Nghiên cứu khai thác định lý vi ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện đại số, hình học, số học

Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Mục lục Các ứng dụng định lý vi-ét Phần I: Cơ sở xuất phát Đặt vấn đề Mục đích nhiệm vụ đề tài Phần II: Nội dung - phương pháp Lý thuyết (Kiến mở rộng) Các ứng dụng định lý viét * Các ứng dụng * Các ứng dụng khác Phần III: Các biện pháp thực Phần IV: Kết - học kinh nghiệm Phần V: Kết luận Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Ý TƯỞNG KHAI THÁC HỆ THỨC VI-ÉT(SGK) ĐL VIÉT THUẬN ĐẢO ỨNG DỤNG PT BẬC 2; VÀ CÁC LOẠI TOÁN ĐẠI SỐ Năm học 2011-2012 MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ VÀ HÌNH HỌC SỐ HỌC Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - PHẦN I: CƠ SỞ XUẤT PHÁT Đặt vấn đề Trong việc dạy học tốn, việc giải tốn có tầm quan trọng lớn từ lâu vấn đề trung tâm phương pháp dạy học toán Đối với học sinh bậc trung học sở coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học toán Việc giải toán có nhiều ý nghĩa: - Đó hình thức tốt để củng cố, đào sâu, hệ thống hoá kiến thức rèn luyện kĩ kĩ xảo Trong nhiều trường hợp giải tốn hình thức tốt để dẫn dắt học sinh tự đến kiến thức - Đó hình thức vận dụng kiến thức học vào vấn đề cụ thể, thực tế vấn đề - Là hình thức tốt để giáo viên kiểm tra học sinh học sinh tự kiểm tra lực, mức độ tiếp thu vận dụng kiến thức học - Việc giải tốn có tác dụng lớn gây hứng thú học tập cho học sinh phát triển trí tuệ giáo dục, rèn luyện người học sinh nhiều mặt Định lý tốn học mệnh đề Vì kiến thức có giá trị phương diện suy luận ứng dụng chương trình tốn nói chung chương trình tốn THCS nói riêng Trong mơn Đại số lớp THCS có định lý nói rõ mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a  0) với hệ số Đó định lý nhà toán học tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm mang tên ông: Định lý Vi-vét Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Do đặc thù đặc biệt định lý (gồm định lý thuận đảo) nên có giá trị đặc biệt nêu lên nhiều ứng dụng quan trọng toán liên quan đến phương trình bậc hai như: - Tìm tổng tích nghiệm phương trình bậc hai có nghiệm - Biết nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm - Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai (khi có nghiệm) trường hợp - Tìm hai số biết tổng tích chúng - Lập phương trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm cho trước… Vì định lý Vi-ét ứng dụng có vai trị “một chìa khố” quan trọng mở hướng giải cho nhiều tốn có liên quan đến nghiệm phương trình bậc hai, ba cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ đường thẳng parabol mặt phẳng Đề các; tính giá trị biểu thức bậc cao nghiệm số… Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chương trình đại có ý nghĩa đặc biệt chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc nghiệm số phương trình bậc 2; nêu quan hệ định tính, định lượng nghiệm số với hệ số phương trình bậc Có thể nói: “Các nghiệm số phương trình bậc lăng kính định lý Vi-ét ánh lên sắc màu rực rỡ” Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) dạng tập phương trình bậc (phương trình qui bậc hai); tốn có liên quan đến nghiệm số phương trình bậc 2; kỹ thuật giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán gây hứng thú giải tập cho HS, hình thành cho HS ý tưởng phong phú, trau dồi tư óc sáng tạo cho em giải tốn có liên quanđến phương trình bậc hai Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Phương trình bậc hai định lý Vi-ét thông qua hệ thức nghiệm số gắn kết với hình với bóng để tạo tốn, ứng dụng phong phú đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét thuận, đảo làm giàu tư duy, kĩ giải tốn cho HS cuối cấp Giúp em nhìn nhận toán mối liên hệ sinh động “con mắt động” ràng buộc biến số tham số; biến, phần giúp HS nâng cao chất lượng học tập mơn tốn Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo ứng dụng phong phú Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tn theo quy luật biện chứng mơn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học phong cách nghiên cứu toán học phạm vi định tạo điều kiện đổi phương pháp dạy học cách hiệu Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét ứng dụng nó, người dạy người học phần cịn nhiều sơ sài chưa khai thác triệt để định lý đảo; kết từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: “Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học.” Mục đích nhiệm vụ đề tài 2.1 Mục đích: Mục đích sáng kiến nhằm rèn luyện kỹ cho học sinh lớp cách khai thác ứng dụng định lí Vi- et giải toán nhằm nâng cao chất lượng học cho học sinh khắc phục vướng mắc trình tìm tịi tìm phương pháp giải tập cách hợp lí Thơng qua giúp học sinh biết khai thác toán nhằm phát triển tư cho học sinh cao góp phần rèn tính tích cực, tự giác, chủ động, độc lập qua giảng Rèn kỹ vận dụng quy tắc suy luận, vận dụng khái niệm, tính chất, kỹ sử dụng xác ngơn ngữ tốn học tìm hiểu tốn phân tích tốn đường lối giải tốn Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Nhiệm vụ Rèn cho học sinh lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu mơn khoa học khác trường cấp II, mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế Rèn cho học sinh có kỹ năng, kỹ xảo thói quen giải tập giúp học sinh xác định đựơc với toán ta sử dụng phương pháp để giải toán? Kiến thức áp dụng để giải tốn này, có cách giải cách hay cả, từ gặp tốn khó học sinh tư tìm cách tháo gỡ nhẹ nhàng hơn, mạch lạc hiệu 2.3 Phương pháp nghiên cứu: Trong trình viết sáng kiến kinh nghiệm tơi sử dụng phương pháp lí luận qua đọc sách giáo khoa, sách hướng dẫn giảng dạy, sách tham khảo, tạp chí tốn học liên quan đến đề tài Bên cạnh tơi cịn sử dụng phương pháp khác như: Phương pháp phân tích, tổng hợp so sánh, tổng kết kinh nghiệm từ thực tế giảng dạy thân, từ đồng nghiệp, đặc biệt từ chuyên đề “Hệ thức Vi – ét số tốn liên quan” nhóm tốn trường để thấy tác dụng đề tài mà nghiên cứu 2.4 Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu học sinh lớp trường Trung học sở Thái Thái Thịnh - Đống Đa – Hà Nội - Các em thuộc lứa tuổi 15 đến 16 Là lứa tuổi hiếu động thích làm người lớn, thích thể theo phong cách người lớn, thích khẳng định song lại thiếu chín chắn, đơi hay hấp tấp, thiếu tính cẩn thận Tư khái quát hoá tổng hợp hoá chưa cao nên việc phân tích đầu tốn cịn hạn chế, thiếu tính lơ gíc chặt chẽ Vì vậy, với học sinh đại trà gặp toán nâng cao học sinh thường hay lúng túng nên đôi lúc không tìm lời giải tốn Là người đứng bục giảng giáo viên phải nắm đặc điểm học sinh Thông qua môn cụ thể phân mơn Đại số, tơi giúp học sinh có khả khai thác tốn nhằm phát huy trí thơng minh, động, phù hợp với khả học sinh giải tốn Từ giúp em học môn học khác tốt Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm PHẦN II: NỘI DUNG – PHƯƠNG PHÁP LÝ THUYẾT 1 Định lý Viet thuận: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có nghiệm x1, x2 S = x1 + x2 = P = x1 x2 = * Hệ quả: −b a  − b  x + x =    a  (a  vµΔ  )     x x = c    a  c a PT bậc 2: ax2 + bx + c = (*) - Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = - Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = c a −c a 1.2 Định lý đảo: x + x = S Nếu có số x1, x2 thoả mãn  chúng nghiệm số phương trình: x x = P t2 - st + p = (Điều kiện  số x1, x2 s2 - 4p  0) Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Vi- et cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm a    Δ  0(Δ'  0) *a+b+c=0x=1;a-b+c=0x=-1 x + y = S * Nếu có: x =  ; y =  nghiệm hệ phương trình  ,  nghiệm xy = P phương trình: t2 - st + p = Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - 1.3 Các ứng dụng (thường dùng): a Kiểm tra nghiệm phương trình bậc b Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc c Biết nghiệm suy nghiệm d Tìm số biết tổng tích e Lập phương trình bậc biết nghiệm 1.4 Một số kết thu từ định lý Viet: a Phân tích ax2 + bx + c = (*) (a  0) thành nhân tử: Khi (*) có     x1, x2 / x1 + x2 = −b c ; x1 x2 = a a  c  b ax2 + bx + c = a x + x +  = a x − (x + x )x + x1 x a a   = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2 - Nếu S = x1 + x2 (khơng đổi) cịn P = x1 x2 thay đổi S2 Do S - 4P   P  S2 −b S = P=  x1 = x2 = 2a S2 S  maxP =  x1 = x2 = (Vì x2 - Sx + P = có nghiệm kép)  KL: Hai số có tổng khơng đổi tích lớn  số - Nếu x1 > 0; x2 > x1 x2 = P (Khơng đổi) Cịn S = x1 + x2 (thay đổi) ( )( ) Do: S2 - 4P   S − P S + P   S - P  ; S = P  x = x2 = Năm học 2011-2012 P Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm -  KL: số dương có tính khơng đổi tổng nhỏ chúng c Xét dấu nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (*) (a  0) −b c  ;P =  S = a a  - Điều kiện cho (*) có nghiệm trái dấu P < Δ  - Điều kiện cho (*) có nghiệm dấu  P  Δ   - Điều kiện để (*) có nghiệm dương là: P  S   Δ   - Điều kiện để (*) có nghiệm âm là: P  S   Δ = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép dương là:  S  Δ = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép âm là:  S  x + y = f( m )  d Điều kiện tham số để hệ phương trình:  có nghiệm  x.y = g ( m ) là: f2(m) - 4g(m) = (Chính điều kiện để phương trình bậc t2 - f(m)t + g(m)) = có nghiệm kép) CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI – ÉT 2.1.Tìm hai số biết tổng tích chúng Phương pháp: Dựa vào định lý đảo định lý Viet: Năm học 2011-2012 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - u + v = S u v nghiệm phương trình:  u v = P Nếu số u v có  t2 - St + P = (1) Như việc tìm số quy việc giải phương trình (Tìm nghiệm phương trình  số cần tìm) Chú ý: Nếu S2 - 4P  tồn số Nếu S - 4P < không tồn số Ví dụ: a Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 6a; Diện tích 2a2 * Gọi cạnh hình chữ nhật u v (u > 0; v > 0) Ta có: 2 u + v = 6a  uv = 2a  u + v = 3a  vu = 2a Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nên u, v nghiệm phương trình bậc t2 - 3at + 2a2 = giải t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật a 2a x 12 + x 22 = 13 b Tìm phương trình bậc nhận x1; x=2 nghiệm  (*) x x =  x + x = (x1 + x ) − 2x1 x = 13  Biến đổi hệ (*) ta có:   x + x = −5 x x = x1 x =   x + x =  x1 , x2 nghiệm phương trình: x2 - 5x + =  x x =    x + x = −5   x1 , x2 nghiệm phương trình: x2 + 5x + =   x x =  3 x + y = (1) c Giải hệ phương trình:   (2) xy = 27 Năm học 2011-2012 10 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Từ M = x1x − 2x1 − 2x = x1x − ( x1 + x ) Sáng kiến kinh nghiệm m2 + 4m + + 2m + = m2 + 8m + = m + 8m + = − ( m2 + 8m + ) với −5  m  −1 = 2 2 m + 8m + < 2 9 M = − ( m + ) −  = − ( m + )   2 2 2 Max M = ( m + ) = hay m = - ( tmđk*) Vậy m = - M đạt giá trị lớn MaxM = Bài toán : Cho phương trình x2 - mx + m -1 = (5 ) a/ Chứng minh phương trình ln có nghiệm với  m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 2x1x + P = x1 + x2 + ( x1x + 1) Bài giải: a/ Có  = m - 4m + = (m - 2)2 ≥ với  m Vậy phương trình (5) ln có nghiệm với  m b/ Khi phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 + x = m   x1 x = m - 2x1x2 + 2m − + 2m + Từ P = = = 2 x1 + x2 + ( x1x2 + 1) m2 + m +2  m2 P + 2P = 2m +  m2 P + 2m + 2P − = Để tồn P phải tồn m phương trình ẩn m phải có nghiệm hay: −1 'm = − 2P + P   ( P − 1)( 2P + 1)    P 1 −1 Min P = m=-2.( tm) Max P = m=1.( tm) −1 Vậy giá trị lớn P Giá trị nhỏ P * Nhận xét: Đối với biểu thức chứa nghiệm phương trình cho trước muốn tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ ta làm theo trình tự sau: +Trước hết ta phải tìm điều kiện để phương trình có nghiệm Năm học 2011-2012 46 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm +Biến đổi biểu thức xuất tổng hai nghiệm tích hai nghiệm +Từ áp dụng hệ thức Vi -ét thay vào biểu thức chứa tham số m Ta tiến hành tìm GTNN, GTLN biểu thức với ẩn m Bài toán 6: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) x + m -1 = (6 ) a/ Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với  m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Chứng minh biểu thức: A = x1 (1 − x ) + x (1 − x1 ) không phụ thuộc vào giá trị m Bài giải: 1  a/ Có  ' =  − ( m + 1) − ( m − 1) = m + m + =  m +  +  với  m 2  Vậy phương trình (6 ) ln có hai nghiệm phân biệt với  m b/ Khi phương trình có hai nghiệm x1 ,x2 theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = 2m +   x1  x = m − Từ A = x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) = ( x1 + x ) − 2x1x = 2m + − ( m − 1) = Vậy giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị m 2 DẠNG 2: Hệ thức Vi-ét tương giao hàm số * Phương pháp: Cho hàm số: y = ax2 ( a ≠ 0) (P) : y = mx + n (d) Hoành độ giao điểm (d ) (P) nghiệm phương trình: ax2 = mx + n  ax2 - mx - n = (II) +/ Nếu phương trình (II) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (P) hai điểm phân biệt +/ Nếu phương trình (II) có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P) +/ Nếu phương trình (II) vơ nghiệm (d ) khơng có điểm chung với cắt (P) Bài toán : Cho hàm số y = x2 (P) y = 3x + m2 (d) a/ Chứng minh với giá trị m (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Gọi y1 , y2 tung độ giao điểm (d) (P) Tìm m để y1 + y2 = 11y1y2 Bài giải: a/ Hoành độ giao điểm d P nghiệm phương trình: x2 = 3x + m2  x2 - 3x - m2 = (7) Xét  = + 4m2  víi m nên phương trình (7) có hai nghiệm phân biệt với m , chứng tỏ (d) cắt (P) hai điểm phân biệt Năm học 2011-2012 47 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm b/ Khi hồnh độ giao điểm (d) (P) nghiệm phương trình (7) Gọi hai nghiệm x1 ,x2 , theo hệ thức Vi-ét ta có:  x1 + x =   x1  x = − m Ta có tung độ tương ứng là: y1 = x12 ; y2 = x22 Từ y1 + y2 = 11y1y2 ta có: x12 + x22 =11x12.x22  (x1 + x2) - 2x1x2 -11 (x1x2) =  +2m2 - 11m4 = 11m4 - 2m2 - =  ( m2 − 1)(11m2 + ) =  m2 − =  m = 1 (tm) Vậy với m =  giá trị cần tìm Bài tốn : Cho hàm số y = − x2 (P) a/ Gọi A B hai điểm phân biệt thuộc đồ thị có hồnh độ -2 Viết phương trình đường thẳng AB b/ Đường thẳng y = x + m - (d) (d) cắt (P) hai đểm phân biệt Gọi x1 , x2 hoành độ hai giao điểm Tìm m để x12 + x 2 + 20 = x12  x 2 Bài giải: 1 a/ A  (P) , xA =  y A = − 12 = − ; B  (P) , xB = -  y B = − ( −2 ) = −2 2 1  Vậy A  1; −  ; B ( −2; −2 ) Phương trình đường thẳng AB 2  1 y + y + x −1  x −1 = =  y = x − (AB ) −3 −2 − −2 + −3 2 b/ Hoành độ giao điểm (d) (P ) nghiệm phương trình : − x2 = x + m −  x2 + 2x + 2m − = (8) Do (d) cắt (P) hai đểm phân biệt  pt (8) có hai nghiệm phân biệt   >  ' = - 2m >  m  (*) x1 + x = −2 Gọi hai nghiệm x1 ,x2 , theo hệ thức vi-ét ta có:  x1  x = 2m − Năm học 2011-2012 48 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - Từ x12 + x 2 + 20 = x12  x 2  ( x1 + x ) − 2x1x − x12 x 2 + 20 = Thay vào ta có: ( −2 ) − ( 2m − ) − ( 2m − ) + 20 =  4m2 − 12m − 16 = 2  m = −1 Giải phương trình tìm  kết hợp với điều kiện (*) ta có m = -1 thoả m =  mãn điều kiện toán nên với m = -1 giá trị cần tìm Bài tốn : Cho hàm số y = − x2 (P) điểm M (1; -2) a/ Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m b/ Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m c/ Gọi xA ; xB hoành độ A B Tìm m để x A x B + x A x B đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài giải: a/ Đường thẳng có hệ số góc m có dạng : y = mx + b Đường thẳng qua điểm M (1; -2) nên ta có: -2 = m + b  b = - m -2 Vậy đường thẳng cần tìm là: y = mx - m - (d) b/ Hoành độ giao điểm (d) (P ) nghiệm phương trình : (9) − x2 = mx − m −  x + 2mx − 2m − = 2 Xét  ’ = m2 +2m + = ( m + 1) +  víi m , (d) cắt (P) hai đểm phân biệt với  m c/ Khi xA ,xB nghiệm phương trình (1) , theo hệ thức Vi-ét ta có: x1 + x = −2m  x1  x = −2m − Từ x A x B + x A x B = x A x B (x A + x B ) = ( −2m − )( −2m ) = 4m + 8m + + ( −4 ) = ( 2m + ) + ( −4 )  −4 Vậy Min ( x A x B + x A x B ) = - 2m + = hay m = -1 Kết luận: Với m = -1 x A x B + x A x B + giá trị nhỏ nhất, giá trị -4 DẠNG 3: Lập phương trình bậc hai ẩn * Phương pháp: Bước 1: Tính tổng hai nghiệm tích hai nghiệm Năm học 2011-2012 49 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Bước 2: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: x2 -Sx + P = Điều kiện tồn hai số là: S2 - 4P > Bài tốn 10: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm là: − vµ + c/ m m -1 Bài giải : a/ Có x1 = x2 = -6 Ta có tổng hai nghiệm là: x1 + x2 = + ( −6 ) = −5 a/ - b/ Tích hai nghiệm là: x1x2 =  ( −6 ) = −6 Vậy phương trình cần lập là: x2 + 5x − = có hai nghiệm x1 = x2 = -6 Các phần khác tương tự Bài tốn 11: Cho phương trình x2 + 2x − = có hai nghiệm x1 x2 x x2 Hãy lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm là: vµ x2 x1 Bài giải : a/ Ta có :  ' = − ( −5 ) =  nên phương trình có hai nghiệm x1 x2 Phương trình cần lập có: x x ( x + x ) − 2x1x ( −2 ) − ( −5 ) 14 Tổng hai nghiệm là: + = = =− x x1 x1 x −5 14 x x Tích hai nghiệm là:  = Vậy phương trình cần lập là: y + y + = x x1 * Lưu ý : Để lập phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm cho trước cịn cách khác chẳng hạn: phương trình có nghiệm x = a x = b ( x - a)( x b) =  x2 − ( a + b ) x + ab = (Vận dụng phương trình tích ), xong lập phương trình bậc hai ẩn sử dụng định lí vi-ét đảo đa số học sinh dễ hiểu vận dụng tốt 2 DẠNG 4: Giải hệ phương trình đối xứng loại I (Hệ phương trình đối xứng loại I hệ phương trình mà thay đổi vai trị hai ẩn cho hệ phương trình khơng thay đổi) x + y = 25 Bài tốn 12 : Giải hệ phương trình  xy = 12 Bài giải: Năm học 2011-2012 50 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - ( x + y )2 − 2xy = 25  ( x + y )2 = 49 x + y = 7 x2 + y = 25      xy = 12 xy = 12 xy = 12 xy = 12     x + y = t = * Nếu  x y nghiệm phương trình t − 7t + 12 =   xy = 12 t = (tm) x + y = −7  t = −4 * Nếu  x y nghiệm pt : t + 7t + 12 =   (tm) xy = 12 t = −   x = −4 x = −3 x = x = ;  ;  Vậy hpt cho có bốn nghiệm là:  ;  y = −3 y = −4 y = y = 5 ( x + y ) + 2xy = −19  x + y + 3xy = −35 Bài giải: 5S + 2P = −19 S =  Đặt x + y = S xy = P ta có:  S + 3P = −35  P = −12 Bài tốn 13 : Giải hệ phương trình x + y = Thay vào ẩn phụ ta có   x y hai nghiệm phương trình: xy = −12 t = t − t − 12 =   (tm)  t = −3 x = x = −3 ;  Vậy hpt cho có hai nghiệm là:  y = −3 y = Bài toán 14: Cho hệ phương trình x + xy + y = m +  2x + xy + 2y = m a/ Giải hệ phương trình với m = b/ Tìm tất giá trị m để hệ phương trình có nghiệm Bài giải: ( x + y )2 − xy = x + xy + y =  a/ Khi m = thay vào pt ta có hệ:  2x + xy + 2y =  2 ( x + y ) + xy = S − P = Đặt x + y = S xy = P ta có:  2S + P = Năm học 2011-2012 51 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Cộng vế với vế sau chuyển vế ta có: S1 = S + 2P − = Giải phương trình ẩn S ta tìm được:  S = −4 x + y = +/ Nếu S1 =  P1 = -3 ta có:  x y nghiệm phương xy = −3 t = trình t − 2t − =   (tm) t = −  x + y = −4 +/ Nếu S = −4  P2 = ta có:  x y nghiệm xy =  phương trình t + 4t + = (phương trình vô nghiệm) x = x = −1 ;  Vậy hpt cho có nghiệm là:  y = −1 y = ( x + y )2 − xy = m + x + xy + y = m + b/ Ta có   2x + xy + 2y = m 2 ( x + y ) + xy = m S − P = m + Đặt x + y = S xy = P ta có:  2S + P = m Cộng vế với vế sau chuyển vế ta có: S + 2P − 2m − = (10) Để hệ phương trình có nghiệm phương trình (10) ẩn S phải có nghiệm nhất( Do a ≠ , nên nghiệm nghiệm kép)   ' = Ta có  ' = + 2m =  m = − ( tm) Vậy với m = − hệ phương trình có nghiệm * Kết luận : Phương pháp chung để giải hệ phương trình sử dụng x + y = S định lí Vi-ét đảo cách biến đổi hệ phương trình dạng  x xy = P y nghiệm phương trình t − S  t + P = đưa dạng hệ phương trình có chứa x + y = S xy = P , giải phương trình hệ phương trình ẩn S P xác định nghiệm xcủa hệ phương trình III- BÀI TỐN VẬN DỤNG Bài tốn 1: Cho phương trình x2 - 2(m + ) x + m + = Năm học 2011-2012 52 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm a/ Giải phương trình với m = b/ Trong trường hợp phương trình có nghiệm x1 ,x2 , tìm hệ thức liên hệ x1 ,x2 khơng phụ thuộc vào m c/ Tìm giá trị nhỏ x12 + x 2 Bài tốn 2: Cho phương trình x2 + (2m - )x - m = a/ Chứng minh phương trình ln có nghiệm với  m b/ Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để A = x12 + x 2 − 6x1x có giá trị nhỏ Bài toán : Cho hàm số y = − x2 (P) điểm M (1; -2) a/ Chứng minh đường thẳng qua M có hệ số góc m ln cắt (P) hai điểm phân biệt A B với m b/ Gọi xA ; xB hoành độ A B Tìm m để x A + x B − 2x A x B ( x A + x B ) đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài toán : Cho hàm số y = 2x2 − 6x − m + (* ) với m tham số a/ Khi m = tìm x để y = b/ Tìm m để đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số (*) hai điểm phân biệt Tìm tung độ trung điểm đoạn thẳng nối hai giao điểm Bài tốn : Giải hệ phương trình: x + y + xy = x − xy + y = a/  b/  4 x + y =  x + y = 17 x2 + x + y2 + y = 18 c/  x ( y + 1) + y ( x + 1) = 72 x − y = Bài tốn 6: Tìm tất giá trị m để hệ phương trình  3 x − y = m có nghiệm x + y + xy = m Bài tốn 7: Tìm tất giá trị m để hệ phương trình  2 x + y = m vô nghiệm Năm học 2011-2012 53 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM * KẾT QUẢ CỤ THỂ Qua trắc nghiệm khảo sát đối tượng HS, sau cung cấp cho HS nội dung kiến thức kỹ ứng dụng Vi-et, kết bước đầu thu được: -100% số HS biết kiểm tra nghiệm phương trình bậc hệ thức Viet - 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phương trình bậc trường hợp: a+b+c=0; a – b + c = - 80% số HS biết nhẩm nghiệm phương trình bậc định lý Viet đảo: x1 + x = s   x1, x2 nghiệm phương trình bậc x1 x = p  - 100% số HS biết tìm số biết tổng, tích lập phương trình bậc biết nghiệm cho trước - 85% số HS tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phương trình bậc cho trước - 80% số HS tìm hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc tham số - 85% số HS tìm điều kiện tham số để nghiệm liên hệ với hệ thức (điều kiện cho trước) - 90% số HS xét dấu nghiệm số phương trình bậc HS tìm điều kiện tham số để nghiệm phương trình bậc có dấu cho trước - 85% số HS sử dụng hệ thức Viet vào tìm phương trình đường thẳng qua A (xA, yA); B (xB,yB) thuộc parabol y = mx2 (m  0) Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với parabôn (p) M(xM, yM) - 90% số HS vận dụng hệ thức Vi -et vào tìm cực trị trường hợp: a) S = x1 + x2 (không đổi) P thay đổi, P = x1 x2 Năm học 2011-2012 54 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - b) P= x1 x2(không đổi) S thay đổi - 80% số HS biết tìm cực trị biến hệ điều kiện ràng buộc - 90% số HS vận dụng hệ thức Vi-et ứng dụng vào tập chứng minh bất đẳng thức - 85% số HS biết vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn hình học - 90% số HS vận dụng hệ thức Vi-et vào giải tốn có liên quan đến số học * BÀI HỌC KINH NGHIỆM Xây dựng mối quan hệ nghiệm số phương trình bậc hai tổng qt (khi có nghiệm số) Với hệ số a, b, c từ hình thành hệ thức Viét đến phát biểu nội dung định lý Vi-ét công việc có ý nghĩa vơ quan trọng việc dạy toán theo hướng đổi phương pháp giảng dạy sở kiến tạo kiến thức sinh động phong phú Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu ứng dụng quan trọng tìm tổng tích nghiệm số (khơng giải phương trình)… Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng định lý toán học ý nghĩa định lý với tốn có liên quan Việc thiết lập mệnh đề đảo định lý Vi-ét chứng minh mệnh đề tạo định lý đảo có nhiều ứng dụng vào tập - Tìm số biết tổng tích - Lập phương trình biết hai nghiệm - Nhẩm nghiệm phương trình Nêu hệ thống ứng dụng định lý Vi-ét vào tốn có ý nghĩa thiết thực rèn luyện kĩ vận dụng hệ thức vào suy luận cấp độ tư cao như: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm khơng phụ thuộc tham số … Thường xuyên động viên HS có thói quen giải phương trình bậc hai, trước tiên sử dụng Vi-ét Tạo cho HS động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp Năm học 2011-2012 55 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - lí) tốn có phương trình Đặc biệt thói quen tính nhẩm trường hợp nêu Thường xuyên “cảnh giác” cho HS trước sử dụng hệ thức Vi-ét tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) hoạt động có ý nghĩa vận dụng kiến thức suy luận rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ giải tốn cho HS Rèn luyện tính linh hoạt vận dụng hệ thức Vi-ét vào toán như: Bất đẳng thức, cực trị, giải phương trình, hệ phương trình… Đã làm phong phú đa dạng hố tập có liên quan, tăng thêm ý nghĩa phong phú định lý Vi-ét Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải toán phương trình bậc hai ln nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét cách linh hoạt Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng phương diện ứng dụng vào tập tạo hệ thống tập phong phú, hấp dẫn HS giúp cho việc rèn luyện kĩ em vững KẾT LUẬN Với ứng dụng phong phú, đa dạng Định lý Vi-et có vị trí quan trọng chương trình đại số giá trị sử dụng cịn có ý nghĩa với lớp Cũng việc mở rộng với phương trình bậc Định lý khơng có giá trị phương diện thực hành định lượng mà cịn có giá trị định tính cách phong phú cho nghiệm số phương trình bậc 2 Khai thác ứng dụng định lý Vi-et thuận đảo vào toán đại số lớp 9, làm phong phú đa dạng tập phương trình bậc 2, bậc Giúp cho người học rèn luyện thao tác tư đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt q trình học tập mơn toán Năm học 2011-2012 56 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm Cung cấp cho HS cách có hệ thống nội dung - phương pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số pt bậc 2, bậc Từ hình thành HS thói quen học định lý, thấy rõ vai trị định lý tốn học chương trình tốn, giúp cho em rèn luyện phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ Nêu giải pháp giải loại tốn ứng dụng định lý Vi-et Giúp HS có phương hướng giải vấn đề có sở lý luận Xây dựng cho HS niềm tin học tập chống tư tưởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi mới, hay q trình học trốn Bước đầu hình thành HS thói quen, kỹ làm tốn, học tốn có phương pháp Trang bị cho HS phương pháp thực hành toán học cách phong phú, đa dạng Chuẩn bị cho HS tiền đề để tiếp thu kiến thức phương pháp lớp sau Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phương pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tích cực HS… Trên ứng dụng phong phú định lý toán học (định lý Viét) xây dựng cách có hệ thống sở lý luận, bước đầu thực nghiệm cho kết định việc bồi dưỡng HS giỏi phần giúp người học hình thành kỹ giải toán ứng dụng vào tập định lý Vi-ét góp phần phát huy tính tích cực chủ động học tốn, phẩm chất trí tuệ (tư duy) tạo đà cho HS đổi cách học giai đoạn Tuy nhiên hạn chế cá nhân nên sáng kiến kinh nghiệm nói khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì tơi kính mong quan tâm Năm học 2011-2012 57 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh Sáng kiến kinh nghiệm - hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm cấp góp ý chân thành cho sáng kiến kinh nghiệm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đây mảng kiến thức sau nhiều năm giảng dạy, tơi tích lũy học hỏi từ thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp Nay viết thành sáng kiến kinh nghiệm Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 4/4/2012 Người viết sáng kiến Đặng Thị Hương Ý kiến đánh giá hội đồng giám định cấp… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… Ý kiến đánh giá hội đồng giám định cấp… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Năm học 2011-2012 58 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………… Ý kiến đánh giá hội đồng giám định cấp… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Năm học 2011-2012 59 Giáo viên: Đặng Thị Hương Trường THCS Thái Thịnh - Sáng kiến kinh nghiệm ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Năm học 2011-2012 60 Giáo viên: Đặng Thị Hương ... thác triệt để định lý đảo; kết từ định lý Vi- ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: ? ?Nghiên cứu khai thác định lý Vi- ét ứng dụng phong phú. .. người học phong cách nghiên cứu toán học phạm vi định tạo điều kiện đổi phương pháp dạy học cách hiệu Thực tế vi? ??c khai thác định lý Vi- ét ứng dụng nó, người dạy người học phần nhiều sơ sài chưa khai. .. chất lượng học tập mơn tốn Vi? ??c khai thác định lý Vi- ét thuận, đảo ứng dụng phong phú Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tn theo quy luật biện chứng mơn khoa học nào, đồng thời hình thành