993 = 40 + 1993 = 2033 DeThiMau.vn Loại : đại số hoá số biểu thức số để tính toán Ví dụ : Tính giá trị biểu thức : A= 2 2  1 3 1 2 2  1 3 1 a  1 a 2 A   a  Gi¶i : Đặt ta có a a  1 a  1 a   a2 a 2a Sau thay giá trị a vào tính toán ta kết A = Ví dụ : Tính giá trị biểu thức Giải : Đặt x1    A   17   1      1 1 ; x2  Ta cã x1  x2  2 17 5       vµ x1 x2  1 Theo định lý Vi-et x1 , x2 nghiệm phương trình bậc hai : X2-X = Đặt S n x1 x2 Và ta có công thức truy hồi : n n Sn  Sn1  Sn   Sn  Sn1  Sn  Sn  Sn 1 Sn   5 n n       Đặt U n      ta cã : U n   U n 1  U n , (*)      víi n N Dễ tính U 0,U1 sau từ công thức (*) ta tính : Sn U  U1  U    U  U  U1    U  U3  U    U5  U  U3    v.vĐây dÃy Phibonaci dÃy : DeThiMau.vn Un số hạng tổng quát 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,233 ,cứ ta tính U17 A 1597 Loại tập phong phú,đa dạng mà vài ví dụ Để luyện tập chuyên đề mời bạn làm số tập luyện tập sau : Bài tập : Cho a + b = ab TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6 Bµi tËp : Cho a vµ b số thoả mÃn a3 3ab 19 Tính giá trị biểu thức B = ( a2 + b2 )3 b  3a b  98 Bµi tËp : Cho 3x – y = 3z vµ xy  2x + y = 7z x xy Tính giá trị cđa biĨu thøc C  x  y vµ a + b + c  a b2 c2 Tính giá trị biểu thøc : D  a  b  c Bµi tËp : Cho a3 + b3 + c3 = 3abc a 13  Bµi tËp : Cho x  y x  z vµ 169  x  z  27  z  y  x  y  z  2a  12a 17 a Tính giá trị biÓu thøc E  a2 a b c x y z   2    Bµi tËp : Cho vµ x y z a b c a b2 c2 Tính giá trị F   x y z Bµi tËp7: Cho x, y , z số dương thoả m·n x  y  z  xyz  Tính giá trị biểu rhức : H x   y   z   y   z   x   z   x   y   xyz DeThiMau.vn Bµi tËp :    4 Cho x  x  14 y  y  14  196 TÝnh giá trị K = x + y x yz a Bµi tËp : Cho x2  y  z  b2 1 1  x y z c Tính giá trị biÓu thøc M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c y2  25 x  xy  y2  z2  z  xz  x  16 Bµi tËp 10 : Cho số dương x , y , z thoả mÃn Tính giá trị biểu thức : N = xy + 2yz + 3zx Bµi tËp 11: Cho a , b , c số phân biệt cho phương trình : x2 + a.x + = vµ x2 + bx + c = có nghiệm chung Đồng thời phương trình x2 + x + a = vµ x2 + cx + b = cịng cã nghiƯm chung Tính giá trị biểu thức P = a + b + c HÕt DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 2.1 =2 Loại : tính giá trị biến số Ví dụ : Tính giá trị biểu thức M= x 5 y  1 x  x  5 BiÕt : x2+ 9y2 = 6xy - x  Ta cần giải phương trình x2+ 9y2 = 6xy - x để tìm giá trị x , y nh­... thiết cấu trúc biĨu thøc P Tõ ®ã P = x3 – 6x + 199 3 = 40 + 199 3 = 2033 DeThiMau.vn Loại : đại số hoá số biểu thức số để tính toán Ví dụ : Tính giá trÞ cđa biĨu thøc : A= 1 2 2  1 3 1 2 2... 27a6b6 Bài tập : Cho a b sè tho¶ m·n a3  3ab  19 TÝnh giá trị biểu thức B = ( a2 + b2 )3 b  3a b  98 Bµi tËp : Cho 3x – y = 3z vµ xy  2x + y = 7z x xy Tính giá trị biểu thức C  x  y vµ