Chuyên đề Đại số lớp 9 Định lý Vi – et và một số ứng dụng41275

Chuyên đề đại số lớp định lý vi et số ứng dụng Người viết : Tạ Phạm Hải Giáo viên THCS Thị trấn Hưng hà , Thái bình A Kiến thức cần nhớ: I Nhắc lại mét sè kiÕn thøc cã liªn quan  mét sè đẳng thức đáng nhớ: 1) (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab  a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab 2) (a - b)2 = a2 + b2 - 2ab = (a + b)2 – 4ab  a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab 3) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)  a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) Nhắc lại số kiến thức có liên quan: Cho số A B, xÐt dÊu cđa sè nµy ta cã trường hợp sau đây: 1) A B trái dÊu  AB < 2) A vµ B cïng dÊu  AB > 3) A vµ B cïng dương AB > A+B>0 4) A B cïng ©m  AB > A+B th× Ýt nhÊt mét số phải dương * Nếu A + B < số phải âm II Định lý Vi et: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a  0) th×: b S = x1 + x = c a P = x1.x2 = a III Một số ứng dụng định lý Vi et: 1) Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc hai( có trường hợp thường sử dụng) Cho phương tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = ( a  0) (1) c a) NÕu a + b + c = phương trình (1) có nghiƯm lµ: x1 = vµ x2 = ac b) NÕu a - b + c = th× phương trình (1) có nghiệm là: x1 =- x2=a 2) Tính giá trị số biểu thức liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai mà không cần tìm nghiệm Ví dụ: x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2  (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 DeThiMau.vn  (x1 – x2)3 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) v.v 3) T×m hai sè biÕt tr­íc tỉng vµ tÝch: NÕu hai sè u vµ v cã tỉng u + v = S vµ tÝch uv = P u v nghiệm phương trình x2 Sx + P = ( ĐK để có hai sè u vµ v lµ: S2 – 4P ≥ 0) 4) Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = ( a  0) (1) a) Ph­¬ng trình có nghiệm trái dấu ac < b) Phương trình có nghiệm dấu P > c) Phương trình có nghiệm dương P > S > d) Phương trình có nghiệm âm P > S < e) Phương trình có nghiệm dương S > f) Phương trình có nghiệm âm S < B Một số toán điển hình: Bài toán 1: Chứng tỏ phương trình ax2 + bx + c = ( a  0) (1) Cã nghiƯm x1 ; x2 th× tam thøc f(x) = ax2 + bx + c phân tích sau: f(x) = ax2 + bx + c = a(x – x1)(x x2) Bài giải b a Ta có f(x) = ax2 + bx + c = a x2 – (- c a )2 +  = a(x – x1)(x – x2) *ứng dụng toán trên: Phân tích đa thức ax2 + bx + c thành nhân tử: VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 2x2 – 5x + b) 3x2 + 8x + Bài giải a) Trước hết ta giải phương tr×nh: 2x2 – 5x + = Cã a + b + c =  x1 = ; x2 = 3/ * áp dụng kết toán ta được: 2x2 5x + = 2(x – 1)(x – 3/ 2) DeThiMau.vn b) Trước hết ta giải phương trình: 3x2 + 8x + = ’ = 42 – = 10 > Phương trình có nghiệm  10 4  10 ; x2 = 3  10 VËy 3x2 + 8x + = 3( x +  10 )(x + ) 3 x1 = * Nhận xét: Với toán lớp ta đà biết cách giải là: phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách, nhiên với phương pháp thực gặp khó khăn (ví dụ câu b) Song tr­êng hỵp tam thøc bËc hai cã nghiƯm, sử dụng kết toán tam thức bậc hai phân tích thành nhân tử cách thuận lợi Bài toán 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 2007x2 – 2008x + = b) x2 – (  )x + = Bµi gi¶i a) Ta cã a + b + c = 2007 2008 + = Vậy phương trình cã nghiƯm lµ x1 = ; x2 = / 2007 * Nhận xét: Với toán này, dùng cách giải công thức nghiệm việc tính toán cồng kềnh, dẫn đến kết sai Song nhờ ứng dụng định lý Vi et nên việc giải phương trình trở nên nhanh gọn, dễ dàng Bài toán 3: Cho phương trình : x2 - x = (1) a) Chứng minh phương trình có nghiệm x1 ; x2 ( gi¶ sư x2 < 0) b) Không giải hÃy tính giá trị biểu thức sau: 5) x13 – x23 1) x1 + x2 ; x1.x2 2) 1  x1 x2 6) x1(1 – x2) + x2( – x1) 3) x12 + x22 7)* A = x14+ 2x23 + 3x12 + 8x2- 4) x12- x22 8)* B = x18  10 x1  13 + x1 Bài giải 7) x1 nghiệm phương trình (1) nên ta có: x12 x1 =  x12 = x1+ DeThiMau.vn x14 = (x1+ 1)2 = x1+ 2x1+ = 3x1 +2 2x23 = 2x22 + 2x2 = 4x2 +2 VËy A = 3x1 + + 4x2+ + 3x1 + + 8x2 – = 6x1 + 12x2 – = 6( x1 + x2) + 6x2 – = + x2 – = + 6(1  ) =16  2 8) x18 = (x14)2 = 9x12 + 12x1 + = 21x1 + 13 47  21 1 = 21( ) + 13 = 2 * Chú ý: Trước thực yêu cầu toán phải kiểm tra xem phương trình có nghiệm hay không VD: phương trình x2 2x + = v« c b nghiƯm song vÉn tån biểu thức biểu thức a a * Nhận xét: Với toán dùng cách giải thông thường: tính cụ thể nghiệm thay vào biểu thức cần tìm việc tính toán cồng kềnh, dài dòng, phức tạp, song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn biểu thức thông qua tổng tích nghiệm, sau thực hành tính toán số, việc tính toán ngắn gọn, xác nhiều Bài toán 4: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm lµ: a)  vµ  b) vµ  vµ  c) 0.5 Bài giải a) Ta có S =  +  = 2 P = (  )(  ) = VËy  vµ nghiệm phương trình x2 - 2 x + = Bài toán 5: Cho phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) (1) Giả sử phương trình có nghiệm x1 x2 Đặt Sn = x1n + x2n (n  N) a) Chøng minh r»ng: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = 7 b) áp dụng: Không khai triển, hÃy tính: A = 1    1   1  B= 4 (2  2) (2  2) Bài giải a) Vì x1 x2 nghiệm phương trình (1) nên ta có: ax21 + bx1 + c = vµ ax22 + bx2 + c = Ta cã: a Sn+2 + bSn+1 + cSn = a(x1n+2 + x2n+2) + b(x1n+1 + x2n+1) + c(x1n + x2n) = = (ax1n+2 + bx1n+1 + cx1n) + (ax2n+2 + bx2n+1 + cx2n) = DeThiMau.vn = x1n(ax21 + bx1 + c) + x2n(ax22 + bx2 + c) = (đpcm) c) Đặt x1 = 1- vµ x2 = + Ta cã x1 + x2 = 2; x1.x2 = -  x1 x2 nghiệm phương trình: x2 2x = áp dụng kết toán ta có: Sn+2 Sn+1 2Sn =  Sn+2 = 2Sn+1 + 2Sn Ta cã S0 = x10 + x20 = S1 = x1 + x2 =  S2 = 2S1 + 2S0 = + = S3 = 2S2 + 2S1 = 16 + = 20 S4 = 2S3 + 2S2 = 40 + 16 = 56 S5 = 2S4 + 2S3 = 112 + 40 = 152 S6 = 2S5 + 2S4 = 304 + 112 = 416 A = S7 = 2S6 + 2S5 = 832 + 304 = 1136 Tương tự ta tính giá trị biểu thức B * Nhận xét: Với cách làm trên(ứng dụng định lý Vi et), ta đà tính giá trị biểu thức A không khó khăn Nhưng tính trực tiếp cách giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm, khai triĨn l thõa bËc cđa nhÞ thøc bËc nhÊt việc tính toán phức tạp, nhiều thời gian, dễ sai sót Bài toán 6: Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0(1) ( a  0) cã nghiệm gấp k lần nghiệm (k + 1)2 ac = kb2 Bài giải * Điều kiện cần: Giả sử phương trình đà cho có nghiệm x1, x2 thoả mÃn: x1 = kx2 x2 = k x1 Ta cã: (k + 1)2ac = kb2 b c  (k + 1) = k   a  a   (k + 1)2kx22 = k(kx2 + x2)2  (k + 1)2kx22 = k(k + 1) x22 (hiển nhiên đúng) * Điều kiện đủ: Vậy (k + 1)2ac = kb2 Gi¶ sư cã (k + 1)2ac = kb2  (k + 1)2ac - kb2 = Ta cã  = b2 – 4ac = b2 – 4k b2 (k  1)  k 1  = b2   k 1  ≥0 Do phương trình có nghiệm Gọi x1, x2 nghiệm phương trình(1) Ta có: (x2 k x1)(x1 – k x2) = x1x2 – kx22- k2x12 + k2x1x2 DeThiMau.vn = x1x2 – k(x1 + x2)2 – 2x1x2 + k2x1x2 = c  b2 c c  k    + k2 a a a a = (ac – kb2 + 2kac + k2ac ): a2 = (k  1) ac  kb = a2  (x2 – k x1)(x1 – k x2) =  x2 = kx1 hc x1 = kx2(đpcm) Bài toán 7: Cho Parabol (P) y = x2 Gọi A B thuộc (P) có hoành độ - Viết phương trình đường thẳng AB Bài giải Cách 1: (giải thông th­êng) Ta cã A (P) vµ xA = -  yA = 1 A(- 1;1) B(P) vµ xB = yB = B( 2; 4) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b Ta có hệ phương trình: -a+b=1 2a + b = Giải hệ ta a = b = Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = x +  C¸ch 2: (Sư dơng định lý Vi - et) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): x2 ax – b = (1) Cã xA = - ; xB = nghiệm phương trình Theo định lý Vi et ta có: xA + xB = a = - + = ; xA xB = - b = - Vậy phương trình đường thẳng AB là: y = x + x2 Bài toán 8: Cho (P): y = Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) điểm A có hoành độ Bài giải * Cách (Giải thông thường) *Ta có A  (P) vµ xA =  yA = A(2; 1) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) Ta cã A  (d)  2a + b =  b = 2a Xét phương trình hoành độ giao điểm : ax + b = x2  x2 – 4ax – 4b = (1) *(d) tiÕp xóc (P) phương trình (1) có nghiệm kép =  4a2 + 4b =  4a2 – 8a + =  a = b=-1 DeThiMau.vn Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = x - * C¸ch 2: (Sư dơng định lý Vi et) Phương trình đường thẳng cần tìm có dạng y = ax + b (d) Vì (d) tiếp xúc (P) nên phương trình hoành độ giao ®iĨm cã nghiƯm kÐp vµ nghiƯm kÐp ®ã lµ xA = Khi theo định lý Vi ét cã: 4a = a=1 = - 4b  b=-1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y = x - Bài toán 9: Tìm độ dài cạnh hình chữ nhật, biết chu vi 50 m diện tích 150 m2 Bài giải Gọi x y độ dài cạnh hình chữ nhật ( ĐK: x > y > 0) Theo ta có hệ phương trình: x + y = 25 xy = 150 VËy x, y lµ nghiệm phương trình t2 25 t + 150 = ’ = 252 – 4.150 = 25 > Phương trình có nghiệm t1 = 25  25  = 15; t2 = = 10 2 Vậy chiều dài hình chữ nhật 15 m, chiều rộng hình chữ nhật 10 m Bài toán 10: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2x – m2 = (1) a) Chøng minh phương trình có nghiệm trái dấu với m  b) Chøng minh r»ng nghiƯm cđa ph­¬ng trình (1) nghịch đảo nghiệm phương trình: m2x2 + 2x = (2) Bài giải a) Ta cã ac =- m2 <  m Vậy phương trình có nghiệm trái dấu m b)* Cách 1(Giải thông thường): Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 x2 Khi ta có: x21 2x1 m2 = Vì m nên x1 x2 0, chia vế phương trình cho m2 ta được: m2 m2  =    = chứng tỏ nghiệm phương trình (2) x1 x1 x1 x1 x1 DeThiMau.vn * C¸ch 2( ứng dụng định lý Vi et): Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 x2 Khi theo định lý Vi et ta có: x1+x2 = x1 x2 = - m2 Ta cã: VËy 1 x1  x2 2    x1 x2 x1 x2 m 1 1 ; x x  x x  m2 2 1 1 2 vµ lµ nghiƯm phương trình x2- x + =  m2x2 + 2x – = x1 x1 m m VI Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho phương trình mx2 (m 2)x + m = (1) Tìm giá trị m để: a) Phương trình có nghiệm trái dấu b) Phương trình có nghiệm dương phân biệt c) Phương trình có nghiệm âm d) Phương trình có nghiệm đối e) Phương trình có nghiệm số nghịch đảo f) Phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm Bài 2: Cho phương trình x2 + mx + 2m = Tìm giá trị m để: a) Phương trình có nghiệm âm b) Phương trình có nghiệm dương c) Phương trình có nghiƯm x1, x2 tho¶ m·n T = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Bài 3: Chứng minh điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0) cã nghiƯm nµy gÊp 2008 lần nghiệm 20092ac = 2008 b2 Bài 4: Cho Parabol(P): y = x2 đường thẳng (d): y = mx + Xác định m để (d) cắt (P) điểm phân biệt A(xA; yA) B(xB; yB) cho: a) (xA – 1)2 + (xB 1)2 đạt giá trị nhỏ b) Độ dài AB ngắn Bài 5: Giả sử x1 x2 nghiệm phương trình x2 + ax + b = a) Không giải hÃy tính theo a b biểu thức: x1 x2 x2 x1 DeThiMau.vn * B = x1  x2 *A= * C = (2x1 + x2)(2x2 + x1) * D = x13 + x23 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: * 2x1 + x2 2x2 + x1 * x13 + x23 vµ x12 + x22 * Gợi ý: Bài 1- Câu c) Ta xét tr­êng hỵp:  Tr­êng hỵp 1: XÐt m = 0, m = Trường hợp 2: Phương trình có 1nghiệm âm ac < Trường hợp 3: Phương trình có 1nghiệm âm m0 =0 - b/ a < c/ a > DeThiMau.vn ... m2 m2  =   = chứng tỏ nghiệm phương tr×nh (2) x1 x1 x1 x1 x1 DeThiMau.vn * Cách 2( ứng dụng định lý Vi et) : Giả sử phương trình (1) có nghiệm x1 x2 Khi theo định lý Vi et ta cã: x1+x2 =... dụng định lý Vi - et) Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b Xét phương trình hoành độ giao điểm (d) (P): x2 – ax – b = (1) Cã xA = - ; xB = lµ nghiƯm cđa phương trình Theo định lý Vi et. .. nghiệm thay vào biểu thức cần tìm vi? ??c tính toán cồng kềnh, dài dòng, phức tạp, song nhờ định lý Vi et, ta biểu diễn biểu thức thông qua tổng tích nghiệm, sau thực hành tính toán số, vi? ??c tính