Định lý Vi Ét và ứng dụng22770

SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân ĐỀ TÀI ĐỊNH LÝ VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG PHẦN MỞ ĐẦU THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân 1) Lý chọn đề tài: Như biết, Tốn học có vai trò quan trọng nghiên cứu khoa học đời sống xã hội Việc giảng dạy học tập để lĩnh hội kiến thức Toán cách vững vàng địi hỏi người dạy học phải có đầu tư công phu phương pháp Kiến thức Tốn cần phải trình bày nắm bắt cách có hệ thống Về chủ đề định lý Vi-et ứng dụng , tơi thấy có nhiều tác giả viết xuất , đa phần ứng dụng riêng lẻ vào dạng tập Chưa thấy tài liệu viết dạng chủ đề riêng định lý Vi-et Điều thơi thúc tơi viết đề tài nhằm mục đích hệ thống lại hồn chỉnh Bản thân sau số năm giảng dạy mơn Tốn có rút nhận xét học sinh thường nắm kiến thức Toán cách cục không hệ thống kiến thức Các em thường thấy mối quan hệ vấn đề tốn học với Chính nên gặp vấn đề tốn có chất phát biểu dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng bế tắc Tôi xin đưa ví dụ Có lần tơi cho học sinh giải tập sau: Tìm m để hàm số y  x  (m  2) x  3m  có cực trị khoảng cách hai điểm cực trị x2 Học sinh sau biểu diễn tọa độ cực trị theo nghiệm y’, để tính khoảng cách 5, đa số em cố gắng giải tìm nghiệm x1;x2 y’ dùng công thức khoảng cách Lời giải theo hướng thường cồng kềnh nghiệm y’ chứa thức, nên tính tốn khó khăn thường thất bại Tuy nhiên em biết sử dụng định lý Vi-et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi-et trường hợp THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Qua trình giảng dạy nghiên cứu , thấy ứng dụng định lý Vi-et phong phú, xuất nhiều dạng tốn có liên quan tới nghiệm phương trình đa thức Vì tơi định chọn đề tài : ĐỊNH LÝ VI-ET VÀ ỨNG DỤNG Nhằm hệ thống lại dạng tốn có liên quan tới tính chất nghiệm phương trình đa thức Đề tài đề cập tới nhiều dạng tập, dạng có số lượng tập phong phú, đủ cho học sinh có điều kiện để nhận chất dạng Qua đề tài , hi vọng mang đến cho học sinh nhìn từ nhiều phía định lý Vi-et, thấy vai trị to lớn mơn Tốn 2) Mục đích nghiên cứu đề tài: Bản thân năm có tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nhà trường tham gia luyện thi đại học Tôi cố gắng đúc rút, xâu chuổi toàn kiến thức mà thân thu thập thành chủ đề định lý Vi-et Mong muốn giải lớp tập điển hình chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi chương trình thi Đại học Các ví dụ minh họa rút chủ yếu từ hai kỳ thi đó, số thí dụ thân sáng tạo Mong muốn đề tài đến với đông đảo học sinh, nhằm giúp em đạt kết cao kỳ thi tới Qua đề tài giúp học sinh có nhiều phương pháp giải dạng tập có liên quan tới nghiệm phương trình Việc nghiên cứu đề tài giúp tơi có tài liệu mang tính hệ thống định lý Vi-et, phục vụ cho công tác giảng dạy bồi dưỡng Qua nghiên cứu đề tài , giúp tự tin cơng tác giảng dạy THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Một mục đích việc nghiên cứu đề tài thân mong muốn có nhiều điều kiện để giao lưu, học hỏi , trao đổi chuyên môn với bạn bè đồng nghiệp 3)Nhiệm vụ việc nghiên cứu đề tài: Quá trình nghiên cứu để tài để thân trau dồi thêm kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Cách thức thực đề tài khoa học Có điều kiện để trao đổi nhiều với thầy tổ Tốn vấn đề Toán Quan trọng đưa tới cho học sinh số dạng tập có ứng dụng cao kỳ thi, giúp em có kết tốt Đề tài mà tác giả thực với nhiệm vụ giúp học sinh cải tiến phương pháp học tập Biết quan tâm tới chất Tốn học phát biểu Cách trình bày đề tài từ mức độ dễ đến khó, nhằm bước giúp học sinh nâng cao kiến thức kỹ Đề tài cơng bố, phải giúp học sinh nắm vững ứng dụng định lý Vi-et Làm tốt dạng tập mà hệ học sinh trước lúng túng bế tắc Một nhiệm vụ đề tài mà tác giả thấy cần thiết đưa đến cho học sinh , giỏi tài liệu bổ ích, chắt lọc cách cơng phu Qua đề tài này, em tìm thấy cho nhiều ví dụ thú vị 4)Phương pháp nghiên cứu đề tài: 4.1) Phương pháp tiếp cận vấn đề : Đề tài tác giả ấp ủ từ năm 2007 sau thời gian tham gia giảng dạy Từ đến nay, tác giả tiếp cận với nhiều khóa học trị, tiếp cần với nhiều đề thi đại học học sinh giỏi , từ rút nhiều nội dung hơn, có đánh giá ngày toàn diện Qua phân tích giải đề thi, giúp tác giả có nhiều ví dụ dẫn chứng cho dạng tập mà đưa Từ đề tài có nội dung phong phú THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Đề tài trình bày theo vấn đề từ mức dễ đến khó Từ dẫn dắt học sinh lĩnh hội dần nội dung khó Các kiến thức Tốn , đặc biệt định lý bổ đề, tác giả cố gắng trình bày phép chứng minh Xem kiến thức sở cho nội dung xét tới Với cách trình bày đó, học sinh khơng cảm thấy đón nhận kiến thức cách gượng ép, theo kiểu công nhận Các em từ từ tiếp cận vấn đề cách tự nhiên Vì tư tưởng đề tài làm cho học sinh thấy rõ sở, chất Toán học vấn đề nên người viết ln đưa bình luận sau ví dụ tập đề nghị sau dạng 4.2) Phương pháp phân tích , bình luận: Trước vào dạng , tác giả thường đưa phân tích vấn đề thường gặp dạng Khái quát phương pháp giải việc cần làm giải Học sinh bước đầu hình dung nội dung phương pháp giải tổng quát vấn đề gặp Qua ví dụ , tác giả thường có bình luận dạng tập đó, từ học sinh thấy rõ chất vấn đề gặp phải Thấy tính cụ thể tổng qt tốn Qua bình luận tác giả muốn trao đổi với người đọc phương pháp giải, cách suy nghĩ tới lời giải Thấy tính tương tự hóa toán khác Một nắm chất, học sinh làm tập tương tự , sáng tạo toán khác từ toán gốc 4.3) Phương pháp tổng hợp, hệ thống hóa: Đây có lẽ phương pháp chủ đạo đề tài Nội dung đề tài phân chia thành nhiều dạng Tốn, trình tổng hợp kiến thức từ nhiều nguồn tài liệu từ thân rút THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Các dạng tập đưa mức độ trở lên, nên đòi hỏi nhiều trình suy luận tổng hợp lời giải Vì nội dung đề tài xuyên suốt vấn đề Tốn học rộng , nên địi hỏi người viết phải có chuẩn bị lâu dài mặt thời gian ( ý tưởng hình thành), viết cần phải tổng hợp kiến thức lại thành chủ đề thống Các chủ đề khác hệ thống hóa theo bố cục chặt chẽ theo hai mảng lớn định lý Vi-et bậc hai tổng quát Đọc qua đề tài ta thấy vấn đề Toán học đề cập tới gắn cột sống định lý Vi-et Tác giả cố gắng tổng hợp vấn đề Tốn học có chất 5) Phạm vi nghiên cứu: Đề tài chủ yếu nghiên cứu lĩnh vực Đại số mà trọng tâm nghiệm đa thức Các vấn đề Dãy số, Số học, Bất đẳng thức , Lượng giác Hệ phương trình đề cập dạng toán liên quan Giải tích đề cập tới vấn đề cực trị tiếp tuyến đồ thị hàm số Tất vấn đề có mối quan hệ chặt chẽ mặt phương pháp giải sử dụng tới định lý Vi-et Từ cho thấy mối quan hệ thống chủ đề toán học Phạm vi kiến thức mà đề tài đề cập đến chủ yếu kỳ thi tuyển sinh Đại học , cao đẳng kỳ thi học sinh giỏi Đây kỳ thi quan trọng diễn năm Các kiến thức đưa hồn tồn tốn sơ cấp, điều phù hợp với chương trình Tốn phổ thơng 6) Một vài trăn trở thực đề tài Đây đề tài mà tác giả tâm đắc Nó hình thành từ năm trước Qúa trình giảng dạy , thấy rõ định lý Vi-et có nhiều ứng dụng tập Vì ln thơi thúc tác giả viết thành vấn đề cụ thể có tính hệ thống định lý Vi-et THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Trường Phan Bội Châu nơi dạy trường vùng sâu, vùng xa Trình độ học sinh nói chung thấp, đặc biệt em thường học yếu Tốn Phần lớn em lại chưa thực có niềm đam mê Tốn Do tơi ln trăn trở liệu đề tài viết có học trị đón nhận có giúp cho em học tốt Tốn khơng ? Hi vọng kinh nghiệm thân, góp phần nhỏ để cải tiến phong trào bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi Đại học, cao đẳng nhà trường THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI-ET I- ĐỊNH LÝ VI-ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi-et học sinh học từ lớp 9, gồm có định lý thuận định lý đảo Định lý cho ta mối quan hệ nghiệm phương trình bậc hai hệ số Định lý : Nếu phương trình bậc hai ax  bx  c  ( a  ) có hai nghiệm x1; x2 tổng tích chúng là: x  x   b ; x x  c Ngược lại có hai số x1; x2 thỏa mãn : a a x1+x2=S; x1.x2=P x1;x2 nghiệm phương trình t2 –St +P =0 Điều đáng nói định lý giải tốn , ta khơng quan tâm tới giá trị x1và x2 mà cần biết tổng tích chúng Từ ta có biểu diễn cần thiết II- ĐỊNH LÝ VI-ET TỔNG QUÁT: Định lý: Cho phương trình bậc n : anxn +an-1xn-1 + + a1x +a0 = (1) với a n  Nếu phương trình có n nghiệm x1 ;x2 ; ;xn ta có : THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân  a n 1  x x x x      n  an   a n2  x1 x  x x3   x n 1 x n  an     n a0  x1 x x n  (1) a n  (I) Ngược lại có số x1 ;x2 ; xn thỏa mãn hệ (I) chúng nghiệm phương trình (1) PHẦN THỨ HAI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ET THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân I-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ET BẬC HAI: 1) DẠNG 1: BIỂU THỨC LÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM Phân tích: Trong làm tập dạng này, học sinh cần lưu ý tồn nghiệm phương trình, sau biểu diễn biểu thức qua x1  x2 x1 x2 để sử dụng định lý Vi-et Các đẳng thức hay dùng là: a  b  (a  b)  2ab ; a  b3  (a  b)3  3ab(a  b) Ví dụ 1: Tìm m để phương trình: 3x  4(m  1) x  m  4m   (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 1   ( x1  x ) x1 x 2 Giải Trước hết điều kiện để phương trình có nghiệm phân biệt khác là: '  4(m  1)  3(m  4m  1)  Giải m  2  m  2  m   Theo định lý Vi-et ta có :  4(m  1)  (m  4m  1) x1  x  ; x1 x  3 Lại có biểu thức ban đầu đưa : x1  x x1  x (*)  x1 x 2 Thay tổng tích nghiệm vào (*) ta được: 4(m  1) 2(m  1)(m  4m  5) 0 (  )0  3(m  4m  1) m  4m  Ta m=1; m=-1; m=5 Kết hợp điều kiện ta nhận m=1; m=5 THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 10 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Ví dụ 2: Xét phương trình: x  2(m  2)  5m   (1) m tham số 1) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m 2) Gọi nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Hãy tính theo m giá trị biểu thức: 1 1    x1 x2 x3 x4 M= Giải: 1) Đặt x = y Pt (1) trở thành: ( y ) (2) y  2(m  2) y  5m    ,    ( m  (m  m  4m  m  m  (m 2  )  (5 m  (m  )  2 2  3)  3)   5m   )2  2m   (5 m )  1   4 Do   0, m nên phương trình (2) ln có hai nghiệm phân biêt Theo định lý Vi-et ta có: S  y1  y  P  y1 y   b 2(m  2)   ( m  ) >0, m a c  m  >0, m a y , y dương Vậy (2) ln có hai nghiệm dương phân biệt nên (1) ln có nghiệm phân biệt 2) Theo kết ta có x1 , x , x3 , x  Vậy x1  M  y1 , x   y1 , x3  y , x4   y 1 1    2 ( y1 ) (  y1 ) ( y2 ) ( y2 )2 =  = ( y1  y ) y1 y2 y1  y Thay kết S P vào M ta có: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 11 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân M  Kết luận: M 2 ( m  ) 4(m  5m  5m  4(m 5m 2 2  2)   2)  Ví dụ : Cho phương trình x - ax + a - = có hai nghiệm x1 , x2 2 a) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức M  x 12  x 2  x1 x  x x1 b) Tìm a để tổng bình phương hai nghiệm đạt GTNN ? Giải: a) Ta có: 3( x12  x 22  1)  ( x1  x )  x1 x   M   x1 x ( x1  x ) x1 x ( x1  x ) Theo định lý Vi-et ta có : S  x1  x2  a ; P  x1 x2  a  Vậy M    a  2( a  1)  1 a ( a  1)   ( a  1)( a  1)  2( a  1)  a ( a  1) ( a  1) ( a  1) ( a  1)   a ( a  1) a ( a  1) a b) Ta có S  x1  x  a (1) P  x1 x  a  (2) (ĐK : a  0, a  ) Đặt A= x12 +x22 =(x1 +x2 )2 -2x1x2 = a2 -2a+2= (a-1)2 +1  A=1 a=1 Vậy giá trị nhỏ A a=1 Ví dụ 4: ( Đề thi HSG lớp thành phố HCM năm học 2003- 2004) (4®) a) Tìm m để phương trình x  2mx  m   có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1; x2 hai nghiệm nó, tìm GTLN biểu thức: A  x1 x  x1  x  THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 12 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải: a) Ta có:  ,  m  2( m  2)   m  Phương trình có hai nghiệm khi: '   m   2  m  b) Theo định lý Vi-et ta có : m2  x1  x   m ; x1 x  Vậy A  x1 x  x1  x   ( m  2)( m  3) =   m   m  3 ,vì m  (-2;2) Do A  ( m  2)(3  m )   m  m    ( m  )  Vậy GTLN A 25 25  4 25 m  Ví dụ 5: Cho đa thức f ( x)  x  x  x  12 x  có nghiệm xi ; i  1,4 Hãy tính tổng sau: xi2  2 i 1 ( x i  1) S  Giải: Ta viết lại : f ( x)  ( x  x)  6( x  x)    x  x    0(1)  ( x  x  3)    x  x    ( )  Gọi nghiệm (1) x1 ; x ; nghiệm (2) x3 ; x Ta có : S1  x12  x 22  x12  x 22  = =   ( x12  1) ( x 22  1) ( x1  1) ( x1  1) ( x  1) ( x  1)  x12  ( x1  1) (4  )  x 22  ( x  1) (4  ) THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 13 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân  (2 x12  1)( x  1)  (2 x 22  1)( x1  1)    ( x1  1)( x2  1)2 (4  )    (2 x12  1)( x 22  x  1)  (2 x 22  1)( x12  x1  1)     ( x1 x2  x1  x2  1)2 (4  )      x12 x 22  x1 x ( x1  x )  3( x12  x 22 )  2( x1  x )     ( x1 x2  x1  x2  1)2 (4  )   Áp dụng định lý Vi-et ta có: x1  x  2 ; x1 x  3  Thay vào biểu thức ta có: S1  80  22 4 Thực việc tính tốn tương tự phương trình (2) ta có : S  S1  S  Bài tập tương tự: 1) Cho phương trình : x  x  m  a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ngịch đảo b)Tìm giá trị lớn biểu thức: A  x12 ( x1  1)  x 22 ( x  1) 2) Cho hàm số y  x  x  m Tìm m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt A,B cho OA=3OB 3) Tìm m cho phương trình: x  (m  2) x  m   có nghiệm thỏa mãn: x12  x 22  x1 x 4)Tìm m cho đồ thị hàm số : y  x  2(m  4) x  m  cắt trục hoành điểm phân biệt A,B,C,D cho AB=BC=CD=DA 5) Giả sử x1; x2 nghiệm phương trình : x  x   Hãy thiết lập phương trình bậc hai có nghiệm : x1 x x2  x1  2) DẠNG 2: GIẢI HỆ ĐỐI XỨNG KIỂU THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 14 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Phân tích: - Hệ đối xứng hai ẩn kiểu hệ gồm hai phương trình , hai ẩn, ta hốn đổi vai trị ẩn phương trình phương trình khơng thay đổi - Để giải hệ đối xứng kiểu cách sử dụng định lý Vi-et, ta thường biểu diễn phương trình qua tổng tích hai ẩn - Các đẳng thức hay dùng là: a  b  (a  b)  2ab ; a  b3  (a  b)3  3ab(a  b) a  b  ( a  b )  2a 2b Ví dụ 1:  x y  y x  30 Giải hệ phương trình:   x x  y y  35 Giải: Ta đặt u= x  ; v= y  , hệ trở thành: u v  uv  30 uv(u  v)  30    3 u v uv u v (  )  (  )  35 u  v  35  Tiếp theo ta đặt S=u+v; P=u.v ( S  P) , SP  30 SP  30 S  ( thỏa mãn)     3 P  S SP S   35  125    ta hệ:  Theo định lí Vi-et ta có u, v nghiệm phương trình: t2-5t+6=0 Giải t=2; t=3 u  u   v  v  Do  Dẫn đến nghiệm hệ là(4;9); (9;4) THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 15 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Ví dụ 2: Tìm m để hệ có nghiệm nhất:  x y  xy  2(m  1)  2 xy  x  y  2(m  2) Giải: Đây hệ đối xứng kiểu Giả sử (a;b) nghiệm hệ (b;a) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm a=b a  m  Thay vào hệ ta  a  a  m  Trừ vế theo vế phương trình cho phương trình ta a  a  a    (a  1)(a  1)   a  1 Từ suy m=0 m=-2  x y  xy  2 xy  x  y  Thử lại với m=0 ta có hệ:  Đặt u= x+y; v=x.y ( u  4v) , ta có hệ : uv  u    2v  u  v  Theo định lý Vi-et x, y nghiệm phương trình: t2-2t+1=0 , ta t=1 Vậy hệ có nghiệm x=y=1  x y  xy  2 2 xy  x  y  Với m=-2 ta có hệ:  Bằng cách đặt tương tự ta (u;v)=(2;-1) (u;v)=(-2;1) Do hệ khơng có nghiệm Vậy m=0 giá trị cần tìm Ví dụ 3: THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 16 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân  x  xy  y   Giải hệ phương trình:  4  x  y  Giải: u  v   Ta có x4+y4 = (x2 +y2)2 -2x2y2 Nên đặt u=x2 +y2 ; v=xy, ta có hệ trở thành  2 u  2v  u  Giải hệ  v   u   (I)  (II) v  6   x  y   x  y  Với hệ (I)   2  x y   xy   Theo định lý Vi-et x2 ; y2 nghiệm phương trình t2 -3t +2=0 , ta t=1; t=2 x   Thế vào hệ ta  y  ,  xy   x   y   xy   Suy nghiệm (x; y) (1; - ); (  ; ) ; ( ;-1); (- ;1) Trường hợp dẫn đến phương trình bậc hai vơ nghiệm Ví dụ 4: ( x  x  1)( y  y  1)  Giải hệ phương trình :  (1  x)(1  y )  Giải: Nhân biểu thức vế trái phương trình, đặt u=x+y; v=xy, ta đưa hệ cho hệ u  v  uv  u  v   uv  6   v  u  v  u    sau:  Dùng phương pháp ta v=5+u, vào phương trình ta u(5+u) =-6  u2 +5u +6 =0, giải u =-3; u=-2 Với u=-3 v= , theo định lý Vi-et ta có u;v nghiệm phương trình t2 +3t+2 =0, suy t=-1; t=-2 Vậy hệ có nghiệm (-1;-2);(-2;-1) Với u=-2 v==3 Theo định lý Vi-et x,y nghiệm phương trình THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 17 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân t2 +2t +3 =0 Phương trình vơ nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm Bài tập tương tự: 1) Giải hệ phương trình :  x  y  xy  a)  2 x  y  x  y  a ; b)  4 x  y  a 2( x  y )  3(3 x y  y x ) c)  3 x  y  2) Tìm a để hệ :  x  y  xy  a có nghiệm  2  x y  xy  3a  3) Giả sử (x;y) nghiệm hệ :  x  y  2a   2 x y a a      Xác định a để xy nhỏ  x  y  1 4) Giải biện luận hệ phương trình :  3  x  y  m( x  y ) 3) DẠNG 3: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phân tích: Định lý Vi-et sử dụng để chứng minh bất đẳng thức Tất nhiên ta hiểu dùng để biến đổi trung gian Để sử dụng định lý Vi-et, thông thường kiện toán thường đưa dạng tổng tích ẩn Qúa trình chứng minh ta sử dụng định lý dấu tam thức bậc hai, bất đẳng thức cổ điển, phép biển đổi tương đương… Ví dụ 1: Cho x,y,z khác thỏa mãn x  y  z  xyz x  yz Chứng minh rằng: x  THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 18 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải:  y  z  x  x Từ giả thiết ta có:   yz  x Theo định lý Vi-et y,z nghiệm phương trình : t2-( x  x )t+ x =0 Do tồn số y,z nên phương trình phải có nghiệm Tức là:     ( x  x)  x   x ( x  1)    x   Vì x  nên ( x  1)       x   2 Điều kiện bất phương trình thứ khơng thể xảy Vậy x2  Ví dụ 2: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=5 xy+yz+zx= Chứng minh  x; y; z  Giải: Từ giả thiết ta xem z tham số, ta có hệ phương trình ẩn x,y : x  y   z x  y   z    xy  z ( x  y )   xy   z (5  z ) Theo định lý Vi-et x,y nghiệm phương trình: t2-(5-z)t +8-z(5-z)=0 Do phương trình có nghiệm x, y nên :   (5  z )  48  z (5  z )     z  Do vai trị bình đẳng x,y,z nên ta có kết luận tương tự x y Ví dụ 3:  xy  yz  zx  x  y  z  Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình:  THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 19 SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân Giải: Đây hệ có cấu trúc đặc biệt Do số ẩn nhiều số phương trình nên ta cần giải theo phương pháp đặc biệt, đánh giá Do vai trị bình đẳng ẩn, ta đánh giá ẩn đó, chẳng hạn ẩn z Ta đánh giá z sau Xem hệ đối xứng hai ẩn kiểu x,y z tham số Ta viết lại hệ:  xy  ( y  x) z   xy  (5  z ) z   xy   (5  z ) z    x  y   z x  y   z x  y   z Điều kiện để hệ có nghiệm x, y ta phải có: (x+y)2  4xy  (5  z )  32  z (5  z )  3z  10 z     z  Vì z nguyên nên ta z=1; z=2 với z=1 ta x=y=2 với z=2 ta (x;y)=(1;2) (x;y)=(2;1) Vậy hệ có nghiệm nguyên (x;y;z) (1;2;2); (2;2;1); (2;1;2) Chú ý: Nếu tập liên quan đến việc chứng minh bất đẳng thức hệ số phương trình, ta nhanh chóng biểu diễn hệ số qua nghiệm , chứng minh bất đẳng thức nghiệm Ví dụ : Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 +bx+c ( a khác 0) có hai nghiệm x1;x2 thuộc [0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức : A (a  b)(2a  b) a(a  b  c) Giải: Theo định lý Vi-et ta có: x1  x  b c ; x1 x  Biến đổi biểu thức A ta được: a a THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com 20 ... Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân NỘI DUNG ĐỀ TÀI PHẦN THỨ NHẤT GIỚI THIỆU VỀ ĐỊNH LÝ VI- ET I- ĐỊNH LÝ VI- ET CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI: Định lý Vi- et học... trình (1) PHẦN THỨ HAI ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI- ET THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng -Nguyễn Thành Nhân I -ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI- ET BẬC HAI: 1) DẠNG... em biết sử dụng định lý Vi- et để đưa tổng tích đơn giản Như em không thấy ỨNG DỤNG định lý Vi- et trường hợp THPT Phan Bội Châu – Bình Dương ThuVienDeThi.com SKKN Định lí Vi- ét ứng dụng